CCP Physique 2 PC 2006 — Corrigé

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Éditions H&K Publié dans les Annales des Concours 1/18
CCP Physique 2 PC 2006 — Corrigé
Ce corrigé est proposé par Marc Legendre (Professeur en CPGE) ; il a été relu par
Antoine Senger (Professeur en CPGE) et Jean-Julien Fleck (Professeur en CPGE).
Ce sujet comporte deux problèmes indépendants. Ces derniers se décomposent
en sous-parties quasiment autonomes qui abordent plusieurs aspects essentiels du
programme de PC.
•Le premier problème propose l’étude détaillée d’une fibre optique. Le début, très
proche du cours, s’intéresse à la propagation des ondes dans les diélectriques.
On calcule alors les coefficients de réflexion et de transmission à l’interface
entre deux diélectriques. Le principe de la couche anti-reflet est ensuite traité
de manière originale. La partie se termine sur des considérations d’optique
géométrique et ondulatoire avec l’étude de l’interféromètre de Sagnac.
•Le second problème est plus court et aborde tout d’abord un modèle origi-
nal modélisant la propagation du son dans l’air. La simulation du phénomène
d’écho est ensuite réalisée à l’aide d’un montage électronique à amplificateur
opérationnel. Le problème se termine par une étude de la propagation du son
le long de ressorts.
L’ensemble est long mais reste accessible même si certaines questions ne sont pas
faciles. Il n’est pas nécessaire de traiter linéairement le sujet puisque les huit sous-
parties peuvent être résolues indépendamment et constituent une série d’exercices
de longueur et de difficulté variables. Les candidats ont dès lors intérêt à traiter en
priorité les exercices qui leur semblent les plus abordables et à avancer le plus possible
dans les problèmes.
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Éditions H&K Publié dans les Annales des Concours 2/18
Indications
Partie I
1.2 Ne pas donner la relation de passage qui concerne la composante normale du
champ électrique.
1.4.b Remarquer que le champ réfléchi se propage selon −−→ uxpour utiliser la relation
de structure.
2.3.a Exprimer Ep(ξ, t −2D/v)en fonction de Ep(ξ, t).
2.3.c Simplifier à l’aide des relations montrées à la question 2.2.b.
2.4.c Utiliser le principe du retour inverse de la lumière pour traiter le bout de ligne
par analogie avec l’entrée.
3 Montrer que la condition de réflexion totale à l’interface fibre-gaine est vérifiée
dans le cas θ=π/2.
4.2 La concordance de phase correspond à une différence de chemin optique nulle.
5.2.b Calculer cos ωt + cos(ωt −Φ)2en considérant que
hcos ωti= 0 et cos2ωt=1
2
5.2.c Le réglage est optimal lorsque |sin Φ|= 1.
Partie II
1.2.c Si |ε| ≪ 1,(1 + ε)γ≈1 + γε.
1.4 Bien remarquer que L0= dx.
1.5.c Le son se propage-t-il dans le vide ?
2.1 Utiliser le théorème de Millman aux entrées −et +.
2.2 On rappelle que la valeur efficace de la fonction fest phf2i. Utiliser alors
l’indication de la question 5.2.b de la première partie.
2.4 La bande passante à −3 dB est l’ensemble des fréquences telles que
T(f)>Tmax/√2.
3.3.a Utiliser le principe des actions réciproques pour justifier que la force de rappel
est constante le long des N ressorts en série. L’allongement du ressort équivalent
est la somme des N allongements.
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Éditions H&K Publié dans les Annales des Concours 3/18
I. Fibre Optique
1.1.a Rappelons les équations de Maxwell dans le vide dans lequel il n’existe ni
charges (ρ= 0), ni courants (−→ =−→ 0).
div −→ E = 0
div −→ B = 0
−→
rot −→ E = −∂−→
B
∂t
−→
rot −→ B = µ0ε0
∂−→ E
∂t
Maxwell-Gauss
Maxwell-flux
Maxwell-Faraday
Maxwell-Ampère
1.1.b Les formules d’analyse vectorielle donnent
−→
rot −→ rot −→ E = −−→ grad (div −→ E ) −∆−→ E = −∆−→ E
Prenons le rotationnel de l’équation de Maxwell-Faraday
−→
rot −→ rot −→ E = −−→ rot ∂−→
B
∂t
En dérivant l’équation de Maxwell-Ampère par rapport à tet en permutant dérivées
temporelle et spatiale, on obtient alors
∆−→ E = ε0µ0
∂2−→ E
∂t2
Le champ électrique obéit à l’équation de d’Alembert tridimensionnelle avec
c=1
√ε0µ0
1.1.c Dans un diélectrique linéaire homogène et transparent de permittivité rela-
tive εr, l’équation de Maxwell-Ampère s’écrit
−→
rot −→ B = µ0εrε0
∂−→ E
∂t
1.1.d On obtient, en raisonnant comme à la question I.1.b, l’équation de propaga-
tion du champ électrique
∆−→ E = ε0εrµ0
∂2−→ E
∂t2
C’est une équation de d’Alembert avec une vitesse de propagation
v=1
√ε0εrµ0
=c
pε/ε0
La vitesse de propagation est telle que v=c/n où nest l’indice optique du milieu.
Le rapport pε/ε0est donc l’indice optique du milieu.
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Éditions H&K Publié dans les Annales des Concours 4/18
1.2 En l’absence de courants surfaciques, les relations de passage à la surface de
séparation entre deux diélectriques s’écrivent pour la composante tangentielle du
champ électrique et pour le champ magnétique
−→
ET2 =−→ ET1 et −→ B2=−→ B1
L’énoncé indique qu’il n’y a ni charges, ni courants ; il s’agit bien sûr de
charges et de courants non liés. Des courants et charges de polarisation sont
a priori présents.
Seule la relation de passage concernant les composantes tangentielles du
champ électrique est au programme de PC dans l’étude des diélectriques. La
relation concernant les composantes normales est hors programme. Pour in-
formation, elle s’écrit
ε1−→ EN1 =ε2−→ EN2
1.3.a L’onde est
•plane puisque le champ est uniforme dans tout plan perpendiculaire à la di-
rection de propagation x;
•progressive et se propage selon les xcroissants car le signal est de la forme
f(t−x/v1);
•harmonique puisque la fonction fest sinusoïdale.
Rappelons que l’onde se propage vers les xcroissants car le signal f(x, t)en
un point xà l’instant test identique à f(x+ ∆x, t + ∆t)en ∆x=v1∆tcar
ft+ ∆t−x+ ∆x
v1=ft−x v1
1.3.b La relation de structure caractérisant la propagation d’une onde plane pro-
gressive selon −→ uxdans un milieu transparent d’indice n1est
−→
B = n1−→
ux∧−→ E
c=−→
ux∧−→ E
v1
Rappelons qu’on retrouve rapidement cette relation de structure en écrivant
en notation complexe l’équation de Maxwell-Faraday.
Le champ magnétique est donc
−→
Bi=b
E
v1
cos ωt−x
v1−→
uz
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