1 On considère une fonction f définie sur un intervalle I et un nombre

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2 h Devoir surveillé n°2 Mercredi 25 octobre 2006
1 On considère une fonction f définie sur un intervalle I et un nombre réel a appartenant à I.
1° Rappeler la définition de « f est dérivable en a ».
2° Dans chacun des cas suivants, indiquer s’il existe une fonction f vérifiant simultanément les deux propriétés.
Si la réponse est « oui », donner un exemple (un graphique sera accepté) ; dans le cas contraire, justifier la
réponse à l’aide d’un théorème du cours.
• f est continue en a et f est dérivable en a ;
• f est continue en a et f n’est pas dérivable en a ;
• f n’est pas continue en a et f est dérivable en a ;
2 Soit f une fonction dérivable sur I = [0 ; 1 [, ne s'annulant pas sur I, telle que,
f(0) = 1
pour tout réel x de I, f '(x) = f(x) × f(x) où f ' est la dérivée de f sur I.
Soit g la fonction définie sur I par : g (x) =
[ ]
f(x) 2 + 1
[ ]
f(x) 2
1° a) Démontrer que pour tout réel x de I : g '(x) = 2
[ ]
f(x) 3 – 2
f(x)
b) A l'aide de la meilleure approximation affine locale de g au voisinage de 0, déterminer une valeur approchée de
g(0,01).
2° A l'aide de la meilleure approximation affine locale de f au voisinage de 0, déterminer une valeur approchée de
f(0,01). En déduire une autre valeur approchée de g(0,01).
3 Partie A. Etude d'une fonction auxiliaire g
La fonction g est définie sur IR par : g(x) = ex + x
a) Etudier les limites de g en – ∞ et en + ∞.
b) Etudier le sens de variation de la fonction g sur IR et dresser son tableau de variation.
c) Justifier que l'équation g(x) = 0 admet dans R une solution unique α telle que – 0,57 < α < – 0,56.
d) Etudier le signe de g sur IR.
Partie B. Etude d'une fonction f
La fonction f est définie sur IR par : f(x) = (1 + x) (1 – e–x)
On note C la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthonormal (O ;
→
i ,
→
j )
a) Etudier le signe de f sur IR.
b) Etudier les limites de f en – ∞ et en + ∞.
c) Calculer f '(x), où f ' désigne la fonction dérivée de f, et vérifier que f '(x) et g(x) sont de même signe.
Dresser le tableau de variation de f.
d) Démontrer l'égalité : f(α) = (1 + α)2
α (On rappelle que g(α) = 0)
2° Etudier le sens de variation de la fonction h : x
→
(1 + x)2
x
En déduire, à partir de l'encadrement de α obtenu dans la partie A, un encadrement d'amplitude 10–1 de f(α).
e) Démontrer que la droite D, d'équation y = x + 1, est asymptote à C en + ∞ .
Préciser la position de C par rapport à D.
f) Tracer la droite D et la courbe C dans le repère (O ;
→
i ,
→
j ) (unité graphique 2 cm).
Partie C. Etude d'une suite de rapports de distances
Pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 3, on considère les points An, Bn et Cn d'abscisse n, appartenant
respectivement à l'axe des abscisses, à la droite D et à la courbe C
Soit Un le réel défini par : Un = CnBn
AnBn
a) Démontrer que, pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 3, on a : Un = – f(n) + n + 1
n + 1
Quelle est la nature de la suite (Un) ?
b) Calculer la limite de la suite (Un).

1 On considère une fonction f définie sur un intervalle I et un nombre réel a appartenant à I. 1° Rappeler la définition de « f
est dérivable en a ».
f est dérivable en a si et seulement si la fonction x
→
f(x) – f(a)
x – a admet une limite finie quand x tend vers a.
2° Dans chacun des cas suivants, indiquer s’il existe une fonction f vérifiant simultanément les deux propriétés. Si la réponse
est « oui », donner un exemple (un graphique sera accepté) ; dans le cas contraire, justifier la réponse à l’aide d’un théorème
du cours.
• f est continue en a et f est dérivable en a ;
La fonction f définie sur IR par f(x) = x est continue et dérivable en 0.
• f est continue en a et f n’est pas dérivable en a ;
la fonction x
→
x est continue en 0 et non dérivable en 0.
• f n’est pas continue en a et f est dérivable en a ;
Il n'existe pas de fonction dérivable en un point a et non continue en ce point.
Théorème : toute fonction dérivable en un point est continue en ce point
Contraposée : Une fonction non continue en un point n'est pas dérivable en ce point.
