10. Additionner des ondes électromagnétiques

10. Additionner des ondes
électromagnétiques
10.1. Position du problème
Lorsque l’on superpose des ondes électromagnétiques, ce sont les amplitudes des
champs qui s’ajoutent. Il s’agit donc d’une addition de vecteurs. Pour étudier les différents effets physiques résultant de cette addition, on est amené à se poser plusieurs
questions :
– Quelle est la dépendance temporelle de la superposition ? En particulier, que se passe
t il lorsque l’on superpose deux ondes monochromatiques de fréquences diférentes ?
– Quelle est la polarisation du champ résultant ?
– Quelle est la dépendance spatiale ?
Pour chacune de ces questions, nous nous intéresserons au champ électrique et à l’énergie. Nous considérerons l’addition de deux ondes planes progressives monochromatique
~ 1 et E
~ 2 polarisées linéairement,
E
~ 1 (~r, t) = E1 cos ~k1 · ~r − ω1 t + ϕ1 ~u1
E
~ 2 (~r, t) = E2 cos ~k2 · ~r − ω2 t + ϕ2 ~u2
E
(10.1)
(10.2)
10.2. Battements entre deux ondes
Nous considérons l’effet d’une différence de fréquence entre les deux ondes. Nous supposons la direction de propagation, et l’amplitude et polarisation identiques : la propagation se fait selon ~uz , la polarisation est linéaire et alignée selon ~ux et les amplitudes
sont E1 = E2 = E0
i
h i
h ~ (~r, t) = E0 cos ω1 z − t + ϕ1 + cos ω2 z − t + ϕ2 ~ux
E
c
c
(10.3)
La trigonometrie nous permet d’obtenir l’expression de ce champ sous la forme d’un
produit :
ϕ1 + ϕ2
ω1 − ω2
ϕ1 − ϕ 2
ω1 + ω2
~
(z − ct) +
cos
(z − ct) +
~ux
E (~r, t) = 2E0 cos
2c
2
2c
2
(10.4)
95
96
10. Addition d’ondes electromagnetiques
Cette onde est une fonction de (z − ct) c’est donc une onde plane progressive. Son champ
magnétique est alors :
~ = 1 ~uz × E.
~
B
(10.5)
c
Le vecteur de Poynting est donc :
2
~ = ε0 c E
~ ~uz
(10.6)
Π
Si ω1 = ω2 = ω0 les deux ondes interfèrent.
Dans le cas où les deux ondes ont la même pulsation, le champ électrique est :
ω0
ϕ1 + ϕ2
~ (~r, t) = 2E0 cos ϕ1 − ϕ2
cos
~ux
(10.7)
E
(z − ct) +
2
c
2
Le résultat est une onde de même pulsation que les deux ondes que l’on a ajoutées.
2
L’amplitude de cette onde est 2E0 cos ϕ1 −ϕ
, cette amplitude dépend de la différence
2
de phase ϕ1 − ϕ2 entre les deux ondes.
Déterminons le vecteur de Poynting associé à cette onde. Puisqu’il sagit d’une onde
plane progressive, le vecteur de Poynting est directement relié au champ électrique par :
ϕ1 + ϕ2
2
2 ϕ1 − ϕ2
2 ω0
Π = 4ε0 cE0 cos
cos
(z − ct) +
.
(10.8)
2
c
2
Le vecteur de Poynting moyen (sur une période) est donc
ε0 cE02
2 ϕ1 − ϕ2
hΠi = 4 cos
.
2
2
(10.9)
AInsi, alors que les champs électriques des deux ondes s’additionnent, cela n’est pas le
cas pour l’énergie transportée : il s’agit du phénomène d’interférences.
Nous distinguons 3 cas :
Les deux ondes sont en phase : ϕ1 = ϕ2 + 2nπ
hΠi = 4
ε0 cE02
.
2
(10.10)
La puissance transportée est quatre fois la puissance d’une des ondes, c’est à dire le
double de la somme des puissances des deux ondes. On parle d’interférences constructives.
