CCP Physique 2 PC 2006 — Corrigé
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c Éditions H&K Publié dans les Annales des Concours 1/18 CCP Physique 2 PC 2006 — Corrigé Ce corrigé est proposé par Marc Legendre (Professeur en CPGE) ; il a été relu par Antoine Senger (Professeur en CPGE) et Jean-Julien Fleck (Professeur en CPGE). Ce sujet comporte deux problèmes indépendants. Ces derniers se décomposent en sous-parties quasiment autonomes qui abordent plusieurs aspects essentiels du programme de PC. • Le premier problème propose l’étude détaillée d’une fibre optique. Le début, très proche du cours, s’intéresse à la propagation des ondes dans les diélectriques. On calcule alors les coefficients de réflexion et de transmission à l’interface entre deux diélectriques. Le principe de la couche anti-reflet est ensuite traité de manière originale. La partie se termine sur des considérations d’optique géométrique et ondulatoire avec l’étude de l’interféromètre de Sagnac. • Le second problème est plus court et aborde tout d’abord un modèle original modélisant la propagation du son dans l’air. La simulation du phénomène d’écho est ensuite réalisée à l’aide d’un montage électronique à amplificateur opérationnel. Le problème se termine par une étude de la propagation du son le long de ressorts. L’ensemble est long mais reste accessible même si certaines questions ne sont pas faciles. Il n’est pas nécessaire de traiter linéairement le sujet puisque les huit sousparties peuvent être résolues indépendamment et constituent une série d’exercices de longueur et de difficulté variables. Les candidats ont dès lors intérêt à traiter en priorité les exercices qui leur semblent les plus abordables et à avancer le plus possible dans les problèmes. Téléchargé gratuitement sur www.Doc-Solus.fr . c Éditions H&K Publié dans les Annales des Concours 2/18 Indications Partie I 1.2 Ne pas donner la relation de passage qui concerne la composante normale du champ électrique. 1.4.b Remarquer que le champ réfléchi se propage selon −− u→ pour utiliser la relation x de structure. 2.3.a Exprimer Ep (ξ, t − 2D/v) en fonction de Ep (ξ, t). 2.3.c Simplifier à l’aide des relations montrées à la question 2.2.b. 2.4.c Utiliser le principe du retour inverse de la lumière pour traiter le bout de ligne par analogie avec l’entrée. 3 Montrer que la condition de réflexion totale à l’interface fibre-gaine est vérifiée dans le cas θ = π/2. 4.2 La concordance de phase correspond à une différence de chemin optique nulle. 2 en considérant que 5.2.b Calculer cos ωt + cos(ωt − Φ) hcos ωti = 0 et 2 1 cos ωt = 2 5.2.c Le réglage est optimal lorsque |sin Φ| = 1. Partie II 1.2.c Si |ε| ≪ 1, (1 + ε)γ ≈ 1 + γε. 1.4 Bien remarquer que L0 = dx. 1.5.c Le son se propage-t-il dans le vide ? 2.1 Utiliser le théorème de Millman aux entrées − et +. 2.2 On rappelle que la valeur efficace de la fonction f est l’indication de la question 5.2.b de la première partie. p hf 2 i. Utiliser alors 2.4 La bande passante à −3 dB est l’ensemble des fréquences telles que √ T(f ) > Tmax / 2. 3.3.a Utiliser le principe des actions réciproques pour justifier que la force de rappel est constante le long des N ressorts en série. L’allongement du ressort équivalent est la somme des N allongements. Téléchargé gratuitement sur www.Doc-Solus.fr . c Éditions H&K Publié dans les Annales des Concours 3/18 I. Fibre Optique 1.1.a Rappelons les équations de Maxwell dans le vide dans lequel il n’existe ni → − → charges (ρ = 0), ni courants (− = 0 ). div div − → E =0 → − B =0 − → → ∂B −→ − rot E = − ∂t → − − → − → rot B = µ0 ε0 ∂ E ∂t Maxwell-Gauss Maxwell-flux Maxwell-Faraday Maxwell-Ampère 1.1.b Les formules d’analyse vectorielle donnent → −−→ → − → − → − −→ −→ − rot rot E = grad (div E ) − ∆ E = −∆ E Prenons le rotationnel de l’équation de Maxwell-Faraday → − → −→ −→ − −→ ∂ B rot rot E = − rot ∂t En dérivant l’équation de Maxwell-Ampère par rapport à t et en permutant dérivées temporelle et spatiale, on obtient alors → − − → ∂2 E ∆ E = ε 0 µ0 2 ∂t Le champ électrique obéit à l’équation de d’Alembert tridimensionnelle avec 1 c= √ ε 0 µ0 1.1.c Dans un diélectrique linéaire homogène et transparent de permittivité relative εr , l’équation de Maxwell-Ampère s’écrit → − − ∂E −→ → rot B = µ0 εr ε0 ∂t 1.1.d On obtient, en raisonnant comme à la question I.1.b, l’équation de propagation du champ électrique → − → − ∂2 E ∆ E = ε 0 ε r µ0 2 ∂t C’est une équation de d’Alembert avec une vitesse de propagation 1 c v= √ =p ε 0 ε r µ0 ε/ε0 La vitesse de p propagation est telle que v = c/n où n est l’indice optique du milieu. Le rapport ε/ε0 est donc l’indice optique du milieu. Téléchargé gratuitement sur www.Doc-Solus.fr . c Éditions H&K Publié dans les Annales des Concours 4/18 1.2 En l’absence de courants surfaciques, les relations de passage à la surface de séparation entre deux diélectriques s’écrivent pour la composante tangentielle du champ électrique et pour le champ magnétique − → → − E T2 = E T1 et − → − → B2 = B1 L’énoncé indique qu’il n’y a ni charges, ni courants ; il s’agit bien sûr de charges et de courants non liés. Des courants et charges de polarisation sont a priori présents. Seule la relation de passage concernant les composantes tangentielles du champ électrique est au programme de PC dans l’étude des diélectriques. La relation concernant les composantes normales est hors programme. Pour information, elle s’écrit → − → − ε1 EN1 = ε2 E N2 1.3.a L’onde est • plane puisque le champ est uniforme dans tout plan perpendiculaire à la direction de propagation x ; • progressive et se propage selon les x croissants car le signal est de la forme f (t − x/v1 ) ; • harmonique puisque la fonction f est sinusoïdale. Rappelons que l’onde se propage vers les x croissants car le signal f (x, t) en un point x à l’instant t est identique à f (x + ∆x, t + ∆t) en ∆x = v1 ∆t car x + ∆x x f t + ∆t − =f t− v1 v1 1.3.b La relation de structure caractérisant la propagation d’une onde plane progressive selon − u→ x dans un milieu transparent d’indice n1 est → − → − − − → n1 − u→x ∧ E u→ x∧ E B = = c v1 Rappelons qu’on retrouve rapidement cette relation de structure en écrivant en notation complexe l’équation de Maxwell-Faraday. Le champ magnétique est donc b − → E x − → Bi = cos ω t − u z v1 v1 Téléchargé gratuitement sur www.Doc-Solus.fr .
