Notes de Cours PS 91 Cinématique du point I. Description du

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Notes de Cours PS 91
Cinématique du point
La cinématique du point est l’étude du mouvement d’un point matériel indépendamment des causes
de ce mouvement. En pratique l’approximation du point matériel peut être utilisée dans 2 cas très
importants : (i) si les dimensions du corps matériel sont très petites devant la distance parcourue
(Terre autour su Soleil) et (ii) on peut parfois associer le point matériel au centre d’inertie (trajectoire
d’un ballon).
I. Description du mouvement
Référentiel : Un référentiel d’espace est un ensemble de points immobiles les uns par rapport aux
autres qui occupent l’ensemble de l’espace. On peut également le voir comme un solide indéformable
avec ou sans réalité physique. En mécanique classique, le temps est considéré comme absolu, c’est à
dire identique dans tous les référentiels.
Pour décrire le mouvement d’un point, il faut un référentiel R et un repère, c’est à dire un point O
et une base vectorielle de l’espace. Le repère le plus classique est le repère cartésien (O, ~ex , ~ey , ~ez ).
Vecteur position : Etant donné un référentiel R et un repère, la position du point matériel M à un
instant t est donné par le vecteur position :
−−→
~r(M, t) = OM (t).
(Quand il n’y pas confusion sur le point, on peut utiliser simplement ~r(t) ou bien ~r). En coordonnées
cartésiennes, on a
~r(t) = x(t)~ex + y(t)~ey + z(t)~ez .
Les composantes x(t), y(t) et z(t) du point M sont des fonctions du temps et constituent les
équations horaires du mouvement. Lorsque cela est possible, l’équation de la trajectoire s’obtient en éliminant le temps t entre les différentes éuations horaires.
Vecteur vitesse : on définit le vecteur vitesse instanée par
−−→
~r(t + δt) − ~r(t)
d~r
dOM
~v (M, t) = lim
=
=
.
δt→0
δt
dt
dt
(de même, quand il n’y pas confusion sur le point, on peut utiliser simplement ~v (t) ou bien ~v ). Le
vecteur vitesse est ainsi tangent à la trajectoire et on note en général v = ||~v || la vitesse du point
M . En coordonnées cartésiennes, on a
~v (t) = ẋ(t)~ex + ẏ(t)~ey + ż(t)~ez .
Vecteur accélération : on définit le vecteur accélération par
−−→
d2~r
d2 OM
~a(M, t) = 2 =
.
dt
dt2
(ici encore, on peut utiliser simplement ~a(t) ou bien ~a). En coordonnées cartésiennes, on a
~a(t) = ẍ(t)~ex + ÿ(t)~ey + z̈(t)~ez .
Remarque : on peut avoir une vitesse ||~v || constante (mouvement uniforme) et une accélération
non nulle. Prenons par exemple le mouvement circulaire dans le plan Oxy : x(t) = a cos(ωt),
1
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y(t) = a sin(ωt) et z(t) = 0. Le point tourne à la vitesse angulaire ω (en rad/s) sur un cercle de
rayon a. On trouve ||~v || = aω et ~a = −ω 2~r . L’accélération est donc de norme égale à v 2 /a et
orientée vers le centre du cercle.
Abscisse curviligne : On définit l’abscise curviligne, la fonction du temps s(t) qui vérifie : δs =
s(t − δt) − s(t) où δt est un intervalle de temps et δs représente la longueur de la trajectoire décrite
par le point M entre les instants t et t + δt. En faisant tendre δt vers 0, on trouve que la dérivée de
s par rapport au temps est donnée par la vitesse :
ṡ =
ds
= v.
dt
Par conséquent :
s(t) − s(t0 ) =
Z
t
v(t′ ) dt′ =
t0
Z tp
ẋ2 + ẏ 2 + ż 2 dt′ ,
t0
où t0 est un instant initial quelconque (souvent on prend t0 = 0).
Base de Frenet : Il est utile d’introduire le vecteur unitaire T~ et tangent à la trajectoire dirigé
dans le même sens que le vecteur vitesse. Ainsi, on peut écrire
~v = v T~ = ṡT~ .
Note : on peut voir ce vecteur comme une fonction de l’abscisse curviligne, T~ = T~ (s(t)). En calculant
l’accélération on trouve :
~a =
d(v T~ )
dT~
dT~
= v̇ T~ + v
= v̇ T~ + v 2
.
dt
dt
ds
Comme T~ est unitaire sa dérivée est forcément perpendiculaire à T~ . On montre que dT~ /ds est
contenu dans le plan osculateur et dirigé vers le centre de courbure. On introduit ainsi la normale
~ de telle sorte que :
unitaire à la trajectoire N
~
N
dT~
= ,
ds
R
où R est le rayon de courbure. En résumé :
v2 ~
~a = v̇ T~ + N
.
