cours-physique-THEME-02-chap-6-lois-de-newtons

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THEME 2 : COMPRENDRE/Lois et modeles
CHAP 06
LES LOIS DE NEWTON
1. SYSTEMES MECANIQUES. ET REFERENTIELS
1.1. Systèmes mécaniques
On appelle système un objet que l’on distingue de son environnement pour une étude particulière.
Dans l’étude des mouvements des systèmes matériels étendus, on se limitera au mouvement d’un point de ce
système.
Exemples :
 Etude d’un astronaute dans l’espace
Le système étudié est constitué par l’un des astronautes que nous distinguons de ses équipiers, de la navette et
de la Terre.
 Etude du système solaire
Le système étudié comprend tous les astres du système solaire, que nous distinguons du reste de l’univers.
 Etude du mouvement d’un électron dans un faisceau
Le système se réduit à l’électron étudié, que nous distinguons des autres électrons du faisceau ainsi que du
dispositif expérimental
1.2. Référentiel
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Un référentiel, ou solide de référence, est le solide par rapport auquel on décrit le mouvement d’un mobile.
Afin de pouvoir repérer un point dans un référentiel, on choisit un repère d’espace lié à ce référentiel.
z
zM
y
M
yM
M
yM y
M x
x xM
Repère dans l’espace
O
xM
Repère dans le plan
O
Repère sur un axe
x
Exemples de référentiels
 Référentiels terrestres
Les référentiels terrestres sont construits à partir de n’importe quel solide de référence lié à la Terre, c’est à dire
fixe par rapport à la Terre.
 Référentiel géocentrique
C’est un référentiel dont l’origine est le centre de la Terre et les trois axes sont dirigés vers trois étoiles fixes de la
voûte céleste.
 Référentiel héliocentrique
C’est un référentiel dont l’origine est le Soleil et les axes sont dirigés vers des étoiles fixes.
Rem :
- Le mouvement d’un objet dépend du référentiel
- Le mouvement c’est la combinaison de la trajectoire et de la vitesse : ex mouvement rectiligne uniforme
(trajectoire droite et vitesse constante)
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2. VECTEUR POSITION
2.1. Repère d’espace et de temps
Dans un repère mathématique (O, ⃗i, ⃗j)
L’objet M a comme coordonnées
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
OM(t) = x(t). ⃗i + y(t). ⃗j
indique que M bouge
au cours du tps
où :
x(t)
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
OM(t) =
y(t)
Valeur ou norme : OM(t) ou ‖⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
OM(t)‖ = √x(t)2 + y(t)2
Rem ;
Pour simplifier on ne met pas le « t »
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = x. ⃗𝐢 + y. ⃗𝐣
𝐎𝐌
2. VECTEUR VITESSE
2.1. Vecteur vitesse moyenne
cf TP
a) Par exemple pour le vecteur vitesse ⃗⃗⃗⃗⃗
𝒗𝟓
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑀 𝑀
𝑣5 𝑡 4−𝑡6 =
⃗⃗⃗⃗⃗=
6
4
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑀4 𝑀6
𝛥𝑡
b) Caractéristiques
⃗⃗⃗⃗⃗
𝒗𝟓 a la direction et le sens de ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑴𝟒 𝑴𝟔
𝑴𝟒 𝑴𝟔
et pour valeur : 𝒗𝟓 = 𝒕 −𝒕
𝟔
𝟒
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗𝟒
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑴𝟒 𝑴𝟔 est également noté Δ𝑶𝑴
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2.2. Vecteur vitesse instantannée
a) Définition
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝛥𝑂𝑀
Lorsque 𝛥𝑡 tends vers 0, le rapport 𝛥𝑡 est la dérivée du vecteur position ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝑀 par rapport au temps
en physique cette dérivée est appelée vecteur vitesse instantanée
Il est noté :
m
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = dOM(t)
v(t)
dt
s
m.s-1
b) Caractéristiques du vecteur vitesse
Direction : Tangente à la trajectoire
Sens : celui du mvt
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗‖ = √vx (t)2 + vy (t)2
Valeur : v(t) = ‖v(t)
Rem : Pour un cercle, le vecteur vitesse est perpendiculaire au rayon
⃗⃗
v
⃗⃗
v
sens de
rotation
⃗⃗
v
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c) Coordonnées du vecteur vitesse
On a : ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
OM = x. ⃗i + y. ⃗j
Or v
⃗⃗ =
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
dOM
dt
𝑑𝑥
=
𝑑𝑡
⃗i +
𝑑𝑦
𝑑𝑡
. ⃗j
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = vx. ⃗i + vy . ⃗j
d’où : v(t)
Que l’on note
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
v(t)
𝑑𝑥
vx = 𝑑𝑡
𝑑𝑦
vy = 𝑑𝑡
Rem :
On note aussi
𝑑𝑥
: ẋ
et
𝑑𝑡
𝑑𝑦
𝑑𝑡
: ẏ
d’où :
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ vx = ẋ
v(t)
vy = ẏ
3. VECTEUR ACCELERATION
3.1. Vecteur accélération moyenne
a) Par exemple pour le vecteur
accélération ⃗⃗⃗⃗⃗
𝒂𝟓
𝑎5
⃗⃗⃗⃗⃗=
⃗⃗⃗⃗⃗−𝑣
𝑣
6 ⃗⃗⃗⃗⃗
4
𝑡6 −𝑡4
=
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝛥𝑣
5
𝛥𝑡
b) Caractéristiques
⃗⃗⃗⃗⃗
𝒂𝟓 a la direction et le sens de ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝛥𝑣
𝜟𝒗
𝒆𝒕 pour valeur : 𝒂𝟓 = 𝒕 −𝒕
𝟔
𝟒
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Remarque :
⃗⃗‖ du
La valeur v d'une grandeur vectorielle (vitesse, force, accélération, etc.) est proportionnelle à la norme ‖𝒗
vecteur qui la modélise.
