Exercices de dynamique des fluides Version mise

Exercices de dynamique des fluides
Version mise à jour le 17 septembre 2014
Table des matières
1 Analyse vectorielle
2
2 Statique des fluides
3
3 Propriétés physiques des fluides
5
4 Cinématique
6
5 Equations de Navier-Stokes
7
6 Théorème de transport, forme globale des lois fondamentales
9
7
Analyse dimensionnelle, théorème de Vaschy-Buckingham, similitude
10
8 Contrôle continu L3MK du 22 octobre 2012
11
9 Examen L3MK du 21 décembre 2012
12
10 Contrôle continu L3MK du 14 octobre 2013
13
11 Examen L3MK du 16 décembre 2013
14
1
1 Analyse vectorielle
Exercice 1 : Petits calculs
1. Montrer que les vecteurs (3, −2, 1) ; (1, −3, 5) ; (2, 1, −4) forment un triangle rectangle.
2. En utilisant les produits vectoriels de la base canonique cartésienne (ex ∧ ey = ez , etc),
redémontrer que


 ay bz − az by 


a ∧ b =  az bx − ax bz  .


ax by − ay bx
3. Calculer (2,-3,-1) ∧ (1,4,-2) et (1,4,-2) ∧ (2,-3,-1).
4. Démontrer que l’aire d’un parallélogramme de cotés A, B est |A ∧ B|.
(x2 )
5. Calculer le gradient du champ P(x, y, z) = lny+z
3 .
6. Calculer la divergence du vecteur u(x, y, z) = (x2 z, −2y3 z2 , xy2 z).
7. Calculer le rotationnel du vecteur u(x, y, z) = (xz3 , −2x2 yz, 2yz4 ).
8. Soit Ψ(x, y, z) = 3x2 y − y3 z2 ; calculer grad Ψ.
9. Soit Ψ(x, y, z) = ln |r|, r = (x, y, z) ; calculer grad Ψ.
10. Soit u = (x2 z, −2y3 z2 , xy2 z) ; calculer div u.
11. Soit u = (xz3 , −2x2 yz, 2yz4 ) ; calculer rot u et div (rot u).
12. Soit u = (x2 y, −2xz, 2yz) ; calculer rot u et rot (rot u).
Exercice 2 : Identités vectorielles et théorèmes
1. Montrer les identités suivantes en utilisant les coordonnées cartésiennes :
grad (AB) = Agrad B + Bgrad A
(1)
div (Au) = Adiv u + u.grad A
(2)
div (u ∧ v) = v.rot u − u.rot v
(3)
rot (Au) = grad A ∧ u + Arot u
grad u.u = grad u.u
2 + (rot u) ∧ u.
(4)
2
(5)
2. Montrer que si rot u = 0, alors il existe un champ scalaire A tel que u = −grad A.
3. Déterminer les expressions de grad A, div u et de ∆A en coordonnées cylindriques.
4. En appliquant le théorème d’Ostrogradsky au champ de vecteur v = Au, où u est un vecteur
uniforme, démontrer que
Z
I
grad A dτ
A n dS =
V
Σ
.
5. Soit s une coordonnée curviligne de l’espace. Montrer que
∂A
= grad A.n,
∂s
où n est ici le vecteur unitaire associé à s.
Exercice 3 : Vers la cinématique
Soit un solide en rotation autour d’un de ses points O, fixe. La vitesse d’un point M quelconque du solide peut s’écrire :
−−→
v(M) = v(O) + ω ∧ OM,
où ω(t) est le vecteur rotation instantané. Ici v(O) est nul puisque O est fixe.
Dessiner l’allure des lignes de champ (de courant pour un fluide). Calculer la divergence et
le rotationnel de v.
2 Statique des fluides
Exercice 4 : Conduite sous pression
Une conduite cylindrique de rayon intérieur R=20 cm est parcourue par un fluide sous pression P=10 bar. Déterminer la force exercée par la pression du fluide sur une portion de 1 m de
demi-conduite (conduite coupée dans le sens de la longueur).