Les deux ondes sont en opposition de phase ϕ1 = −ϕ2 + 2nπ :
hΠi = 0.
(10.11)
Les deux ondes se compensent, il s’agit d’interférences destructives.
J-M Courty
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10.2. Battements entre deux ondes
97
Les deux ondes sont en quadrature ϕ1 = ϕ2 +
hΠi = 2
π
2
+ nπ :
ε0 cE02
.
2
(10.12)
La puissance est bien égale à la somme des puissances des deux ondes. Cela est général,
quand deux ondes de même pulsation sont en quadrature de phase, leurs puissances
s’ajoutent (en valeur moyenne), même si leurs amplitudes diffèrent.
Si ω1 6= ω2 on a un phénomène de battement.
2
qui est modulée à
Le champ électrique apparait comme une onde de pulsation ω1 +ω
2
|ω1 −ω2 |
la pulsation
. Pour alleger les formules, nous suppeserons que l’origine des temps
2
est choisie à un instant où les deux ondes sont en phase soit (et nous supposerons de
surcroit que cette phase est nulle)
ω1 + ω2
ω1 − ω2
~
E (~r, t) = 2E0 cos
(z − ct) cos
(z − ct) ~ux
(10.13)
2c
2c
On peut interpréter ces battements en considérant que la phase d’une onde dérive par
rapport à celle de l’autre onde en écrivant :
h i
h i
~ (~r, t) = E0 cos ω1 z − t + cos ω1 z − t + φ2 (z, t) ~ux
E
(10.14)
c
z c −t .
(10.15)
φ2 (z, t) = (ω2 − ω1 )
c
Cette écriture n’a réellement de sens que lorsque la diférence de fréquence
est trés petite.
2π
Dans cette situation, le temps que la phase met pour évoluer |ω2 −ω1 | est beaucoup plus
grand que la période ω2π1 de l’onde. On oscille alors périodiquement entre une situation
ou les deux ondes sont en phase et où elles interfèrent constructivement à une situation
ou elles sont en opposition de phase et où elles interfèrent destructivement.
Pour déterminer le vecteur de Poynting, il est préférable de ne pas factoriser :
i
hω
i2
hω
~ 2
2
1
Π = ε0 c E
(z − ct) + cos
(z − ct)
(10.16)
= ε0 cE02 cos
c
c
h
i
h
i
ω1 + ω2
ω1 − ω2
2
2 ω1
2 ω2
= ε0 cE0 cos
(z − ct) + cos
(z − ct) + cos
(z − ct) +
(z − ct)
c
c
2c
2c
(10.17)
Le vecteur de Poynting moyen est
hΠi = 2ε0 cE02 .
(10.18)
Lorsque l’on superpose deux ondes de pulsations différentes, leurs puissances moyennes
s’ajoutent.
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J-M Courty
98
10. Addition d’ondes electromagnetiques
On peut être plus précis et discuter de ce qui se passe en fonction de la durée pendant
laquelle on cherche à mesurer la puissance de l’onde. En effet, si les deux ondes ont
presque la même pulsation ω0 , l’un des termes obtenus dans le vecteur de Poynting
oscille avec un période |ω22π
−ω1 | . Par conséquent, si l’on réalise une mesure sur un temps
beaucoup plus court que cette période (mais toujours beaucoup plus long que la période
de l’onde), le terme d’interférence ne se moyenne pas à zéro.
10.3. Polarisation
On suppose maintenant les pulsations des deux ondes identiques, de même que leur
direction et sens de propagation.
10.3.1. Supperposition de deux polarisations linéaires
Les ondes sont polarisées linéairement et les polarisations sont orthogonales.
~ 1 (~r, t) = E1 cos (kz − ωt + ϕ1 ) ~ux
E
(10.19)
~ 2 (~r, t) = E2 cos (kz − ωt + ϕ2 ) ~uy .