La valeur et la norme sont liées par l'échelle de représentation.
La valeur s'exprime avec une unité.
Attention : ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝜟𝒗𝟓 = ⃗⃗⃗⃗⃗𝒗𝟔 ⃗⃗⃗⃗⃗
𝒗𝟒
mais : 𝜟𝒗 ≠ v6 – v4
3.2. Vecteur accélération instantannée
a) Définition
m.s-1
a⃗⃗ =
⃗⃗
dv
dt
=
En mathématiques, si f est une fonction de t, on
note sa dérivée seconde f"(t). On a alors :
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
d2 OM
𝒅
dt2
f"(t) = 𝒅𝒕
s
m.s-2
3.3. Coordonnées
On a : v
⃗⃗ = vx. ⃗i + vy . ⃗j
a⃗⃗ =
Or
d’où :
⃗⃗
dv
dt
= vẋ ⃗i + vẏ . ⃗j
a⃗⃗ = ax. ⃗i + ay . ⃗j
Que l’on note
̇
ax = vx (t)
⃗a⃗
̇
ay = vy (t)
ou
ax = x
a⃗⃗ a = y
y
Valeur : a = ‖a⃗⃗‖ = √ax 2 + ay 2
a⃗⃗
ax =
ay =
𝑑𝑣𝑥
𝑑𝑡
𝑑𝑣𝑦
𝑑𝑡
𝒅𝒇(𝒕)
𝒅𝒕
=
𝑑2 𝑓(𝑡)
𝑑𝑡 2
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4. VECTEUR QUANTITE DE MOUVEMENT
- Le vecteur quantité de mouvement permet l'étude du mouvement d'un système.
4.1. Définition
Le vecteur quantité de mouvement 𝑝⃗ d'un point matériel est égal
au produit de sa masse m par son vecteur vitesse
m.s-1
⃗⃗ = 𝑚. 𝑣⃗
p
kg.m.s-1
4.2. Caractéristiques
Le vecteur quantité de mouvement a toujours la même direction et le même sens que le vecteur vitesse, car la
masse m est une grandeur toujours positive
5. RECONNAITRE UN MOUVEMENT
Il existe des trajectoires rectilignes et circulaires, ainsi que des mouvements uniformes et non uniformes
5.1. Mouvements rectilignes uniformes
a) Définition
- Dans un référentiel donné, le mouvement d'un système est rectiligne et uniforme lorsque la
trajectoire est une portion de droite et la valeur de sa vitesse est constante.
- Dans un référentiel donné, un système a un mouvement rectiligne uniforme si son vecteur vitesse a
toujours même direction, même sens et même valeur : il est constant. Son vecteur accélération est
alors égal, à chaque instant, au vecteur nul : a⃗⃗ =
⃗⃗
dv
dt
=
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
d2 OM
dt2
=0
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b) Graphiques
5.2. Mouvements rectilignes uniformément variés
a) Définition
- Dans un référentiel donné, le mouvement d'un système est rectiligne et uniformément varié lorsque
sa trajectoire est une portion de droite et la valeur de son accélération est constante.
- La valeur de la vitesse est alors une fonction affine du temps.
- Dans un référentiel donné, un système a un mouvement rectiligne uniformément varié si son
vecteur accélération a toujours même direction, même sens et même valeur; il est constant.
- Le mouvement rectiligne est accéléré, si le vecteur accélération est dans le sens du vecteur vitesse.