Exercice 5 : Variations de pression dans l’air et dans l’eau
1. De combien varie la pression lorsque, au cours d’une randonnée pédestre, un marcheur
monte un dénivelé positif de 1000 m ? (Masse volumique de l’air : 1.225 kg m−3 )
2. A combien de mètres dans l’océan un plongeur doit-il aller pour obtenir la même variation
(absolue) de pression ? (Masse volumique de l’eau de mer : 1028 kg m−3 )
Exercice 6 : Fluides dans un tube
3
Dans un tube en U vide de diamètre intérieur 1 cm et dont les branches sont espacées de
10 cm, on verse 50 cm3 de mercure (d=13.6), puis 10 cm3 d’alcool (d=0.7) dans la branche
de gauche, et enfin 10 cm3 d’eau dans la branche de droite. Déterminer l’écart de niveau entre
l’essence et l’eau.
Exercice 7 : Accéléromètre
Une voiture passe de 25 km.h−1 à 80 km.h−1 en 13 s avec une accélération constante. Un tube
en U partiellement rempli d’eau est installé, une branche vers l’avant, l’autre vers l’arrière. Les
2 branches sont distantes de 60 cm. Quelle est la différence de niveau d’eau entre les 2 branches
pendant la phase d’accélération ?
Exercice 8 : Vase en rotation
Un vase cylindrique de section droite circulaire contient de l’eau. Le vase est mis en rotation à vitesse constante autour de son axe. Après une période transitoire, l’eau s’immobilise par
rapport au vase.
1. Déterminer le champ de pression dans l’eau.
2. Déterminer la forme de la surface.
Exercice 9 : La couronne du roi Hiéron II de Syracuse
La légende veut qu’Archimède ait découvert le principe qui porte son nom en cherchant à
satisfaire le roi Hiéron II de Syracuse. Celui-ci voulait savoir si le joaillier ne l’avait pas trompé
en mélangeant de l’argent (ρ=10500 kg m−3 ), moins cher, avec l’or (ρ=19300 kg m−3 ) de sa
couronne. Montrer qu’en pesant successivement la couronne (pendue par un fil) dans l’air puis
totalement immergée dans l’eau, il est possible de déterminer sa masse volumique.
Exercice 10 : Pesée tordue
Sur les 2 plateaux d’une balance de Roberval sont placés 2 vases identiques reliés par un
tube souple en U. Après avoir versé de l’eau et réalisé l’équilibre, un objet flottant est posé dans
un des vases tout en maintenant les vases en position jusqu’à l’arrêt de l’écoulement. La balance
est lâchée. Reste-t-elle horizontale ?
Exercice 11 : Barrage triangulaire
Un barrage est constitué d’un mur en bétôn, vertical, de forme triangulaire isocèle, la pointe
principale vers le bas. Déterminer la pression dans le lac, ainsi que la force résultante et le moment résultant qui s’exercent sur le barrage. Localiser le centre de poussée.
4
3 Propriétés physiques des fluides
Exercice 12 : Variation de pression dans une conduite
Une conduite de section circulaire (diamètre D=2.5 m) et de longueur L=5000 m contient de
l’eau au repos. Cette conduite est fermée à l’extrémité et peut être alimentée par un réservoir. La
pression de l’eau, supposée uniforme dans la conduite, passe de 100 kPa à 300 kPa en conditions isothermes. La conduite est en acier, d’épaisseur de tôle e=20 mm. On suppose que la
conduite ne subit pas de variations de longueur.
Compressibilité de l’eau : χ = 5.10−10 Pa−1 .
Module d’Young de l’acier : E = 2.1011 N.m2 .
1. Quel est l’apport de masse d’eau dû à cette augmentation de pression ?
2. Quel est le volume correspondant ?
Exercice 13 : Ascension capillaire, loi de Jurin
L’interface eau-air dans un tube capillaire est une sphère de même rayon R que le tube, qui
se raccorde tangentiellement à celui-ci (mouillage parfait).
