Chapitre 7 Les suites I Notion de suite A Définition d’une suite Définition : Une suite u ou (un) est une fonction qui à tout entier n associe un nombre u(n), noté un. Remarque : u0 ou up est le terme initial de la suite suivant que la suite commence à 0 ou p. Vocabulaire : On dit que un est le terme général de la suite (un). Exemples : u0 = 1, u1 = 3, u2 = 5, … v0 = – 1 , v1 = 1, v2 = – 1, v3 = 1,…. B] Mode de génération d’une suite et sa représentation graphique 1) Génération d’une suite Une suite est une liste de nombres, mais on peut parfois la définir à l’aide d’une formule. Voyons deux modes de génération. Formule explicite : un = f(n) quand le terme est fonction de l’indice. Formule de récurrence : un+1 = f(un) lorsque le terme est fonction du terme précédent, il faut alors aussi préciser le terme initial. Exemples : f(x) = 2x² – 1 et un = f(n). { vn + 1 = 2vn + 1 ; v0 = – 1 . Exercices 1, 2, 6, 7, 9, 10, 11p164. 2) Représentation graphique Exemples : Représenter graphiquement les cinq premiers termes de (un) et (vn). C] Sens de variation Définition : Soit (un) une suite. On dit que : (un) est croissante lorsque pour tout n on a un+1 un ( ou un+1 – un 0). (un) est décroissante lorsque pour tout n on a un+1 un ( ou un+1 – un 0). Exemples : un = n². vn = Error!. Méthodes : -1- Chapitre 7 : 1ère ES Etudier le signe de un+1 – un. Pour un suite du type un = f(n), on étudie les variations de f sur IR+, Si f est croissante sur IR+*, alors (un) est croissante. Si f est décroissante sur IR+*, alors (un) est décroissante. Pour une suite dont tous les termes sont tous strictement positifs, on peut comparer Error! à 1 : Si Error! 1, alors la suite est croissante. Si Error! 1, alors la suite est décroissante. Exercices 17, 19, 22, 23, 26p164. II Suite arithmétique A] Définition u0 u1 u2 u3 u4 un un+1 Définition : Une suite est arithmétique quand on passe d’un terme au suivant en ajoutant toujours le même nombre r appelé la raison. Donc pour tout n entier naturel on a un+1 = un + r. Exemple : r = – 2 et u0 = 5. Méthode : Si la différence un+1 – un est une constante, alors la suite est arithmétique de raison cette constante. Exercices 28, 29, 30p164. B] Formule explicite en fonction de n Explication : Traiter u0, u1, u2, u3, u4, .... Propriété : Soit (un) une suite arithmétique de raison r et de premier terme u0. Alors un = u0 + n r. Exemple : Donner le terme général de la suite de l’exemple précédent. Exercices 31, 32, 34, 38p164. C] Sens de variation Propriété : Soit (un) une suite arithmétique de raison r et de premier terme u0. Si r 0, alors (un) est croissante. Si r 0, alors (un) est décroissante. Démonstration : Soit n un entier naturel. Soit (un) une suite arithmétique de raison r et de premier terme u0. On sait que un+1 = un + r. Donc un+1 – un = r ; C’est pourquoi si r 0 on a un+1 – un 0, donc (un) est croissante. C’est pourquoi si r 0 on a un+1 – un 0 donc (un) est décroissante. -2- Chapitre 7 : 1ère ES D] Somme des premiers termes d’une suite arithmétique 1) Calcul de 1 + 2 + 3 + …+ n Propriété : S = 1 + 2 + 3 + 4 + …+ n = Error! . Démonstration : A faire comme Gauss. Exemples : Calculer : S = 1 + 2 + 3 +…+ 500. S’ = 1 + 2 + 3 +…+ 1 000. 2) Somme des premiers termes d’une suite arithmétique Propriété : Soit (un) une suite arithmétique de raison r et de premier terme u0. S = u0 + u1 + u2 + …+ un = Error! . Démonstration : Soit (un) une suite arithmétique de raison r et de premier terme u0. Pour tout k entier naturel on a : uk = u0 + kr. Donc S = u0 + ( u0 + r) + (u0 + 2r) + … + (u0 + nr). D’où S = (n+1)u0 + r ( 1 + 2 + 3 + …+ n). Donc S = (n+1)u0 + r Error! . Ainsi S = (n+1) ( u0 + Error! ) . D’où S = Error! . Or 2u0 + nr = u0 + u0 + nr = u0 + un car un = u0 + nr . Ainsi S = Error! . Exercices 39, 40, 41, 45p165. Exercice 51p166. IIISuite géométrique A] Définition u0 u1 u2 u3 u4 un un+1 Définition : Une suite est géométrique quand on passe d’un terme au suivant en multipliant toujours par le même nombre non nul q appelé raison de la suite. Exemple : u0 = 2 et q = 3. Exercices 52, 53, 54p166. B] Formule explicite Explication : Traiter avec u0, u1, u2, u3, u4, .... -3- Chapitre 7 : 1ère ES Propriété : Soit (un) une suite géométrique de raison q et de premier terme u0. Pour tout n entier naturel on a : un = u0 qn. Exemples : Exprimer le terme général des suites géométriques suivantes : u0 = 2 et q = 5. v0 = – 1 et q = 2. w0 = 3 et q = 2. Exercices 55, 57p166. C] Sens de variation Propriété : Soit une suite géométrique de raison q. Si q > 1, alors la suite est croissante. Si 0< q < 1, alors la suite est décroissante. Remarque : Pour q < 0, la suite est alternée. Elle n’est ni coissante, ni décroissante. D] Calcul de la somme des premiers termes d’une suite géométrique 1) Calcul de 1 + q + q² + …+ qn Propriété : S = 1 + q + q² + …+ qn. Si q = 1, alors S = n+1. Si q 1, alors S = Error! . Démonstration : Si q = 1, alors S = 1 + 1 + 1 +...+ 1 = n+1. Si q 1, Calculons S – q S = 1 – qn+1 = ( 1 – q ) S . Donc S = Error! . Exemple : Calculer S = 1 + 2 + 2² + …+ 263. 2) Somme des premiers termes d’une suite géométrique Propriété : Soit (un) une suite géométrique de raison q et de premier terme u0. Si q 1, alors S = u0 + u1 + u2 + …+ un = u0 Error! Si q = 1, alors S = u0 (n+1) Démonstration : Si q 1 : S = u0 + u1 + u2 + .. + un. D’où S = u0 + u0 q + u0 q² + … + u0 qn. Donc S = u0 ( 1 + q + q² + … + qn ). Ainsi S = u0 Error! . Si q = 1 : S = u0 + u0 + u0 +… + u0 = (n+1) u0. Exercices 60, 61, 62p166. -4- Chapitre 7 : 1ère ES Exercices 68, 72p167. -5- Chapitre 7 : 1ère ES