1re B et C A2 Mouvement dans le champ de pesanteur 1 A2 Mouvement dans le champ de pesanteur a) Système étudié Un projectile, de masse m est lancé dans le champ de pesanteur g avec une vitesse initiale de lancement v 0 . Ce vecteur fait avec l'horizontale un angle aigu appelé angle de tir. Dans la suite on n'étudiera que des mouvements de vitesse initiale faible. Les dimensions de la trajectoire restent alors négligeables par rapport au rayon de la Terre ce qui permet de considérer le champ de pesanteur comme uniforme : Caractéristiques du champ de pesanteur uniforme g : direction: verticale sens: vers le bas norme g = 9,8 m/s2 = constant De plus, si la vitesse du projectile reste faible on pourra négliger le frottement de l'air par rapport au poids. Le repère terrestre (O, i , j , k ) est supposé galiléen. L’origine O ne coïncide pas forcément avec le point de lancement du projectile. L’axe Ox (défini par i ) est horizontal et est contenu dans le plan vertical contenant v 0 . L’axe Oy (défini par j ) est vertical et dirigé vers le haut. On n’a pas besoin de troisième axe car le mouvement se déroule dans un plan. Position initiale : A t = 0 : OM 0 : x0 = 0 (prendre x=0 au point de lancement) y0 0 (le projectile part à une altitude quelconque) Vitesse initiale : A t = 0 : v 0 forme avec l'horizontale un angle de tir tel que 0 < < 2 v0 : v 0 x v 0 cos v 0 y v 0 sin b) Equations horaires du mouvement Forces extérieures Seule force extérieure : poids P du projectile. (Nous avons négligé le frottement !) Accélération Appliquons la RFD: F ma P ma Accélération constante : mg ma ax=0 (1) <=> ag ay=-g (2) 1re B et C A2 Mouvement dans le champ de pesanteur 2 1re Intégration => Vitesse dv y dv Comme a x x et a y , les coordonnées de la vitesse sont les primitives des dt dt coordonnées de l’accélération. En prenant la primitive de la relation (1), on obtient : Condition initiale : t = 0 v x v 0 cos vx C (3) Remplaçons dans (3) C v 0 cos . Donc : v x v 0 cos (4) La projection du mouvement sur l’axe Ox est un mouvement uniforme. En prenant la primitive de la relation (2), on obtient : v y gt C (5) Condition initiale : t = 0 vy = v0sin. Remplaçons dans (5) C = v0sin. Donc : v y gt v 0 sin (6) La projection du mouvement sur l’axe Oy est un mouvement uniformément varié. 1re B et C A2 Mouvement dans le champ de pesanteur 3 2e intégration => Position (équations paramétriques du mouvement) dx dy et vy Comme v x , les coordonnées de la position sont les primitives des dt dt coordonnées de la vitesse. En prenant la primitive de la relation (4), on obtient : x v 0 cos t C (7) Condition initiale : t = 0 x = x0 = 0. Remplaçons dans (7) C = 0. Donc : x v 0 cos t (8) 1 En prenant la primitive de la relation (6), on obtient : y gt 2 v 0 sin t C 2 Condition initiale : t = 0 y = y0. 1 y gt 2 v0 sin t y 0 Remplaçons dans (9) C = y0. Donc : 2 (9) (10) c) La trajectoire et ses caractéristiques Equation cartésienne de la trajectoire x (8) t v o cos Dans (10) y g x 2 x tan y0 2v cos2 (11) 2 o C'est l'équation d'une parabole. Position du point d'impact P sur le sol Pour P, y = 0. Remplaçons dans l'équation (11): g x 2 x tan y0 0 2 2v cos 2 o Cette équation du deuxième degré a en principe deux racines. Position du point d'impact P au cas particulier où y0 = 0 (même hauteur) g sin 0 x L'équation (12) s'écrit maintenant: x 2 2 cos 2v cos o Il faut donc que: soit x = 0, soit g sin x 0 2 cos 2v cos 2 o (12) 1re B et C A2 Mouvement dans le champ de pesanteur 1ére solution: x1 = 0 2e solution: * 4 (point de lancement) x2 xP 2vo2 sin cos vo2 sin 2 g g (13) Remarque 1 La relation (13) permet de calculer pour une valeur donnée de v0! g xP sin 2 v o2 Cette équation trigonométrique admet deux solutions 1 et 2 telles que : 2 = 180 21 ou bien : 2 = 90 1 Conclusion : Pour une valeur donnée de v0, une même portée xP est atteinte pour deux angles de tir différents (si est différent de 0o, 45o et 90o). Ces deux angles sont complémentaires. * Remarque 2 xP dépend de l'angle de tir; pour une valeur donnée de v0 elle est maximale si : sin 2 = 1 2 = 90 = 45 Conclusion : Pour une valeur donnée de v0, la portée xP est maximale pour = 45o. Position du sommet S (altitude maximale atteinte) En S, la coordonnée verticale du vecteur vitesse est nulle : v y (S) 0 gt S v0 sin 0 t S v0 sin g d’où pour l’abscisse : Remplaçons dans (10): 1 yS gt S2 v0 sin t S y0 2 pour l’altitude maximale on obtient alors: 2 v sin 1 v sin v 0 sin 0 +y0 y S g 0 2 g g Finalement: y S v o2 sin 2 +y0 2g 1re B et C A2 Mouvement dans le champ de pesanteur Cas particuliers =0 tir horizontal à partir de l’origine. 5 x= v0·t y=-½·g·t2 =90 tir vertical à partir de l’origine : x=0 y=v0·t - ½·g·t2 Tir réel En présence du frottement de l’air, la trajectoire n’est plus symétrique et les valeurs yS' et de xP' sont nettement inférieures à celles qu’on vient de calculer. Exemple : On a une machine à tirer des projectiles. Elle communique aux projectiles toujours la même vitesse initiale. Pour un angle de tir =45, la portée vaut ____ m (* Expérience) a) Déduire la vitesse initiale. b) Trouver la portée pour un angle de tir de 60. c) Existe-t-il un autre angle donnant la portée précédente.