"Systèmes linéaires" 2
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Cours Thème VII "Systèmes linéaires" 2- Outil d'étude d'un système analogique linéaire dvs + vs = a.t . dt d Solution de l'équation : Trop compliqué car le second membre n'est pas "constant". c Equation différentielle : RC Pour évaluer le signal vs(t) on va utiliser un nouvel outil dont le principe est de transformer l'équation différentielle en un polynôme. OBJECTIFS 2- Filtre "RC série" avec entrée de type "rampe" (Nouvelle méthode) - Utiliser un nouvel outil pour résoudre une équation différentielle relative à un système. - Etudier un système électrique directement sans passer par l'équation différentielle. - Utiliser des théorèmes pour évaluer la valeur initiale et la valeur finale de la sortie d'un système. - Représenter un système à l'aide de "schémas bloc" dans le formalisme de Laplace. L'équation différentielle comporte une constante (τ = RC) et des fonctions (signaux) qui dvs (t) dépendent du temps ( vs(t) ; et a.t ). dt Nous allons transformer toutes le fonctions du temps en fonctions d'un variable appelée "p": I- POURQUOI UTILISER UN NOUVEL OUTIL ? (Etude d'un exemple) vs(t) dvs (t) dt deviendra VS(p) a.t deviendra 1- Filtre "RC série" avec entrée échelon (Méthode classique) R=1kΩ Pour le circuit ci-contre, on se propose de prévoir la forme du signal de sortie vs lorsque l'entrée ve est un échelon d'amplitude E. ve i C=100nF On va naturellement utiliser la méthode du chapitre précédent : dv dvs ⇒ RC s + vs = E . dt dt t − = E 1 − e τ avec τ = RC = 0,1ms. c Equation différentielle : ve = E = Ri + vs avec i = C d Solution de l'équation : vs (t) = A + B.e − t RC deviendra p.VS(p) Multiplication par "p" pour la dérivée a p2 a est trouvé dans le tableau des transformées (voir p2 page suivante). vs c L'équation devient : τ.pVS (p) + VS (p) = d Exprimons VS(p) : VS (p) (1 + τp ) = e Exprimons vs(t) : a p2 a 2 ⇒ VS (p) = a 2 p p (1 + τp) Le tableau des transformées (page suivante) nous indique que −t t a e τ + − 1 . correspond à = τ v (t) a. s τ p 2 (1 + τp) Tension en Volt 5 Remarque : Dans ce cas, l'équation différentielle se résout facilement car le second membre E est de type "constant" (échelon de tension). 2- Filtre "RC série" avec entrée de type "rampe" (Méthode classique) Notation des fonction de "p" en majuscule Ve 4 Le graphe ci-contre montre les variations de ve(t) et vs(t) : 3 Vs 2 Reprenons le même circuit mais avec une entrée de type "rampe" ve(t) = a.t = 1.104 t . 1 Essayons de prévoir la forme de vs en résolvant l'équation différentielle (méthode du chapitre précédent) : TS IRIS ( Physique Appliquée ) Christian BISSIERES http://cbissprof.free.fr t (s) 0 0 Page 1 sur 9 0,0001 0,0002 0,0003 0,0004 0,0005 Thème VII-2 : Outil d'étude de Systèmes II- LA TRANSFORMATION DE LAPLACE 3- Tableau des transformées Graphe de f(t) 1- Définition (Pour information) F(p) Impulsion unitaire δ(t) 1 Echelon unité Γ(t) 1 p δ(t) A toute fonction réelle du temps f(t), on associe une fonction F(p) de la variable complexe p = σ + jω par la transformation : t 0 +∞ L [ f(t) ] = F (P) = ∫0 f (t)e− pt dt 1 