2 Soit f une fonction dérivable sur I = [0 ; 1 [, ne s'annulant pas sur I, telle que, f(0) = 1
pour tout réel x de I, f '(x) = f(x) ×
××
× f(x) où f
' est la dérivée de f sur I. Soit g la fonction définie sur I par : g (x) =
[ ]
f(x) 2 + 1
[ ]
f(x) 2
1° a) Démontrer que pour tout réel x de I : g '(x) = 2
[ ]
f(x) 3 – 2
f(x)
g '(x) = 2 f(x) × f '(x) – 2 f(x) × f
'(x)
[ ]
f(x)
4
= 2 f(x)
[ ]
f(x)
2
– 2 f(x)
[ ]
f(x)
2
[ ]
f(x)
4
= 2
[ ]
f(x)
3
– 2
f(x)
b) A l'aide de la meilleure approximation affine locale de g au voisinage de 0, déterminer une valeur approchée de g(0,01).
g(0,001) ≈ g(0) + g '(0) × 0,001
g(0) =
[ ]
f(0)
2
+ 1
[ ]
f(0)
2
= 12 + 1
12 = 2 et g
'(0) = 2
[ ]
f(0)
3
– 2
f(0) = 2 × 1 – 2 1 = 0
donc g(0,001 ≈ 2 + 0 × 0,001 donc g(0) ≈ 2
2° A l'aide de la meilleure approximation affine locale de f au voisinage de 0, déterminer une valeur approchée de f(0,01). En
déduire une autre valeur approchée de g(0,01).
f(0,01) ≈ f(0) + f '(0) × 0,001
f(0) = 1 et f '(0) = 12 = 1 donc f(0,001) ≈ 1 + 0,001 donc f(0,001) ≈ 1,001
g(0) ≈ (1,001)2 + 1
(1,001)2 donc g(0) ≈ 2,000004
3 Partie A. Etude d'une fonction auxiliaire g
La fonction g est définie sur IR par : g(x) = ex + x a) Etudier les limites de g en – ∞
∞∞
∞ et en + ∞
∞∞
∞.
lim
x → +∞
ex = + ∞ et lim
x → +∞
x = + ∞ donc lim
x → +∞
g(x) = + ∞
lim
x → –∞
ex = 0 et lim
x → –∞
x = – ∞ donc lim
x → –∞
g(x) = – ∞
b) Etudier le sens de variation de la fonction g sur IR et dresser son tableau de variation.
g est la somme de deux fonctions dérivable sur IR donc g est dérivable sur IR
g '(x) = ex + 1 ≥ 0 + 1 > 0. g est donc croissante sur IR
c) Justifier que l'équation g(x) = 0 admet dans R une solution unique α
αα
α telle que – 0,57 < α
αα
α < – 0,56.
g est continue et strictement croissante sur l'intervalle [ – 0,57 ; – 0,56 ], g(–0,57) ≤ 0 ≤ g(–0,56) donc, d'après le
corollaire du théorème des valeurs intermédiaires on peut dire que l'équation g(x) = 0 admet une solution unique
dans [–0,57 ; – 0,56]
D'après les variations de g cette équation n'a pas d'autre solution.
d) Etudier le signe de g sur IR.
D'après les variations de g on peut dire que.
Si x ≤ α alors g(x) ≤ 0 et si x ≥ α alors g(x) ≥ 0

Partie B. Etude d'une fonction f La fonction f est définie sur IR par : f(x) = (1 + x) (1 – e–x) On note C
CC
C la courbe
représentative de la fonction f dans un repère orthonormal (O ;
→
→→
→
i ,
→
→→
→
j ) a) Etudier le signe de f sur IR.
Signe de 1 – e–x
1 – e–x ≥ 0 ⇔ 1 ≥ e–x ⇔ e0 ≥ e–x ⇔ 0 ≥ – x ⇔ x ≥ 0 (la fonction exp est croissante sur IR)
x – ∞ – 1 0 + ∞
1 + x – 0 + +
1 – e
–x – – 0 +
f(x) + 0 – 0 +
b) Etudier les limites de f en – ∞
∞∞
∞ et en + ∞
∞∞
∞.
lim
x → +∞
1 + x = + ∞ et lim
x → +∞
1 – e–x = lim
X → –∞
1 – eX = 1 – 0 = 1 donc lim
x → +∞
f(x) = + ∞
lim
x → –∞
1 + x = – ∞ et lim
x → –∞
e–x – 1 = lim
X → +∞
1 – eX = – ∞ donc lim
x → –∞
f(x) = + ∞
c) Démontrer que pour tout réel x , f '(x) = 1 + x e–x et vérifier que f ' (x) et g(x) sont de même signe.