E
(10.20)
Comme dans le premier cas, la somme de ces deux ondes ne dépend que de (z − ct) . Il
s’agit par conséquent d’une onde plane progressive et il suffit d’étudier l’évolution du
champ élecrique en un point.
De manière générale, la polarisation obtenue est une polarisation elliptique contenue
dans le rectangle défini par −E1 < x < E1 et −E2 < y < E2 . La nature exacte de la
polarisation dépend de la phase relative entre les deux ondes
Ondes en phase : ϕ2 − ϕ1 = 0 : Les deux ondes sont en phase, le champ électrique
s’écrit :
~ 1 (~r, t) = cos (kz − ωt + ϕ1 ) [E1 ~ux + E2 ~uy ]
E
(10.21)
Les coordonnées du champ électrique vérifie l’équation
Ex Ey
−
=0
(10.22)
E1
E2
Le champ électrique décrit un segment de droite : la polarisation est linéaire, elle est
selon la première diagonale du rectangle.
Ondes en opposition de phase ϕ2 − ϕ1 = π : Les deux ondes sont en opposition de
phase, le champ électrique s’écrit :
~ 1 (~r, t) = cos (kz − ωt + ϕ1 ) [E1 ~ux − E2 ~uy ]
E
(10.23)
Les coordonnées du champ électrique vérifie l’équation
Ex Ey
+
=0
(10.24)
E1
E2
Le champ électrique décrit un segment de droite : la polarisation est linéaire elle est
selon la seconde diagonale du rectangle.
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10.3. Polarisation
Ondes en quadrature ϕ2 − ϕ1 = π/2
électrique s’écrit :
99
Les deux ondes sont en quadrature, le champ
π
~
E1 (~r, t) = E1 cos (kz − ωt + ϕ1 ) ~ux + E2 cos kz − ωt + ϕ1 +
~uy
2
= E1 cos (kz − ωt + ϕ1 ) ~ux − E2 sin (kz − ωt + ϕ1 ) ~uy
(10.25)
(10.26)
Le champ électrique décrit une ellipse dont les axes principaux sont les axes Ox et Oy .
L’équation vérifiée par les coordonnées du champ électrique est
2 2
Ey
Ex
+
=1
(10.27)
E1
E2
La composante du champ selon Oy est en retard par rapport à cellequi est selon Ox,
autrement dit l’ellipse est parcourue selon le sens trigonométrique. La polarisation est
elliptique gauche. Si les amplitudes E1 et E2 sont égales, la polarisation est circulaire.
~ 1 (~r, t) = E0 (cos (kz − ωt + ϕ1 ) ~ux − sin (kz − ωt + ϕ1 ) ~uy )
E
(10.28)
Le module du champ élelectrique reste constant au cours du temps. Le champ electrique
parcours un cercle :
Ex2 + Ey2 = E02
(10.29)
Ondes en quadrature ϕ2 − ϕ1 = −π/2
Les deux ondes sont en quadrature, le champ électrique s’écrit :
~ 1 (~r, t) = E1 cos (kz − ωt + ϕ1 ) ~ux + E2 cos kz − ωt + ϕ1 + π ~uy
E
2
= E1 cos (kz − ωt + ϕ1 ) ~ux + E2 sin (kz − ωt + ϕ1 ) ~uy
(10.30)
(10.31)
Le champ électrique décrit une ellipse dont les axes principaux sont les axes Ox et Oy .
L’équation vérifiée par les coordonnées du champ électrique est
2 2
Ey
Ex
+
=1
(10.32)
E1
E2
C’est la même équation que dans le cas qui précède, mais l’ellipse est parcourue dans
l’autre sens. La composante du champ selon Oy est en avance par rapport à cellequi est
selon Ox, autrement dit l’ellipse est parcourue selon le sens horaire. La polarisation est
elliptique droite. Si les amplitudes E1 et E2 sont égales, la polarisation est circulaire.
