GLPH311 - Electrostatique et Magnétostatique Examen de 2

GLPH311 - Electrostatique et Magnétostatique
Examen de 2ème session, le 20 juin 2014
Durée 2 heures, aucun document autorisé,
calculatrice et téléphone portable interdits
Soyez clair, concis et apportez le plus grand soin à la rédaction
On rappelle l'opérateur gradient :
en coordonnées cylindriques :
 1  
,
,
r r  z
; en coordonnées sphériques :

1
 1 
,
,
r r sin   r 
Partie 1 - électrostatique : (10 pts) :
Exercice 1.1 Champ créé par une demi-sphère non conductrice, chargée en surface :
On considère une demi sphère de centre O, de rayon R, chargée uniformément en surface avec la densité surfacique

1.1.1 Quel est le système de coordonnées le mieux adapté à la description de
cette distribution ? Représenter sa base orthonormée locale en un point M
quelconque de l'espace.
1.1.2 Calculer la charge totale portée par la demi-sphère.
1.1.3 Quels sont les plans de symétrie de la distribution de charge décrite cidessus ?
En déduire la direction du champ électrostatique au point O.
1.1.4 Énoncer la loi de Coulomb en donnant l'expression de l'élément de champ

électrostatique dE( M )
créé en un point M quelconque de l’espace par un élément charge dq situé au point P.

1.1.5 Par intégration trouver l'expression du champ électrostatique E(0) créé par la demi-sphère chargée au
point O.
1.1.6 Donner l'expression du potentiel élémentaire dV(M) créé au point M par un élément charge dq situé au
point P. En déduire le potentiel crée par la demi-sphère au point O.
Exercice 1.2 Champ créé par une distribution de charges :
Soit une distribution de charges à symétrie sphérique de centre O. On donne le potentiel créé par cette distribution
de charges à la distance r du centre O :
V( r ) 
e 1
r
exp(  ) avec : a=0,5 Å et e=la norme de la charge élémentaire.
4πε o r
a
1.2.1 Quel repère de coordonnées est le plus approprié pour traiter le problème ? Représenter sa base
orthonormée locale en un point M quelconque de l'espace.

1.2.2 Dans le système de coordonnées choisi, trouver l'expression du champ électrique E( r ) créé par cette
distribution de charges à la distance r du centre O.
1.2.3 En appliquant la définition du flux d'un champ vectoriel, calculer le flux total r du champ électrique
sortant de la surface sphérique de centre O et de rayon r.
1.2.4 À partir du résultat de 1.2.3 et en appliquant le théorème de Gauss trouver la charge totale à l'intérieur
de la surface sphérique de centre O et de rayon r.
1.2.5 Le potentiel V(r) correspond au modèle de l'atome d’hydrogène assimilé à un proton ponctuel, avec un
électron non localisé dont la charge électrique est répartie en volume selon une symétrie sphérique
centrée sur le proton. Montrer que la distribution de charges comporte bien une charge +e en son
centre (r0), et que sa charge totale est nulle (r). Pour cela, on calculera les limites de Q(r) en r0
et en r.
Partie 2 - magnétostatique (10 pts):
Exercice 1.2 Champ magnétique généré par une nappe de courant :
Soit une plaque métallique d’épaisseur D considérée comme un plan
infini et placée dans l'espace selon le plan (xOy). La plaque est disposée
symétriquement par rapport à z=0. Elle est parcourue par un courant
stationnaire circulant dans le sens des y croissants. La densité de courant est
uniforme à l’intérieur de la plaque et le courant s’écrit :


j  jo  e y
2.1
2.2
2.3
2.4
avec jo  0

Donner les éléments de symétrie de cette distribution de courant j : les plans de symétrie et
antisymétrie et les invariances.