2- Propriétés (A connaître et à savoir utiliser) Γ(t) t 0 Linéarité a.t L [ α f1(t) + β f2(t) ] = α F1(p) + β F2(p) 100% (On aura très souvent : f(0+)=0) 1 f(t) 1− e 63% Intégration 0 L ∫0 f (t)dt = t F(p) p 100% t τ e − f(t) 1− e− mω0 t 1− m 2 t →0 Théorème du retard Avec tan ϕ = t 0 lim+ f (t) = f (0 ) = lim pF(p) 1− m 2 −m τ 1 + τp 2 p p p 1 + 2m + ω0 ω0 avec m < 1 1 t 0 (Utilisé pour le filtrage numérique avec z = epTe) ou 1 f(t) p →+∞ ω0 e− mω0 t sin ω0 1− m 2 t 1− m 2 1 + 2m p p + ω0 ω0 2 avec m < 1 L [ f (t-τ) ] = e-τp F(p) f(t) τ 1 0 TS IRIS ( Physique Appliquée ) Christian BISSIERES 1 p+ τ sinω0 1 − m2 t + ϕ 1 + 1 t τ t τ p →0 Théorème de la valeur initiale 1 p (1 + τp ) f(t) 0 lim f (t) = lim pF(p) t →∞ − t τ 37% Théorème de la valeur finale p2 t 0 L [ f ‘] = p F(p) + f (0+) a Rampe a.t a Dérivation f(t) http://cbissprof.free.fr Page 2 sur 9 t −t t τ e τ + − 1 τ 1 p 2 (1 + τp ) 1 Thème VII-2 : Outil d'étude de Systèmes III-TRANSMITTANCE ISOMORPHE 3- Système du 1°ordre 1- Introduction Un système linéaire du 1°ordre d'entrée e(t) et de sortie s(t) est régit par l'équation S ds(t) + s(t) = T0 e(t) avec τ constante de temps et T0 = ∞ lorsque e(t) est différentielle : τ dt E∞ un échelon. Considérons le système linéaire ci-dessous (entrée e(t) et sortie s(t)) : e(t) Système s(t) La transformation de Laplace donne : τpS(p) + S(p) = T0 E(p) L'équation différentielle linéaire régissant le système est : dn s d 2s ds dn e d2e de b n n + ... + b 2 2 + b1 + b0s = a n n + ... + a 2 2 + a1 + a 0 e dt dt dt dt dt dt ⇒ S(p) [1 + τp ] = T0 E(p) ⇒ Effectuons une transformée de Laplace de cette équation : b n p n S(p) + ... + b 2 p 2S(p) + b1pS(p) + b 0S(p) = a n p n E(p) + ... + a 2 p 2 E(p) + a1pE(p) + a 0 E(p) ( ) ( ⇒ S(p) b n p n + ... + b 2 p 2 + b1p + b0 = E(p) a n p n + ... + a 2 p 2 + a1p + a 0 ⇒ S(p) = E(p) ) Définition : La transmittance d'un système linéaire du 1°ordre est du type a n p n + ... + a 2 p 2 + a1p + a 0 n T S(p) = 0 E(p) 1 + τp T(p) = 2 b n p + ... + b 2 p + b1p + b0 T S(p) = 0 E(p) 1 + τp τ est la constante de temps ( s(τ) = 63% de S∞ ) S T0 est la transmittance statique ( T0 = ∞ lorsque e(t) est un échelon) E∞ On peut donc exprimer la sortie S(p) en fonction de l'entrée E(p) et du rapport a n p n + ... + a 2 p 2 + a1p + a 0 qui ne dépend que du système. b n p n + ... + b 2 p 2 + b1p + b0 E(p) 2- Définition Pour un système linéaire d'entrée E(p) et de sortie S(p), le rapport T(p) = T(p) S(p) S(p) est appelé E(p) transmittance isomorphe du système. La transmittance T(p) caractérise complètement le système qui pourra être schématisé ainsi : E(p) T0 1 + τp Remarque : Utilisons le théorème de la valeur finale pour montrer que S∞ = T0 E∞. T E lim s(t) = lim pS(p) = lim pT(p)E(p) = lim p 0 t →∞ p →0 p→0 p → 0 1 + τp p S(p) soit lim s(t) = S∞ = T0 E ∞ avec E∞ = E (échelon d'amplitude E). t →∞ Remarque : La sortie du système s'évalue avec l'expression S(p) = T(p)E(p) . TS IRIS ( Physique Appliquée ) Christian BISSIERES http://cbissprof.free.fr Page 3 sur 9 Thème VII-2 : Outil d'étude de Systèmes IV- EXEMPLES D'ÉTUDE DE SYSTÈMES 4- Système du 2°ordre Un système du 2°ordre