Cours de Physique de Spé

Cours de Physique
Spé
Cuthbert Youlldie
18 janvier 2009
Autoinduction (suite de
magnétostatique)
0.1 Dénition du phénomène autoinduction
C'est un phénomène qui apparaït quand un système physique est traversé
par un ux magnétique variable Φ(t), et se traduit par la présence d'une force
électromotrice e et d'un
s courant i dans le circuit.
~ , ou
~ = B
~ · dS
En eet, Φ(B)
x
~ =
Φ B
B · dS · cos α
~
~ dS
où α B,
Pour avoir Φ(t), il sut d'avoir :

 B(t)
S(t)

α(t)
par variation du courant I(t)
~ par translation du système
surface traversée par les lignes de B
~
par notation du système dans le champ B
0.2 Loi de Faraday
Elle exprime la force électromotrice e créée par autoinduction Φ(t) : on en
déduit donc le courant i en appliquant la loi d'Ohm e = R · i, R la résistance
totale du circuit.
0.2.1 Première expression de la loi de Faraday
Elle donne la force électromotrice e en fonction de la variation du ux au
cours du temps.



e = − dΦ(t)
dt

e = − ∆Φ = − Φf ·Φi
∆t
tf ·ti
dérivée du ux Φ(t)par rapport à t utilisé pour des
variations très brèves du ux.
utilisé pour des variations lentes.
1
0.2.2 Deuxième expression de la loi de Faraday
Champ électromoteur E~m
C'est le champ qui apparait lors de l'autoinduction et qui est responsable
de l'apparition du courant induit i.
Expérience Soit un conducteur de longueur l se déplaçant sur des rails parallèles M N et P Q, avec une vitesse ~v . L'ensemble est placé dans un champ
~.
magnétique uniforme B
G est un galvanomètre, un ampèremètre qui mesure de faibles courants.
D
M
Fm
N
v
Em
B
G
i
P
C
Q
Observations
Quand le conducteur est immobile (v = 0), il n'y a pas de courant (i = 0).
Quand le conducteur se déplace à droite ou à gauche, on mesure i dans le
sens opposé.
Interprétation L'électron du conducteur, sous l'eet de ~v et de B~ sera soumis
à une force magnétique.
~
F~m = q~v ∧ B
F~m fait déplacer l'électron de C → D, il apparaît donc un courant induit
i de D → C .
Comme F~m provoque un déplacement de charge, on pose F~m = F~e .
~ = q E~m ⇒ re
~ = E~m 1
q re
~ ∧B
~ ∧B
~
E~m = ~v ∧ B
Expression de la force électromotrice
D'après la loi
d'électrostatique 2 ,
on donne :
Z
e=
e
circuit
~
E~m · dl
1. E~m est le champ électromoteur engendré par le phénomène autoinduit.
2. La diérence de potentiel représente la circulation du champ électrique.
2
Application
1. Principe de l'alternateur
Un alternateur est un générateur de courant alternatif, obtenu par rotation
d'une bobine dans un champ magnétique, avec une pulsation ω (Cf TD1,
exo 4) : α = α(t) = ω · t : l'équation horaire de rotation.
2. Disque de rayon R tournant dans un champ magnétique
w
z
v
O
M
B
R
Em
(a) Représenter E~m entre O et R.
~
E~m = ~v ∧ B
= v · e~v ∧ B · e~z
= vB e~θ ∧ e~z
E~m = vB e~r
→ E~m est donc radial.
(b) Diérence de potentiel
VO − VA
RA
~
= O E~m · dl
RR
= O Em dr
RR
= O rωBdr
Soit, en volts :
VO − VA = ω
R2
B
2
0.3 Énergie magnétique
~ est emmagasiné une
Pour un point M où règne un champ magnétique B
énergie magnétique élémentaire (en Joules) :
dWm =
1 2
B dτ
2µ0
L'énergie totale :
Wm =
µ0
µ
1 y 2
B dτ
2µ0 τ
= 4π · 10−7 S.I.
= perméabilité magnétique du vide
= µr · µ0 (µr ≥ 1)
3
Donc, dans le vide, µr = 1 ⇒ µ = µ0
µ caractérise la capacité qu'a un milieu à laisser passer les lignes de champ
magnétique.
Application Calcul de l'énergie magnétique
spires d'un tore magnétique.
Rappel
Wm stockée à l'intérieur des
0N I
(exo 2 du TD)
R1 < r < R2 : B(r) = µ2πr
2
2 2
t
µ0 N I
1
Wm = 1µ0
4π 2 r 2 r dr dθ dz
Rh RR
R
µ0 N 2 I 2 2π
⇒ Wm = 8π2
dθ 0 dz R12 1r dr
0
µ0 N 2 I 2
R2
Wm =
h · ln
4π
R1
4
Chapitre 1
Outils mathématiques
d'analyse vectorielle
1.1 Opérateurs
Dénition de données en coordonnées
cartésiennes
.
~
1.1.1 Opérateur nabla : ∇
C'est un vecteur dont les composants sont (en cartésien) :
δ 
δx
~ δ
∇
δy
δ
δz

