10. Additionner des ondes électromagnétiques

10. Additionner des ondes
électromagnétiques
10.1. Position du problème
Lorsque l’on superpose des ondes électromagnétiques, ce sont les amplitudes des
champs qui s’ajoutent. Il s’agit donc d’une addition de vecteurs. Pour étudier les dif-
férents effets physiques résultant de cette addition, on est amené à se poser plusieurs
questions :
– Quelle est la dépendance temporelle de la superposition ? En particulier, que se passe
t il lorsque l’on superpose deux ondes monochromatiques de fréquences diférentes ?
– Quelle est la polarisation du champ résultant ?
– Quelle est la dépendance spatiale ?
Pour chacune de ces questions, nous nous intéresserons au champ électrique et à l’éner-
gie. Nous considérerons l’addition de deux ondes planes progressives monochromatique
~
E1et ~ E2polarisées linéairement,
~
E1(~r, t) = E1cos ~ k1·~r −ω1t+ϕ1~u1(10.1)
~
E2(~r, t) = E2cos ~ k2·~r −ω2t+ϕ2~u2(10.2)
10.2. Battements entre deux ondes
Nous considérons l’effet d’une différence de fréquence entre les deux ondes. Nous sup-
posons la direction de propagation, et l’amplitude et polarisation identiques : la propa-
gation se fait selon ~uz, la polarisation est linéaire et alignée selon ~uxet les amplitudes
sont E1=E2=E0
~
E(~r, t) = E0cos hω1z
c−t+ϕ1i+ cos hω2z c−t+ϕ2i~ux(10.3)
La trigonometrie nous permet d’obtenir l’expression de ce champ sous la forme d’un
produit :
~
E(~r, t) = 2E0cos ω1+ω2
2c(z−ct) + ϕ1+ϕ2 2cos ω1−ω2 2c(z−ct) + ϕ1−ϕ2 2~ux
(10.4)
95

96 10. Addition d’ondes electromagnetiques
Cette onde est une fonction de (z−ct)c’est donc une onde plane progressive. Son champ
magnétique est alors :
~
B=1
c~uz×~
E. (10.5)
Le vecteur de Poynting est donc :
~
Π = ε0c
~
E
2~uz(10.6)
Si ω1=ω2=ω0les deux ondes interfèrent.
Dans le cas où les deux ondes ont la même pulsation, le champ électrique est :
~
E(~r, t) = 2E0cos ϕ1−ϕ2
2cos ω0 c(z−ct) + ϕ1+ϕ2 2~ux(10.7)
Le résultat est une onde de même pulsation que les deux ondes que l’on a ajoutées.
L’amplitude de cette onde est 2E0cos ϕ1−ϕ2
2,cette amplitude dépend de la différence
de phase ϕ1−ϕ2entre les deux ondes.
Déterminons le vecteur de Poynting associé à cette onde. Puisqu’il sagit d’une onde
plane progressive, le vecteur de Poynting est directement relié au champ électrique par :
Π = 4ε0cE2
0cos2ϕ1−ϕ2
2cos2ω0 c(z−ct) + ϕ1+ϕ2 2.(10.8)
Le vecteur de Poynting moyen (sur une période) est donc
hΠi= 4 cos2ϕ1−ϕ2
2ε0cE2
0
2.(10.9)
AInsi, alors que les champs électriques des deux ondes s’additionnent, cela n’est pas le
cas pour l’énergie transportée : il s’agit du phénomène d’interférences.
Nous distinguons 3 cas :
Les deux ondes sont en phase : ϕ1=ϕ2+ 2nπ
hΠi= 4ε0cE2
0
2.(10.10)
La puissance transportée est quatre fois la puissance d’une des ondes, c’est à dire le
double de la somme des puissances des deux ondes. On parle d’interférences construc-
tives.
Les deux ondes sont en opposition de phase ϕ1=−ϕ2+ 2nπ :
hΠi= 0.(10.11)
Les deux ondes se compensent, il s’agit d’interférences destructives.
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10.2. Battements entre deux ondes 97
Les deux ondes sont en quadrature ϕ1=ϕ2+π
2+nπ :
hΠi= 2ε0cE2
0
2.(10.12)
La puissance est bien égale à la somme des puissances des deux ondes. Cela est général,
quand deux ondes de même pulsation sont en quadrature de phase, leurs puissances
s’ajoutent (en valeur moyenne), même si leurs amplitudes diffèrent.
Si ω16=ω2on a un phénomène de battement.
Le champ électrique apparait comme une onde de pulsation ω1+ω2
2qui est modulée à
la pulsation |ω1−ω2|
2.Pour alleger les formules, nous suppeserons que l’origine des temps
est choisie à un instant où les deux ondes sont en phase soit (et nous supposerons de
surcroit que cette phase est nulle)
~
E(~r, t) = 2E0cos ω1+ω2
2c(z−ct)cos ω1−ω2 2c(z−ct)~ux(10.13)
On peut interpréter ces battements en considérant que la phase d’une onde dérive par
rapport à celle de l’autre onde en écrivant :
~
E(~r, t) = E0cos hω1z
c−ti+ cos hω1z c−t+φ2(z, t)i~ux(10.14)
φ2(z, t) = (ω2−ω1)z
c−t.(10.15)
Cette écriture n’a réellement de sens que lorsque la diférence de fréquence est trés petite.
Dans cette situation, le temps que la phase met pour évoluer 2π
|ω2−ω1|est beaucoup plus
grand que la période 2π
ω1de l’onde. On oscille alors périodiquement entre une situation
ou les deux ondes sont en phase et où elles interfèrent constructivement à une situation
ou elles sont en opposition de phase et où elles interfèrent destructivement.
Pour déterminer le vecteur de Poynting, il est préférable de ne pas factoriser :
Π = ε0c
~
E2=ε0cE2
0cos hω1
c(z−ct)i+ cos hω2 c(z−ct)i2(10.16)
=ε0cE2
0cos2hω1
c(z−ct)i+ cos2hω2 c(z−ct)i+ cos ω1+ω2 2c(z−ct)+ω1−ω2 2c(z−ct)
(10.17)
Le vecteur de Poynting moyen est
hΠi= 2ε0cE2
0.(10.18)
Lorsque l’on superpose deux ondes de pulsations différentes, leurs puissances moyennes
s’ajoutent.
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98 10. Addition d’ondes electromagnetiques
On peut être plus précis et discuter de ce qui se passe en fonction de la durée pendant
laquelle on cherche à mesurer la puissance de l’onde. En effet, si les deux ondes ont
presque la même pulsation ω0,l’un des termes obtenus dans le vecteur de Poynting
oscille avec un période 2π
|ω2−ω1|.Par conséquent, si l’on réalise une mesure sur un temps
beaucoup plus court que cette période (mais toujours beaucoup plus long que la période
de l’onde), le terme d’interférence ne se moyenne pas à zéro.
10.3. Polarisation
On suppose maintenant les pulsations des deux ondes identiques, de même que leur
direction et sens de propagation.
10.3.1. Supperposition de deux polarisations linéaires
Les ondes sont polarisées linéairement et les polarisations sont orthogonales.
~
E1(~r, t) = E1cos (kz −ωt +ϕ1)~ux(10.19)
~
E2(~r, t) = E2cos (kz −ωt +ϕ2)~uy.(10.20)
Comme dans le premier cas, la somme de ces deux ondes ne dépend que de (z−ct).Il
s’agit par conséquent d’une onde plane progressive et il suffit d’étudier l’évolution du
champ élecrique en un point.
De manière générale, la polarisation obtenue est une polarisation elliptique contenue
dans le rectangle défini par −E1< x < E1et −E2< y < E2. La nature exacte de la
polarisation dépend de la phase relative entre les deux ondes
Ondes en phase : ϕ2−ϕ1= 0 :Les deux ondes sont en phase, le champ électrique
s’écrit : ~
E1(~r, t) = cos (kz −ωt +ϕ1) [E1~ux+E2~uy](10.21)
Les coordonnées du champ électrique vérifie l’équation
Ex
E1−Ey E2
= 0 (10.22)
Le champ électrique décrit un segment de droite : la polarisation est linéaire, elle est
selon la première diagonale du rectangle.
Ondes en opposition de phase ϕ2−ϕ1=π:Les deux ondes sont en opposition de
phase, le champ électrique s’écrit :
~
E1(~r, t) = cos (kz −ωt +ϕ1) [E1~ux−E2~uy](10.23)
Les coordonnées du champ électrique vérifie l’équation
Ex
E1
+Ey
E2
= 0 (10.24)
Le champ électrique décrit un segment de droite : la polarisation est linéaire elle est
selon la seconde diagonale du rectangle.
J-M Courty UPMC - L3 - Physique - PGA Notes de cours version 0.3