d'entrée e(t) et de sortie s(t) sera régit par l'équation différentielle du 2°ordre à coefficients constants : 1 d 2s(t) ω02 dt 2 1 ds(t) + 2m + s(t) = T0 e(t) ω0 dt Avec ω0 pulsation propre, m coefficient d'amortissement et T0 = S∞ lorsque e(t) est un E∞ échelon. ω02 p 2S(p) + 2m 1 pS(p) + S(p) = T0 E(p) ω0 1 2m p + 1 = T0 E(p) ⇒ S(p) 2 p 2 + ω ω0 0 T0 S(p) ⇒ = . E(p) 1 + 2m p + 1 p 2 ω0 ω02 Définition : La transmittance d'un système linéaire du 2°ordre est du type T(p) = Considérons le système linéaire constitué d'un parachute avec son chargement. L'entrée du système est la force de pesanteur P = m.g exercée par le chargement de masse m. La sortie du système est la vitesse de chute v du parachute. Le parachute s'ouvre à l'instant t = 0 du largage (v = 0m/s pour t ≤ 0). Mise en équation du système : Force de pesanteur : P = mg (échelon de force : P = 0 pour t ≤ 0) Force de frottement : F = -fv ( f = coefficient de frottement) dv d2z = = = Forces ma m m ∑ dt dt 2 dv ⇒ P − fv = m dt dv =P ⇒ fv + m dt F m dv 1 m = P ⇒ v+ f dt f La transformation de Laplace donne : 1 1- Système mécanique du 1° ordre T0 S(p) = E(p) 1 + 2m p + 1 p 2 ω0 ω02 m 1 pV(p) = P(p) f f T V(p) 1/ f ⇒ T(p) = ⇒ T(p) = 0 = 1 + τp P(p) 1 + m p f S(p) 2m 1 1+ p + 2 p2 ω0 ω0 TS IRIS ( Physique Appliquée ) Christian BISSIERES http://cbissprof.free.fr avec T0 = 1 m et τ = . f f Expression de la vitesse v(t) pour P(t) échelon d'amplitude P : V(p) = T(p)P(p) = T0 z V(p) + ω0 est la pulsation propre. m est le coefficient d'amortissement (m > 0 pour un système stable). S T0 est la transmittance statique ( T0 = ∞ lorsque e(t) est un échelon) E∞ E(p) P Transformation de Laplace : 0 ( T0 P T0 P = 1 + τp p p (1 + τp ) ⇒ v(t) = T0 P 1 − exp − t / τ Page 4 sur 9 ) Thème VII-2 : Outil d'étude de Systèmes Expression numérique de v(t) pour m = 80kg et f = 160N.m-1.s : v(t) = t t − − 1 × 80 × 10 × 1 − exp 80 /160 = 5 1 − exp 0,5 160 ⇒ dv R.R f Rf C s + vs = ve R + Rf dt R + Rf ⇒ vs + τ dvs Rf R.R f = ve avec τ = . dt R + Rf R + Rf Transformation de Laplace : Graphe v(t) : v (m/s) 5,00 4,75 Vs (p) + τpVs (p) = 100% 95% 3,16 Rf Ve (p) ⇒ R + Rf Vs (p) (1 + τp ) = Rf Ve (p) R + Rf Rf ⇒ 63% V (p) R + Rf T(p) = s = Ve (p) (1 + τp ) Expression de la tension vs(t) pour ve(t) échelon d'amplitude E : Vs (p) = T(p)Ve (p) = t(s) 0,50 τ 1,50 3τ ⇒ vs (t) = E 2- Système électrique du 1° ordre Considérons le système électrique constitué d'un condensateur C qui doit être chargé à travers une résistance R. Le condensateur a un défaut de fuite (résistance Rf en parallèle). L'entrée du système est la tension ve qui sera un échelon d'amplitude E. La sortie du système est la tension vs aux bornes du condensateur. ve iC R Mise en équation du système : if C Rf ⇒ ⇒ ⇒ ( 12 1 − exp − t / τ 3 + 12 t − −6 528.10 vs (t) = 8 1 − exp 10 v e = R ( i C + i f ) + vs dv 1 ve = R C s + vs + vs dt R f dvs R + R f ve = RC vs + dt Rf ) R.R f C. R + Rf avec τ = ) avec τ = 3 × 12 × 220.10−6 = 528µs 3 + 12 . vs ve = Ri + vs ⇒ ( Rf 1 − exp − t / τ R + Rf Expression numérique de vs(t) pour C = 220µF ; Rf = 12kΩ ; R = 2kΩ et E = 10V : vs (t) = 10 i E R + R f p (1 + τp ) Rf 