Arithmétique

DM n°3 – 1èreS – 2010/2011
Corrigé
Exercice 1
a- x²(2x-3)+1 = 14(x-1)
⟺ 2x3-3x²-14x+15 = 0
⟺ (x-1)(ax²+bx+c) = 0 (car 1 est une racine évidente), a, b et c étant des réels à déterminer.
⟺ (x-1)(2x²+bx-15) = 0 (a = 2 et c = -15 s’obtiennent en développant les termes de plus haut
degrés et les termes constants)
⟺ (x-1)(2x²-x-15) = 0 (car on doit avoir –bx-15x = -14x, d’où b = -1)
⟺ (x-1)(x-3)(ax+b) = 0 (car 3 est une racine évidente de 2x²-x-15)
⟺ (x-1)(x-3)(2x+5) = 0
5
Donc S= {- ; 1 ; 3}
2
b- 2x3-x²+4x = -7
⟺ 2x3-x²+4x+7 = 0
⟺ (x+1)(ax²+bx+c) = 0 car -1 est une racine évidente
⟺ (x+1)(2x²-3x+7) = 0 on trouve a, b et c avec la méthode habituelle
Le discriminant de 2x²-3x+7 est ∆= −47 < 0 donc ce trinôme n’a pas de racine.
Donc S={-1 }
c- x3-8x² = -5(x+10)
⟺ x3-8x²+5x+50 = 0
⟺ (x+2)(ax²+bx+c) = 0, car -2 est une racine évidente
⟺ (x+2)(x²-10x+25) = 0, on trouve a, b et c avec la méthode habituelle
⟺ (x+2)(x-5)² = 0, car on a une identité remarquable.
Donc S={-2 ; 5 }
Exercice 2
a- On effectue le calcul et trouve bien h(2) = 0 et h(-2) = 0.
b- 2 et -2 sont donc des racines du polynôme, qui se factorise donc sous la forme :
h(x) = (x-2)(x+2)(ax²+bx+c), et en développant les deux premiers facteurs, on obtient bien :
h(x) = (x²-4)(ax²+bx+c).
Avec la méthode habituelle, on obtient h(x) = (x²-4)(2x²+bx+3), puis en développant pour obtenir le
terme de degré 1, on a la condition -4bx = 4x, soit b = -1.
Donc h(x) = (x²-4)(2x²-x+3).
c- h(x) = 0
⟺ (x²-4)(2x²-x+3) = 0
Le discriminant de 2x²-x+3 est ∆= −23 < 0 donc ce trinôme n’a pas de racine.
Donc S={-2 ; 2 }
Exercice 3
a- (16-x²)(3x²-5x) > 0
⟺ (4-x)(4+x)x(3x-5) > 0
Les valeurs charnières sont -4 ; 0 ; 5/3 et 4
x
4-x
4+x
x
3x-5
P
-∞
-4
+
-
0
+
+
+
0
0
5/3
+
+
+
-
0
0
4
0
+
+
+
+
+
0
0
+∞
+
+
+
-
0
𝟓
Donc S=]−𝟒 ; 𝟎[ ∪ ] ; 𝟒[
𝟑
b- x3 ≥ 8x²-7x
⟺ x3-8x²+7x ≥ 0
⟺ x(x-1)(x-7) ≥ 0
Les valeurs charnières sont 0 ; 1 et 7
x
x-1
x-7
x
P
-∞
0
-
1
0
+
+
0
0
7
+
+
-
0
+∞
+
+
+
+
0
0
Donc S=[𝟎 ; 𝟏] ∪ [𝟕 ; +∞[
c- Il y a deux valeurs interdites -6 et -4.
(x-3)(x+6)-4,5(x+4)
x-3
4,5
x-3 4,5
x-3 4,5
≤
⟺
≤0 ⟺
≤0 ⟺
≤0
(x+4)(x+6)
x+4 x+6
x+4 x+6
x+4 x+6
x²-1,5x-36
⟺
≤0
(x+4)(x+6)
Le discriminant de x²-1,5x-36 est ∆= 146,25 > 0 donc le trinôme a deux racines x1 et x2.
1,5-√146,25
1,5+√146,25
x1 =
et x2 =
2
2
Pour positionner ces racines dans le tableau, il faut en déterminer des valeurs approchées :
x1 ≈-5,3 et x2 ≈6,8
D’autre part, le trinôme est du signe de a à l’extérieur des racines donc positif à l’extérieur des
racines.
Les valeurs charnières sont x1 et x2
x
x²-1,5x-36
x+4
x+6
Q
-∞
-6
+
+
0
+
+
-
x1
0
0
-4
+
+
0
Donc S=]−𝟔 ; 𝒙𝟏 ] ∪ ]−𝟒 ; 𝒙𝟐 ]
d- Il y a deux valeurs interdites -3 et -2.
x
2
x
2
x(x+2)-5(x+3)(x+2)-2(x+3)
-5>
⟺
-5>0 ⟺
>0
(x+3)(x+2)
x+3
x+2
x+3
x+2
−4x² − 25x − 36
⟺
>0
(x+3)(x+2)
+
+
-
x2
0
0
+∞
+
+
+
+
Le discriminant de -4x²-25x-36 est ∆= 49 > 0 donc le trinôme a deux racines x1 = -9/4 et x2 = -4.