Energie
Nous avons une onde plane progressive, le vecteur de Poynting est donc
2
~
~
Π = ε 0 c E1 + E2 ~ 2 ~ 2
~
~
+
E
+
2
E
·
E
= ε0 c E
1
2
1
1
Notes de cours version 0.3 UPMC - L3 - Physique - PGA
(10.33)
(10.34)
J-M Courty
100
10. Addition d’ondes electromagnetiques
Puisque les deux polarisations sont orthogonales, le terme croisé est nul. Il n’y a pas
d’interférence et l’intensité du faisceau est la somme des intensités des deux faisceaux
incidents. Ce résultat ne dépent pas de la phase relative des deux faisceaux.
10.3.2. Polarisation circulaire
Somme de deux ondes circulaires
Nous considérons maintenant deux polarisations circulaires de même amplitude, mais
de sens inverse. Pour simplifier les calculs, nous nous plaçons à l’origine et nous prenons
la phase de la première onde égale à zero soit :
~ 1 (t) = E0 [cos (ωt) ~ux + sin (ωt) ~uy ]
E
~ 2 (t) = E0 [cos (ωt + ϕ) ~ux − sin (ωt + ϕ) ~uy ] .
E
(10.35)
(10.36)
La somme de ces deux polarisations est :
~ (t) = E0 ([cos (ωt) + cos (ωt + ϕ)] ~ux + [sin (ωt) − sin (ωt + ϕ)] ~uy )
E
h
ϕ
ϕ
ϕ i
ϕ
cos ~ux − cos ωt +
sin ~uy
= 2E0 cos ωt +
2
2
2
2
ϕ
ϕ i
ϕ h
cos ~ux − sin ~uy
= 2E0 cos ωt +
2
2
2
(10.37)
(10.38)
(10.39)
La somme de deux polarisations circulaires de sens opposé et de même pulsation est une
polarisation linéaire dont l’orientation dépend du déphasage entre les deux ondes.
Notation complexe
La circulaire gauche est
~ g (t) = E0 [cos (kz − ωt) ~ux − sin (kz − ωt) ~uy ]
E
h
i
= E0 < ei(kz−ωt) ~ux + iei(kz−ωt) ~uy .
(10.40)
E~g (t) = E0 ei(kz−ωt) (~ux + i ~uy )
(10.42)
E~d (t) = E0 (~ux − i ~uy )
(10.43)
(10.41)
Par conséquent :
La circulaire droite est
10.3.3. Polariseurs
Polariseur parfait
Un polariseur parfait projette le champ électrique de l’onde sur une direction particulière ~n appelée ”axe du polariseur”. L’onde en sortie est
~ 0 (t) = E
~ 0 (t) · ~n ~n
E
(10.44)
J-M Courty
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10.4. Interférences
101
Dans le cas ou la polarisation incidente est linéaire et fait un angle θ avec l’axe du
polariseur, l’amplitude du champ électrique est multipliée par le facteur cos θ et donc
l’intensité est multiplié par le caré de ce cosinus. C’est la loi de Malus.
I1 = I cos2 θ
(10.45)
La partie non transmise de la lumière est absorbée par le polariseur. Si l’axe du polariseur
est orthogonal avec la polarisation incidente, aucune lumière n’est transmise.
Séparateur de polarisation
Un séparateur de polarisation est un dispositif optique qui sépare la lumière incidente
en deux composantes de polarisation orthogonales. Si l’on envoie une polarisation linéaire
sur un tel dispositif, on peut appliquer la loi de Malus à chacune des sorties, les intensités
de ces deux sorties sont alors :
I1 = I0 cos2 θ
(10.46)
I2 = I0 sin2 θ
(10.47)
la somme des deux intensités est bien l’intensité initiale, autrement dit le séparateur de
polarisation répartit la lumière entre les deux sorties.
Polariseurs imparfaits
La reflexion de la lumière sur un dioptre ou la diffusion par des molécules polarise en
partie la lumière.
10.3.4. Lumière naturelle
Une lumière parfaitement monochromatique est polarisée. Par contre, dès que l’on
ajoute des ondes de fréquence différentes, la situation est analogue à celle des battements :
l’état de polarisation évolue au cours du temps et si on regarde sur une durée longue
devant ce temps d’évolution, on voit une lumière qui peut être ”non polarisée”.
