Notes de Cours PS 91 Cinématique du point I. Description du

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Notes de Cours PS 91
Cin´ematique du point
La cin´ematique du point est l’´etude du mouvement d’un point mat´eriel ind´ependamment des causes
de ce mouvement. En pratique l’approximation du point mat´eriel peut ˆetre utilis´ee dans 2 cas tr`es
importants : (i) si les dimensions du corps mat´eriel sont tr`es petites devant la distance parcourue
(Terre autour su Soleil) et (ii) on peut parfois associer le point mat´eriel au centre d’inertie (trajectoire
d’un ballon).
I. Description du mouvement
R´ef´erentiel : Un r´ef´erentiel d’espace est un ensemble de points immobiles les uns par rapport aux
autres qui occupent l’ensemble de l’espace. On peut ´egalement le voir comme un solide ind´eformable
avec ou sans r´ealit´e physique. En m´ecanique classique, le temps est consid´er´e comme absolu, c’est `a
dire identique dans tous les r´ef´erentiels.
Pour d´ecrire le mouvement d’un point, il faut un r´ef´erentiel Ret un rep`ere, c’est `a dire un point O
et une base vectorielle de l’espace. Le rep`ere le plus classique est le rep`ere cart´esien (O, ~ex, ~ey, ~ez).
Vecteur position : Etant donn´e un r´ef´erentiel Ret un rep`ere, la position du point mat´eriel M`a un
instant test donn´e par le vecteur position :
~r(M, t) = −−→ OM(t).
(Quand il n’y pas confusion sur le point, on peut utiliser simplement ~r(t)ou bien ~r). En coordonn´ees
cart´esiennes, on a
~r(t) = x(t)~ex+y(t)~ey+z(t)~ez.
Les composantes x(t), y(t)et z(t)du point Msont des fonctions du temps et constituent les
´equations horaires du mouvement. Lorsque cela est possible, l’´equation de la trajectoire s’ob-
tient en ´eliminant le temps tentre les diff´erentes ´euations horaires.
Vecteur vitesse : on d´efinit le vecteur vitesse instan´ee par
~v(M, t) = lim
δt→0
~r(t+δt)−~r(t)
δt =d~r dt=d−−→
OM
dt.
(de mˆeme, quand il n’y pas confusion sur le point, on peut utiliser simplement ~v(t)ou bien ~v). Le
vecteur vitesse est ainsi tangent `a la trajectoire et on note en g´en´eral v=||~v|| la vitesse du point
M. En coordonn´ees cart´esiennes, on a
~v(t) = ˙x(t)~ex+ ˙y(t)~ey+ ˙z(t)~ez.
Vecteur acc´el´eration : on d´efinit le vecteur acc´el´eration par
~a(M, t) = d2~r
dt2=d2−−→
OM
dt2.
(ici encore, on peut utiliser simplement ~a(t)ou bien ~a). En coordonn´ees cart´esiennes, on a
~a(t) = ¨x(t)~ex+ ¨y(t)~ey+ ¨z(t)~ez.
Remarque : on peut avoir une vitesse ||~v|| constante (mouvement uniforme) et une acc´el´eration
non nulle. Prenons par exemple le mouvement circulaire dans le plan Oxy :x(t) = acos(ωt),
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y(t) = asin(ωt)et z(t) = 0. Le point tourne `a la vitesse angulaire ω(en rad/s) sur un cercle de
rayon a. On trouve ||~v|| =aω et ~a =−ω2~r . L’acc´el´eration est donc de norme ´egale `a v2/a et
orient´ee vers le centre du cercle.
Abscisse curviligne : On d´efinit l’abscise curviligne, la fonction du temps s(t)qui v´erifie : δs =
s(t−δt)−s(t)o`u δt est un intervalle de temps et δs repr´esente la longueur de la trajectoire d´ecrite
par le point Mentre les instants tet t+δt. En faisant tendre δt vers 0, on trouve que la d´eriv´ee de
spar rapport au temps est donn´ee par la vitesse :
˙s=ds
dt=v.
Par cons´equent :
s(t)−s(t0) = Zt
t0
v(t′) dt′=Zt
t0p˙x2+ ˙y2+ ˙z2dt′,
o`u t0est un instant initial quelconque (souvent on prend t0= 0).
Base de Frenet : Il est utile d’introduire le vecteur unitaire ~ Tet tangent `a la trajectoire dirig´e
dans le mˆeme sens que le vecteur vitesse. Ainsi, on peut ´ecrire
~v =v~ T= ˙s~ T .
Note : on peut voir ce vecteur comme une fonction de l’abscisse curviligne, ~ T=~ T(s(t)). En calculant
l’acc´el´eration on trouve :
~a =d(v~
T)
dt= ˙v~
T+vd~
T
dt= ˙v~
T+v2d~
T
ds.
Comme ~ Test unitaire sa d´eriv´ee est forc´ement perpendiculaire `a ~ T. On montre que d~ T /dsest
contenu dans le plan osculateur et dirig´e vers le centre de courbure. On introduit ainsi la normale
unitaire `a la trajectoire ~ Nde telle sorte que :
d~ T
ds=~
N
R,
o`u Rest le rayon de courbure. En r´esum´e :
~a = ˙v~ T+v2
R~
N.
On note aT= ˙vla composante tangentielle et aN=v2/R la composante normale de l’acc´el´eration.
En pratique, `a partir de ~v et ~a, on peut calculer aT= ˙v=~a ·~ T(car ~ Tet ~ Nsont orthogonaux), puis
aN=q||~a||2−a2
T. La base de Frenet peut ˆetre compl´et´ee par le vecteur binormal ~
B=~ T∧~ Net
on montre que d~ N/ds=−~ T /R −τ~ Bo`u τest la torsion.
