Devoir Libre n˚15 - MPSI Saint

MPSI Lyc´ ee Rabelais A chercher pour le mercredi 2 juin 2010
Devoir Libre n˚15
PROBLEME 1 :Endomorphismes cycliques
Notations : Dans tout le probl`eme Ed´esigne un K-espace vectoriel de dimension finie n∈N,n≥2.
Pour tout endomorphisme u∈ L(E), et pour tout ~x ∈E, on note
Eu(~x) = Vect K(uk(~x), k ∈N}
D´efinition : On dit qu’un endomorphisme u∈ L(E)est cyclique s’il existe un vecteur ~x ∈Etel
que
Eu(~x) = E
Partie I.Exemples
1. On suppose ici que n= 3, et que Eest muni d’une base (~e1, ~e2, ~e3) de E. On consid`ere
l’endomorphisme u∈ L(E) d´efini par
u(~e1) = 6 ·~e1+ 27 ·~e2+ 17 ·~e3
u(~e2) = 24 ·~e1+ 18 ·~e2+ 38 ·~e3
u(~e3) = −12 ·~e1−24 ·~e2−24 ·~e3
a. D´eterminez Eu(~e1).
b. Qu’en d´eduisez-vous ?
2. Dans cette question E=Rn[X]. On consid`ere l’endomorphisme de d´erivation ud´efini pour
tout P∈Epar u(P) = P0.
a. Soit P0∈E, un polynˆome non nul. D´eterminez Eu(P0).
b.uest-il cyclique ?
3. Dans cette question, Eest un K-ev de dimension n≥2. Soit uun endomorphisme nilpotent
d’indice p≥2.
a. Montrez qu’il existe une vecteur ~x de Etel que la famille ~x, u(~x), . . . , up−1(~x)soit libre.
Que pouvez-vous en d´eduire concernant p?
b. A l’aide des questions pr´ec´edentes, montrez que tout endomorphisme nilpotent d’indice n
est cyclique.
Partie II.Etude de Eu(~x)
On revient au cas g´en´eral. Soit ~x ∈Eet u∈ L(E).
1

1. Montrez que Eu(~x) est le plus petit sous-espace stable par ucontenant ~x.
Nb : un sous-espace Fde Eest dit stable par usi u(F)⊂F.
2. Montrez que la famille ~x, u(~x), . . . , un(~x)est li´ee.
3. On suppose que ~x 6=~ 0. Montrez qu’il existe un entier k, maximal, pour lequel la famille
~x, u(~x), . . . , uk(~x)soit libre.
Dans la suite, on notera pcet entier maximal.
4. Montrez que ~x, u(~x), . . . , up(~x)est une base de Eu(~x).
5. Montrez l’´equivalence
dim KEu(~x) = 1 ⇐⇒ ~x 6= 0 et ∃λ∈K, u(~x) = λ·~x
Partie III.Commutant d’un endormorphisme
Soit u∈ L(E). On d´efinit le commutant de upar
C(u) = {v∈ L(E)|v◦u=u◦v}
1. Montrez que C(u) est un sous-espace vectoriel de L(E), stable pour la loi ◦.
2. Montrez que si v∈ C(u)∩GL(E), alors v−1∈ C(u).
3. Montrez que si u∈GL(E) est un automorphisme de E, alors C(u) = C(u−1).
4. Montrez que
∀(u, v)∈ L(E)× L(E),C(u)∩ C(v)⊂ C(u◦v)∩ C(v◦u)
Partie IV.Commutant d’un endormorphisme cyclique
1. Soit u∈ L(E) un endomorphisme cyclique et ~x0un vecteur de Etel que Eu(~x0) = E.
a. Montrez que ~x0, u(~x0), . . . , un−1(~x0)est une base de E.
b. Montrez que IdE, u, . . . , un−1est une famille libre de L(E).
c. Soit (v, w)∈ C(u)2. Montrez l’´equivalence :
v=w⇐⇒ v(~x0) = w(~x0)
d. D´eduisez-en que tout ´el´ement de C(u) est combinaison lin´eaire de IdE, u, . . . , un−1. Quelle
est la dimension de C(u).
2