~ est le m−1 .
L'unité S.I. de ∇
~
1.1.2 Gradient : grad
~ est obtenu lorsque ∇
~ s'applique en produit normal à une fonction
Le grad
quelconque f .
~
~
gradf
= ∇f

~
grad(f
)=

δf
δx
 δf

 δy 
δf
δz
f : champ de scalaire.
Exemple
f peut représenter la pression P , la température T , la masse m, le
potentiel électrique V , . . .
Signication physique
Un fort gradient correspond à une grande variation de la fonction sur de
très courtes distances.
~
Le grad(f
) est perpendiculaire à l'ensemble des points où f est constante
5
Exemple 1
Pression atmosphérique
grad (P)
Pb > Patm
Cuve à eau
isobares : la pression est constante en tout point.
Exemple 2 Sphère chargée en volume.
grad (V)
r
grad (V)
O
R
Les sphères de rayon r sont des surfaces équi-potentielles
~
⇒ grad(V
) à ces surfaces.
~
⇒ grad(V
) sera donc radial.
1.1.3 Divergeance : div
~ s'applique en produit scalaire avec un vecteur
Obtenu lorsque l'opérateur ∇
~ quelconque.
V
~
~ =∇
~ ·V
~ = scalaire
V
grad
 
Vx
Soit V Vy 
V
z   
δ
Vx
δx

~ =δ
Vy  = δVx + δVy + δVz
div V
δy  ×
δx
δy
δz
δ
Vz
δ
z
~
1.1.4 Rotationnel : rot
   δVz
δVy 
Vx
δy − δz
 x
δVz 
~ =∇
~ ∧V
~ =
~ V
rot
∧ Vy  =  δV
δz − δx 
δVy
δVx
Vz
δx − δy
~ s'applique en produit vectoriel à un
~ est obtenu lorsque l'opérateur ∇
Le rot
vecteur V~ quelconque.


δ
δ
 δx 
 δy 
δ
δz
6
Signication physique du rotationnel
Un vecteur de rotationnel non nul tourne ou fait tourner un objet
sensible à ce champ de vecteur.
Un champ uniforme a toujours un rotationnel nul.
Un champ de vecteur qui varie selon une direction perpendiculaire à un
rotationnel non nul.
1.1.5 Laplacien : ∆
Cet opérateur est utilisé dans toutes les équations de vibration ou d'oscillation.
On le retrouve dans notre cas dans l'équation de propagation du champ
électromagnétique.
~ B
~ =O·E·M
E,
Laplaciel appliqué à une fonction f
∆f
~ (f )
= div grad
~ · ∇f
~
=∇
~ 2f =
=∇
δ2
2 f
δx
+
δ2
δy2 f
+
Le résultat est un scalaire.
δ2
δz2 f
Laplacien appliqué à un vecteur V~




∆Vx = ∆f
Vx = f
~ =  ∆Vy = ∆g 
~  Vy = g  ⇒ ∆V
V
∆Vz = ∆h
Vz = h
Avec f , g et h trois fonctions de x, z et z .
 δ2
~ =
∆V
δ2 f
 δx2
 2g
 δx
δ2
2 h
δx
+
+
+
δ2
δy2 f +
δ2
δy2 g +
δ2
δy2 h +
δ2
δz2 f

