Correction Maths BTS Gr C

Correction BTS Mathématiques
Groupement C Session 2010
Exercice 1 : (12 points)
Partie A
1.a) L'équation 2 + − = 0 est une équation différentielle du second ordre sans second membre.
L'équation caractéristique qui lui correspond est : 2² + − 1 = 0
Calculons le discriminant de cette équation caractéristique : Δ = ² − 4 = 1² − 4 × 2 × −1 = 9.
Il y a donc deux solutions réelles :
=
√
=
= −1 et =
√
=
=
"
Les solutions de l'équation différentielle 2 + − = 0 sont les fonctions de la forme + ! # où et !
sont des constantes réelles.
b) On a $% = % + . Calculons $′% et $′′% :
$′% = et $′′% = 0.
Pour que $ soit solution de l'équation différentielle 2 + − = −% + 2 il faut que :
2$′′% + $′% − $% = −% + 2
C'est-à-dire : 2 × 0 + − % + = −% + 2 donc − % − = −% + 2 donc −% + − = −% + 2.
− = −1 (
=1 (
=1 (
donc '
donc '
Par identification on obtient : '
− =2
1− =2
= −1
On a donc : $% = % − 1 est solution de l'équation différentielle ).
c) Les solutions de l'équation différentielle ) sont les fonctions * s'écrivant :
"
*% = + ! # + % − 1 où et ! sont des constantes réelles.
Rappel : Les solutions de ) sont les fonctions s'écrivant comme la somme de la solution générale de l'équation
différentielle sans second membre associée, résolue dans la question a), et d'une solution particulière de ).
"
2. On a : *% = + ! # + % − 1 donc *0 = , + ! , − 1 = + ! − 1
"
Calculons *′%, en utilisant - = .′ - , la dérivée de est − ; et la dérivée de # est
Donc : * % = − + !
"
#
+!−1=0
*0 = 0 (
(
donc 0
− + ! + 1 = 0
*′0 = 0
=1−!
=1−!
(
(
donc
0 0
−1 + ! + ! + 1 = 0
!
=
0
On veut : /
+ 1. On a donc : * 0 = − , + ! , + 1 = − + ! + 1.
=1−!
(
0
−1 − ! + ! + 1 = 0
= 1(
/
!=0
"
#
La solution de ) vérifiant *0 = 0 et *′0 = 0 est la fonction définie par : *% = + % − 1.
Partie B
1.a) *% = + % − 1 donc * % = − + 1
Signe de *′% : on résout l'inéquation *′% ≥ 0 :
− + 1 ≥ 0 équivaut à − ≥ −1 ; ≤ 1 ; −% ≤ ln 1 ; −% ≤ 0 donc % ≥ 0.
*′% est donc positif ou nul sur l'intervalle 50 ; +∞5
.
b)
lim e− x = 0
car lim e X = 0 
x →+∞
X →−∞
f ( x ) = +∞
 par somme : xlim
→+∞
lim x − 1 = +∞

x →+∞

c)
x
0
Signe de f ' ( x )
0
+∞
+
+∞
Variations de f
0
2.a) lim f ( x ) − ( x − 1) = lim e− x = 0 .
x →+∞
x →+∞
Donc la droite D d'équation = % − 1 est asymptote oblique à la courbe C au voisinage de +∞.
b) *% − % − 1 = est toujours positif.
On en déduit que la courbe C est toujours au dessus de la droite D
3.
4. 8, 9% = 5− :, = − − − , = 1 − .
L'échelle étant de 2 cm pour les deux axes, on a : ; = 2 × 2 × 8, 9% = 41 − = 4 − 4 cm²
; ≈ 3,46 cm²
Exercice 2 (8 points)
Partie A : Loi normale
1. @ suit la loi A60,3 ; 0,4 donc B =
CD,,
,,
suit la loi A0 ; 1.
59,5 − 60,3 @ − 60,3 61,1 − 60,3
E59,5 ≤ @ ≤ 61,1 = E G
≤
≤
H = E−2 ≤ B ≤ 2 = 2Π2 − 1
0,4
0,4
0,4
car E−J ≤ B ≤ J = 2Πt − 1.
Donc : E59,5 ≤ @ ≤ 61,1 = 2 × 0,9772 − 1 = 0,9544 ≈ 0,95.
2. @ suit la loi A60,3 ; M donc B =
CD,,
suit
N
On veut : E59,5 ≤ @ ≤ 61,1 = 0,99 donc
,,S
,,S
≤B≤ NR=
N
,,S
Donc N = 2,575 par
EO
,,S
la loi A0 ; 1.
PQ,PD,,
EO N
0,99 ; 2Π O N R − 1 = 0,99 ;
CD,,
D,D,,
≤
R = 0,99
,,
N
,,S
,,S
2Π O N R = 1,99 ; Π O N R = 0,995.
≤
lecture inverse de table. En effet, d'après la table on a : Π2,57 = 0,9949 et
Π2,58 = 0,9951 on prend donc la moyenne de ces deux valeurs :
,PU,PS
= 2,575.
,,S
On en déduit que M = ,PUP ≈ 0,31.
Partie B : Loi binomiale et loi de Poisson
1. On a une série de 80 épreuves indépendantes, chacune pouvant déboucher sur deux possibilités :
● un succès : "la pièce est non conforme" de probabilité V = 0,05
● un échec : "la pièce est conforme" de probabilité W = 0,95
Ainsi la variable aléatoire X, associant le nombre de pièces non conformes, suit la loi binomiale de paramètres 80 et
0,95.
Commentaire : Attention le succès est ce qui est mesuré par la variable aléatoire X donc le succès est "la pièce est non
conforme".
2. EX = 3 = YS,
× 0,05 × 0, 95UU ≈ 0,20.
La probabilité que trois pièces exactement soient non conformes est 0,20
3. a) = ZV = 80 × 0,05 = 4.
b) EX ≤ 3 = EX = 0 + EX = 1 + EX = 2 + EX = 3 = 0,018 + 0,073 + 0,147 + 0,195 (par lecture de la
table de la loi de Poisson)
Donc EX ≤ 3 ≈ 0,43.
La probabilité d'avoir au plus trois pièces non conformes est 0,43