Loi binomiale : exemple d`activité - Ministère de l`éducation nationale

Enseignement de mathématiques
Classe de première STMG
Loi binomiale : exemple d’activité
Contexte pédagogique
Objectifs
• Reconnaître une situation relevant de la loi binomiale et en identifier les paramètres.
Adapter les notations {X = k}, {X < k}, P(X = k), P(X < k) aux situations exposées, et faire
les calculs correspondants.
• Être capable de mobiliser ses connaissances pour répondre à une question ouverte : la
question 4, intitulée « recherche », et qui comporte 2 volets, n’indique pas la démarche à
adopter pour chacune des questions posées.
Extrait du programme de l’enseignement de mathématiques du cycle terminal STMG
Bulletin officiel n° 6 du 9 février 2012
Contenus Capacités attendues Commentaires
Probabilités
Variable aléatoire
associée au nombre de
succès dans un schéma
de Bernoulli.
• Connaître et utiliser les notations
{X = k}, {X < k}, P(X = k),
P(X < k).
Aucun développement théorique à
propos de la notion de variable
aléatoire n’est attendu.
Loi binomiale
Loi binomiale B(n,p). • Reconnaître des situations
relevant de la loi binomiale et en
identifier les paramètres.
La notion de factorielle, les
coefficients binomiaux et l’expression
générale de P(X = k) ne sont pas des
attendus du programme.
Pour introduire la loi binomiale, la
représentation à l’aide d’un arbre est
privilégiée : il s’agit ici d’installer une
représentation mentale efficace. Pour
n ≤ 4, on peut ainsi dénombrer les
chemins de l’arbre réalisant k succès
pour n répétitions et calculer la
probabilité d’obtenir k succès.
◊ On peut simuler la loi binomiale
avec un algorithme.
MEN/DGESCO-IGEN Juin 2013
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Ressources pour le lycée technologique
éduSCOL

Extrait du programme de l’enseignement de mathématiques du cycle terminal STMG
Bulletin officiel n° 6 du 9 février 2012
Contenus Capacités attendues Commentaires
• Calculer une probabilité dans le
cadre de la loi binomiale à l’aide de
la calculatrice ou du tableur.
Après cette mise en place, on utilise un
tableur ou une calculatrice pour
calculer directement des probabilités et
représenter graphiquement la loi
binomiale.
Prérequis, capacités
• Savoir utiliser un tableur ou une calculatrice pour calculer directement des probabilités liées à
la loi binomiale.
Les intentions
Après quelques calculs classiques sur la loi binomiale, l’élève est confronté à des situations rattachées à
la vie d’une entreprise : commenter les remarques des responsables du conditionnement et du marketing,
puis effectuer des recherches suggérées par les responsables de la qualité et de la production.
Selon les capacités des élèves en algorithmique, la dernière question où les recherches s’effectuent par
tâtonnement, pourrait donner lieu à la mise en place d’algorithmes et de petits programmes.
Exemple d’activité
Une entreprise de produits bio fabrique, en très grande quantité, des gélules dont la masse est exprimée
en milligrammes.
On admet que 4 % des gélules de ce type produites par l’entreprise ne sont pas acceptables pour la masse.
La production est suffisamment importante pour que l’on puisse assimiler un prélèvement de N gélules
à un tirage avec remise de N gélules.
On considère la variable aléatoire Y qui, à tout prélèvement de N gélules, associe le nombre de gélules
non acceptables pour la masse. Sauf indication particulière, les résultats seront arrondis au millième.
1. Justifier que la variable aléatoire Y suit une loi binomiale dont on déterminera les paramètres.
2. Dans cette question, on prend N = 10.
2.A. Calculer la probabilité que, dans un tel prélèvement de 10 gélules, une gélule et une seule
ne soit pas acceptable pour la masse.
P(Y = 1) ≈ 0,277
2.B. Calculer la probabilité que, dans un tel prélèvement de 10 gélules, une gélule au moins ne
soit pas acceptable pour la masse.
P(Y ≥ 1) ≈ 0,335
2.C. Calculer la probabilité que, dans un tel prélèvement de 10 gélules, il y ait strictement
moins de 4 gélules qui ne soient pas acceptables pour la masse. (arrondir au dix
millième).
P(Y < 4) ≈ 0,9996
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3. Commentaires de différents responsables dans l’entreprise.
3.A. Commenter la remarque du responsable du conditionnement dans cette entreprise qui
dit : « avec un taux de non-conformité de 4 % par gélule, si nous conditionnons les
gélules par sachet de 10, nous aurons moins de 70 % de nos sachets qui ne comporteront
que des gélules acceptables ».
Il a raison car P(X = 0) ≈ 0,665
3.B. Commenter la remarque du responsable marketing dans cette entreprise qui dit : « avec
un taux de non-conformité de 4 % par gélule, si nous conditionnons les gélules par sachet
de 10, nous aurons au moins 95 % de nos sachets qui comporteront 9 ou 10 gélules
conformes ».
Il n’a pas mathématiquement raison car P(X ≤ 1) ≈ 0,942
4. Recherche.
4.A. Le responsable de la qualité dans l’entreprise souhaite que la probabilité de n’avoir que
des gélules acceptables au sein d’un sachet de 10 soit supérieure ou égale à 0,8. Quel doit
être le taux de non-conformité maximum par gélule pour pouvoir atteindre cet objectif ?
Par essais successifs sur la valeur de p on obtient p ≈ 0,022
4.B. Après différentes tentatives, le responsable de la production constate qu’il n’est pas
possible avec le système actuel d’améliorer le taux de non-conformité, qui reste donc
fixé à 4 %. Quel doit alors être l’effectif maximum N du conditionnement en sachets
pour que la probabilité de n’avoir que des gélules acceptables au sein d’un sachet de N
soit supérieure ou égale à 0,8 ?
Par essais successifs sur la valeur de N on obtient N = 5.
Annexe – Utilisation du logiciel Géogébra pour obtenir les réponses
aux différentes questions
2.A.
2.B.
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2.C.
3.A.
3.B.
4.A.
4.B.
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