R
On note aT = v̇ la composante tangentielle et aN = v 2 /R la composante normale de l’accélération.
~ sont orthogonaux), puis
En pratique,
à partir de ~v et ~a, on peut calculer aT = v̇ = ~a · T~ (car T~ et N
q
~ = T~ ∧ N
~ et
aN = ||~a||2 − a2 . La base de Frenet peut être complétée par le vecteur binormal B
T
~
~ où τ est la torsion.
on montre que dN/ds
= −T~ /R − τ B
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Trajectoire
T~
M
~ez
O
~
N
−−→
~r = OM
~ey
~ex
Figure 1 – Trajectoire du point M et base de Frenet.
II. Description dans divers systèmes de cordonnées
Coordonnées cylindro-polaires (ou cylindriques)
Etant donné un point M de composantes x, y et z dans le repère cartésien. On introduit ρ =
p
x2 + y 2 la distance du point à l’axe Oz et θ = arctan(y/x) (voir Figure 2). On définit le vecteur
radial unitaire ~eρ = cos θ~ex + sin θ~ey et le vecteur orthoradial unitaire ~eθ = − sin θ~ex + cos θ~ey . On
peut alors poser :
~r = x~ex + y~ey + z~ez = ρ~eρ + z~ez .
Pour calculer la vitesse et l’accélération en coordonnées cylindriques, il faut réaliser que les vecteurs
~eρ et ~eθ dépendent de la position angulaire du point et sont donc des fonctions du temps et
d~eρ
= θ̇~eθ
dt
et
d~eθ
= −θ̇~eρ .
dt
Ainsi, après calcul, on trouve que :
~v =
d~r
= ρ̇~eρ + ρθ̇~eθ + ż~ez .
dt
De la même façon,
~a =
d~v
= (ρ̈ − ρθ̇ 2 )~eρ + (ρθ̈ + 2ρ̇θ̇)~eθ + z̈~ez .
dt
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M
φ
r
z
~ez
~ey
O
~ex
ρ
θ
Figure 2 – Définition des coordonnées cylindrique (ρ, θ, z) et sphériques (r, θ, φ).
Coordonnées sphériques
Etant donné un point M de composantes x, y et z dans le repère cartésien. On introduit r = ||~r|| =
p
x2 + y 2 + z 2 la distance du point à l’origine. On introduit un deuxième angle φ entre le vecteur
−−→
position ~r = OM et l’axe Oz. Le vecteur unitaire ~er est définit de telle sorte que :
~r = x~ex + y~ey + z~ez = r~er .
Un simple calcul trigonométrique aboutit à
x = r cos θ sin φ
y = r sin θ sin φ
z = r cos φ
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III. Composition des vitesses - Changement de référentiel
On considère deux référentiels R et R′ dotés des repères respectifs (O, ~ex , ~ey , ~ez ) et (O′ , ~ex′ , ~ey′ , ~ez ′ ).
Considérons la trajectoire d’un point M dans l’espace. Sa position dans le repère R s’écrit :
−−→
OM = x~ex + y~ey + z~ez .
et dans R′ :
−−′−→
O M = x′~ex′ + y ′~ey′ + z ′~ez ′ .
Pour calculer la vitesse du point M , il faut préciser dans quel référentiel on se place. Ainsi, la
vitesse dans R s’écrit
−−→
dOM
= ẋ~ex + ẏ~ey + ż~ez .
~v/R =
dt R
Dans R′ , la vitesse s’écrit
~v/R′
−
−−→
dO ′ M
=
= ẋ′~ex′ + ẏ ′~ey′ + ż ′~ez ′ .
dt R′
Loi de composition des vitesses
Pour simplifier la présentation, on peut interprèter le référentiel R comme fixe et R′ en mouvement
par rapport à R. Ainsi, on note simplement ~va = ~v/R (a pour vitesse absolue) et ~vr = ~v/R′ (r pour
vitesse relative). La loi de composition des vitesses consiste à écrire la relation entre ~va et ~vr . Pour
−−→ −−→ −−−→
cela on utilise la relation de Chasles : OM = OO′ + O′ M et on doit considérer l’origine O′ et les
vecteurs ~ex′ , ~ey′ et ~ez ′ comme dépendant du temps. Au cours du mouvement de R′ , les vecteurs
unitaires ~ex′ , ~ey′ et ~ez ′ sont en rotation autour d’un axe (celui-ci peut aussi varier avec le temps).