Déduire des éléments de symétrie de j la direction du champ magnétique B(M) créé en tout point

M de l'espace. En déduire aussi les variables dont dépend le champ magnétique B . Justifier votre
réponse.
Expliquer pourquoi entre le champ magnétique au-dessus et en dessous du plan xOy il y a la relation :
B(-z)=-B(z).
Soit un contour imaginaire rectangulaire ABCD dans le plan xOz. Dans les trois cas dessinés ci
dessous, calculer la circulation du champ magnétique B(M) le long de ce contour :
Cas 1
2.5
2.6
Cas 2
Cas 3

En déduire l'expression du champ B en tout point de l'espace. Illustrer sur un graphique l’allure des

variations de l’amplitude du champ magnétique B en fonction de la hauteur z.
La force de Laplace :
2.6.A Donner la définition de la force de Laplace.
2.6.B Dans le problème précédant, de la plaque parcourue par un courant uniforme circulant dans le
sens des y croissants, on place selon l'axe Oz un fil conducteur parcouru par un courant Io
circulant dans le sens des z croissants. Illustrer sur un schéma le vecteur de la force de Laplace
qui s’exerce sur ce fil conducteur.
CORRECTIONS
Partie 1 - électrostatique : (10 pts) :
Exercice 1.1 Champ créé par une demi-sphère non conductrice, chargée en surface :
1.1.1
Le système de coordonnées Les coordonnées sphériques
La base orthonormée locale : ⃗ ⃗
le mieux adapté
La base orthonormée locale
en un point M quelconque
de l'espace.
⃗
1.1.2 La charge totale portée par la Une distribution surfacique de charge : dq=dS et Q=∬
demi-sphère.
avec dS dans des cordonnées sphériques :
∬
∫ ∫
∫ ∫
[
∫
1.1.3 Les plans de symétrie
La direction du champ
électrostatique au point O.
Tout plan perpendiculaire à la face plane et passant par O est plan de
symétrie.
Le champ électrostatique est contenu dans ce plan. Comme ces plans
sont multiples et qu’ils se coupent selon l’axe Oz perpendiculaire à la face
plane, E est porté par Oz : ⃗⃗
⃗

1.1.4 Loi de Coulomb : dE( M )
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
créé en un point M par un
élément charge dq situé au
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
point P.

1.1.5 Par intégration trouver E(0)
créé au point O.
]
‖⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗‖
‖⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗‖
où
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
‖⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗‖
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
où
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
On considère un élément de surface dS de la demi sphère centré en un
point P. Le champ électrostatique élémentaire créé par cet élément au
point O a pour expression : ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗
En vertu de 1.1.3 seule la projection de ce vecteur sur l’axe Oz contribue
au champ au point O :
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗
=
∫
⃗
⃗
⃗ ∫
⃗
⃗ ∫
∫
⃗ ∫
=
⃗
∫
⃗ ∫
∫
⃗ [
]
⃗
1.1.6
L'expression du potentiel
élémentaire dV(M) créé au
‖⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗‖
point M par un élément
On considère un élément de surface dS de demie sphère centré en un
charge dq situé au point P.
point P. Le potentiel électrostatique élémentaire créé par cet élément au
Le potentiel crée par la demi- point O à pour expression :
sphère au point O.
∫
∫
=
Exercice 1.2 Champ créé par une distribution de charges :
1.2.1 Le système de coordonnées le Les coordonnées sphériques
La base orthonormée locale : ⃗ ⃗
mieux adapté
⃗
La base orthonormée locale
en un point M quelconque de
l'espace.
1.2.2 L'expression
du
champ
électrique
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗V = - V ,
1 V 1 V
,
r r sin   r 
⃗⃗
mais V=f(r) uniquement donc : ⃗⃗

⃗⃗⃗⃗
V( r )

e 1
r
e  1
r
 (
exp(  ))  
( exp(  )) 
r
r 4πε o r
a
4πε o r r
a
e  1
r 1 
r 
( )  exp(  )   (exp(  )) 

4πε o  r r
a r r
a 
e  1
r 1
1
r 

(

)

exp(

)


(

exp(

)) 
4πε o  r ²
a r
a
a 

e 1
r 1 1
r 
 exp(  )   exp(  ) 