8,00 7,60 VE (V) S∞ v s (V) dv R vs + vs ⇒ ve = RC s + dt R f 5,06 95% 63% t(µs) TS IRIS ( Physique Appliquée ) Christian BISSIERES http://cbissprof.free.fr Page 5 sur 9 528 τ 1584 3τ Thème VII-2 : Outil d'étude de Systèmes Identification : 3- Système électromécanique du 2° ordre Le système à étudier sera le moteur à courant continu à aimant permanent (excitation constante) avec frottements négligés. L'entrée du système sera la tension d'alimentation u(t) (échelon d'amplitude E) et la sortie sera la vitesse de rotation Ω(t) du moteur. tension u (V) Moteur CC vitesse Ω (rad/s) avec : di di = kΩ + Ri + L dt dt dΩ J dΩ Equation électromécanique : ki = J ⇒ i= dt k dt Equation électrique : u = e + Ri + L i m= u ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ 1 k k car LJ R 2k J L 1 LJ = 2 2 ω0 k car 2m 1 RJ 1 RJ = ⇒ m= 2k k 2 ω0 k 2 k LJ . Ce moteur à courant continu est entièrement caractérisé par le schéma bloc ci-dessous : L U(p) e=k.Ω U(p) = kΩ(p) + RI(p) + LpI(p) 1/ k RJ LJ 2 1 + 2 p + 2 p k k Ω(p) U(p) = kΩ(p) + ( R + Lp ) I(p) Equation électromécanique : I(p) = Equation générale : T0 Ω(p) = 2m 1 U(p) 1 + p + 2 p2 ω0 ω0 R Transformées de Laplace : ⇒ T0 = ω0 = Mise en équation du système commandé : Equation électrique : La transmittance est de type T(p) = J pΩ(p) k V- UTILISATION DES THÉORÈMES J pΩ(p) k LJ 2 RJ U(p) = kΩ(p) + p+ p Ω(p) k k 1- Objectif RJ LJ 2 U(p) = k + p+ p Ω(p) k k Ω(p) 1 1/ k = = RJ LJ 2 RJ LJ 2 U(p) k + k p + k p 1 + 2 p + 2 p k k 2- Valeur finale U(p) = kΩ(p) + ( R + Lp ) T(p) = Il s'agit de déterminer des propriétés du signal de sortie s(t) directement à partir de la transmittance T(p) et de l'entrée E(p). On va utiliser le théorème de la valeur finale : lim s(t) = lim pS(p) pour déterminer la t →∞ p →0 valeur de s(t) au bout d'un temps infini. Ω(p) 1/ k = LJ 2 U(p) RJ 1 + 2 p + 2 p k k TS IRIS ( Physique Appliquée ) Christian BISSIERES http://cbissprof.free.fr Page 6 sur 9 Thème VII-2 : Outil d'étude de Systèmes Exemple de la charge du condensateur avec courant de fuite (entrée échelon) On va utiliser le théorème de la valeur initiale : lim s(t) = lim pS(p) pour déterminer la Rf On a déjà montré que T(p) = t →0 Vs (p) R + Rf = . Ve (p) (1 + τp ) E R + Rf p (1 + τp ) Rf E R + Rf ⇒ lim s(t) = lim pS(p) = lim p t →∞ p →0 p →0 p (1 + τp ) ⇒ Rf lim s(t) = E t →∞ R + Rf p →∞ valeur de s(0+). Rf Pour une entrée échelon d'amplitude E on a : Vs (p) = 3- Valeur initiale Exemple du mouvement d'une masse m soumise à une force Le système est constitué d'une masse m pouvant se déplacer horizontalement avec un coefficient de frottement fluide f (Force de frottement Ff = -fv). L'entrée du système est la force de traction F appliquée à la masse et la sortie est la vitesse de déplacement v. Ff (pont diviseur lorsque C est chargé). Exemple du moteur à courant continu sans frottement (entrée échelon) Ω(p) 1/ k = On a déjà déterminé : T(p) = . LJ 2 U(p) RJ 1 + p + p k2 k2 E 1/ k Pour une entrée échelon d'amplitude E on a : Ω(p) = LJ 2 p RJ 1 + 2 p + 2 p k k E 1/ k ⇒ lim Ω(t) = lim pΩ(p) = lim p t →∞ p →0 p→0 p RJ LJ 2 1 + 2 p + 2 p k k E (c'est le régime permanent E = k.