On montre que
d~ex′
→
−
= Ω e ∧ ~ex′ ,
dt R
d~ey′
→
−
= Ω e ∧ ~ey′ ,
dt R
d~ez ′
→
−
= Ω e ∧ ~ez ′ .
dt R
On trouve ainsi,
−−→
−−−→
−−→
−
−−→
−−′−→ dO′ M
→
−
dOO′
dO ′ M
dOO′
~va =
+
=
+ Ωe ∧ O M +
dt R
dt R
dt R
dt R′
En résumé :
~va = ~ve + ~vr
−−→
−−−→
→
−
dOO′
où ~ve =
+ Ω e ∧ O′ M .
dt R
La vitesse ~ve est appelée vitesse d’entraı̂nement composée d’une translation (vitesse de O′ ) et
→
−
d’une rotation (vecteur rotation Ω e ).
Vecteur rotation dans le cas d’une rotation autour de l’axe Oz
Dans le cas d’une rotation autour de l’axe Oz, il suffit de projeter les vecteurs de la base tournante
~ex′ et ~ey′ dans le repère fixe ~ex et ~ey . On a (voir Figure 3) :
~ex′ = cos φ ~ex + sin φ ~ey
~ey′ = − sin φ ~ex + cos φ ~ey
Après dérivation on trouve,
d~ex′
= φ̇~ey′ = φ̇~ez ∧ ~ex′
dt R
et
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d~ey′
= −φ̇~ex′ = φ̇~ez ∧ ~ey′ .
dt R
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M
~e y′
~e x′
φ(t)
′
O
~ey
O
~ex
Figure 3 – Cas d’une translation dans le plan Oxy et d’une rotation autour de l’axe Oz.
Dans ce cas, on trouve que
→
−
Ω e = φ̇~ez .
Ainsi, le vecteur rotation est le produit de la vitesse de rotation φ̇ par le vecteur unitaire de l’axe de
rotation Oz.
Loi de composition des vitesses entre deux points d’un solide rigide
Ceci est une conséquence importante de la loi de composition des vitesses. En effet, on peut “voir” le
référentiel R′ comme un solide rigide en translation et en rotation dans R′ . Prenons deux points du
solide M et M ′ (c’est à dire deux points fixes dans R′ ). Leur vitesse relative est donc nulle. Ainsi,
la loi de composition pour chacun des points s’écrit :
−−→
−−→
−−′−
→
−−−→
dOO′
→
−
dOO′
→
−
′
~va (M ) =
+ Ω e ∧ O M et ~va (M ) =
+ Ω e ∧ O′ M ′ .
dt R
dt R
Par conséquent :
−−−→
→
−
~va (M ) = ~va (M ′ ) + Ω e ∧ M ′ M .
Ainsi, si on connaı̂t la vitesse en un seul point du solide, on peut calculer sa vitesse en tout point.
Lorsqu’il existe un point (apppelons-le I) dont la vitesse est nulle (roulement sans glissement par
→
−
−−→
exemple, Fig. 4), alors on a simplement : ~va (M ) = Ω e ∧ IM .
M
I
Figure 4 – Cylindre roulant sans glisser.
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IV. Eléments de cinétique
Notion de masse
La masse d’un corps est une grandeur scalaire, positive et conservative qui ne dépend ni de l’état du
système, ni du référentiel. Elle caractérise la quantité de matière d’un système [unité : kg].
Système discret : N corps assimilables à des points matériels. La masse totale m système, s’obtient
en sommant :
N
X
m=
mj .
j=1
On peut définir le centre d’inertie (ou de masse) G tel que :
N
−−→ X −−−→
mOG =
mj OMj .
j=1
M2
M1
M
M3
~r
O
O
M4
Figure 5 – Système discret (gauche) et continu (droite).
Système continu : On décompose le système en petits éléments de volume δV (~r) (le vecteur ~r
est là pour spécifier la position de l’élément de volume) et de masse δm(~r). Lorsqu’on fait tendre
l’élément de volume vers 0, on définit la masse volumique :
δm(~r)
δV →0 δV (~
r)
ρ(~r) = lim
La masse totale vaut
m=
ZZZ
système
dm =
ZZZ
volume
ρ(~r)dV.