δ2 
δz2 g 
δ2
δz2 h

1.2 Transformation d'intégrale
1.2.1 Théorème de Stokes, ou théorème du rotationnel
s
Il permet de transformer une en une . ~
~ V
Pour un vecteur V~ quelconque, C(V~ ) = Φ rot
R
I
C
~ =
~ .dl
V
x
~
~ dS
~ V
rot
S
Utilisé surtout lorsque l'on veut établir des équations locales.
7
Conditions à vérier
C : trajet fermé.
S : surface qui repose sur le contour C .
Système à symétrie cylindrique
S
C
C = Cercle.
S = Surface du disque.
1.2.2 Théorème de Green-Ostrogradski ou théorème de la
divergeance
s
Il permet de transformer une en une
Pour un vecteur V~ quelconque :
I I
~ =
~ · dS
V
S
y
t
.
~ dτ
÷ V
τ
Conditions à vérier
S : Surface fermée.
τ : Volume contenu dans la surface fermée.
Symétrie sphérique
S
τ
S = 4πr2
τ = 43 πr3
1.3 Quelques identités remarquables d'analyse vectorielle
En coordonnées cartésiennes !
~ = 0, ∀V
~
~ V
1. div rot
~ (f ) = ~0, ∀f
~ grad
2. rot
8
~ (f )
3. ∆f = div grad
~
~ − rot
~
~ rot
~ V
4. ∆V~ = grad
div V
~ (f g) = g grad
~ (f ) + f grad
~ (g)
5. grad
~ (f ) · V
~
6. div f V~ = f ÷ V~ + grad
~ (f ) ∧ V
~ = f rot
~ + grad
~
~ fV
~ V
7. rot
~ V~1 − V~1 · rot
~ V~2
8. div V~1 ∧ V~2 = V~2 · rot
9
Chapitre 2
Équations locales
d'électromagnétisme
2.1 Introduction
Étudier une
le comportement du couple champ élec O.E.M., c'est étudier
~
~
tromagnétique E (M, t) ; B (M, t) dans le temps et dans l'espace. Pour cela,
on utilise des équations locales d'électromagnétisme : équations valables en tout
point, à tout instant, et dans n'importe quel milieu.
~ B,
~ A
~ ou V en
Les équations locales représentent des relations entre E,
fonction des termes sources, % et ~j .
~
un champ E
% = densité de charges volumique créé :
un potentiel électrique V~
~
~j = densité de courant (A/m2 ) créé : un champ magnétique B
~
un potentiel vecteur A
~ et A
~.
~j est un terme source pour B
2.2 Équations locales
2.2.1 Équation de Maxwell
Elles sont de la forme :