1. Quelle est la hauteur h du ménisque au-dessus de la surface plane de l’eau ? A.N. : γ=0.07
N m−1 , R= 0.1 mm.
2. Déterminer l’erreur du calcul précédent, due à la négligence de l’eau située au-dessus du
ménisque.
3. On envisage un système d’arrosage constitué d’un réservoir d’eau et d’un réseau de conduites
capillaires. Quel devrait être la taille moyenne des capillarités pour monter l’eau de 1 m audessus du niveau du réservoir ? Commenter.
Exercice 14 : Ascension capillaire entre 2 lames de verre
Deux lames de verres parallèles, distantes d’une longueur e=0.1 mm, sont trempées dans
l’eau. Le mouillage est parfait. Déterminer la force d’attraction entre elles.
Exercice 15 : Calcul de coefficient de tension superficielle
Au bout d’un capillaire de rayon r, une goutte est sur le point de se détacher et de chuter sous
l’effet de la gravité.
1. Décrire la surface de contact entre la goutte et le capillaire.
2. En admettant que la goutte est à l’équilibre quand elle est sur le point de se détacher, montrer
que sa masse vaut :
2πrσ
m=
g
où σ est le coefficient de tension superficielle du liquide.
Avec un compte-gouttes de précision, on fait couler un volume bien défini d’eau pure
à 20◦ C(ρ1 =998 kg/m3 ; σ1 =0.0724 N/m). La masse recueillie est ensuite pesée. On trouve
M1 =2500 mg pour n1 =50 gouttes. On fait de même avec de l’alcool éthylique. Avec le même
5
volume initial, on obtient M2 =1985 mg pour n2 =125 gouttes.
3. En déduire la tension superficielle et la masse volumique de l’alcool à 20◦ C.
Exercice 16 : Translation du piston d’un vérin hydraulique
Un pont hydraulique est commandé par un piston de diamètre D=25 cm en coulissant dans
un cylindre fixe de diamètre D′ =25.01 cm. L’espace annulaire d’épaisseur e entre les 2 cylindres
est rempli d’huile (ρ=900 kg m−3 , viscosité cinématique ν=0.36 10−4 m2 s−1 ). On admet que
la répartition des vitesses entre les 2 cylindres est linéaire et que les effets de courbure sont
négligeables.
1. Pour une vitesse du piston V=5 m/minute, calculer la force de frottement qui s’exerce sur le
piston à l’instant où celui-ci est engagé dans le cylindre sur une longueur L=2.5 m .
2. Dans cette même position, calculer le moment du couple à appliquer au piston pour le faire
tourner à une vitesse de rotation N=2 tours / minute dans le cylindre.
4 Cinématique
Exercice 17 : Ecoulement dans un dièdre
Un écoulement bidimensionnel, dans la région x > 0, y > 0 du plan, est caractérisé par le
champ de vitesse :
u = −kx,
v = ky,
w = 0.
1.
2.
3.
4.
Trouver les lignes de courant.
Montrer que cet écoulement est potentiel, et calculer le potentiel des vitesses.
Trouver les surfaces équipotentielles.
Déterminer l’accélération d’une particule fluide.
Exercice 18 : Vortex
On définit un écoulement par le champ de vitesse suivant (coordonnées cylindriques) :
u=
C
eθ .
2πr
1. Vérifier que l’écoulement respecte l’incompressibilité du fluide.
2. Vérifier que l’écoulement est irrotationnel (en apparence).
3. Trouver le potentiel de vitesse, les lignes de courant et les surfaces équipotentielles.
Exercice 19 : Resserrement du lit d’une rivière
Le lit d’une rivière (d’eau incompressible) se resserre, sa section passant de S 1 à S 2 < S 1 .
Les vitesses en amont et en aval sont supposées homogènes dans les sections respectives. Montrer que le débit est conservé et calculer le rapport des vitesses entre les 2 sections.