La lumière des sources à incandescence ou à décharge, de même que la lumière solaire
ne sont pas polarisées.
La lumière diffusée par le ciel est polarisée. La lumière d’un laser est en général polarisée linéairement.
10.4. Interférences
10.4.1. Superposition de deux ondes
Nous sommes maintenant parés pour étudier la supperposition de deux ondes planes
~ 1 (~r, t) = E1 cos ~k1 · ~r − ω1 t + ϕ1 ~u1
E
(10.48)
~ 2 (~r, t) = E2 cos ~k2 · ~r − ω2 t + ϕ2 ~u2
E
(10.49)
Notes de cours version 0.3 UPMC - L3 - Physique - PGA
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102
10. Addition d’ondes electromagnetiques
Nous savons que :
– si les deux ondes ont des fréquences différentes, il n’y a pas d’interférences (on a
éventuellement des battements).
– si les deux ondes ont des polarisations orthogonales, leurs intensités s’ajoutent et il
n’y a pas d’interférences.
Nous supposerons donc dans la suite que les deux ondes ont même fréquence et même
polarisation. Par contre, nous ne supposerons pas qu’elles sont planes et nous écrirons
~ 1 (~r, t) = E1 cos (ϕ1 (~r) − ωt) ~u
E
~ 2 (~r, t) = E2 cos (ϕ2 (~r) − ωt) ~u
E
(10.50)
(10.51)
ϕ1 (~r) et ϕ2 (~r) sont les phases de chacune des ondes. Pour une onde plane
ϕi (~r) = ~ki · ~r
(10.52)
ϕi (~r) = kri
(10.53)
Pour une onde sphérique
où ri est la distance du point consiréré à la source de l’onde i.
10.4.2. Amplitude du champ électrique
Pour ce calcul il est beaucoup plus simple de travailler en notation complexe.
E~ (~r, t) = E1 (~r) ei(ϕ1 (~r)−ωt) ~u + E2 (~r) ei(ϕ2 (~r)−ωt) ~u
= E1 (~r) eiϕ1 (~r) + E2 (~r) eiϕ2 (~r) e−iωt .~u
(10.54)
(10.55)
Plutot que de s’embarasser en permanence avec les facteurs numériques du vecteur de
Poynting moyen, on utilise l’intensité du faisceau lumineux défini comme la moyenne
temporelle du carré du champ électrique :
2
1 iϕ1 (~
r)
iϕ2 (~
r) I = E1 (~r) e
~u + E2 (~r) e
(10.56)
2
2
1
(10.57)
=
|E1 (~r)|2 + |E2 (~r)|2 + 2< E1 (~r) E2 (~r) ei(ϕ1 (~r)−ϕ2 (~r))
2
p
= I1 + I2 + 2 I1 I2 cos (ϕ1 (~r) − ϕ2 (~r))
(10.58)
En chaque point de l’espace on retrouve un résultat analogue à ce que l’on avait trouvé
pour deux ondes planes de même direction et de même pulsation. L’intensité n’est pas la
somme des intensités des deux ondes : il y a des interférences. Le fait que ces interférences
soit constructives ou destructives dépend de la différence de phase des deux ondes. Cette
différence de phase dépend de la position du point étudié.
Dans le cas ou les amplitudes des deux ondes sont les mêmes, l’intensité est
I = 2I0 (1 + cos (ϕ1 (~r) − ϕ2 (~r)))
2
= 4I0 cos (ϕ1 (~r) − ϕ2 (~r))
J-M Courty
(10.59)
(10.60)
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10.4. Interférences
103
Si les amplitudes sont différentes le résultat s’écrit
I = (I1 + I2 ) (1 + C cos (ϕ1 (~r) − ϕ2 (~r)))
√
2 I1 I2
C=
I1 + I2
(10.61)
(10.62)
Il n’y a pas d’interférences destructrices totales. Le coefficient C est appelé contraste ou
visibilité des interférences.
