Correction BTS Mathématiques
Groupement C Session 2010
Exercice 1 : (12 points)
Partie A
1.a) L'équation 

est une équation différentielle du second ordre sans second membre.
L'équation caractéristique qui lui correspond est : 
Calculons le discriminant de cette équation caractéristique : .
Il y a donc deux solutions réelles :



 et



Les solutions de l'équation différentielle 

sont les fonctions de la forme 

et
sont des constantes réelles.
b) On a . Calculons  et  :
 et .
Pour que soit solution de l'équation différentielle 

 il faut que :

C'est-à-dire :  donc  donc .
Par identification on obtient : 
donc
donc

On a donc : est solution de l'équation différentielle .
c) Les solutions de l'équation différentielle sont les fonctions s'écrivant :


et sont des constantes réelles.
Rappel : Les solutions de sont les fonctions s'écrivant comme la somme de la solution générale de l'équation
différentielle sans second membre associée, résolue dans la question a), et d'une solution particulière de .
2. On a :

donc 
Calculons , en utilisant

, la dérivée de

est 

; et la dérivée de
est
.
Donc :



. On a donc :



.
On veut :
 donc


donc
La solution de vérifiant et  est la fonction définie par :

.
Partie B
1.a)

donc

Signe de  : on résout l'inéquation  :


équivaut à 

;

;  ;  donc .
 est donc positif ou nul sur l'intervalle 
b)
lim 0 car lim 0
par somme :
lim 1
x X
x X
x
e e
x
+∞ →−∞
+∞
= =
= +∞
(
)
lim
x
f x
+∞
= +∞
c)
x
0
Signe de
(
)
'
f x
0 +
Variations de
f
2.a)
(
)
(
)
lim 1 lim 0
x
x x
f x x e
+∞ →+∞
− = =
.
Donc la droite D d'équation est asymptote oblique à la courbe C au voisinage de .
b)

est toujours positif.
On en déduit que la courbe C est toujours au dessus de la droite D
3.
4.







.
L'échelle étant de 2 cm pour les deux axes, on a :





cm²
 cm²
0
Exercice 2 (8 points)
Partie A : Loi normale
1. suit la loi  donc


suit la loi .

 
 
 
car .
Donc : .
2. suit la loi  donc

suit la loi .
On veut :   donc







 ; 

 ; 

 ;

.
Donc

 par lecture inverse de table. En effet, d'après la table on a :  et
 on prend donc la moyenne de ces deux valeurs :

.
On en déduit que


.
Partie B : Loi binomiale et loi de Poisson
1. On a une série de 80 épreuves indépendantes, chacune pouvant déboucher sur deux possibilités :
● un succès : "la pièce est non conforme" de probabilité 
● un échec : "la pièce est conforme" de probabili
Ainsi la variable aléatoire , associant le nombre de pièces non conformes, suit la loi binomiale de paramètres 80 et
0,95.
Commentaire : Attention le succès est ce qui est mesuré par la variable aléatoire donc le succès est "la pièce est non
conforme".
2.




.
La probabilité que trois pièces exactement soient non conformes est 0,20
3. a) .
b)  (par lecture de la
table de la loi de Poisson)
Donc .
La probabilité d'avoir au plus trois pièces non conformes est 0,43
1 / 3 100%
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