~ =%

div E

ε

 div B
~ =0
~ = −dB~
~ E

 rot
dt

 ~ ~
~
rot B = µ~j + µε ddtE
: Gauss-Maxwell
~ est à ux conservatif
:B
: Faraday-Maxwell
: Ampère- Maxwell
Première équation de Maxwell
Soit un système chargé en volume avec une densité %. Il se créé donc en tout
~
point M , E(M
) tel que :
10
{
~ =
~
E(M
) · ds
=
Qint
(théorème de Gauss)
ε
y
1
%dτ par dénition de Qint
ε
t
t
~ dτ = 1
% dτ .
⇒ τ div (E)
ε
τ
t
%
~−
div E
ε dτ = 0.
τ
~ − % = 0.
⇒ div E
ε
~ = %.
⇒ div E
ε
Deuxième équation de Maxwell
~ = 0 (2)
div B
.
Démonstration : propriété fondamentale de B~ .
~ est à ux conservatif.
B
Flux à travers une surface fermée :
{
~ =0
~ · dS
B
S
⇒
y
~ dτ = 0 ⇒ div B
~ =0
div B
τ
~ sont toujours fermées
Cette dernière équation signie aussi que les lignes de B
~
(pas de divergeance ⇒ div B = 0).
Troisième équation de Maxwell
~
~ = − dB (3)
~ E
rot
dt
~ .
Démonstration Soit un système traversé par B(t)
~
~
B(t)
⇒ Φ(t), d'où
autoinduction et création d'un champ Em tel que
tension
C (Em ) = e
.
f em
H
dΦ
~ ~
circuit Em · dl = − dt
s −→
s
s ~ −
→
→
→
d
~ ·−
~ ·−
−→théorème de Stokes : S rot E
dS = − dt
B
dS = − S ddtB · dS
→
−
s −→ →
−
→
−
rot E + ddtB · dS = 0.
S
→
−
−
−→ →
rot E + ddtB = 0.
→
−
−
−→ →
⇒ rot E = − ddtB ←− exprime l'autoinduction.
→
−
La variation de B en fonction du temps engendre la création d'un champ
électrique tel que son rotationnel est :
11
→
−
−
dB
−→ →
rot E = −
dt
Ce qui est l'équation locale de la loi de Faraday.
Quatrième équation de Maxwell
→
−
−
dE
→
−
−→ →
rot B = µ j + µε
dt
Équation locale du théorème d'Ampère généralisé : le courant varie en
fonction du temps.
Démonstration
εIS − εIe
| {z }
H→
−
− →
B · dl = µ0
H→
s→
−
→
− →
− −
B · dl = µ0
j · dS .
Courants stationnaires indépendants de E
D'où,
d'après Stokes
:
s
s
→
→
− −
→
− −
−→ →
rotB · dS = µ0 j · dS .
s −→ →
−
→
−
→
−
rot B − µ j · dS = 0.
⇒
−
→
−
−→ →
⇒ rot B = µ j ←− équation locale du théorème d'Ampère stationnaire.
→
−
→
−
Si les grandeurs E et B varient en fonction du temps, alors il y a création
→
−
−
→
dE
d'un courant de déplacement de densité
:
j
=
ε
.
D
dt
−−→ −
→
−
−
−
→ −−→ −−−→
→
−
→
−→ →
jD + jStat = jTotal ⇒ rot B = µ jStat + jD = µjA + µε ddtE .
2.3 Équations aux potentiels A~ et V
→
−
A : Potentiel vectoriel magnétique.
V : Potentiel scalaire électrique.
2.3.1 Potentiel vecteur A~
→
−
→
−
→
−
→
−
−
−→ →
A est le potentiel de B dérivé de A par B = rot A (5).
→
−
(5) est laconséquence
de (2) : div B = 0.
→
−
→
− →
−
−
−→ −
−→ →
−
Comme rot →
u = 0, ∀→
u et div B = 0 ⇒ ∃ un vecteur A / B = rot A .
Remarque
→
−
→
−
1. A est calculé après avoir calculé B par le théorème d'Ampère et en uti−→
lisant les composantes de rot (Cf TD).
→
−
→
−
2. A est toujours colinéaire au courant I (ou à j ).
12
2.3.2 Condition de Lorentz
→
−
C'est une relation entre les deux potentiels électrique V et magnétique A .
Elle est donnée par :
→
−
dV
div A + µε
dt
(6)
C'est la condition qui impose un seul couple de solution
→
−
→
− A , V , sachant
que A et V sont calculés à des constantes d'intégration près.
2.3.3 Formule générale de E~
En régime stationnaire
En régime variable
−−→ →
→
−
−
E = −grad V ←− électrostatique.
−−→ →
→
−
−
E = −grad V −
→
Démonstration (3) −
rot
→
−
dA
dt
←− électro-magnétique (7).
→→
→
−
→
−
−
d −
E = − ddtB = − dt
rot A .
→
−
−
→
−
−→ →
rot E + ddtA = 0 .
→
−
−→ −−→
⇒ or rot grad f = 0 , ∀f .
→
−
−−→
→
−
⇒ E + ddtA = grad (f ).
→
−
−−→
→
−
E = grad (f ) − ddtA .
f = −V
Remarque On pose E~i = − δδtA~
= champ induit.
~
~
Le champ Ei est créé lorsque B est variable en
fonction du temps
.
2.4 Conclusion
Les équations locales d'électromagnétisme sont :
~ =%
1. div E
ε
~ =0
2. div B
~ = δB~
~ E
3. rot
δt
~
~ = µ~j + µε δE
~ B
4. rot
δt
~ = rot
~
~ A
5. B
~ + µε δV = 0
6. div A
δt
~
~ V − δA
~ = −grad
7. E
δt
Les sept équations locales permettent :
Établir les équations de propagation (ou de vibration) de l'O.E.M..
Étude du comportement de l'O.E.M. dans un milieu matériel (autre que
le vide ou l'air).
Établir le bilan énergétique de l'O.E.M..
13
2.5 Équations de propagation
2.5.1 Dénition
C'est une relation entre la variation spaciale et la variation temporelle d'une
grandeur physique donnée (scalaire ou vectorielle).
L'équation de propagation est de type :
Scalaire
Vect ~u
2
∆f + K δδt2f = ~g
∆~u
|{z}
+ K0
variation spaciale
δ 2 ~u
δt2
|{z}
= ~h
variation temporelle
K 0 est une constante permettant de calculer la célérité de l'onde.
2.5.2 Équation de propagation de E~ et de B~
~ et V )
(Cf. TD pour celles de A
Équation de propagation de
~
E
2~
~
~ % + µ δj
~ − µε δ E = 1 grad
∆E
2
|{z} δt
δt}
|ε
{z
K1
~
~
g (%,j )
Équation de propagation de
~
B
2~
~ − µε δ B = −µ rot
~ ~j
∆B
2
|{z} δt
|
{z
}
K1
g~0 (~j )
14
Chapitre 3
Propagation d'une Onde
Électromagnétique dans le
Vide
3.1 Dénition d'une Onde
Une onde est une perturbation (ou déformation ) qui se
) d'un point à un autre en transportant de l'énergie.
déplace
page
3.1.1 Exemples
Onde à la surface
t=0
On jette une pierre
t=1
→ Déplacement de la perturbation
Figure
3.1 Exemple d'onde à la surface
Type Onde matérielle, transversale.
Matérielle Déformation de la matière (eau).
15
(ou se
pro-
Transversale La déformation est perpendiculaire au sens de propagation.
Onde de compression
t1 > t0
t=0
t2 > t1
F~
Figure
3.2 Exemple d'onde de compression
Type Onde matérielle et longitudinale.
Longitudinale Car la déformation (ou compression) est parallèle à l'axe de
propagation.
Onde Électromagnétique
~ et d'un champ B
~.
C'est la propagation couplée d'un champ E
~
E
→ propagation
x
Figure
3.3 Exemple d'O.E.M.
Type O.E.M. non matérielle.
Onde transversale (déformation perpendiculaire à la direction de propagation).
3.2 Solution d'équation de propagation de l'onde
dans le vide
3.2.1 Équation de D'Alembert
Ce sont les équations de propagation écrites dans le vide, milieu où :
16

