Cours 3 - Theoreme de Gauss

publicité
Cours 3 – Théorème de Gauss
PHY332
1. Rappel – Introduction
2. Le flux
3. Les symétries
4. Le théorème
Cours 1
2015-08-03
À la fin du cours, vous serez capable de déterminer le champ
électrique dans n’importe quelle situation !
2
Cours 1
2015-08-03
Introduction
P
+
3
Cours 1
Le concept
• Écoulement uniforme d’eau
• 𝜙 est le flux.
▫ 𝑑𝜙 = 𝑣 ∙ 𝑑𝐴 = 𝑣 ∙ 𝑑𝐴 ∙ cos 𝜃
𝑛
𝑣
𝜙=

A
𝑣 ∙ 𝑑𝐴
2015-08-03
4
Cours 1
2015-08-03
Le flux électrique
𝑁∙𝑚²
𝐶
• Flux électrique : 𝜙𝐸
𝑑𝐴
𝐸
𝜙𝐸 =
𝐸 ∙ 𝑑𝐴
A
Pour une surface fermée
Lignes de Champ
A
Le flux correspond au nombre
de lignes de champ qui passent
à travers la surface A.
5
Cours 1
2015-08-03
6
Les différentes symétries
Cylindrique
Sphérique
Plane
Translation le long de
l’axe
Rotation autour d’un axe
qui passe par son centre
Translation parallèle au
plan chargé
Rotation autour de l’axe
Réflexion par rapport à un
plan qui passe par son
centre
Réflexion par rapport au
plan chargé
Réflexion le long d’un
plan qui passe par l’axe
Réflexion par rapport à un
plan perpendiculaire au
plan chargé
Réflexion le long d’un
plan perpendiculaire à
l’axe
Fil infini, cylindre plein et
creux
Charge ponctuelle, sphère
pleine et creuse
plaque
Le champ électrique a la même symétrie que la distribution de charge.
Cours 1
2015-08-03
Principe
• Le flux est proportionnel :
▫ Au nombre de lignes de champ qui passent à travers la surface A.
▫ À la charge qui se trouvent à l’intérieur de la surface fermée A.
𝜙𝐸 =
𝐸 ∙ 𝑑𝐴 =
𝑄𝑖𝑛𝑡
𝜀0
𝑁 ∙ 𝑚²
𝐶
 𝐸 est le vecteur du champ électrique au point P [N/C]
 𝑑𝐴 est le vecteur normal à la surface fermée. Sa grandeur est égale à l’aire de la
surface. [m²]