Le centre d’inertie se calcule à partir de :
ZZZ
ZZZ
−−→
−−→
−−→
mOG =
OM dm =
ρ(~r)OM dV.
système
volume
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Quantité de mouvement
La quantité de mouvement est le produit de la masse par le vecteur vitesse d’un corps supposé
ponctuel. Il s’agit d’une grandeur vectorielle, définie par
[unité :kg.m.s−1 ].
p~ = m~v ,
Notons que ~
p dépend du référentiel d’étude. Par addidivité, il est possible de définir la quantité de
mouvement d’un système matériel. Dans le cas d’un système discret on a :
p~ =
N
X
mj ~vj .
j=1
En utilisant, la définition du centre de d’inertie G d’un système, on trouve simplement :
p~ = m~vG ,
où ~vG est la vitesse du point G. La relation reste vraie pour un système continu.
Moment cinétique
Le moment cinétique d’un point matériel M est le moment de la quantité de mouvement ~p par
rapport à un point O. On note
−→
~O = −
L
OM ∧ ~
p,
[unité :kg.m2 .s−1 ].
On peut étendre la définition dans le cas d’un système discret ou continu.
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Dynamique
La dynamique est une discipline de la mécanique classique qui étudie les corps en mouvement sous
l’influence des actions mécaniques qui leur sont appliquées. Elle combine la statique qui étudie
l’équilibre des corps au repos, et la cinématique qui étudie le mouvement.
I. Notion de force
Action de l’extérieur sur le système conduisant à une modification de l’état de repos (ex : déformation
d’un solide) ou du mouvement d’un système. La force est une grandeur vectorielle caractérisée par :
1. la direction : orientation de la force,
2. le sens : vers où la force agit,
3. la norme : grandeur de la force [unité : N],
4. le point d’application : endroit où la force s’exerce.
On peut classer les forces selon la répartition de leur mode d’application (action sur un point, sur
une surface, sur un volume) et selon la portée de leur action :
1. force de contact (réaction, frottement,...)
2. force agissant à distance (gravitation, électromagnétique,...).
Illustration de différents types de forces
1. P~ : poids [à distance]
~ : réaction du sol [de contact]
2. R
~k : force de rappel du ressort [de contact]
3. F
4. T~ : tension du câble [de contact]
~a : force magnétique de l’aimant [à distance]
5. F
T~
~k
F
ressort
sol
aimant
cable
~
R
P~
~a
F
P~
P~
P~
Figure 1 – Illustration de différents types de forces. A l’équilibre, ces forces sont de même amplitude
~ = kF
~k k = kT~ k = kF
~a k = kP~ k.
car :kRk
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II. Principes de Newton
Les lois du mouvement de Newton sont des principes à la base de la théorie de Newton concernant
le mouvement des corps, théorie que l’on nomme mécanique classique.
Première loi de Newton ou principe d’inertie
L’énoncé original est le suivant :
Tout corps persévère dans l’état de repos ou de mouvement uniforme en ligne droite
dans lequel il se trouve, à moins que quelque force n’agisse sur lui, et ne le contraigne à
changer d’état.
En fait cette loi n’est valable que dans un référentiel galiléen (*). Dans un langage plus moderne :
Dans un référentiel galiléen, le vecteur vitesse du centre d’inertie ~vG d’un système est
constant si et seulement si la somme des vecteurs forces, notées F~i,ext qui s’exercent
sur le système est un vecteur nul.
Mathématiquement, cela se traduit par :
d~
p
= 0 si et seulement si
dt
X
~i,ext = 0
F
i
On peut noter que cela est vrai pour 1 corps isolé (ponctuel ou non) ou un système de N corps isolé,
c’est à dire soumis à aucun effort externe.
1 corps
N corps
~v1
~vG
G
~v2
G
~vG
~v3
Figure 2 – La quantité de mouvement d’un système isolé se conserve : ~
p = cte. Notons que le
centre d’inertie G d’un système n’est pas obligatoirement associé à un point matériel du corps.
(*) Référentiel galiléen
Un référentiel est galiléen si et seulement si il est en translation uniforme par rapport à un autre
référentiel galiléen. Mais alors comment choisir un référentiel galiléen de référence ? Le meilleur
exemple est le référentiel de Copernic défini à partir du centre d’inertie du système solaire.
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Deuxième loi de Newton ou principe fondamental de la dynamique en translation
~ exercée sur un système de masse m
Dans un référentiel galiléen, la force résultante F
(constante au cours du temps) est égale au produit de la masse par l’accélération du
centre d’inertie G du système.
Mathématiquement, cela se traduit par :
m~aG =
X
d~
p
~i,ext
= F~ =
F
dt
i
Troisième loi de Newton ou principe des actions mutuelles
Tout corps A exerçant une force sur un corps B subit une force d’intensité égale, de
même direction, mais de sens opposé, exercée par le corps B.
Mathématiquement, cela se traduit par :
~A/B = −F
~B/A
F
Ces forces ont la même droite d’action, des sens opposés et la même norme. Ces deux forces sont
toujours directement opposées, que A et B soient immobiles ou en mouvement.
