Cours de physiqueI Chapitre trois Cinematique 2011

Chapitre trois : Cinématique
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
3.6
Objet de la cinématique
Le temps et l’espace
La trajectoire
Le vecteur-position et vecteur-vitesse
Le vecteur-accélération
Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées cartésiennes
3.7 Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées polaires
3.8 Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées cylindriques
3.9 Composantes du vecteur-vitesse et accélération en
coordonnées sphériques
3.10 Exemples de mouvements
3.1 Objet de la cinématique
La cinématique : est l’étude des mouvements d’un corps indépendamment de toutes causes
capables de le provoquer ou de le modifier.
La dynamique établit les relations ente les causes du mouvement et leurs effets.
3.2 Le temps et l’espace
Un repère : c’est un ensemble de points rigidement liés les uns aux autres permettant de
définir un repérage de l’espace
Un référentiel (R) : il est composé d’un repère et d’une horloge permettant de définir un
repérage des instants ou des durées
3.3 La trajectoire
C’est généralement une courbe et le mobile peut être repéré de différentes manières :
 par rapport à une origine fixe O par un vecteur-position (rayon-vecteur)
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
par rapport à un repère orthonormé quelconque Oxyz
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3.4 Vecteur-position et vecteur-vitesse
Déterminons la variation du rayon vecteur entre t et t’.
Le vecteur-vitesse moyenne est égale à la variation du vecteur OM divisé par l’intervalle de
temps (t’-t)
Si on fait tendre δt vers zéro, on obtient la vitesse instantanée.
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[v] = LT-1
est tangent à la trajectoire si M tend vers M’
c'est-à-dire soit :
Le vecteur vitesse est toujours tangent à la trajectoire. On peut donc écrire :
( vecteur unitaire et tangent à la trajectoire).
,
a même direction et sens que
3.5 Le vecteur-accélération
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On définit le vecteur-accélération moyen par :
et le vecteur-accélération instantanée par :
C’est la dérivée du vecteur–vitesse.
[a] = LT-2
Attention : Ne pas confondre
dx2 = dx. dx
d² x = d(dx)
d(x2 )= 2x . dx
infiniment petit au carré : c’est un carré, dimension de x au carré.
infiniment petit du 2° ordre : c’est la dimension de x.
dimension de x au carré.
3.6 Composantes des vecteurs-vitesse et accélération en
coordonnées cartésiennes
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Les coordonnées cartésiennes du point M sont (x,y,z)
Vecteur position (rayon vecteur)
Le vecteur-position est donnée par :
La base est
Les vecteurs de base ne changent pas de direction ni de sens, ni de norme au cours du temps.
Leurs dérivées par rapport au temps sont nulles.
Elément de longueur
L’élément de longueur peut s’écrire :
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Elément de volume
L’élément de volume est donné par :
Calculons le volume d’un parallélépipède de coté a, b et c en faisant varier x de 0 à a y de 0 à
b et finalement z de 0 à c en utilisant l’élément de volume on obtient alors :
Vecteur-vitesse
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Vecteur-accélération
Le vecteur-accélération est donné par :
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3.7 Composantes des vecteurs-vitesse et accélération en
coordonnées polaires
Les coordonnées polaires de M sont :
Vecteur position (rayon vecteur)
La base est :
avec
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;
;
, en général n’est pas tangent à la trajectoire.
La base
est une base mobile,
changent de direction au cours du temps.
Passage en coordonnées cartésiennes
Le passage des coordonnées polaires aux coordonnées cartésiennes se fait en projetant le point
M sur les axes.
On peut aussi passer des coordonnées cartésiennes aux coordonnées polaires.
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Vecteur-vitesse
Rappel mathématique :
Comment dériver un vecteur unitaire tournant (variable) ?
Quand on dérive un vecteur unitaire par rapport à son angle polaireθ, on
obtient un vecteur unitaire perpendiculaire au premier.
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Vecteur-accélération
Rappel mathématique :
Comment dériver un produit de trois fonctions ?
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Elément de longueur
Elément de surface
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Calculons le volume d’un disque de rayon R, en faisant varier r de 0 à R et θ de 0 à 2π. En
utilisant l’élément de volume on obtient alors :
3.8 Composantes des vecteurs-vitesse et accélération en
coordonnées cylindriques
Les coordonnées cylindriques du point M sont
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Les trois coordonnées n’ont pas la même dimension.