𝑄𝑖𝑛𝑡 est la charge qui est à l’intérieur de la surface fermée. [C]
 La surface fermée délimite un volume
 0 est la permittivité du vide [SI]
7
Cours 1
2015-08-03
8
Remarques
• Dessinez les lignes de champ de la charge ponctuelle
• Est-ce que le flux électrique est différent pour ces deux surfaces fermées
? Justifiez.
r1
+
r2
Surfaces fermées
sphériques de rayon r1 et r2.
Cours 1
2015-08-03
9
Méthode
1.
Dessinez l’objet étudié et le (ou les) point(s) P où l’on veut déterminer E.
2.
Déterminez le type de symétrie et choisissez une surface fermée qui respecte celleci. Celle-ci passe par le point P qui nous intéresse.
3.
Au point P, dessinez les vecteurs 𝐸 et 𝑑𝐴. Pour ce dernier, il peut y en avoir
plusieurs.
4.
Calculez le flux avec 𝜙𝐸 =
▫
▫
▫
▫
6.
𝐸 ∙ 𝑑𝐴 ∙ cos 𝜃.
𝐸 et 𝑑𝐴 sont ⊥ cos 𝜃 = 0  𝜙𝐸 = 0
𝐸 et 𝑑𝐴 sont ∥ cos 𝜃 = 1  𝜙𝐸 = E ∙ A
𝐸 et 𝑑𝐴 sont 𝑎𝑛𝑡𝑖 ∥ cos 𝜃 = −1  𝜙𝐸 = −E ∙ A
Calculez le flux avec 𝜙𝐸 =
5.
𝐸 ∙ 𝑑𝐴 =
𝑄𝑖𝑛𝑡
Ces deux points
peuvent être inversés
𝜀0 .
𝑄𝑖𝑛𝑡 correspond à la charge située dans la surface de Gauss
Égalisez les deux expressions et trouvez l’expression de E.
▫ Elle doit être positive car c’est l’expression de la grandeur de E.
Cours 1
2015-08-03
Applications
• Charge ponctuelle : Refaites les différentes étapes de la méthode.
𝑄
𝑘𝑄
𝐸=
=
4𝜋𝜀0 𝑟² 𝑟²
-
r
P
10
Cours 1
2015-08-03
Applications : comparaison avec la loi de Coulomb
• Fil infini (>0): Refaites les différentes étapes de la méthode.
𝜆
2𝑘𝜆
𝐸=
=
2𝜋𝜀0 𝑟
𝑟
r
P
11
Cours 1
Applications
• Plaque infinie (>0)
𝐸=
𝜎
2𝜀0
2015-08-03
12
Cours 1
13
2015-08-03
Exercice
• On a une plaque infinie qui porte
une densité de charge surfacique ,
avec 𝜎 = 3,10𝜇𝐶/𝑚².
𝑔

▫ Dessinez le vecteur 𝐸 au point P
▫ Que vaut le champ électrique au
point P ?
▫ On place une charge q de − 7,5𝑛𝐶
au point P.
 Dessinez la force électrique qui
s’applique sur la charge.
 Que va-t-il se passer ?
 Que vaut la force électrique ?
▫ La charge est en équilibre.
 Que vaut sa masse ?
r
P
Cours 1
Application
R
• Coquille sphérique ou sphère creuse (>0)
▫ Déterminez le champ électrique lorsque r<R
▫ Déterminer le champ électrique lorsque r>R
• Vue en coupe :
R
r
14
2015-08-03
P
r
P
R
Cours 1
2015-08-03
Exercice
• On a une sphère pleine de rayon R qui porte une densité de charges
volumique  avec 𝜌 < 0.
• On veut déterminer l’expression du champ électrique à l’intérieur de la
sphère au point P avec 𝑟 < 𝑅 et à l’extérieur avec 𝑟 > 𝑅
▫ Utiliser le théorème de Gauss pour déterminer les deux expressions.
Une à la fois !
15
Cours 1
Les conducteurs
• La charge à l’intérieur d’un conducteur est nulle.
▫ On ne peut pas avoir une densité de charges volumique !
• La charge se répartit en surface.
• Champ électrique à la surface :
𝜎
▫ 𝐸𝑠𝑢𝑟𝑓 = 𝜀
0
▫ Esurf est perpendiculaire à la surface
2015-08-03
16
Cours 1
17
2015-08-03
Questions de compréhension
• Dans la figure suivante, classez par ordre croissant de flux électrique
passant à travers la surface sphérique en pointillés.
+q
2R
+2q
2R
+q
R
Que vaut le flux qui passe à travers ces surfaces ? Que peut on dire de la charge ?
Cours 1
18
2015-08-03
Questions de compréhension
• On a une coquille sphérique
conductrice de rayon intérieur R1
(10cm) et de rayon extérieur R2
(15cm). Elle porte une densité de
charge  de 30C/m².
▫ Que vaut la charge portée par la
coquille ?
• On place en son centre une charge
ponctuelle de -5C.
▫ Que se passe-t-il ?
▫ Calculez la nouvelle répartition des
charges,
▫ Déterminez l’expression du champ
électrique dans les trois régions à
l’aide du théorème de Gauss.
R1
III
II
I
R2
Téléchargement
Explore flashcards