Circuit fixe dans un champ magnétique variable

Circuit fixe dans un champ magnétique variable
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Calcul d’un flux
On peut montrer, dans le cadre de la mécanique des fluides, que le champ de vitesse pour un
fluide visqueux incompressible, de coefficient de viscosité η, s’écoulant de manière stationnaire
dans un cylindre de rayon R, de longueur L est de la forme :
~v = V0
r2
1− 2
R
~uz
∆pR2
, où ∆p représente la
4ηL
chute de pression entre l’entrée et la
sortie de la conduite.
avec V0 =
1. Que représente V0 ? Commenter son expression. Quelle est la vitesse du fluide sur les parois ?
2. On note ρ la masse volumique du fluide. Calculer le débit massique de fluide dans la
conduite en fonction de V0 , R et ρ.
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Inductance équivalente
Un ensemble de deux circuit couplés, non résistifs (R1 = R2 = 0) a son bobinage secondaire
en court-circuit. Un générateur est branché aux bornes du circuit primaire. Il impose une
tension variable u(t) = Um cos ωt.
1. Écrire le système d’équations différentielles régissant l’évolution des intensités.
2. Éliminer de ce système l’intensité i2 (t), de manière à faire apparaître la relation entre u(t)
et i1 (t). Quel comportement a le circuit couplé vu depuis le générateur ?
3. Reprendre la mise en équation à l’aide de l’écriture complexe et vérifier que l’on retrouve
le même résultat.
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Couplage entre deux bobines
On dispose de deux bobines identiques (S1 ) et (S2 )
chacune d’inductance propre L et de résistance ohmique
r = 8 Ω. On repère les bornes de chaque bobine par
les lettres C et D. Les deux bobines sont placées à
proximité l’une de l’autre. On les connecte en série sans
les déplacer de manière à créer un nouveau dipôle. La
connexion se fait suivant les deux possibilités suivantes :
la borne D de (S1 ) est reliée à la borne C de
(S2 )
la borne D de (S1 ) est reliée à la borne D de
(S2 )
On alimente successivement chacun des dipôles (a) et (b) par un courant sinusoïdal de fréquence f = 2, 0 kHz. La mesure du module de l’impédance donne Za = 375 Ω et Zb = 225 Ω.
En déduire les valeurs de l’inductance propre L de chaque bobine et l’inductance mutuelle M
des deux bobines.
Réponses : L = 12 mH ; M = 3, 0 mH.
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Dimensionnement d’un transformateur
On cherche à dimensionner le transformateur utilisé pour recharger un portable. La chaîne
d’énergie, logée dans un boîtier placé sur le cordon d’alimentation du portable se compose
successivement :
• de l’alimentation EDF du secteur qui délivre la tension v1 (t) = V0 sin(2πf0 t), où f0 =
50 Hz et V0 = 240 V,
• d’un transformateur, dont la sortie est v2 (t) = V0,2 sin(2πf0 t) et dont le rapport de
transformation est noté m,
• d’un redresseur, montage qui délivre la valeur absolue v3 de la tension d’entrée v2 ,
• d’un filtre moyenneur, dont la sortie v4 est la valeur moyenne de la tension d’entrée
v3 . La batterie du portable est branchée à la sortie, elle requiert une tension de charge
constante v4 = 12 V.
1. Que vaut V0,2 en fonction de V0 ?
2. Tracer le diagramme de la tension v3 (t).
3. Quelle est la nature du filtre utilisé entre v3 et v4 (passe-bas, passe-haut, passe-bande...) ?
Proposer une valeur pour sa fréquence de coupure.
4. Établir l’expression de la tension v4 en fonction de V0 .
5. En déduire la valeur de m.
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Table à induction
Le chauffage du fond métallique des récipients de cuisson peut être directement réalisé au moyen de courants de Foucault induits
par un champ magnétique variable.