4πε o  r ²
a r a
a 
e 1
r 1 1
 exp(  )    
4πε o r
a r a 

e 1
r 1 1
donc : E 
 exp(  )      er
4πε o r
a r a 
1.2.3 Le flux d'un champ vectoriel,
Le flux total r du champ
électrique sortant de la surface
sphérique de rayon r.
1.2.4 Théorème de Gauss
La charge totale à l'intérieur
de la surface sphérique de
centre O et de rayon r.
∫ ⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗
∫
⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗
∫
∫
∫ ⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗
e 1
r 1 1
 exp(  )    
4πε o r
a r a 
=
r  r
 exp(  )  1  
a  a
r  r
exp(  )  1   ) =
a  a
1.2.5 Calculer les limites de Q(r)
en r0
r
r  r
a
exp(  )  1   ) =
r
a  a
exp( )
a
On trouve l'expression du type alors on cherche :
1
et en r.
(1 
r
a
)
r
exp( )
a ]
[
(
=
1
)
a
=
r
exp( )
a ]
[
Partie 2 - magnétostatique
Exercice 1.2 Champ magnétique généré par une nappe de courant :
2.1
2.2
2.3
2.4
Les éléments de symétrie de cette les plans de symétrie : xOy ; yOz

distribution de courant j :.
les plans d'antisymétrie :
xOz

La direction du B(M)
les invariances :
translation Ox ; Oy

B(M)  les plans de symétrie : donc en tout point M de l'espace :

⃗⃗⃗⃗⃗
B(M)  au plan yOz d’où : ⃗⃗
Une situation particulière pour M'  xOy :
on trouve ⃗⃗
⃗⃗⃗⃗ mais comme nous avons démontré
que B est dirigé selon selon ⃗⃗⃗⃗⃗ donc ce résultat signifie

Les invariances de B(M) sont les mêmes que celles de j (M) :

d’où l'invariance de B(M) par rapport aux translations Ox ; Oy ; B
varie uniquement enj fonction de z et finalement : ⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
Expliquer pourquoi entre le champ Le plan xOy c'est une plan de symétrie pour la distribution de
courant donc c'est un plan d'antisymétrie pour le champ magnétique
magnétique au-dessus et en
Comme le champ est dirigé selon z alors l'antisymétrie impose :
dessous du plan xOy il y a la B(-z)=-B(z).
relation :
B(-z)=-B(z).
Pour la même raison sur le plan xOy B=0 (voir 2.2)

Les variables dont dépend B .
Justifier votre réponse.
La circulation
∫ ⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗

calculer la B(M) le long de ce
contour ABCD:
∫ ⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗
∫ ⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗
∫ ⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗
∫ ⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
Avec :
⃗⃗⃗⃗⃗
∫ ⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ∫
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
=0 (idem)
∫ ⃗⃗
∫ ⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗=∫
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗
∫ ⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗
∫
∫
=
∫ ⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗=∫
⃗⃗⃗⃗⃗
=
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
[
Cas 1 :
]
Cas 2 :
Cas 3 :
(idem)

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
2.5 Le champ B en tout point de On applique le Théorème d'Ampère :
∑
∮ ⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗
l'espace.
[
]
Cas 1 (| |
) :
car I=0 dans le contour ABCD
donc : B=Cte
|
Cas 2 (|
:
2B(zo)L=2jµozoL
car
⃗⃗⃗⃗⃗
∫ ⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ∫ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
∫
Cas 2 (| |
:
∫
donc : B(z)=jµoz
2B(zo)L=jµoDL
car
∫ ⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗
∫
∫
donc : B(z)=
jµoD/2
Un graphique
2.6 .A La force de Laplace :
La force de Laplace est la force électromagnétique qu'exerce un

champ magnétique B sur un conducteur parcouru par un courant I :
⃗ ⃗⃗
⃗
2.6.B La force de Laplace qui s’exerce Le conducteur parcouru par le courant :
⃗⃗⃗⃗
sur le fil conducteur.
est immerger dans le champ magnétique crée par le nappe de
courant : ⃗⃗⃗⃗⃗
La force de Laplace :
⃗
⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