TD 1 Cin´ematique

Mouvement d’un ballon-sonde en pr•sence de vent
lat•ral
Un ballon-sonde, €voluant dans le plan vertical (xOz), a une vitesse d’ascension verticale v0
ind€pendante de son altitude z. Le vent lui communique par ailleurs une vitesse horizontale vx
= z∕τ proportionnelle ‚ son altitude. On note (Oz) la verticale ascendante.
1. D€terminer les lois horaires du mouvement x(t) et z(t), ainsi que la trajectoire x(z).
La terre est consid‚r‚e comme un r‚f‚rentiel galil‚en. Le repƒre (R, Oxz) est dans un plan
vertical, Ox horizontal dans le sens du vent, Oz vertical et dirig‚ vers le haut. O co„ncide avec
l'origine des temps.
Rappel : La solution d’une €quation diff€rentielle du premier ordre ‚ variables s€par€es est
obtenue en int€grant membre ‚ membre.
Equation horaire selon z:
0
z
v v
=>
0
dz
v
dt
=> 0
.
dz v dt
=> 0
.
dz v dt
=>
0.
z v t Cte
  …
0
t
0
z
=>
0
Cte
=>
0
.
z v t
Equation horaire selon x:
0
.
x
v t
z
v   => 0
.
v t
dx
dt
=> 0
.
v t
dx dt
=> 0
.
v t
dx dt
  =>
2
0.
2.
v t
xCte
…
0
t
0
x
=>
0
Cte
=>
2
0
.
2.
v t
x
or
0
z
t
v
=>
2
0
2. .
z
x
v
la trajectoire est une parabole d'axe horizontal
2. Calculer le vecteur acc€l€ration. D€terminer ses composantes normales et tangentielles ‚
la trajectoire.
Vecteur acc‚l‚ration
0z
vvCte
  =>
0
z
z
dv
a
dt
0
.
x
v t
v =>
0
x
x
dv v
a
dt

3. D€terminer le rayon de courbure en chaque point de la trajectoire
Rappel sur le repƒre de Frenet:soit Tle vecteur unitaire dans le plan osculateur de la
trajectoire en un point M donn€ (plan d€fini par les vecteurs tangent et radial ‚ la trajectoire)
d
=
dt
OM
v=>
.
d ds
=
ds dt
OM
vavec s: abscisse curviligne de M
Dans la figure ci-contre le plan Oxz
est le plan osculateur.
Quand M’ tend vers M
d '
OM MM
=>
'.
dMM
V
V
OM
Soit Tle vecteur unitaire port€ par
la vitesse en M:
V
V
T=>
d
ds
OM
T
D’ou
ds
=
dt
v.T
s
est appel€e la vitesse scalaire. Si s est orient€ dans le sens du mouvement
s = +| |
v
. Si s est orient€ dans le sens inverse du mouvement
s = - | |
v
En d€rivant
s
v T
d
s s
dt
T
a T+
.
d ds
s s
ds dt
 T a T+ or en M:
ds = .d
avec ρ: rayon de courbure de la
trajectoire en M =>
.
d d
ds d
T 1 T
Dans le cas de la figure
( , ')
M M
, par analogie
avec le calcul en coordonn€es polaires :
1
d
ds
T
.N
avec N vecteur unitaire centripƒte
(dirig€ de M vers du fait de l’orientation de θ).
=> 2
s s
N
a T+
Dans cet exercice "s" est orienté dans le sens du mouvement du ballon =>
s = +| |
v

Or 0
0
.
,
v t
v
v=> 2
2
2
00 0
.v t
t
s = v v 1
  +
posons
2
t
u = 1 +=> 0
.
s = v u
T
v
v
=>
1
,
.
t
u u
Tsachant que Test directement perpendiculaire à N=>
1,-
.
t
u u
N
Remarque : Il est ais€ de v€rifier ces r€sultats pour
0
t
(T est vertical) et
t
(T tend vers
l’horizontale).
Comme
1
,
.
t
u u
T=> 2
3 3 2 3
1,
. . .
d t t
dt u u u
T
.
d dt d
ds ds dt
T T
=>
0
1
.
d d
ds v u dt
T T N
=>
3
0
. .
v u
Remarque; pour v€rifier le r€sultat sur le rayon de courbure, il suffit de calculer le module de
l'acc€l€ration ‚ partir de la formule de Frenet. 2
s s
N
a T+
=>
1
1
..
1
.
2
t
u u
s s
t
u u
a T+
or 0
.
s = v u
=> 0
2
.
.
v t
s =
u
 0
2 3
0
1
.1
..
1
. . .
.
2
0
t
v t
u u
v.u)
t
u v u
u u
a +(
20
02
3 2
0
0
2 2
2 2
..
.
.
.
.
.
v
v t
u
u
v t
v t
u
u
a + =>
2
0 0
3 2 2
0 0
2 2 2 2
.
. .
. .
. .
v t v
u u
v t v t
u u
a=>
2
02 2 2
1
.
0
v t
u u
a
2
02 2
1
.
0
v t
u
a=>
2
02
.
.0
v
u
u
a=>
0
0
v
aCQFD