Logé dans une table en céramique, un bobinage, nommé l’inducteur, alimenté en courant sinusoïdal génère ce champ. Le transfert
d’énergie électrique s’effectue par induction
mutuelle entre ce bobinage et la plaque assimilable à une spire unique fermée sur elle
même, située au fond d’une casserole.
L’inducteur est un bobinage de 20 spires dont la résistance totale est R1 = 1, 8.10−2 Ω et
d’inductance propre L1 = 30 µH.
La plaque de résistance R2 = 8, 3 mΩ et d’inductance propre L2 = 0, 24 µH, nommée l’induit
est assimilable à une spire unique refermée sur elle-même.
L’inducteur est alimenté par une tension sinusoïdale v1 (t) de fréquence f = 25 kHz. L’ensemble
plaque (induit) - inducteur se comporte comme deux circuits couplés par une mutuelle M
estimée à 2 µH en valeur absolue.
1. Écrire les équation électriques relatives aux deux circuits (équations de couplage entre i1
et i2 ).
2. On se place en régime sinusoïdal permanent et on utilise la notation complexe. Déduire
I2
d’une des équations électriques l’expression littérale du rapport des amplitudes complexes .
I1
V1
3. En déduire l’expression littérale de l’impédance d’entrée complexe : Ze = .
I1
2
2
4. Montrer que l’on peut négliger R2 devant (L2 ω)
avec une erreur relative inférieure à 5%.
I2 En déduire une expression approchée du module . Faire l’application numérique.
I1
5. Calculer numériquement la valeur de |Ze |.
6. Pour des raisons de sécurité, on se fixe comme objectif de limiter les pertes par effet Joule
dans l’inducteur à 50 W. Quelle est alors la valeur efficace maximale de la tension d’alimentation, de l’intensité du courant dans la plaque et de la puissance de chauffe développée dans
celle-ci. Cette
valeur vous semble-t-elle raisonnable ?
I Réponses : I21 = 8, 3 ; |Ze | = 2, 2 Ω.
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Circuits couplés par mutuelle
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Un circuit LC série oscille naturellement à la pulsation ω0 = √LC
. Cette pulsation est modifiée
lorsqu’on approche un autre circuit LC identique au premier, mais dans une configuration telle
que les deux circuits deviennent couplés par mutuelle induction.
Dans le circuit suivant, le condensateur de capacité C1 est chargé sous la tension u0 à la
date t = 0 où l’on ferme l’interrupteur K. On prendra dans toute la suite C1 = C2 = C et
L1 = L2 = L.
1. Que signifie, pour les lignes de champ magnétique, que les circuits soient couplés par
mutuelle induction ?
2. Établir deux équations différentielles couplées sur les tensions uC1 et uC2 aux bornes des
condensateurs.
3. Découpler ces équations en formant deux nouvelles équations vérifiées par la fonction
somme σ = uC1 + uC2 et la fonction différence δ = uC1 − uC2 . Les intégrer et en déduire les
expressions des tensions uC1 (t) et uC2 (t) aux bornes des condensateurs.
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et ω2 = p
On pourra poser ω1 = p
C(L + M )
C(L − M )
4. Si M L, comparer ω1 et ω2 . Quelle est alors, sans effectuer de calcul, l’allure du graphe
de uC1 (t) ? Comment s’appelle le phénomène observé ?
5. Dans le cas où M L, montrer que ω1 et ω2 s’écrivent :
M
M
ω1 = ω0 1 −
et ω2 = ω0 1 +
nL
nL
où n est un entier à préciser. En déduire l’expression de uC1 (t) sous la forme d’un produit
de cosinus, puis une méthode qui permette de mesurer expérimentalement le rapport M/L à
l’oscilloscope, avec les mesures de périodes des phénomènes.
Données :
p+q
p−q
cos p + cos q = 2 cos
cos
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Développement limité à l’ordre 1 au voisinage de 0 :
= 1 − αx + o(x)
(1 + x)α
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