ρ = 0 (pas de charges électriques)


 ~
j = 0 (pas de courants)
ε = ε0 (εr vide = 1)



µ = µ0 (µrvide = 1)
II).
Remplacés dans les équations de propagation (du paragraphe IV, chapitre
Pour
Pour
Pour
Pour
~
~ : ∆E
~ − µ0 ε0 δ2 E
~
E
δt2 = 0.
2~
δ B
~
~
B : ∆B − µ0 ε0 δt2 = ~0.
~
~ : ∆A
~ − µ0 ε0 δ2 A
~
A
2 = 0.
δt
V : ∆V − µ0 ε0 δδtV2 = 0 (V est une fonction scalaire telle que ∆V =
~
div(gradV
)).
On pose l'opérateur d'Alembertien : .
2
= ∆ − µ0 ε0
δ2
δt2
Les équations de d'Alembert se réécrivent comme :
~ = ~0 , A
~ = ~0 , B
~ = ~0 , V = 0
E
3.2.2 Solution des équations de d'Alembert
On suppose une fonction f (x, t) qui évolue dans le temps et dans l'espace à
−→
une dimension (axe Ox) en vériant :
f = 0 ⇒ ∆f − µ0 ε0
Or f = f (x)(t) ⇒ ∆f =
δ2 f
=0
δt2
δ2 f
δt2 .
X
direction de propagation
O
Remarque Si l'onde évolue en (x, y, z), propagation très quelconque, on choi~ = (x, y, z, t) ⇒ E(X,
~
~ =
sit OX comme axe de propagation : E
t) ⇒ ∆E
δ2 f
δ2 f
δ2 f
∆f = δt2 ⇒ δx2 − µ0 ε0 δt2 = 0.
17
~
δ2 E
δX 2 .
µ0 ε0 =
δ2 f
δx2
δ2 f
δt2
⇒ [µ0 ε0 ] =
h 2 i
 δ 2 = L−2
i
, sachant que h δx
.
 δ22 = T −2
δt
L−2
T −2
=
1
( TL )
2
µ0 ε0 s'exprime donc en
On pose donc µ0 ε0 =
.
1
(m/s)2 .
1
c2 ,
où
c= √
1
µ0 ε0
c est la célérité de l'O.E.M. dans le vide, et c = 3.108 m/s.
On a donc
δ2 f
δx2
−
2
1 δ f
c2 δt2
= 0, de solution générale :
f (x, t) = F (x − c · t) + G(x + c · t)

