Physico-Chimie II: Partie 3 a. Statistique Quantique Mécanique

Physico-Chimie II:
Partie 3 a. Statistique Quantique
P. Damman
Lab Interfaces & Fluides Complexes
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M´ecanique Quantique - Rappel
IHypoth`ese de Planck (Nobel 1918)
(quantification de l’´energie)
IE↵et photo´electrique (Einstein, Nobel
1921)- ´emission d’e par rayonnement
´electromagn´etique E=~!W
Quantification champ el-mg (E=~!)
Ie↵et Compton (Nobel 1927) (interaction
photon ´electron, transfert de quantit´e de
mouvement)
Nature corpusculaire du photon
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Hypoth`ese de De Broglie (Nobel 1929)
Unification relativit´e et physique des quanta
Relativit´e restreinte (masse - ´energie) E2=(m0c2)2+(pc)2
E=m0c2r1+v2
c2'm0c2(1 + 1 2
v2
c2)
part. non-relat.: Ecin =p2
2mpart. ultra-relat.: E=pc
Photons
Avec E=~!et E=pc, nous avons p=h/
”Le fait que, depuis l’introduction par Einstein des photons dans l’onde lumineuse,
l’on savait que la lumi`ere contient des particules qui sont des concentrations d’´energie
incorpor´ee dans l’onde, sugg`ere que toute particule, comme l’´electron, doit ˆetre
transport´ee par une onde dans laquelle elle est incorpor´ee“ ”Mon id´ee essentielle ´etait
d’´etendre `a toutes les particules la coexistence des ondes et des corpuscules d´ecouverte
par Einstein en 1905 dans le cas de la lumi`ere et des photons. ` A toute particule
mat´erielle de masse m et de vitesse v doit ˆetre associ´ee une onde r´eelle“
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pr´ediction : Di↵raction des ´electrons
microscope 1931, Ernst Ruska (Nobel 1986)
longueur d’onde (v=p2eU/m0)
=h
p=h m0v'h
p2m0eU '0.002nm
R´esolution microscope: d=
2NA
Mic. optique 0.2µm, Mic. ´electronique 0.1nm (r´esolution limit´ee
par les aberrations)
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Part. non relat. m06=0
=h
p'h
p2mE
Part. ultra-relat. m0=0
=h
p=hc E
Dualit´e ondulatoire et corpusculaire
Particules = train d’ondes
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Transform´ee de Fourier
Superposition d’une 1d’ondes planes sinusoidales
(x)= 1
2⇡ZA(k)eikx dk
A(k) = spectre du train d’ondes (k=2⇡/)
Propri´et´e des transform´ees de Fourier,
x1
kou xk1
Exemple, Gaussienne: TF (eax2)=p⇡
ae(⇡k)2/a
inversion de la largeur `a mi-hauteur !
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Avec p=h/=~knous avons
xp~
Principe d’incertitude Heisenberg
Rmq. si nous consid´erons le p´eriodicit´e temporelle, nous obtenons
tE~
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Equation d’onde de Schrod¨ınger
p=~ket E=~!
L’´energie d’une particule libre
(pas de terme d’´energie potentielle V(x,y,z,t))
E=p2
2m
La particule est d´ecrite par la superposition d’ondes planes
monochromatiques.
Consid´erons une des ondes planes:
(x,t)=A(k)ei(kx!t)
Combinons les relations fondamentales et l’expression de l’´energie
~!=~2
2mk2
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Apartirde , nous avons
@
@t=i!
@2
@x2=k2
Rempla¸cons dans l’expression de l’´energie
~!=~2
2mk2
i~@
@t=~2 2m
@2
@x2
Cette relation est valable pour toute superposition d’ondes planes
(i.e., pour toute fonction d´ecrivant une particule)
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Transposition Classique - quantique
Transposition de l’´equation classique
E=p2
2m
`a la m´ecanique ondulatoire
i~@
@t=~2 2m
@2
@x2
En consid´erant les op´erateurs di↵´erentiels
E!i~@
@t
p!i~@
@x
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