Ω du moteur sans frottement). ⇒ lim Ω(t) = t →∞ k masse m F 0 Mise en équation : x dv ∑ Forces = ma = m dt dv dt Transformée de Laplace : F(p) − fV(p) = mpV(p) ⇒ F − fv = m ⇒ T(p) = V(p) 1 1/ f = = F(p) f + mp 1 + m p f Force F(p) T(p) Vitesse V(p) Evaluons la vitesse à l'instant t = 0+ lorsque F est un échelon d'amplitude F : F 1/ f lim v(t) = lim pV(p) = lim p t →0 p →∞ p →∞ p f + mp ⇒ lim v(t) = 0 t →0 Moralité : La vitesse d'un solide (masse m) ne peut varier brusquement de la même façon que le courant électrique dans une bobine ne peut varier brusquement (pas de discontinuité). TS IRIS ( Physique Appliquée ) Christian BISSIERES http://cbissprof.free.fr Page 7 sur 9 Thème VII-2 : Outil d'étude de Systèmes VI- MÉTHODE D'ÉTUDE DES SYSTÈMES ELECTRIQUES 3- Exemple 1 1- Objectif Reprenons le système de charge d'un condensateur présentant un fort courant de fuite traversant la résistance de fuite Rf. Il s'agit de déterminer la transmittance d'un système électrique, sans passer par l'équation différentielle. L'idée est de travailler directement avec le transformées de Laplace des impédances. La résistance Pour une résistance R en convention récepteur on a : u = R.i U(p) =R ⇒ ZR (p) = R . ⇒ U(p) = RI(p) ⇒ I(p) L'inductance Pour une inductance L en convention récepteur on a : di u=L dt U(p) ⇒ U(p) = LpI(p) ⇒ = Lp ⇒ ZL (p) = Lp . I(p) Le condensateur Pour un condensateur C en convention récepteur on a : du i=C dt 1 U(p) 1 = ⇒ I(p) = CpU(p) ⇒ ⇒ ZC (p) = . Cp I(p) Cp u u R 1 Cp vs L'entrée du système est la tension ve qui sera un échelon d'amplitude E. La sortie du système est la tension vs aux bornes du condensateur. i Détermination directe de T(p) : L Utilisons la relation du pont diviseur : ZR f // C V (p) T(p) = s = Ve (p) ZR f // C + ZR ⇒ T(p) = u 1 1 + YR f // C × ZR = multiplions par YRf //C 1 1 1+ + Cp R Rf Rf R + Rf 1 ⇒ T(p) = = R + Rf RR f p + RCp 1 + Rf R + Rf i C Les impédances complexes déjà utilisées par le passé sont des cas particuliers des impédances isomorphes. Il suffit de remplacer p par jω pour passer des impédances complexes aux impédances isomorphes. Inversement, il suffit de remplacer jω par p pour passer des impédances isomorphes aux impédances complexes. ZR (p) = R ⇒ ZR ( jω) = R ZC (p) = Rf C i Remarque : ZL (p) = Lp R ve 2- Impédances isomorphes On reconnaît alors T0 = = 1 R + RCp 1+ Rf Rf R.R f et τ = R + Rf R + Rf ⇒ ZL ( jω) = JLω ⇒ ZC ( jω) = 1 . JCω TS IRIS ( Physique Appliquée ) Christian BISSIERES http://cbissprof.free.fr Page 8 sur 9 Thème VII-2 : Outil d'étude de Systèmes 4- Exemple 2 Soit le système représentant un filtre passe-bas du 2°ordre dont on veut déterminer la V (p) (schéma ci-dessous) : transmittance T(p) = s Ve (p) L R i ve vs C Détermination directe de T(p) : Utilisons la relation du pont diviseur : V (p) ZC T(p) = s = Ve (p) ZC + ZR + ZL ⇒ T(p) = multiplions par YC 1 1 1 = = 1 + YC ( ZR + ZL ) 1 + Cp ( R + Lp ) 1 + RCp + LCp 2 T0 ⇒ T(p) = 1+ 2m 1 p + 2 p2 ω0 ω0 avec T0 = 1 ; ω0 = 1 LC TS IRIS ( Physique Appliquée ) Christian BISSIERES http://cbissprof.free.fr et m = R 2 C . L Page 9 sur 9 Thème VII-2 : Outil d'étude de Systèmes