D’autre part, le trinôme est du signe de a à l’extérieur des racines donc négatif à l’extérieur des
racines.
Les valeurs charnières sont -4 et -9/4 .
x
-4x²-25x-36
x+3
x+2
Q
-∞
-4
0
-
-3
+
+
0
Donc S=]−𝟒 ; −𝟑[ ∪ ]−
-9/4
0
+
+
-
0
-2
+
+
0
0
+∞
+
+
-
𝟗
; −𝟐[
𝟒
Exercice 4
1) Df = ℝ\{𝟏}.
2) Il y a une valeur interdite, 1.
Le discriminant de 2x²-5x+2 est ∆= 9 > 0 donc le trinôme a deux racines x1 = 1/2 et x2 = 2.
D’autre part, le trinôme est du signe de a à l’extérieur des racines donc positif à l’extérieur des
racines.
Les valeurs charnières sont 1/2 et 2.
x
2x²-5x+2
x-1
Signe de f(x)
-∞
+
-
1/2
0
0
1
+
+
-
2
0
0
0
+∞
+
+
+
3) Après réduction au même dénominateur et identification des coefficients, on obtient :
1
f(x) = 2x − 3 − x−1
4) Pour étudier la position relative de Cf et de la
droite d’équation y = 2x-3, il faut étudier le signe de
la différence f(x)-(2x-3). Or :
1
1
f(x) − ( 2x − 3)= −
=
x−1 1−x
Donc, il faut étudier le signe de 1-x, ce qui est évident.
Si x > 1 alors f(x)-(2x-3) < 0, et Cf est en dessous de
la droite.
Si x < 1 alors f(x)-(2x-3) > 0, et Cf est au dessus de la
droite.
5) On utilise l’expression du 3), et il est inutile de
réduire au même dénominateur.
1
1
f(1+x) +f(1-x)= 2(1+x)-3+2(1-x)-31+x-1
1-x-1
1
1
= 2x-1- -2x-1- = −2 = 𝟐 × (−𝟏)
x
-x
Donc S(1 ; -1) est bien centre de symétrie de la courbe.
6) Voir le graphique ci-contre.
Exercice 5
Si a est un réel positif, on a l’égalité √𝑎² = 𝑎.
Donc :
- Si x ≥ 0, √x² = x, or |x| = x donc √x² = |x|
-
Si x ≤ 0, alors –x ≥ 0 et comme (-x)² = x², √x² = √(-x)² = -x, or |x| = -x donc √x² = |x|.
On a donc démontré que pour tout réel x, √x² = |x|.
Exercice 6
1) Supposons qu’il existe un polynôme P(x) tel que pour tout réel x, x4+6x3+11x²+6x+1 = [P(x)]², alors
P(x) est de degré 2, donc il existe des réels a, b et c tels que P(x) = ax²+bx+c.
Calculons [P(x)]² :
[P(x)]² = (ax²+bx+c)(ax²+bx+c) = … = a²x4+2abx3+(2ac+b²)x²+2bcx+c²
Or : x4+6x3+11x²+6x+1 = [P(x)]²
Donc : x4+6x3+11x²+6x+1 = a²x4+2abx3+(2ac+b²)x²+2bcx+c²
𝒂=𝟏
𝒂 = −𝟏
𝑎² = 1
2𝑎𝑏 = 6
2𝑎𝑏 = 6
𝑎=1
𝑎 = −1
2𝑎𝑏 = 6
⟺ 2𝑎𝑐 + 𝑏² = 11 ⟺ 2𝑎𝑐 + 𝑏² = 11 𝑜𝑢 2𝑎𝑐 + 𝑏² = 11 ⟺ {𝑏 = 3 𝑜𝑢 {𝑏 = −3
2𝑏𝑐 = 6
2𝑏𝑐 = 6
𝑐=1
𝑐 = −1
2𝑏𝑐 = 6
{
{
{
𝑐² = 1
𝑐² = 1
𝑐² = 1
On trouve donc deux polynômes vérifiant la condition initiale :
P1(x) = x²+3x+1 et P2(x) = -x²-3x-1 = -P1(x)
2) Prenons maintenant quatre entiers naturels consécutifs. Ils peuvent s’écrire sous la forme, x, x+1,
x+2 et x+3 (x étant un entier naturel).
Leur produit augmenté de un est donc x(x+1)(x+2)(x+3)+1. Notons-le p(x).
En développant, on obtient : p(x) = (x²+x)(x²+5x+6)+1 =…= x4+6x3+11x²+6x+1.
D’après la question précédente, on peut donc écrire :
x(x+1)(x+2)(x+3)+1 = [x²+3x+1]²
Mais, x étant un entier, il est bien évident que x²+3x+1 aussi, le produit de quatre entiers naturels
consécutifs augmenté de un est bien le carré d’un entier naturel.