F (x − c · t) Onde progressive qui se propage vers les



x > 0 avec v = +c.
où
G(x
+
c
·
t)
Onde progressive qui se propage vers les



x < 0 avec v = −c.
3.3 Ondes planes
3.3.1 Dénition d'une onde plane
C'est une onde dont la surface d'onde est un plan. La surface d'onde est
~ (ou B
~ ) a la même intensité, le même sens et la
un lieu géométrique où E
même direction en tout point.
Remarque
1. Si la surface d'onde est un plan, alors il s'agit d'une onde plane.
Si la surface d'onde est une sphère, alors il s'agit d'une onde sphérique.
2. Si on se place très loin de la source d'onde, la surface d'onde devient un
plan et l'onde sphérique peut être assimilée à une onde plane.
3.3.2 Propriétés d'ondes planes
~ B
~ si ce couple est une
Il y a 4 propriétés que doit vérier le couple E,
onde plane qui se propage dans le vide.
1.
2.
3.
~ et B
~ sont transverses (perpendiculaires à la direction de propagation).
E
~ ⊥B
~.
E
~ = C · kBk
~ , où C = √µ0 ε0 , la célérité de l'onde dans le vide.
kEk
~, B
~ , axe de propagation) forme un trièdre direct.
4. (E
18
Remarque Pour les démonstrations
:
~ =0→E
~ transverse
div E
.
~
~
div B = 0 → B transverse
~ = −δB~ → relation entre les compo~ E
2. et 3. Se démontrent à partir de rot
δt
1. Se démontre à partir de
santes.
−
−→ →
4. Se démontre à partir de rot B =
→
−
1 δE
c2 δt
→ trièdre direct.
3.4 Ondes planes et sinusoïdales
On étudie souvent des O.E.M. planes, progressives et sinusoïdales : des
O.E.M.P.P.S. 1 .
3.4.1 Dénition d'une OEMPPS
~ (ou B
~ ) qui se propage vers les x > 0
Soit f une des composantes du champ E
avec une célérité c.
Si f est en plus sinusoïdale, elle s'écrit comme : f (x, t) = f0 · cos(k · x − c · t).
On rajoute un coecient k pour rendre homogène l'expression du cosinus.
En eet, [x] : m, [k] : rad · m−1 ⇒ [kx] : rad.
k sera appelé le nombre d'onde.
f (x, t) = f0 cos(kx − kct)
avec ωt → kc = ω .
3.4.2 Grandeurs caractéristiques d'une OEMPPS
~
~ = E0 cos(k(xct))
E(x,
t)
E
est une OEMPPS vers les x > 0 ⇒ ~
~
B(x,
t)
B = B0 cos(k(xct))
Période, fréquence
~
~
T = période temporelle telle que E(x,
t) = E(x,
t + T ).
~
E(x,
t)
t
Test en secondes : s.
La fréquence est telle que f = T1 , exprimée en s−1 , ou en Hz .
1. N'en déplaise aux professeurs de méthodologie et de français du monde entier, j'omettrais
dorénavant les . entre les lettres. . .
19
Pulsation
~
ω : vitesse angulaire en rad/s (on parle de vitesse car E(x,
t) eset assimilé à
un vecteur tournant ). En eet, quand ∆θ = 2T , on a ∆t = T .
ω=
∆θ
2π
⇒ω=
, ou ω = 2πf
∆t
T
Longueur d'onde
~
~ + λ, t), et c'est aussi la
λ est la période spaciale telle que E(x,
t) = E(x
distance parcourue par l'OEM pendant ∆t = T à la vitesse c :
c=
∆x
λ
C
=
→ λ=C ·T =
∆t
T
f
Nombre d'onde
~
~ + λ, t).
Il s'agit de k. Si la longueur d'onde est λ, alors E(x,
t) = E(x
⇒ cos(kx − kct) = cos(kx + kλ − kct)
⇒ kx + kλ − kct = kx − kct + 2π
⇒ kλ = 2π ⇒ k = 2π
λ en rad/m.
En fonction de ω .
2π
2π 1
On a k = 2π
λ = CT = C T ⇒
k=
2π
ω
ou k =
C
λ
3.4.3 Généralisation
~ B
~ d'une OEMPPS qui se propage dans
On cherche à écrire le couple E,
une direction quelconque.
~
E(x,
y, z, t) = E0 cos(kx x + ky y + kz z − ωt)
On constate que la phase spaciale est
−−→
kx x + k − yy + kz z = ~k · OM
(
où ⇒
~ = E0 cos(~k · OM
~ − ωt)
E
~ = B0 cos(~k · OM
~ − ωt)
B
~k est le vecteur d'onde, qui donne la direction de l'onde.
3.4.4 Notation complexe
Intérêt de la notation complexe :
Grâce à cette notation, il est possible de linéariser toutes les équations locales d'électromagnétisme (les 7 équations et les équations de propagation). Les
~ et rot
~ vont être remplacés par des produits scalaires
opérateurs ∆, div , grad
et des produits vectoriels avec le vecteur d'onde ~k.
20
Écriture de E~ , A~ , B~ et V en notation complexe
Soit une OEMPPS qui se propage dans une direction quelconque.