6
Exercice 20 : Transformations dans un écoulement de Couette plan
Un écoulement de Couette plan, se produisant entre 2 plaques planes horizontales espacées
de h, est caractérisé par une vitesse unidirectionnelle de la forme :
y y
u(y) = C
−1 .
h h
Déterminer le tenseur taux de déformation et le tenseur taux de rotation au sein de cet écoulement.
Exercice 21 : Solide de Rankine
Une source ponctuelle, tridimensionnelle de fluide est située au point O origine du repère
de l’espace (en coordonnées sphériques). Elle émet un fluide incompressible de façon isotrope
spatialement, avec un débit volumique Dv constant.
1. Déterminer le champ de vitesse u1 associé à cet écoulement.
2. Montrer que le champ de vitesse dérive d’un potentiel.
3. Montrer que le champ de vitesse respecte l’hypothèse d’incompressibilité du fluide.
4. Caractériser les lignes de courant.
Un champ de vitesse de la forme u2 = u0 ez vient se superposer au précédent.
5. Ecrire le nouveau champ de vitesse dans le système de coordonnées sphériques.
6. Ce champ respecte-t-il l’incompressibilité ? Dérive-t-il d’un potentiel ?
7. Ecrire l’équation des lignes de courant sous la forme f (r, θ, φ) = cte.
8. Montrer qu’il existe un point d’arrêt (u = 0) et écrire l’équation des lignes de courant
passant par ce point.
9. Justifier que l’écoulement décrit précédemment (dans la partie extérieure aux lignes de
courant de la question précédente) peut aussi être obtenu en plaçant un solide dans le fluide.
C’est le solide de Rankine.
5 Equations de Navier-Stokes
Exercice 22 : Ecoulement de Poiseuille dans un tube cylindrique
Un fluide visqueux incompressible s’écoule dans une conduite cylindrique horizontale.
Comme il n’y a pas de turbulence, on admet que la vitesse est dirigée le long de l’axe z de
symétrie du cylindre. On considère aussi que l’écoulement est permanent, axisymétrique (l’effet de la gravité est négligé), et invariant selon z. Une pompe impose un gradient de pression
∂P
∂z .
1. Déterminer le profil de vitesse du fluide.
2. Calculer le débit.
Un dispositif permet d’injecter, entre le fluide précédent et les parois du tube, un film
d’épaisseur e d’un autre fluide de moindre viscosité.
7
3. Déterminer les profils de vitesse des fluides.
4. Calculer le débit du premier et comparer avec le cas sans le dispositif.
Exercice 23 : Tourbillons et viscosimètres
On considère un écoulement incompressible en rotation autour de l’axe vertical z. On suppose qu’il y a symétrie cylindrique et invariance selon z de l’écoulement. La vitesse est nulle
selon z.
1. En appliquant l’équation de continuité, montrer que la vitesse radiale ur est nulle.
2. Ecrire les équations de Navier-Stokes.
3. Déterminer la solution stationnaire générale pour le champ de vitesse.
4. Pour la solution valable avec un domaine fluide infini, calculer la circulation des vitesses
sur un cercle de rayon r. En déduire une écriture de la solution avec la circulation.
Le fluide est mis en mouvement par un cylindre de rayon R et d’axe z, en rotation à une
vitesse ω constante, et immergé dans le fluide d’une hauteur H.
5. De la condition d’adhérence à la paroi du cylindre, déduire une expression de la circulation,
puis de la vitesse.
6. Calculer le couple associé à la force visqueuse exercée par le fluide sur le cylindre.
7. En déduire une méthode de mesure de la viscosité des fluides.
Maintenant, le fluide occupe l’espace vide entre un cylindre plein, d’axe z, de rayon R1 , et
un cylindre creux de même axe et de rayon R2 > R1 . Le cylindre intérieur est immobile, le cylindre extérieur est en rotation autour de son axe avec la vitesse ω. L’écoulement est permanent.
