Mouvement d’un ballon-sonde en pr•sence de vent lat•ral Un ballon-sonde, €voluant dans le plan vertical (xOz), a une vitesse d’ascension verticale v0 ind€pendante de son altitude z. Le vent lui communique par ailleurs une vitesse horizontale vx = z∕τ proportionnelle ‚ son altitude. On note (Oz) la verticale ascendante. 1. D€terminer les lois horaires du mouvement x(t) et z(t), ainsi que la trajectoire x(z). La terre est consid‚r‚e comme un r‚f‚rentiel galil‚en. Le repƒre (R, Oxz) est dans un plan vertical, Ox horizontal dans le sens du vent, Oz vertical et dirig‚ vers le haut. O co„ncide avec l'origine des temps. Rappel : La solution d’une €quation diff€rentielle du premier ordre ‚ variables s€par€es est obtenue en int€grant membre ‚ membre. dz v0 => dz v0 .dt => dt z v0 .t Cte … t 0 z 0 => Cte 0 => z v0 .t Equation horaire selon z: vz v0 => dz v .dt v .t z v0 .t dx v0 .t => => dx 0 dt => dt 2 2 v .t v .t x 0 Cte … t 0 x 0 => Cte 0 => x 0 2. 2. Equation horaire selon x: vx or t z v0 => x 0 => dx v0 .t dt => z2 la trajectoire est une parabole d'axe horizontal 2.v0 . 2. Calculer le vecteur acc€l€ration. D€terminer ses composantes normales et tangentielles ‚ la trajectoire. Vecteur acc‚l‚ration vz v0 Cte => az vx v0 .t => ax dvz 0 dt dvx v0 dt 3. D€terminer le rayon de courbure en chaque point de la trajectoire Rappel sur le repƒre de Frenet:soit T le vecteur unitaire dans le plan osculateur de la trajectoire en un point M donn€ (plan d€fini par les vecteurs tangent et radial ‚ la trajectoire) dOM dOM ds v= => v = . avec s: abscisse curviligne de M dt ds dt Dans la figure ci-contre le plan Oxz est le plan osculateur. Quand M’ tend vers M dOM MM' => V dOM MM '. V Soit T le vecteur unitaire port€ par V la vitesse en M : T => V T dOM ds ds .T s est appel€e la vitesse scalaire. Si s est orient€ dans le sens du mouvement dt s = +| v | . Si s est orient€ dans le sens inverse du mouvement s = - | v | D’ou v = En d€rivant v Ts dT dT ds a sT + s . or en M : ds = .d avec ρ: rayon de courbure de la dt ds dt dT 1 dT . trajectoire en M => Dans le cas de la figure (M , M ') , par analogie ds d dT 1 .N avec N vecteur unitaire centripƒte avec le calcul en coordonn€es polaires : ds (dirig€ de M vers du fait de l’orientation de θ). a sT + s sT + s2 => a N Dans cet exercice "s" est orienté dans le sens du mouvement du ballon => s = +| v | 2 2 v .t v .t t t Or v 0 , v0 => s = 0 v02 v0 1 + posons u = 1 + v t 1 => T , v .u u 1 t N , u .u T 2 => s = v0 .u sachant que T est directement perpendiculaire à N => Remarque : Il est ais€ de v€rifier ces r€sultats pour t 0 (T est vertical) et t (T tend vers l’horizontale). dT t 2 1 t t 1 Comme T , => , 2 3 3 3 dt .u .u .u .u u dT dt dT dT 1 dT N . => => ds ds dt ds v0 .u dt v0 . .u 3 Remarque; pour v€rifier le r€sultat sur le rayon de courbure, il suffit de calculer le module de t 1 N 1 u .u sT + s2 l'acc€l€ration ‚ partir de la formule de Frenet. a => a s T + s 2 . t 1 u .u v0 .t 2 v0 t 1 3 2 .u 2 v .t v .t .u 1 u .u + or s = v0 .u => s = 20 a 20 . a + (v0 .u)2 => 3 .u .u 1 v0 . .u t v0 .t v0 .t 2 2 2 2 u .u .u .u v0 .t 2 v0 v0 t 2 v0 t 2 1 v0 2 3 2 2 2 2 2 2 1 . u . u 2 2 .u => => a .u u a .u a => a .u v0 .t v0 .t 0 0 0 2 2 2 2 .u .u v0 a CQFD 0