Devoir Libre n˚15 - MPSI Saint

MPSI Lycée Rabelais
A chercher pour le mercredi 2 juin 2010
Devoir Libre n˚15
PROBLEME 1 : Endomorphismes cycliques
Notations : Dans tout le problème E désigne un K-espace vectoriel de dimension finie n ∈ N, n ≥ 2.
Pour tout endomorphisme u ∈ L(E), et pour tout ~x ∈ E, on note
Eu (~x) = Vect K (uk (~x), k ∈ N}
Définition : On dit qu’un endomorphisme u ∈ L(E) est cyclique s’il existe un vecteur ~x ∈ E tel
que
Eu (~x) = E
Partie I. Exemples
1. On suppose ici que n = 3, et que E est muni d’une base (~e1 , ~e2 , ~e3 ) de E. On considère
l’endomorphisme u ∈ L(E) défini par
u(~e1 ) = 6 · ~e1 + 27 · ~e2 + 17 · ~e3
u(~e2 ) = 24 · ~e1 + 18 · ~e2 + 38 · ~e3
u(~e3 ) = −12 · ~e1 − 24 · ~e2 − 24 · ~e3
a. Déterminez Eu (~e1 ).
b. Qu’en déduisez-vous ?
2. Dans cette question E = Rn [X]. On considère l’endomorphisme de dérivation u défini pour
tout P ∈ E par u(P ) = P 0 .
a. Soit P0 ∈ E, un polynôme non nul. Déterminez Eu (P0 ).
b. u est-il cyclique ?
3. Dans cette question, E est un K-ev de dimension n ≥ 2. Soit u un endomorphisme nilpotent
d’indice p ≥ 2.
a. Montrez qu’il existe une vecteur ~x de E tel que la famille ~x, u(~x), . . . , up−1 (~x) soit libre.
Que pouvez-vous en déduire concernant p ?
b. A l’aide des questions précédentes, montrez que tout endomorphisme nilpotent d’indice n
est cyclique.
Partie II. Etude de Eu (~x)
On revient au cas général. Soit ~x ∈ E et u ∈ L(E).
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1. Montrez que Eu (~x) est le plus petit sous-espace stable par u contenant ~x.
Nb : un sous-espace F de E est dit stable par u si u(F ) ⊂ F .
2. Montrez que la famille ~x, u(~x), . . . , un (~x) est liée.
3. On suppose que ~x 6= ~0. Montrez qu’il existe un entier k, maximal, pour lequel la famille
~x, u(~x), . . . , uk (~x) soit libre.
Dans la suite, on notera p cet entier maximal.
4. Montrez que ~x, u(~x), . . . , up (~x) est une base de Eu (~x).
5. Montrez l’équivalence
dim K Eu (~x) = 1 ⇐⇒ ~x 6= 0 et ∃λ ∈ K, u(~x) = λ · ~x
Partie III. Commutant d’un endormorphisme
Soit u ∈ L(E). On définit le commutant de u par
C(u) = {v ∈ L(E) | v ◦ u = u ◦ v}
1. Montrez que C(u) est un sous-espace vectoriel de L(E), stable pour la loi ◦.
2. Montrez que si v ∈ C(u) ∩ GL(E), alors v −1 ∈ C(u).
3. Montrez que si u ∈ GL(E) est un automorphisme de E, alors C(u) = C(u−1 ).
4. Montrez que
∀(u, v) ∈ L(E) × L(E),
C(u) ∩ C(v) ⊂ C(u ◦ v) ∩ C(v ◦ u)
Partie IV. Commutant d’un endormorphisme cyclique
1. Soit u ∈ L(E) un endomorphisme cyclique et ~x0 un vecteur de E tel que Eu (~x0 ) = E.
a. Montrez que ~x0 , u(~x0 ), . . . , un−1 (~x0 ) est une base de E.
b. Montrez que IdE , u, . . . , un−1 est une famille libre de L(E).
c. Soit (v, w) ∈ C(u)2 . Montrez l’équivalence :
v = w ⇐⇒ v(~x0 ) = w(~x0 )
d. Déduisez-en que tout élément de C(u) est combinaison linéaire de IdE , u, . . . , un−1 . Quelle
est la dimension de C(u).
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