10.3. Polarisation 99
Ondes en quadrature ϕ2−ϕ1=π/2Les deux ondes sont en quadrature, le champ
électrique s’écrit :
~
E1(~r, t) = E1cos (kz −ωt +ϕ1)~ux+E2cos kz −ωt +ϕ1+π
2~uy(10.25)
=E1cos (kz −ωt +ϕ1)~ux−E2sin (kz −ωt +ϕ1)~uy(10.26)
Le champ électrique décrit une ellipse dont les axes principaux sont les axes Ox et Oy .
L’équation vérifiée par les coordonnées du champ électrique est
Ex
E12
+Ey
E22
= 1 (10.27)
La composante du champ selon Oy est en retard par rapport à cellequi est selon Ox,
autrement dit l’ellipse est parcourue selon le sens trigonométrique. La polarisation est
elliptique gauche. Si les amplitudes E1et E2sont égales, la polarisation est circulaire.
~
E1(~r, t) = E0(cos (kz −ωt +ϕ1)~ux−sin (kz −ωt +ϕ1)~uy)(10.28)
Le module du champ élelectrique reste constant au cours du temps. Le champ electrique
parcours un cercle :
E2
x+E2 y=E2 0(10.29)
Ondes en quadrature ϕ2−ϕ1=−π/2
Les deux ondes sont en quadrature, le champ électrique s’écrit :
~
E1(~r, t) = E1cos (kz −ωt +ϕ1)~ux+E2cos kz −ωt +ϕ1+π
2~uy(10.30)
=E1cos (kz −ωt +ϕ1)~ux+E2sin (kz −ωt +ϕ1)~uy(10.31)
Le champ électrique décrit une ellipse dont les axes principaux sont les axes Ox et Oy .
L’équation vérifiée par les coordonnées du champ électrique est
Ex
E12
+Ey
E22
= 1 (10.32)
C’est la même équation que dans le cas qui précède, mais l’ellipse est parcourue dans
l’autre sens. La composante du champ selon Oy est en avance par rapport à cellequi est
selon Ox, autrement dit l’ellipse est parcourue selon le sens horaire. La polarisation est
elliptique droite. Si les amplitudes E1et E2sont égales, la polarisation est circulaire.
Energie
Nous avons une onde plane progressive, le vecteur de Poynting est donc
Π = ε0c
~
E1+~ E2
2(10.33)
=ε0c
~
E1
2+
~
E1
2+ 2 ~
E1·~ E2(10.34)
Notes de cours version 0.3 UPMC - L3 - Physique - PGA J-M Courty