- Le mouvement est décéléré (ralenti) si le vecteur accélération est dans le sens opposé.
b) Graphiques
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5.3. mouvements circulaires uniformes
- Dans le cas d'un mouvement circulaire uniforme, la valeur vde la vitesse et celle a de l'accélération
sont constantes
- Dans un référentiel donné, un système a un mouvement circulaire uniforme si sa trajectoire est une
portion de cercle de rayon R et si la valeur v de sa vitesse est constante.
- Le vecteur accélération est alors centripète, de valeur a constante : a =
𝒗𝟐
𝑹
b) Vecteur accélération
- Le vecteur accélération est centripète, de valeur a constante :
a=
𝒗𝟐
𝑹
5.4. mouvements circulaires non uniformes
a) Définition
- Dans le cas d'un mouvement circulaire non uniforme, la valeur de l'accélération n'est pas constante
- Dans un référentiel donné, un système a un mouvement circulaire non uniforme si sa trajectoire est
une portion de cercle de rayon R et si la valeur de son accélération n'est pas constante.
b) Vecteur accélération
À chaque instant, le vecteur accélération a se décompose en deux
vecteurs :
⃗⃗ = 𝒂
⃗⃗𝑻 + 𝒂
⃗⃗𝑵
𝒂
⃗⃗𝑻 est l'accélération tangentielle : elle est tangente à la trajectoire
-𝒂
orientée dans le sens du mouvement, de valeur aT =
𝒅𝒗
𝒅𝒕
⃗⃗𝑵 est l'accélération normale : elle est centripète, de valeur aN =
-𝒂
𝒗𝟐
𝑹
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6. LES LOIS DE NEWTON
6.1. Référentiel Galiléen
- C’est un référentiel dans lequel s’appliquent les lois de Newton
6.2. 1ère loi : Le principe de l’inertie
Ds un réf Galiléen
Si un corps est au repos ou s’il a un mouvement
rectiligne uniforme, les forces qu’il subit se compensent
(la sommes des forces = 0)
Réciproque :
Si les forces agissant sur un corps se compensent,
alors le corps est soit au repos soit en mouvement
rectiligne uniforme
Rem :
- Un corps au repos à tendance à le rester
- Un corps en mouvement à tendance à le rester
6.3. 2ème loi de Newton ou principe
fondamentale de la dynamique
Ds un réf Galiléen si v n’est pas constante,
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
dp
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐅(𝐞𝐱𝐭𝐞𝐫𝐢𝐞𝐮𝐫𝐞𝐬) = 𝑑𝑡
Si m reste constant :
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗
dp
𝑑(𝑚.𝑣)
𝑑𝑣
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐅(𝐞𝐱𝐭𝐞𝐫𝐢𝐞𝐮𝐫𝐞𝐬) = 𝑑𝑡 = 𝑑𝑡 = m. 𝑑𝑡 = m.𝑎⃗
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6.4. 3ème loi :Principe des actions réciproques
Soit A et B , deux corps en interaction, la force
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
exercée par A sur B (F
A→B )
et la force
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
exercée par B sur A (F
B→A )
ont même direction mais de sens opposés
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
FA→B = − ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
FB→A
7. COMPLEMENTS
DERIVEES PRIMITIVES
L
L
P
f
é
f
f
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OPÉRATIONS SUR LES DÉRIVÉES lorsque
u et v sont des fonctions dérivables sur un
intervalle I
FONCTION f
FONCTION DERIVEE ƒ'
ƒ(x) = k (constante)
ƒ'(x) = 0
FONCTION
DERIVEE
ƒ(x) = x
ƒ'(x) = 1
u +v
u' +v'
ƒ(x) = a.x + b
ƒ'(x) = a
k.u (k : constante)
k.u'
ƒ(x) = xn
ƒ'(x) = n.xn −1
uv
u'.v +u.v'
1
v
−
ƒ(x) =
v'
v2
u '.v  u.v '
v2
u
v
n
u
u
n.u'.u
u'
2. u
ƒ(x) =
x
1
x
ƒ'(x) =
1
2 x
ƒ'(x) = -
1
x2
ƒ(x) = cos(x)
ƒ'(x) = −sin(x)
ƒ(x) = sin(x)
ƒ'(x) = cos(x)
ƒ(x) = tan(x)
ƒ'(x) = 1 + tan2(x) =
ƒ(t) = cos(ω.t + ϕ)
ƒ'(t) = −ω.sin(ω.t + ϕ)
ƒ(t) = sin(ω.t + ϕ)
ƒ'(t) = ω.cos(ω.t + ϕ)
ƒ(t) = tan(ω.t + ϕ)
ƒ'(t) = ω.(1 + tan2(ω.t + ϕ)
n −1
1
cos 2 (x)
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