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~ex
~ey
~ez
M
~r =−−→ OM
~
T
~
N
Trajectoire
O
Figure 1 – Trajectoire du point Met base de Frenet.
II. Description dans divers syst`emes de cordonn´ees
Coordonn´ees cylindro-polaires (ou cylindriques)
Etant donn´e un point Mde composantes x, y et zdans le rep`ere cart´esien. On introduit ρ=
px2+y2la distance du point `a l’axe Oz et θ= arctan(y/x)(voir Figure 2). On d´efinit le vecteur
radial unitaire ~eρ= cos θ~ex+ sin θ~eyet le vecteur orthoradial unitaire ~eθ=−sin θ~ex+ cos θ~ey. On
peut alors poser :
~r =x~ex+y~ey+z~ez=ρ~eρ+z~ez.
Pour calculer la vitesse et l’acc´el´eration en coordonn´ees cylindriques, il faut r´ealiser que les vecteurs
~eρet ~eθd´ependent de la position angulaire du point et sont donc des fonctions du temps et
d~eρ
dt=˙
θ~eθet d~eθ
dt=−˙
θ~eρ.
Ainsi, apr`es calcul, on trouve que :
~v =d~r
dt= ˙ρ~eρ+ρ˙
θ~eθ+ ˙z~ez.
De la mˆeme fa¸con,
~a =d~v
dt= (¨ρ−ρ˙
θ2)~eρ+ (ρ¨ θ+ 2 ˙ρ˙ θ)~eθ+ ¨z~ez.
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~ex
~ey
~ezz
M
r
θ
φ
ρ
O
Figure 2 – D´efinition des coordonn´ees cylindrique (ρ, θ, z)et sph´eriques (r, θ, φ).
Coordonn´ees sph´eriques
Etant donn´e un point Mde composantes x, y et zdans le rep`ere cart´esien. On introduit r=||~r|| =
px2+y2+z2la distance du point `a l’origine. On introduit un deuxi`eme angle φentre le vecteur
position ~r =−−→ OM et l’axe Oz. Le vecteur unitaire ~erest d´efinit de telle sorte que :
~r =x~ex+y~ey+z~ez=r~er.
Un simple calcul trigonom´etrique aboutit `a
x=rcos θsin φ
y=rsin θsin φ
z=rcos φ
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III. Composition des vitesses - Changement de r´ef´erentiel
On consid`ere deux r´ef´erentiels Ret R′dot´es des rep`eres respectifs (O, ~ex, ~ey, ~ez)et (O′, ~ex′, ~ey′, ~ez′).
Consid´erons la trajectoire d’un point Mdans l’espace. Sa position dans le rep`ere Rs’´ecrit :
−−→
OM =x~ex+y~ey+z~ez.
et dans R′:−−−→
O′M=x′~ex′+y′~ey′+z′~ez′.
Pour calculer la vitesse du point M,il faut pr´eciser dans quel r´ef´erentiel on se place. Ainsi, la
vitesse dans Rs’´ecrit
~v/R=d−−→
OM
dtR
= ˙x~ex+ ˙y~ey+ ˙z~ez.
Dans R′, la vitesse s’´ecrit
~v/R′=d−−−→
O′M
dtR′
= ˙x′~ex′+ ˙y′~ey′+ ˙z′~ez′.
Loi de composition des vitesses
Pour simplifier la pr´esentation, on peut interpr`eter le r´ef´erentiel Rcomme fixe et R′en mouvement
par rapport `a R. Ainsi, on note simplement ~va=~v/R(apour vitesse absolue) et ~vr=~v/R′(rpour
vitesse relative). La loi de composition des vitesses consiste `a ´ecrire la relation entre ~vaet ~vr. Pour
cela on utilise la relation de Chasles : −−→ OM =−−→ OO′+−−−→ O′Met on doit consid´erer l’origine O′et les
vecteurs ~ex′, ~ey′et ~ez′comme d´ependant du temps. Au cours du mouvement de R′, les vecteurs
unitaires ~ex′, ~ey′et ~ez′sont en rotation autour d’un axe (celui-ci peut aussi varier avec le temps).
On montre que
d~ex′
dtR
=−→ Ωe∧~ex′,d~ey′
dtR
=−→ Ωe∧~ey′,d~ez′
dtR
=−→ Ωe∧~ez′.
On trouve ainsi,
~va=d−−→
OO′
dtR
+d−−−→
O′M
dtR
=d−−→
OO′
dtR
+−→ Ωe∧−−−→ O′M+d−−−→
O′M
dtR′
En r´esum´e :
~va=~ve+~vro`u ~ve=d−−→
OO′
dtR
+−→ Ωe∧−−−→ O′M.
La vitesse ~veest appel´ee vitesse d’entraˆınement compos´ee d’une translation (vitesse de O′) et
d’une rotation (vecteur rotation −→ Ωe).
Vecteur rotation dans le cas d’une rotation autour de l’axe Oz
Dans le cas d’une rotation autour de l’axe Oz, il suffit de projeter les vecteurs de la base tournante
~ex′et ~ey′dans le rep`ere fixe ~exet ~ey. On a (voir Figure 3) :
~ex′= cos φ ~ex+ sin φ ~ey
~ey′=−sin φ ~ex+ cos φ ~ey
Apr`es d´erivation on trouve,
d~ex′
dtR
=˙ φ~ey′=˙ φ~ez∧~ex′et d~ey′
dtR
=−˙ φ~ex′=˙ φ~ez∧~ey′.
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