Arithmétique

DM n°3 – 1èreS – 2010/2011
Corrigé
Exercice 1
a- x²(2x-3)+1 = 14(x-1)
 2x3-3x²-14x+15 = 0
 (x-1)(ax²+bx+c) = 0 (car 1 est une racine évidente), a, b et c étant des réels à déterminer.
 (x-1)(2x²+bx-15) = 0 (a = 2 et c = -15 s’obtiennent en développant les termes de plus haut
degrés et les termes constants)
 (x-1)(2x²-x-15) = 0 (car on doit avoir –bx-15x = -14x, d’où b = -1)
 (x-1)(x-3)(ax+b) = 0 (car 3 est une racine évidente de 2x²-x-15)
 (x-1)(x-3)(2x+5) = 0
b- 2x3-x²+4x = -7
 2x3-x²+4x+7 = 0
 (x+1)(ax²+bx+c) = 0 car -1 est une racine évidente
 (x+1)(2x²-3x+7) = 0 on trouve a, b et c avec la méthode habituelle
Le discriminant de 2x²-3x+7 est  donc ce trinôme n’a pas de racine.
c- x3-8x² = -5(x+10)
 x3-8x²+5x+50 = 0
 (x+2)(ax²+bx+c) = 0, car -2 est une racine évidente
 (x+2)(x²-10x+25) = 0, on trouve a, b et c avec la méthode habituelle
 (x+2)(x-5)² = 0, car on a une identité remarquable.
Exercice 2
a- On effectue le calcul et trouve bien h(2) = 0 et h(-2) = 0.
b- 2 et -2 sont donc des racines du polynôme, qui se factorise donc sous la forme :
h(x) = (x-2)(x+2)(ax²+bx+c), et en développant les deux premiers facteurs, on obtient bien :
h(x) = (x²-4)(ax²+bx+c).
Avec la méthode habituelle, on obtient h(x) = (x²-4)(2x²+bx+3), puis en développant pour obtenir le
terme de degré 1, on a la condition -4bx = 4x, soit b = -1.
Donc h(x) = (x²-4)(2x²-x+3).
c- h(x) = 0
 (x²-4)(2x²-x+3) = 0
Le discriminant de 2x²-x+3 est  donc ce trinôme n’a pas de racine.
Exercice 3
a- (16-x²)(3x²-5x)  0
 (4-x)(4+x)x(3x-5)  0

Les valeurs charnières sont -4 ; 0 ; 5/3 et 4
x
-∞ -4 0 5/3 4 +∞
4-x
+
+
+
+
-
4+x
-
+
+
+
+
x
-
-
+
+
+
3x-5
-
-
-
+
+
P
-
+
-
+
-
b- x3  8x²-7x
 x3-8x²+7x  0
 x(x-1)(x-7)  0
Les valeurs charnières sont 0 ; 1 et 7
x
-∞ 0 1 7 +∞
x-1
-
-
+
+
x-7
-
-
-
+
x
-
+
+
+
P
-
+
-
+
c- Il y a deux valeurs interdites -6 et -4.
Le discriminant de x²-1,5x-36 est  donc le trinôme a deux racines x1 et x2.
Pour positionner ces racines dans le tableau, il faut en déterminer des valeurs approchées :
D’autre part, le trinôme est du signe de a à l’extérieur des racines donc positif à l’extérieur des
racines.
Les valeurs charnières sont  et 
x
-∞ -6  -4  +∞
x²-1,5x-36
+
+
-
-
+
x+4
-
-
-
+
+
x+6
-
+
+
+
+
Q
+
-
+
-
+
d- Il y a deux valeurs interdites -3 et -2.
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0

Le discriminant de -4x²-25x-36 est  donc le trinôme a deux racines x1 = -9/4 et x2 = -4.
D’autre part, le trinôme est du signe de a à l’extérieur des racines donc négatif à l’extérieur des
racines.
Les valeurs charnières sont -4 et -9/4 .
x
-∞ -4 -3 -9/4 -2 +∞
-4x²-25x-36
-
+
+
-
-
x+3
-
-
+
+
+
x+2
-
-
-
-
+
Q
-
+
-
+
-
Exercice 4
1) Df = .
2) Il y a une valeur interdite, 1.
Le discriminant de 2x²-5x+2 est  donc le trinôme a deux racines x1 = 1/2 et x2 = 2.
D’autre part, le trinôme est du signe de a à l’extérieur des racines donc positif à l’extérieur des
racines.
Les valeurs charnières sont 1/2 et 2.
x
-∞ 1/2 1 2 +∞
2x²-5x+2
+
-
-
+
x-1
-
-
+
+
Signe de f(x)
-
+
-
+
3) Après réduction au même dénominateur et identification des coefficients, on obtient :
fx=2x 31
x1
4) Pour étudier la position relative de Cf et de la
droite d’équation y = 2x-3, il faut étudier le signe de
la différence f(x)-(2x-3). Or :
fx ( 2x 3)= 1
x11 1x
Donc, il faut étudier le signe de 1-x, ce qui est évident.
Si x  1 alors f(x)-(2x-3)  0, et Cf est en dessous de
la droite.
Si x  1 alors f(x)-(2x-3)  0, et Cf est au dessus de la
droite.
5) On utilise l’expression du 3), et il est inutile de
réduire au même dénominateur.
Donc S(1 ; -1) est bien centre de symétrie de la courbe.
6) Voir le graphique ci-contre.
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0

Exercice 5
Si a est un réel positif, on a l’égalité 
Donc :
- Si x  0, x²=x or x=x donc x²= x
- Si x  0, alors –x  0 et comme (-x)² = x², x²-x²=-x or x=-x donc x²= x.
On a donc démontré que pour tout réel x, x²= x
Exercice 6
1) Supposons qu’il existe un polynôme P(x) tel que pour tout réel x, x4+6x3+11x²+6x+1 = [P(x)]², alors
P(x) est de degré 2, donc il existe des réels a, b et c tels que P(x) = ax²+bx+c.
Calculons [P(x)]² :
[P(x)]² = (ax²+bx+c)(ax²+bx+c) = … = a²x4+2abx3+(2ac+b²)x²+2bcx+c²
Or : x4+6x3+11x²+6x+1 = [P(x)]²
Donc : x4+6x3+11x²+6x+1 = a²x4+2abx3+(2ac+b²)x²+2bcx+c²
On trouve donc deux polynômes vérifiant la condition initiale :
P1(x) = x²+3x+1 et P2(x) = -x²-3x-1 = -P1(x)
2) Prenons maintenant quatre entiers naturels consécutifs. Ils peuvent s’écrire sous la forme, x, x+1,
x+2 et x+3 (x étant un entier naturel).
Leur produit augmenté de un est donc x(x+1)(x+2)(x+3)+1. Notons-le p(x).
En développant, on obtient : p(x) = (x²+x)(x²+5x+6)+1 =…= x4+6x3+11x²+6x+1.
D’après la question précédente, on peut donc écrire :
x(x+1)(x+2)(x+3)+1 = [x²+3x+1]²
Mais, x étant un entier, il est bien évident que x²+3x+1 aussi, le produit de quatre entiers naturels
consécutifs augmenté de un est bien le carré d’un entier naturel.