Particules identiques dans une boîte Particules identiques. Forces d

Université Paul Sabatier Mécanique Quantique
Master de Physique Fondamentale 2013-2014
Travaux Dirigés n◦2
Particules identiques dans une boîte
L’objectif de cet exercice est de montrer les changements apportés par la prise en
compte du principe de Pauli sur les fonctions d’onde et les niveaux d’énergie accessibles
pour un ensemble de particules selon la nature de ces dernières : discernable, bosonique
ou fermionique.
On considère deux particules de même masse dans un puits de potentiel V(x):
V(x) = 0,pour 0 ≤x≤a,
V(x) = ∞,pour x < 0 et x > a. (1)
a. Donner l’expression des fonctions propres à une particule pour les différentes valeurs
possibles de l’énergie En=n2K. On donnera l’expression explicite de Ken fonction
de ¯h,met a.
b. Dans cette question on considère le cas de deux particules discernables. Ecrire l’ex-
pression de la fonction d’onde Ψ11(x1, x2)de l’état fondamental et donner la valeur
correspondante de l’énergie en fonction de K. Expliciter les fonctions d’onde et
l’énergie du premier état excité.
c. Dans cette question on considère le cas de deux bosons identiques. Ecrire l’expression
de la fonction d’onde Ψ11(x1, x2)de l’état fondamental et donner la valeur corres-
pondante de l’énergie en fonction de K. Expliciter les fonctions d’onde et l’énergie
du premier état excité. Conclure.
d. Dans cette question on considère le cas de deux fermions identiques. Ecrire l’expres-
sion de la fonction d’onde de l’état fondamental et donner la valeur correspondante
de l’énergie du niveau fondamental en fonction de K. Commenter.
Particules identiques. Forces d’échange
L’objectif de de cet exercice est de montrer sur un exemple élémentaire les impli-
cations du principe de symétrisation à l’aide d’un exemple simple à une dimension. On
suppose que l’une des particules est dans l’état à une particule ψa(x)et l’autre dans l’état
ψb(x), ces deux états sont orthogonaux et normalisés.
a. Donner l’expression de la fonction d’onde à deux particules dans les trois cas sui-
vants : les particules sont discernables, les particules sont des bosons identiques, et
les particules sont des fermions identiques.
b. On s’intéresse à la distance quadratique moyenne entre les deux particules :
h(x1−x2)2i=hx2
1i+hx2 2i − 2hx1x2i.
Montrer que cette quantité se met sous la forme :
h(x1−x2)2i±=h(x1−x2)2id∓χab,
le signe supérieur faisant référence au cas des bosons et le signe inférieur au cas des
fermions. On donnera l’expression de χab en fonction d’une intégrale de recouvrement
entre ψa(x)et ψb(x)que l’on explicitera. Commenter.

2TD2 : Particules identiques dans une boîte
Particules identiques et spectre équidistant
Soit h0le hamiltonien d’une particule ; on suppose que cet opérateur n’agit que
sur les variables orbitales et possède trois niveaux équidistants d’énergie 0,¯hω0et 2¯hω0.
Ces niveaux ne sont pas dégénérés dans l’espace orbital, mais dans l’espace total la dégé-
nérescence de chacun est égal à 2s+ 1 où sest le spin de la particule.
a. On considère un système de trois électrons indépendants dont le hamiltonien s’écrit :
H=h0(1) + h0(2) + h0(3)
Trouver les premiers niveaux d’énergie de Het leur degré de dégénérescence.
Donner l’expression des états quantiques physiques correspondant.
b. Même question pour un système de trois bosons identiques de spin 0.