8. Calculer le champ de vitesse.
9. Calculer le couple associé à la force visqueuse exercée par le fluide sur le cylindre extérieur.
Exercice 24 : Ecoulement d’un film de fluide le long d’une paroi verticale
Un fluide newtonien visqueux incompressible s’écoule le long d’une paroi verticale située
dans le plan (y − z). L’écoulement est permanent et suffisamment développé pour être considéré
invariant selon z. Il l’est selon y.
1. Montrer que u est nulle partout.
2. Montrer que la pression est homogène.
3. Etablir l’équation de l’écoulement pour w et déterminer la forme de la solution.
4. En utilisant les conditions aux limites (cinématique et dynamique !) déterminer la solution
en faisant intervenir l’épaisseur du film δ.
5. Calculer le débit de l’écoulement.
8
6 Théorème de transport, forme globale des lois fondamentales
Exercice 25 : Théorème de transport
Soit δΩ un volume élémentaire de fluide. En appliquant le théorème de transport, montrer
que
1 d(δΩ)
= div u,
δΩ dt
où u est le champ de vitesse.
Exercice 26 : Conduite coudée
Un fluide parfait est en écoulement dans une conduite horizontale, de section constante,
présentant un coude d’angle θ. Déterminer la force appliquée par le fluide sur la canalisation.
A.N. : θ=60◦ , vitesse d’entrée U=5 m s−1 , pression d’entrée P=4 bar, section S =0.06 m2 .
Exercice 27 : Réservoir sur roulettes
Un réservoir rempli d’eau est posé sur une planche à roulettes (Figure 3). En bas du réservoir,
une ouverture permet l’évacuation de l’eau par un jet horizontal. Quelle est la force à appliquer
pour maintenir le réservoir à l’équilibre ?
Exercice 28 : Equilibre d’une plaque soumise à un jet
Un jet d’eau en forme de lame horizontale de section S et de vitesse U frappe une plaque
carrée, homogène, de coté a, mobile autour d’un axe horizontal passant par un de ses cotés
(Figure 1). Celle-ci s’incline d’un angle α avec la verticale. Calculer α en fonction de la masse
M de la plaque et de la distance verticale h entre le jet et l’axe.
A.N. : S =10 cm2 , U=30 m.s−1 , h=60 cm, a=90 cm, M=240 kg.
Exercice 29 : Turbine Pelton
Dans une turbine Pelton, un jet d’eau vient frapper successivement les augets d’une roue
à aubes d’axe horizontal pour entrainer sa rotation. Les augets ont une forme telle que le jet
est divisé en 2 branches symétriques déviées vers l’arrière (Figure 2). Le diamètre de la roue
est suffisamment grand pour que le déplacement de l’auget puisse être considéré comme une
translation rectiligne uniforme.
1. Montrer que les vitesses d’entrée et de sortie, relatives à l’auget, ont même module.
2. Calculer la force exercée par le jet sur l’auget.
9
7
Analyse dimensionnelle, théorème de Vaschy-Buckingham, similitude
Exercice 30 : Théorème de Pythagore
La surface d’un triangle rectangle est entièrement défini par son hypothénuse et un de ses
angles non droits. En remarquant qu’il peut être divisé en 2 triangles rectangles plus petits, retrouver le théorème de Pythagore par analyse dimensionnelle.
Exercice 31 : Digue
Une maquette de digue est formée de blocs de béton de 1 kg et résiste à une houle (de laboratoire) de 30 cm. Quelle sera la masse des blocs de béton à installer sur la vraie digue, qui
devra résister à une houle de 6 m ?
Exercice 32 : Vidange d’un réservoir
On veut construire une maquette pour évaluer le temps de vidange d’un réservoir. Comment choisir la viscosité du fluide utilisé dans la maquette ? On appelle l une dimension caractéristique du réservoir, ρ la masse volumique, µ la viscosité dynamique du fluide, g la gravité.
On suppose que le gradient de pression entre la surface libre et l’orifice est proportionnel à l,
donc n’intervient pas de façon explicite.