III. Principe fondamental de la dynamique en rotation
Dans le cas d’un point matériel M , on rappelle que le moment cinétique par rapport à un point O
−→
~O = −
OM ∧ p~, ainsi en dérivant par rapport au temps, il vient :
fixe est L
−−→
~O
−−→ d~
dL
dOM
p −−→ ~
=
∧~
p + OM ∧
= OM ∧ F
dt
dt
| dt
{z }
=~
v
En fait, cette relation est équivalente à la deuxième loi de Newton dans le cas d’un point matériel.
Elle est néanmoins pratique pour étudier les mouvements associés aux forces centrales. Le principe
s’étend dans le cas d’un système (continu ou discret) mais dans ce cas, il faut bien identifier le
~i,ext s’exerçant sur le système :
point d’application Ai de chaque force F
X −−→
~O
dL
=
OAi ∧ F~i,ext
dt
i
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IV. Principe fondamental de la statique dans le cas d’un solide
C’est une conséquence directe des principes fondamentaux de la dynamique (en translation et rota~ O constant. Ainsi, la
tion). Le cas statique se traduit par une vitesse ~vG et un moment d’inertie L
somme des efforts externes est nécessairement nulle :
X
~i,ext = 0
F
i
de même pour la somme des moments en un point O fixe :
X −−→
OAi ∧ F~i,ext = 0
i
Illustration : Equilibre d’un drapeau
Un drapeau de masse m est maintenu par un câble horizontal. Le pied du drapeau étant en appui
~ du mur en fonction de la
sur un mur, on veut calculer la tension T~ du câble ainsi que la réaction R
position angulaire α. Le centre d’inertie G du drapeau est supposé au milieu de la tige de longueur
L. Par conséquent, le poids P~ = m~g du drapeau s’applique en G. Les autres points d’application
~ est quelconque.
sont A et O. Enfin, T~ est de même direction que le câble alors que la direction de R
La somme des moments calculés par rapport au point O donne :
−→ ~ −−→ ~
OA ∧ T + OG ∧ P = 0
Après calcul, on trouve que
mg
tan α
2
Enfin, pour obtenir la réaction, il suffit d’écrire que la somme des forces est nulle, ce qui donne
kT~ k =
~ = −T~ − P~
R
On peut noter que dans cet exercice, les forces ne dépendent pas de la longueur du drapeau !
T~
A
~
R
G
L
P~
O
Figure 3 – Equilibre d’un drapeau.
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Forces
I. Forces à distance
I. 1 Attraction gravitationnelle
Deux corps ponctuels de masses respectives mA et mB s’attirent avec des forces de mêmes valeurs
(mais vectoriellement opposées), proportionnelles à chacune des masses, et inversement proportionnelle au carré de la distance qui les sépare. Cette force a pour direction la droite passant par A et
B. La force exercée par A sur B s’écrit
~A/B = −G mA mB ~ur
F
r2
−−
→
où ~r = AB et ~ur est le vecteur unitaire de A vers B : ~ur = ~r/r où r = k~rk. La constante
gravitationnelle vaut G = 6, 6742 × 10−11 N.m2 .kg−2 . On peut généraliser pour un système S de
masses ponctuelles mi , i = 1, 2, 3 . . . et la force exercée par le système sur un corps ponctuel A vaut
alors
X mA mi
X mi
~S/A = −
F
G
~uri = mA~g où ~g = −
G 2 ~uri
2
r
ri
i
i
i
est le champ de gravité au point A. Si le système de masse m est une sphère homogène (densité
volumique constante) de centre O, alors la force exercée sur A a pour direction la droite passant par
O et A et
m
F~S/A = mA~g où ~g = −G 2 ~ur
r
−→
où ~r = OA et ~ur est le vecteur unitaire de O vers A. Par exemple, à la surface de la Terre :
k~g k = 9, 81m.s−2 .
m1
m2
~r1
~r2
A
m3
~r
~r3
A
O
~r4
m4
Figure 1 – Champ de gravité en A dû à un système de masses ponctuelles (à gauche) et une sphère
homogène de centre O (à droite).
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I. 2 Force électromagnétique
Force électrostatique de Coulomb
Toute charge qA au point A exerce sur une charge qB au point B immobile une force,
appelée force de Coulomb de la forme :
~A/B =
F
1 qA qB
~ur
4πε0 r 2
où ε0 = 8, 854 × 10−12 F.m−1 est la permittivité électrique dans le vide.