10.4.3. Propriétés générales des interférences entre deux ondes
Reprenons l’expression générale que nous avons obtenue :
I = (I1 + I2 ) (1 + C cos (ϕ1 (~r) − ϕ2 (~r)))
√
2 I1 I2
C=
I1 + I2
(10.63)
(10.64)
Le phénomène d’interférence est associé à la différence ϕ1 (~r) − ϕ2 (~r) entre les phases
des deux ondes. Quelle que soit l’amplitude des deux ondes, c’est cette différence de
phase qui détermine la position des maxima et des minima d’intensité. Toute étude de
l’interférence entre deux ondes commence donc impérativement par la détermination de
la différence de phase. Il est alors souvent très utile de déterminer la position des maxima
et minima d’intensité.
L’amplitude des ondes détermine le contraste des interférences. Il détermine l’enveloppe des oscillation spatiale de l’intensité lumineuse due à la différence de phase.
10.4.4. Addition d’ondes planes
Nous analysons les interférences de deux ondes planes de même amplitude dont les
direction de propagation font un angle 2θ.
Surfaces d’intensité maximale
Nous considérons une situation ou les deux vecteurs d’ondes sont dans le plan yOz
−
→
k 1 = k (sin θ ~uy + cos θ ~uz )
→
−
k 2 = k (− sin θ ~uy + cos θ ~uz )
(10.65)
(10.66)
On en déduit les phases des deux ondes
ϕ1 (x, y, z) = k sin θ y + k cos θ z + φ1
(10.67)
ϕ2 (x, y, z) = −k sin θ y + k cos θ z + φ2
(10.68)
où φ1 et φ2 sont les phases des deux ondes à l’origine. L’intensité est
ϕ1 − ϕ2
2
I (x, y, z) = 4I1 cos ky sin θ +
2
Notes de cours version 0.3 UPMC - L3 - Physique - PGA
J-M Courty
104
10. Addition d’ondes electromagnetiques
Les surfaces d’intensité maximale (appelées franges brillantes) sont les surfaces pour
lesquelles l’argument du cosinus est égal à mπ où m est entier c’est à dire
λ
ϕ2 − ϕ1
y=
m+
2 sin θ
2π
→
−
→
−
Ce sont des plans parallèles à xOz, c’est à dire au plan bissecteur des vecteurs k 1 et k 2 .
Ces plans sont équidistants : la distance i entre ces plans correspond à un accroissement
de m égal à 1, soit
λ
i=
2 sin θ
Lorsqu’on introduit un écran parallèle à xOy par exemple, on observe donc une alternance de franges linéaires brillantes et de franges linéaires sombres. La distance i entre
franges brillantes (ou sombres) est appelée ”interfrange”. i peut être beaucoup plus grand
que λ, et donc facilement observable à l’oeil, si θ est petit. Par exemple : ∆y ≈ 1mm si
θ ≈ 10−3 rd et λ = 1µm.
De telles interférences sont utilisées pour impressionner des surfaces sensibles afin de
fabriquer des réseaux. Ce type d’interférence est aussi utilisé dans les techniques de vélocimétries. Une particule en mouvement dans une zone ou interfèrent deux ondes planes
passe successivement dans des maxima et minima d’intensité lumineuse. Une mesure
de la fréquence du clignottement de la lumière qu’elle diffuse permet de déterminer sa
vitesse.