~
E(x,
y, z, tt) = E~0 · cos(kx x + ky y + kz z − ωt)


 ~
B(x, y, z, tt) = B~0 · cos(kx x + ky y + kz z − ωt)
⇒
~ y, z, tt) = A~0 · cos(kx x + ky y + kz z − ωt)

 A(x,

V (x, y, z, tt) = V0 · cos(kx x + ky y + kz z − ωt)
~ et
Écriture des opérateurs ∇
Écriture de
δ
δt
en notation complexe
~
∇
~ =∇
~ ·E
~
div E
δ
δ
δ
= δx
Ex + δy
Ey + δz
Ez
i()
= i kx E0x e + i ky E0y ei() + i kz E0z ei()
~
= i ~k · E
~ = i · ~k
⇒∇
~
~ · V = . . . = i · ~k · V .
On a aussi grad(V
)=∇
~ −ωt)
~ = δ E0 ei(~k·OM
Par ailleurs, on montre que δtδ · E
δt
~ −ωt)
δ
~ = −i · ω · E~0 · ei(~k·OM
~
·E
= −iω E
⇒ δt
⇒ On identie donc que
δ
= −iω
δt
Conclusion Pour une OEMPPS qui se propage dans une direction quelconque, on peut remplacer les équations locales d'électromagnétisme :
~ = i~k
∇
= −iω
δ
δt

























div () = i~k · ()
~ () = i~k ∧ ()
rot
~
~
grad
 () = ik () 2

~ 2 ~u = i~k ~u = −k 2 ~u
∆~u = ∇
 ∆f = ∇
~ 2 f = −k 2 f
δ
u = −iω~u
δt2~
2
δ
u = (−iω) ~u
δt2 ~
= −ω 2 ~u
Écriture des équations locales d'électromagnétisme et notation complexe
~ =
1. div E
%
ε
~ = 0 −→ ~k · B
~ =0
2. div B
~
~ = −δB −→ i~k ∧ E
~ = −iω B
~ = ~k ∧ E
~ = ωB
~
~ E
3. rot
δt
21
~ = µJ~ + µε δE~ −→ i~k ∧ B
~ = µJ~ − iωµεE
~
~ B
4. rot
δt
~ = rot
~ −→ B
~ = i~k ∧ A
~
~ A
5. B
~ + µε δV = 0 −→ ~k · A
~ − ωµεV = 0
6. div A
δt
~ (V ) −
~ = −grad
7. E
~
δA
δt
~ = −i~k (V ) + iω A
~
−→ E
Équation de propagation dans le vide :
~
1 δ2 E
= ~0
2
2
c δt
~ − 1 −ω 2 E
~ = ~0
−k 2 E
2
c
~−
∆E
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Table des matières
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