La base est :
sont des vecteurs variables ; ils varient au cours du temps suivant la position du
mobile.
est un vecteur constant, il conserve la même direction et le même sens quelque soit la
position du mobile.
Vecteur position (rayon vecteur)
Si M subit une variation infiniment petite qui le fait passer de M à M’, alors ,
respectivement de
à +d
; de à + d et z à z + dz
M( , ,z)  M’ ( + d , + d , z + dz)
Déterminons le vecteur- vitesse.
et z varient
Vecteur-vitesse
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Vecteur Accélération
Passage en coordonnées cartésiennes
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On peut alors déterminer les composantes cartésiennes de la vitesse en fonction des
coordonnées cylindriques.
Eléments de longueur
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z
M’
z
M
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Elément de surface
Elément de volume
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Calculons le volume d’un cylindre de rayon R et de hauteur h. En utilisant l’élément de
volume en intégrant ρ de 0 à R , z de 0 à h et θ de 0 à 2π, on balaie le cylindre de rayon a et
de hauteur h.
Exemple : (t) = R z=0
OM = Ru + 0uz
du = du d = °(-u )
du = du d = °(- u )
dt d
dt
dt
d dt
V = R °u = R u
a = R °°u - R °²u
accélération centripète normale
accélération tangentielle
si le mouvement est uniforme ° =
a = -R °²u = -R ²u = - v²/R
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= cst
(car v = R )
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formule de passage des coordonnées cylindrique ( ; ; z) aux coordonnées cartésiennes
x = cos
y = sin
z= z
z
z=z
M
x = cos
x
vx = dx = °cos dt
vy = dy = °sin +
dt
vz = z°
v
=
O
i
k
j
y = sin
y
°sin
°cos
vx ² + vy ² + vz² =
°² + (
°)² + z°²
3.9 Composantes des vecteurs-vitesse et accélération en
coordonnées sphériques
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M(r ; ; )
r 0
0
2
0
base (Ur ;U ;U )
dV=(rd )(dr)(rsin d )
dV = r²sin drd d
soit une sphère de rayon R calculons son volume v
v=∫r=0 R ∫ =0 ∫ =0 2 r²sin drd d
v=∫r=0 Rr²dr ∫ =0 sin d ∫ =0 2 d
v=[r3 ]0 r [-cos ]0 [ ]0 2 = R3 2 2 = 4 R3
[ 3]
3
3
OM = rur
dl = MM’ = drur + rd u +rsin d u
élément de longueur en coordonnée sphérique
vitesse
v = dl = MM’ = dOM
dt
dt
dt
*
*
v = r ur + r u + rsin * u
(la dérivé de ur ne donne pas u car l’angle polaire de ur n’est pas connu et la variation de ur se
fait dans l’espace)
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Relations avec les coordonnées cartésiennes
x = rsin cos
y = rsin sin
z = rcos
vx = r* sin cos + r * cos cos - r * sin sin
vy = r* sin sin + r * cos sin + r * sin cos
vz = r* cos - r * sin
3.10 Exemples de mouvements
Un point M décrit une hélice circulaire d’axe oz. Son mouvement est donné par :
x = acos
y = asin
z =h
a : rayon du cylindre de révolution sur lequel est tracé l’hélice
h : une constante
z
h=2
h /2
a
y
a
x
x=a
x=0
=0 y=0
= /2 y=a
z=0
z=h /2
à chaque tour on monte de 2
=2
x=a
y=0
z=2h
a) déterminer le vecteur position en coordonnée cylindrique
OM = OH + HM = aur + h uz
b) déterminer le vecteur vitesse et sa norme en coordonnée cylindrique
v = a * u + h * uz
v
= ((a * u )² + (h * uz)²)1/2
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c) déterminer le vecteur accélération et sa norme en coordonnée cylindrique
a = a ** u -a * ²ur + h ** uz
a = -a * ²ur + a ** u + h ** uz
d) Que deviennent les formules si le mouvement est uniforme ?
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Coordonnées cartésiennes
Coordonnées d’un point M
M(x,y,z)
x : abscisse
y : ordonnée
z : côte
  
(i , j , k )
Vecteurs de base
Elé ments de base
Elé ments de surface ( 3 faces )
dx
dS1
dy.dz
ou
(u x , u y , u z )
dy
dS2
dx.dz
Dz
dS3
dx.dy
Variation élémentaire du vecteur position
dl d OM MM ' OM ' OM
Volume élémentaire :
Vecteur position
dV
dx.dy.dz
OM r
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