Cours 3 - Theoreme de Gauss
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Cours 3 – Théorème de Gauss PHY332 1. Rappel – Introduction 2. Le flux 3. Les symétries 4. Le théorème Cours 1 2015-08-03 À la fin du cours, vous serez capable de déterminer le champ électrique dans n’importe quelle situation ! 2 Cours 1 2015-08-03 Introduction P + 3 Cours 1 Le concept • Écoulement uniforme d’eau • 𝜙 est le flux. ▫ 𝑑𝜙 = 𝑣 ∙ 𝑑𝐴 = 𝑣 ∙ 𝑑𝐴 ∙ cos 𝜃 𝑛 𝑣 𝜙= A 𝑣 ∙ 𝑑𝐴 2015-08-03 4 Cours 1 2015-08-03 Le flux électrique 𝑁∙𝑚² 𝐶 • Flux électrique : 𝜙𝐸 𝑑𝐴 𝐸 𝜙𝐸 = 𝐸 ∙ 𝑑𝐴 A Pour une surface fermée Lignes de Champ A Le flux correspond au nombre de lignes de champ qui passent à travers la surface A. 5 Cours 1 2015-08-03 6 Les différentes symétries Cylindrique Sphérique Plane Translation le long de l’axe Rotation autour d’un axe qui passe par son centre Translation parallèle au plan chargé Rotation autour de l’axe Réflexion par rapport à un plan qui passe par son centre Réflexion par rapport au plan chargé Réflexion le long d’un plan qui passe par l’axe Réflexion par rapport à un plan perpendiculaire au plan chargé Réflexion le long d’un plan perpendiculaire à l’axe Fil infini, cylindre plein et creux Charge ponctuelle, sphère pleine et creuse plaque Le champ électrique a la même symétrie que la distribution de charge. Cours 1 2015-08-03 Principe • Le flux est proportionnel : ▫ Au nombre de lignes de champ qui passent à travers la surface A. ▫ À la charge qui se trouvent à l’intérieur de la surface fermée A. 𝜙𝐸 = 𝐸 ∙ 𝑑𝐴 = 𝑄𝑖𝑛𝑡 𝜀0 𝑁 ∙ 𝑚² 𝐶 𝐸 est le vecteur du champ électrique au point P [N/C] 𝑑𝐴 est le vecteur normal à la surface fermée. Sa grandeur est égale à l’aire de la surface. [m²] 𝑄𝑖𝑛𝑡 est la charge qui est à l’intérieur de la surface fermée. [C] La surface fermée délimite un volume 0 est la permittivité du vide [SI] 7 Cours 1 2015-08-03 8 Remarques • Dessinez les lignes de champ de la charge ponctuelle • Est-ce que le flux électrique est différent pour ces deux surfaces fermées ? Justifiez. r1 + r2 Surfaces fermées sphériques de rayon r1 et r2. Cours 1 2015-08-03 9 Méthode 1. Dessinez l’objet étudié et le (ou les) point(s) P où l’on veut déterminer E. 2. Déterminez le type de symétrie et choisissez une surface fermée qui respecte celleci. Celle-ci passe par le point P qui nous intéresse. 3. Au point P, dessinez les vecteurs 𝐸 et 𝑑𝐴. Pour ce dernier, il peut y en avoir plusieurs. 4. Calculez le flux avec 𝜙𝐸 = ▫ ▫ ▫ ▫ 6. 𝐸 ∙ 𝑑𝐴 ∙ cos 𝜃. 𝐸 et 𝑑𝐴 sont ⊥ cos 𝜃 = 0 𝜙𝐸 = 0 𝐸 et 𝑑𝐴 sont ∥ cos 𝜃 = 1 𝜙𝐸 = E ∙ A 𝐸 et 𝑑𝐴 sont 𝑎𝑛𝑡𝑖 ∥ cos 𝜃 = −1 𝜙𝐸 = −E ∙ A Calculez le flux avec 𝜙𝐸 = 5. 𝐸 ∙ 𝑑𝐴 = 𝑄𝑖𝑛𝑡 Ces deux points peuvent être inversés 𝜀0 . 𝑄𝑖𝑛𝑡 correspond à la charge située dans la surface de Gauss Égalisez les deux expressions et trouvez l’expression de E. ▫ Elle doit être positive car c’est l’expression de la grandeur de E. Cours 1 2015-08-03 Applications • Charge ponctuelle : Refaites les différentes étapes de la méthode. 𝑄 𝑘𝑄 𝐸= = 4𝜋𝜀0 𝑟² 𝑟² - r P 10 Cours 1 2015-08-03 Applications : comparaison avec la loi de Coulomb • Fil infini (>0): Refaites les différentes étapes de la méthode. 𝜆 2𝑘𝜆 𝐸= = 2𝜋𝜀0 𝑟 𝑟 r P 11 Cours 1 Applications • Plaque infinie (>0) 𝐸= 𝜎 2𝜀0 2015-08-03 12 Cours 1 13 2015-08-03 Exercice • On a une plaque infinie qui porte une densité de charge surfacique , avec 𝜎 = 3,10𝜇𝐶/𝑚². 𝑔 ▫ Dessinez le vecteur 𝐸 au point P ▫ Que vaut le champ électrique au point P ? ▫ On place une charge q de − 7,5𝑛𝐶 au point P. Dessinez la force électrique qui s’applique sur la charge. Que va-t-il se passer ? Que vaut la force électrique ? ▫ La charge est en équilibre. Que vaut sa masse ? r P Cours 1 Application R • Coquille sphérique ou sphère creuse (>0) ▫ Déterminez le champ électrique lorsque r<R ▫ Déterminer le champ électrique lorsque r>R • Vue en coupe : R r 14 2015-08-03 P r P R Cours 1 2015-08-03 Exercice • On a une sphère pleine de rayon R qui porte une densité de charges volumique avec 𝜌 < 0. • On veut déterminer l’expression du champ électrique à l’intérieur de la sphère au point P avec 𝑟 < 𝑅 et à l’extérieur avec 𝑟 > 𝑅 ▫ Utiliser le théorème de Gauss pour déterminer les deux expressions. Une à la fois ! 15 Cours 1 Les conducteurs • La charge à l’intérieur d’un conducteur est nulle. ▫ On ne peut pas avoir une densité de charges volumique ! • La charge se répartit en surface. • Champ électrique à la surface : 𝜎 ▫ 𝐸𝑠𝑢𝑟𝑓 = 𝜀 0 ▫ Esurf est perpendiculaire à la surface 2015-08-03 16 Cours 1 17 2015-08-03 Questions de compréhension • Dans la figure suivante, classez par ordre croissant de flux électrique passant à travers la surface sphérique en pointillés. +q 2R +2q 2R +q R Que vaut le flux qui passe à travers ces surfaces ? Que peut on dire de la charge ? Cours 1 18 2015-08-03 Questions de compréhension • On a une coquille sphérique conductrice de rayon intérieur R1 (10cm) et de rayon extérieur R2 (15cm). Elle porte une densité de charge de 30C/m². ▫ Que vaut la charge portée par la coquille ? • On place en son centre une charge ponctuelle de -5C. ▫ Que se passe-t-il ? ▫ Calculez la nouvelle répartition des charges, ▫ Déterminez l’expression du champ électrique dans les trois régions à l’aide du théorème de Gauss. R1 III II I R2
