L3 SM Universit´e de Tours Ann´ee 2014-2015
M´ecanique quantique
12/05/2015 dur´ee de l’examen: 2h
1. La cathode d’une cellule photo´electrique est ´eclair´ee avec une lumi`ere monochromatique, de longueur
d’onde λ= 546 nm (raie verte du mercure). Cet ´eclairement a pour effet l’apparition d’un courant
´electrique dans la cellule.
Pour une photocathode en potassium, dont l’´energie d’ionisation est 2 eV, calculer la longueur
d’onde du seuil photo´electrique et l’´energie cin´etique maximale des ´electrons que peut extraire
un tel rayonnement de la cathode. En d´eduire la vitesse maximale des ´electrons arrach´es.
Rappels:e≈ −1.6·1019 C, me9.1·1031 kg, ~1.05 ·1034 J·s, c3·108m/s.
2. Soient |ℓ, mles ´etats propres communs normalis´es des op´erateurs L2,Lz, et soit
|ψ=C3|0,0⟩−|1,0+ 2|2,1⟩ − i|2,1.
un ´etat normalis´e: ψ|ψ= 1.
Calculer la constante de normalisation C.
Quels sont les r´esultats possibles de la mesure de Lz? D´eterminer la probabilit´e de chaque
valeur admissible.
D´eterminer la valeur moyenne de L2dans l’´etat |ψ.
3. Consid´erons une particule en dimension 1 dans le potentiel suivant:
V(x) = 1
22x2pour x > 0,
+pour x < 0.
Tracer sch´ematiquement le potentiel en fonction de x. Le spectre de l’hamiltonien ˆ
Hcorre-
spondant est-il discret ou continu? eg´en´er´e ou non-d´eg´en´er´e? Argumenter votre r´eponse.
Ecrire l’´equation de Schroedinger stationnaire v´erifi´ee par la fonction d’ondes ψ(x), ainsi que
les conditions au bord qu’elle v´erifie.
En utilisant ce que vous savez sur l’oscillateur harmonique quantique, d´ecrire le spectre de ˆ
H
(les valeurs propres de l’´energie et les fonctions propres correspondantes). Argumenter.
4. Soit une particule dans un potentiel de l’oscillateur harmonique en dimension 1:
ˆ
H=p2
2m+2x2
2=~ωaa+1
2,
o`u a,anotent les op´erateurs de cr´eation-annihilation. A l’instant t= 0, la particule est caract´eris´e
par la mˆeme probabilit´e de mesure des ´energies Enet Em, avec n > m.
Donner un exemple d’´etat (c’est-`a-dire, la fonction d’onde ψ(x, t)) qui a cette propri´et´e.
Calculer la vitesse de la particule en fonction du temps t, o`u la vitesse est d´efinie par
v=dx
dt .
Discuter la d´ependance du r´esultat de met n.
Rappel:a=
2~xip
2~,a=
2~x+ip
2~.
5. L’objet de cet exercice est l’“oscillateur harmonique” d’un autre type. Il est caract´eris´e par
l’hamiltonien ˆ
H=~ω bb,
o`u b,bv´erifient des relations d’anti-commutation:
{b, b}= 1,{b, b}={b, b}= 0,
avec {X, Y }:= XY +Y X (“anti” correspond au signe “+” devant Y X).
V´erifier que b2= (b)2= 0.
Montrer que ˆ
H2=~ωˆ
H. En d´eduire le spectre de ˆ
H.
Soit |ϕ0un ´etat annihil´e par l’op´erateur bet soit |ϕ1:= b|ϕ0. Montrer que |ϕ0,|ϕ1sont
des vecteurs propres de ˆ
Het calculer les valeurs propres associ´ees.
Proposer une r´ealisation des op´erateurs b,ben termes de matrices de taille 2 ×2.
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