Dresser le tableau de variation de f.
f est dérivable sur IR et f '(x) = 1 × (1 – e–x) + (1 + x) × (– (– e–x))= = 1 – e–x + e–x + x e–x = x e–x + 1 = x
ex + 1 = x + ex ex
Pour tout réel x, ex > 0 donc f '(x) est du signe de g(x) = x + ex
d) Démontrer l'égalité : f(α
αα
α) = (1 + α
αα
α)2
α
αα
α (On rappelle que g (α
αα
α) = 0)
g (α) = 0 ⇔ eα + α = 0 ⇔ eα = – α. On a donc :
: f(α) = (1 + α) (1 – e–α) = (1 + α) ×  1 – 1
– α = (1 + α) – α – 1 – α = (1 + α)2 α
2° Etudier le sens de variation de la fonction h : x
→
→→
→
– (1 + x)2
x
En déduire, à partir de l'encadrement de α
αα
α obtenu dans la partie A, un encadrement d'amplitude 10–1 de f(α
αα
α).
h est dérivable sur IR* et h '(x) = 2 (1 + x) × x – (1 + x)2 × 1
x2 = (1 + x) (2 x – 1 – x) x2 = (1 + x) (x – 1) x
– 1 < – 0,57 < – 0,56 < 0
Sur l'intervalle [ – 0,57 ; – 0,56 ] la fonction h est
décroissante
– 0,57 < α < – 0,56 donc
h(– 0,57) < h(α) < h(– 0,56)
h(– 0,57) ≈ – 0,324 et h(– 0,56) ≈ –0,346
On a donc :
– 0,4 < h(– 0,57) < h(α) < h(– 0,56) < – 0,3
h'-(α) = f(α) donc – 0,4 < f(α) < – 0,3
e) Démontrer que la droite D
DD
D , d'équation y = – x – 1, est asymptote à C
CC
C en + ∞
∞∞
∞ . Préciser la position de C
CC
C par rapport à D.
f(x) – (x + 1) = (x + 1) (1 – e–x) – (x + 1) = (x + 1) (1 – e–x + 1) = – (x + 1) e–x = – x e–x – e–x
On sait que lim
x → +∞
e–x = lim
X → –∞
eX = 0 et lim
x → +∞
– x e–x = lim
X → –∞
x eX = 0 donc lim
x → +∞
– x e–x + e–x = 0
La droite d'équation y = x + 1 est bien asymptote à C
Pour tout réel x, e–x > donc f(x) – (x + 1) est du signe de – (x + 1)
Sur ] – ∞ ; – 1 ], f(x) – (x + 1) ≥ 0 C est donc au dessus de D
Sur [ – 1 ; + ∞ ], f(x) – (x + 1) ≤ 0 C est donc au dessous de D
f) Tracer la droite D
DD
D et la courbe C
CC
C dans le repère (O ;
→
→→
→
i ,
→
→→
→
j ) (unité graphique 2 cm).
x −∞ α +∞
signe de f '
'
– 0 +
+ ∞ – ∞
f f(α)
x −∞ – 1 0 1 +∞
signe de
h '(x)
+ 0 – – 0 +
h(x)

0
5
1
y
x
Partie C. Etude d'une suite de rapports de distances Pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 3, on considère les points
An, Bn et Cn d'abscisse n, appartenant respectivement à l'axe des abscisses, à la droite D et à la courbe C
CC
C
Soit Un le réel défini par : Un = CnBn
AnBn
a) Démontrer que, pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 3, on a : Un =
– f(n) + n + 1
n + 1
An ∈ (Ox) donc An(n , 0). Bn ∈ D donc Bn(n ; n + 1) Cn ∈ C donc Cn(n , f(n))
On a vu à la question 2° e) que pour tout réel x de [ – 1 ; + ∞ [, f(x) – (x + 1) ≤ 0
n ∈ [ – 1 ; + ∞ [ donc f(n) – (n + 1) ≤ 0 et donc CnBn = | n + 1 – f(n) | = n + 1 – f(n)
A
nBn = | n+ 1 | = n+ 1. On a donc bien CnBn
AnBn
= – f(n) + n + 1
n + 1
Quelle est la nature de la suite (Un) ?
Un = – (n + 1) (1 – e–n) + n + 1
n + 1 = (n + 1) (– 1 + e–n + 1) n + 1 = e–n = 
1
e
n
la suite (Un) est donc géométrique de raison 1
e
b) Calculer la limite de la suite (Un).
1
e < 1 donc la suite (Un) converge vers 0.
Variante :
On a vu que la droite d'équation y = x + 1 est asymptote à la courbe C à + ∞ donc
lim
n → +∞
– f(n) + n + 1 = lim
x → +∞
– f(x) + x + 1 = 0
De plus lim
n → +∞
1
n + 1 = lim
x → +∞
1
x + 1 = 0 on peut donc dire que lim
n → +∞
Un = lim
n → +∞
– f(n) + n + 1
n + 1 = 0