10.4.5. Addition d’ondes sphériques
Cette situation correspond à deux antennes mises côte à côte sur l’axe Oz et distantes
de a. Ces dipôles sont pacés de part et d’autre de l’origine aux points ~a1 = − a2 ~uz et
~a2 = a2 ~uz . On ne prejugera pas de l’orientation de ces antennes, la seule hypothèse
et que leurs directions sont parallèles. On indiquera par α l’angle entre la direction
d’observation et l’axe de l’antenne (qui ne sera pas confondu avec l’angle θ que fait le
rayon vecteur ~r avec l’axe Oz) . Les champs électriques de ces deux antennes sont :
2
i(kr1 −ωt)
~ 1 = − ω p1 sin α1 e
E
~uα1
4πε0 c2
r1
2
i(kr2 −ωt)
~ 2 = − ω p2 sin α2 e
E
~uα2
4πε0 c2
r2
(10.69)
(10.70)
avec
ri = |~r − ~ai |
(10.71)
Lorsque l’on se trouve loin des sources, on peut trouver une approximation de ri :
r
r
a 2
a2
2
2
= x2 + y 2 + z 2 + az +
(10.72)
r1 = x + y + z +
2
4
r
az
a2
az
=r 1+ 2 + 2 'r+
+ ..
(10.73)
r
4r
2r
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10.4. Interférences
105
Quels facteurs diffèrent entre les deux ondes ?
– L’amplitude qui décroit en 1r . Par conséquent la différence des amplitudes décroit
en r12 . L’amplitude intervient uniquement dans le contraste des interférences, elle
ne joue aucun rôle dans leur existance. Dans notre cas, le contraste est quasiment
1 des que l’on est loin des sources.
– La polarisation. L’angle entre les deux polarisations est le même que celui qui existe
entre les deux rayons vecteurs, cet angle tend vers zéro des que l’on s’éloigne.
– On notera que le facteur sin α associé au diagramme de rayonnement est le même
pour les deux ondes des que l’on est assez loin.
– La différence de phase qui intervient dans les interférences
ϕ1 (~r) − ϕ2 (~r) = (kr1 + φ1 ) − (kr2 + φ2 )
ay
'
+ (φ1 − φ2 ) = a cos θ (~r, ~uz )
r
(10.74)
(10.75)
cette différence de phase ne tend pas vers zero ou vers une constante quand on
s’éloigne de l’origine. L’intensité est donc
k (r1 − r2 ) φ1 − φ2
I (~r) = I0 (~r) cos2
+
(10.76)
2
2
ω4
1
|p1 |2 sin2 α (~r, p~0 )
(10.77)
I0 (~r) = 2
r 32π 2 ε20 c4
Lieux des interférences constructrices
Les surfaces d’intensité maximales sont les lieux où les ondes provenant des deux
sources arrivent en phase.
Fig. 10.1.: Deux sources de rayonnement
sont placées côte à côte. Elles émettent en
phase un rayonnement monochromatique.
Les deux familles de cercles concentriques
représentées sur le schéma correspondent
chacun à l’ensemble des points distant de
chacune des sources d’un nombre entier de
longueurs d’ondes. Ces points oscillent donc
tous en phase. A l’intersection de ces familles de cercles, les interférences sont donc
constructives. Tous ces points se trouvent
sur une famille d’hyperboles dont les foyers
sont les deux sources.
Dans l’espace, les interférences sont constructives quand les deux ondes arrivent en
phase, c’est à dire lorsque la différence des distances r1 et r2 qui séparent le point
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106
10. Addition d’ondes electromagnetiques
d’observation de chacune des deux sources est un multiple de la longueur d’onde
|r1 − r2 | = pλ
où p est un entier relatif. Ces surfaces sont des hyperboloïdes de révolution.
Fig. 10.2.: Les points de l’espace où
les interférences sont constructives
sont des hyperboloides de révolution dont les foyer sont les deux
points sources
Pour un point situé sur la droite reliant les deux sources (abscisse z, et se trouvant
entre les sources la différence des distance qui le sépare de chacune des sources est :
a a |r1 − r2 | = z + − z − = 2z
2
2
les nappes d’intensité maximale coupent donc le segment reliant les deux sources aux
points d’ordonnée
mλ
(φ1 − φ2 )
z=
+λ
.
2
4π
Surfaces d’intensité maximale
Lorsque l’on n’est pas très éloigné des sources, la différence d’intensité entre les champs
provenant des deux sources peut être notable. Le contraste des interférences n’est donc
pas l’unité. Toutefois, les points où les interférences sont constructives correspondent
aux "crêtes" d’intensité : voir la figure suivante
Diagramme de rayonnement A grande distance on peut faire un développement
az
+ ..