Ainsi la force est attractive si qA qB < 0 et répulsive si qA qB > 0. On peut généraliser pour un
système S de charges ponctuelles qi , i = 1, 2, 3 . . . et la force exercée par le système sur A vaut alors
~S/A =
F
X
i
1 qA qi
~
~uri = qA E
4πε0 ri2
où
~ =
E
1 X qi
~ur
4πε0
ri2 i
i
est le champ électrique au point A crée par l’ensemble des charges qi .
Figure 2 – Lignes de champ d’un dipôle électrique (à gauche) et produites par deux charges positives
2q et q (à droite).
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Force magnétique
Force s’exerçant sur une particule chargée q animée d’une vitesse ~v en présence d’un
~ (en Tesla) :
champ magnétique B
~ = q~v ∧ B
~
F
Conséquence : la force magnétique est toujours perpendiculaire à la vitesse et au champ magnétique.
Figure 3 – Action de la force magnétique sur une particule animée d’une vitesse initiale horizontale.
Force de Lorentz
Force s’exerçant sur une particule chargée q animée d’une vitesse ~v en présence d’un
~ B)
~ :
champ électromagnétique (E,
~ = q(E
~ + ~v ∧ B)
~
F
I. 3 Intéraction nucléaire
L’interaction forte est responsable de la cohésion du noyau. Sans elle, les forces de répulsions
électromagnétiques entre protons feraient éclater le noyau. La portée de l’interaction forte est d’environ 10−15 m, c’est-à-dire la taille d’un noyau atomique. C’est cent fois plus que l’interaction faible,
mais négligeable devant les portées infinies de la gravitation et de l’interaction électromagnétique.
L’interaction forte est la plus forte des interactions fondamentales. Sa constante de couplage est
environ cent fois plus grande que celle de l’interaction électromagnétique, un million de fois plus que
celle de l’interaction faible, et 1039 fois plus que celle de la gravitation.
L’interaction faible est responsable de la désintégration radioactive de particules subatomiques et
est à l’origine de la fusion nucléaire dans les étoiles. Cette force fondamentale est la plus faible des
interactions non gravitationnelles. Aux énergies habituellement considérées en physique nucléaire, on
la modélise par une interaction effective simplifiée (force de Fermi) dont la constante de couplage est
environ 10 000 fois moindre que celle de l’interaction électromagnétique et 1 000 000 fois moindre que
celle de l’interaction nucléaire forte. Cela s’explique entre autres par le fait que son champ d’action
est très limité.
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II. Forces de contact
II. 1 Contact entre solide : force de frottement sec
Le frottement représente l’action d’une surface rigide sur un solide, action qui s’oppose
au mouvement du solide par rapport à la surface. La force exercée par la surface sur le
~ et la force de frottement f~ :
solide est la somme de la réaction normale N
~ =N
~ + f~
R
~
R
~
N
~v
f~
Figure 4 – Force de frottement.
L’expérience montre qu’il faut distinguer deux cas : le cas statique ~v = 0 et le cas dynamique ~v 6= 0.
Force de frottement dynamique
La loi de Coulomb dynamique des frottements (déduite des observations) s’écrit :
~ k ~v
f~ = −µd kN
k~v k
où ~v désigne la vitesse relative du point de contact du solide par rapport à la surface et µd est le
coefficient de frottement dynamique qui dépend de la température et l’état de surface de contact et
de la nature des surfaces.
Force de frottement statique
Si on exerce sur un corps immobile une force F~ext d’intensité croissante, l’expérience montre que
~ext k ≤ f max (force d’arrachement), le corps reste immobile. Dans ce cas, on observe que
tant que kF
~ k = f max
kf~k ≤ µs kN
où µs est le coefficient de frottement statique qui dépend de la nature et de l’état des surfaces en
contact. En général µs ≥ µd .
Condition de contact et décollement
~ = N~n où ~n est le vecteur unitaire normal à la paroi
On peut toujours écrire l’effort normal : N
orienté vesr le corps et N ≥ 0. La condition de décollement est donnée par N = 0. En pratique,
on cherche, sous l’hypothèse qu’il y a contact, à quelle condition N < 0, ce qui est physiquement
inacceptable et siginifie que l’hypothèse n’est plus valable.
4
UTC
PS91
II. 2 Contact entre solide et fluide
Force de pression
Les molécules constituant un fluide (gaz ou liquide) sont en perpétuel mouvement. Les
particules bougent sans cesse, dans toutes les directions et au gré des chocs. La pression
p est la force moyenne par unité de surface due aux particules venant frapper une paroi.
Ainsi un solide ou une surface δS en contact avec un fluide subit une force dirigée selon
la normale ~n à la surface :
δF~p = p δS~n
Il faut noter que la pression peut ne pas être constante dans le fluide et dépend du point M ou elle
s’applique, on note p = p(M ). Dans le cas d’une surface plane S soumise à une pression constante
alors on a simplement F~p = p S~n. La pression se mesure en Pascal (Pa) et 1 Pa = 10−5 bar = 1
N.m−2 .
Bouteille de gaz : Une bouteille de volume V est remplie d’un gaz maintenu à la température T
(en Kelvin (K)). La pression à l’intérieur de la bouteille est constante et vérifie l’équation des gaz
parfaits :
pV = nRT
où R = 8, 3144621J.K−1 .mol−1 et n est la quantité de matière (en mole).
Barrage hydraulique : A la profondeur h par rapport à la surface libre, la pression de l’eau dans le
barrage vérifie la relation fondamentale de la statique :
p(h) = p0 + ρe gh
où p0 est la pression atmosphérique (environ 1 bar) et ρe est la masse volumique de l’eau (ρe ≈
1000kg.m−3 ). La force résultante sur l’ensemble du barrage est donnée par l’intégrale de surface
Z
~
Fp =
p(h)~n dS
barrage
Poussée d’Archimède :
Tout corps plongé dans un fluide au repos, entièrement mouillé par celui-ci ou traversant
sa surface libre, subit une force verticale, dirigée de bas en haut et opposée au poids
du volume de fluide déplacé ; cette force est appelée poussée d’Archimède. Le point
d’application de cette force est le centre ce masse du fluide déplacé.
bouteille de gaz
sous pression
barrage hydraulique
Figure 5 – Illustrations.
5
poussée d’Archimède
UTC
PS91
Frottement fluide et force de traı̂née
Un frottement fluide est une force de frottement qui s’exerce sur un objet qui se déplace dans
un fluide ; elle dépend de la vitesse relative ~v de l’objet et du fluide. L’exemple typique est celui
d’une bille qui tombe dans un liquide visqueux : plus elle va vite, plus la force de frottement fluide
qui s’exerce sur elle est importante, jusqu’à ce que soit atteint un régime d’équilibre où la force de
frottement compense exactement la force de gravitation : la vitesse de la bille devient alors constante.
Loi linéaire pour les faibles vitesses : Dans ce cas, l’écoulement est dit rampant et la force de
traı̂née F~ est due uniquement aux phénomène visqueux, on a
F~ = −kµ~v
où k est un coefficient dépendant de la forme de l’objet et µ la viscosité dynamique du fluide.
Loi quadratique pour les fortes vitesses : Dans ce cas la force de traı̂née est en grande partie due
à la différence de pression entre l’avant et l’arrière de l’objet, on a
1
F~ = − Cx ρSk~v k~v
2
où Cx est le coefficient de traı̂née dépendant de la forme de l’objet, ρ la masse volumique du fluide
et S est l’aire de projection de l’objet sur un plan perpendiculaire à la vitesse.
Figure 6 – Ecoulement d’air autour d’un objet : à gauche l’écoulement est rampant et la force de
traı̂née suit une loi linéaire ; à droite l’écoulement est turbulent à l’arrière de l’objet et la force de
traı̂née suit une loi quadratique.
Objet
Cx
disque
sphère
demi-sphère + cône
aile d’avion
1,32
0,45
0,04
0,03
Table 1 – Valeur du coefficient de traı̂née (sans dimension) en fonction de la forme de l’objet.
6
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PS91
III Forces dans les systèmes mécaniques
Fil inextensible
Le fil inextensible peut être vu comme un ressort de raideur infinie. Lorsqu’il est accroché à un solide,
il transmet un effort dont le point d’application est le point d’attache du fil sur le solide et dont
la direction est portée par le fil. L’amplitude de l’effort transmis dépend des équations d’équilibre.
Attention : si c’est une tige qui remplace le fil, l’effort transmis peut avoir une direction quelconque
(y compris dans une direction autre que celle de la tige).
point d’attache
point d’attache
poulie
tige
fil tendu
T~2
~
R
T~
T~1
solide
solide
Figure 7 – Pour un fil tendu, la direction de la force est portée par le fil, ce n’est pas forcément
vrai pour une tige rigide (ceci est dû à la masse de la tige). Dans le cas de la poulie, la tension du
fil est constante kT~1 k = kT~2 k si (i) le fil glisse sans frottement ou bien (ii) si le fil ne glisse pas et
entraı̂ne ainsi la poulie de masse négligeable.