2r
(10.78)
az
= a cos θ
r
(10.79)
r1 ' r +
par conséquent
r1 − r2 =
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10.4. Interférences
107
Fig. 10.3.: Les zones de même teinte correspondent aux points pour lesquels le
module du champ électrique est compris
entre deux valeurs. La zone est d’autant
plus sombre que le champ électrique
est intense. Nous pouvons constater que
les "crêtes" de la surface ou l’altitude
correspond à l’amplitude du champ (et
dont nous voyons ici les courbes de niveau) sont les hyperboles correspondant
aux interférences constructives.
Soit une intensité
I (r, θ) = I0 (~r) cos
2
π
φ −φ
ka
1
2
sin
−θ +
2
2
2
.
(10.80)
A grande distance, comme attendu pour raisons énergétiques, l’intensité décroit en 1r .
A chaque hyperboloide correspond un lobe d’émission.
Fig. 10.4.: Diagramme de rayonnement en trois dimension de deux dipôles verticaux placés côte à côte.
Les maxima des lobes correspondent aux angles θm qui vérifient
π
φ − φ πa
1
2
sin
−θ +
= mπ
λ
2
2
ou encore
π
λ φ1 − φ2 λ
sin
−θ =m −
2
a
2π a
Pour les lobes dont les directions sont proches du plan équatorial (θ proche de π2 ) l’écart
endre deux lobes est
λ
∆θ =
a
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108
10. Addition d’ondes electromagnetiques
A grande distance, on peut chercher à déterminer les zones pour lesquelles le champ
électrique (ou le vecteur de Poynting) est supérieur à une valeur donnée. Ces zones sont
homothétique du diagramme de rayonnement.
Fig. 10.5.: En grisé : représentation
à grande échelle des zones pour lesquelles le champ électrique est supérieur à une valeur donnée. En
trait plein : diagramme de rayonnement du système dilaté. Ce diagramme de rayonnement correspond à l’ensemble des points qui
reçoivent une même puissance de
l’antenne composite.
Image sur un écran
Après avoir observé la position des interférences dans l’espace, nous pouvons essayer
de les oserver sur un écran.
Plan perpendiculaire à l’axe Ox. L’écran est le plan perpendiculaire à l’axe Ox situé
à une distance D de l’origine. Nous considérons les points proches de l’axe 0x (y ,z << r
). r ≈ D, distance au plan d’observation. que fait la droite qui joint l’origine au point
z
d’observation avec le plan équatorial ( plan xOy ) est π2 − θ = D
. Les franges brillantes
sont alors données par
λD
ϕ 2 − ϕ1
z=
m+
a
2π
Elles sont, comme dans le cas des ondes planes, situées dans des plans parallèles au
plan médiateur de O1 O2 . L’interfrange i est la séparation entre deux plans d’intensité
maximale m et m + 1, soit i = λD
a .
Plan perpendicualire à l’axe Oz
1
r
≈
1
z
−
x2 +y 2
.
2z 3
x,y << z = D. Dans ce cas, r = z
1+
x2 +y 2
,
z2
donc
D’où
x2 + y 2
r1 − r2 ≈ a 1 −
2z 2
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q
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10.4. Interférences
109
Les franges brillantes ont pour équation
λ
x2 + y 2
=1−
2
2z
a
ϕ2 − ϕ1
m+
2π
Dans un plan parallèle à xOz situé à une distance y = D de O,p
les franges brillantes sont
des cercles dont le centre est sur l’axe O1 O2 et de rayon R = x2 + y 2 donné par
s ϕ2 − ϕ1
λ
m+
R=D 2 1−
a
2π
On obtient des ”anneaux ” alternativement brillants et sombres. La dernière formule
montre que ces anneaux ne sont pas équidistants : Les anneaux se resserrent lorsque le
rayon augmente.
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