Ressort
Un ressort linéaire est caractérisé par sa raideur k (en N/m) et sa longueur à vide l0 . Lorsqu’un
ressort est attaché à un système mécanique, il transmet une force de rappel telle que : son point
d’application est le point d’accroche du ressort, sa direction est celle du ressort, son sens est tel que
le ressort tend à revenir à sa longueur au repos, son amplitude est proportionnelle à l’allongement
l − l0 du ressort (l étant la longueur du ressort) :
F~ = −k(l − l0 )~ex
l0
l
~ex
l
Figure 8 – Ressort.
7
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PS91
Notes de Cours PS 91
Rappel de Math...
Produit scalaire et vectoriel
~ et B.
~ Ces deux vecteurs font un angle θ, (voir la vue en
Prenons deux vecteurs quelconques A
perpective). Le produit scalaire (noté par le point ‘·’) de ces deux vecteurs est défini par :
~ ·B
~ = ||A||||
~ B||
~ cos θ.
A
Le produit vectoriel (noté par le chapeau ‘∧’) de ces deux vecteurs est défini par :
~ =A
~ ∧ B.
~
C
~ est perpendiculaire au plan formé par les vecteurs A
~ et B.
~ Sa norme vaut :
Le vecteur C
~ = ||A||||
~ B||
~ sin θ.
||C||
~ est donné par la fameuse “règle
Ici, θ est compris entre 0 et π (sinon c’est négatif !). Le sens de C
~ et B,
~ on change de signe :
du tire-bouchon”. Ainsi, si on permute A
~ ∧A
~ = −C.
~
B
~
C
~
B
θ
~
A
Figure 1 – Produit scalaire et vectoriel.
Maintenant, si on considère le repère cartésien (O, ~ex , ~ey , ~ez ) orthonormé, c’est-à-dire qu’il vérifie :
||~ex || = ||~ey || = ||~ez || = 1,
~ex · ~ey = 0 et ~ez = ~ex ∧ ~ey .
On peut écrire les deux vecteurs dans cette base :
~ = a1~ex + a2~ey + a3~ez
A
et
1
~ = b1~ex + b2~ey + b3~ez .
B
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PS91
~ey
~e y′
~e x′
φ
~ex
O
Figure 2 – Base tournante ~ex′ et ~ey′ dans le repère fixe ~ex et ~ey .
Comme la base est orthonormée, les composantes a1 , a2 , etc... du vecteur s’obtiennent simplement
~ · ~ex etc... De
en faisant le produit scalaire avec les vecteurs de la base : ainsi par exemple : a1 = A
plus le produit scalaire peut s’exprimer en fonctions des composantes, on trouve facilement que :
~·B
~ = a1 b1 + a2 b2 + a3 b3 .
A
Pour illustrer l’emploi du produit scalaire, prenons le cas de la base tournante ~ex′ et ~ey′ dans le repère
fixe ~ex et ~ey . Calculons les composantes :
~ex′ · ~ex = cos φ et ~ex′ · ~ey = cos(π/2 − φ) = sin φ
~ey′ · ~ex = cos(φ + π/2) = − sin φ et ~ey′ · ~ey = cos φ.
Ainsi, on trouve bien
~ex′ = cos φ ~ex + sin φ ~ey
et ~ey′ = − sin φ ~ex + cos φ ~ey .
Pour le produit vectoriel, il suffit de “voir” que
~ex = ~ey ∧ ~ez ,
~ey = ~ez ∧ ~ez
et ~ez = ~ex ∧ ~ey .
Après calcul on trouve que :
~∧B
~ = (a1~ex + a2~ey + a3~ez ) ∧ (b1~ex + b2~ey + b3~ez )
A
= (a2 b3 − a3 b2 )~ex + (a3 b1 − a1 b3 )~ey + (a1 b2 − a2 b1 )~ez .
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PS91
Un peu d’analyse...
Prenons deux fonctions du temps (par exemple) f (t) et g(t). Alors
d(f ∗ g)
df
dg
=
g+f
dt
dt
dt
df n
df n−1
=n f
dt
dt
df (g(t))
dg df
=
(g(t))
dt
dt dt
Si la fonction f vérifie
alors
df
= g,
dt
Z
f (t) = g(t′ ) dt′ + cte
ou bien encore
f (t) − f (t0 ) =
Z
t
g(t′ ) dt′ .
t0
Equations différentielles
La solution de
df
+ af = C
dt
où a et C sont des constantes est donnée par
f (t) = Ae−at + C/a
où A doit être déterminé à partir des conditions initiales en t = 0.
La solution de
d2 f
+ ω2 f = C
dt2
où ω et C sont des constantes est donnée par
f (t) = A cos(ωt) + B sin(ωt) + C/ω 2
où A et B doivent être déterminés à partir des conditions initiales en t = 0.
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