Exercice 33 : Oscillation dans un tube en U
Un tube en U maintenu vertical contient un fluide non visqueux. Déterminer la fréquence
d’oscillation du fluide dans le tube. Quelques suggestions de paramètres influents : masse volumique, gravité, diamètre du tube, volume de fluide...
Exercice 34 : Portée d’un projectile
Un projectile est lancé à un vitesse horizontale v depuis une hauteur h. Déterminer une relation entre la portée d et les autres paramètres en jeu par analyse dimensionnelle.
Exercice 35 : Perte de charge dans une conduite
Déterminer la perte de charge d’un écoulement de fluide visqueux dans une conduite rugueuse horizontale.
10
8 Contrôle continu L3MK du 22 octobre 2012
Durée : 1 h 30. Les documents et calculettes sont autorisées. Tout résultat issu du cours ou
d’un TD peut être utilisé (à bon escient...) sans être redémontré. En revanche, il doit être clairement rf́érencé (numéro de section, de TD, d’exercice, etc). Les notations des variables sont
identiques à celles du cours lorsqu’elles ne sont pas reprécisées.
Exercice 36 : Analyse vectorielle
1. Montrer que rot (Au) = grad A ∧ u + Arot u.
2. Calculer
I
r.ndS ,
S
−−→
où S est une surface fermée et r = OM.
Exercice 37 : Description lagrangienne et eulérienne
Dans un écoulement donné, la position des particules fluides est définie par :
x(t) = x0 ekt ,
y(t) = y0 e−kt ,
z(t) = z0 .
k est un paramètre constant, et (x0 , y0 , z0 ) est la position initiale de la particule. L’écoulement
est-il permanent (ou stationnaire) ?
Pour répondre, on pourra suivre la démarche suivante :
1. Calculer la vitesse de la particule fluide.
2. Ecrire cette vitesse en fonction de la position de la particule.
3. Conclure.
Exercice 38 : Mouvement hélicoı̈dal
Soit l’écoulement déterminé par le champ de vitesse suivant :
u = −ay,
v = ax,
w = 0,
où a est un paramètre constant.
1. Le fluide est-il incompressible ?
2. L’écoulement est-il irrotationnel ?
3. Déterminer les lignes de courant.
4. Déterminer le tenseur taux de déformation pour cet écoulement.
5. Comparer cet écoulement au champ de vitesse d’un solide en rotation.
Exercice 39 : Gouttes et tension superficielle
Calculer la pression qui règne dans une goutte liquide baignant dans l’air, en fonction de
son rayon R et du coefficient γ de tension superficielle du liquide.
11
9 Examen L3MK du 21 décembre 2012
Durée : 2 h. Les documents et calculettes sont autorisées. Tout résultat issu du cours ou
d’un TD peut être utilisé (à bon escient...) sans être redémontré. En revanche, il doit être clairement référencé (numéro de section, de TD, d’exercice, etc). Les notations des variables sont
identiques à celles du cours lorsqu’elles ne sont pas reprécisées.
Exercice 40 : Ruissellement laminaire
Un fluide s’écoule librement sur une plaque inclinée d’un angle α avec l’horizontale, sous
le seul effet de la gravité. Il forme un film d’épaisseur a uniforme. Sa viscosité est notée ν. On
considère l’écoulement comme bidimensionnel (plan (x, z), x le long de la plaque et z perpendiculaire à la plaque), infiniment long selon x, permanent et établi.
1. Traduire mathématiquement les hypothèses de régime ”bidimensionnel”, ”permanent” et
”établi”.
2. Montrer que w = 0.
3. Ecrire l’équation de Navier-Stokes pour u en tenant compte des hypothèses simplificatrices.
4. Ecrire les conditions aux limites pour u en négligeant la tension superficielle à l’interface
avec l’air.
5. Démontrer que le profil de vitesse est
z
g sin α z a− .
u(z) =
ν
2
6. Déterminer le débit par unité de largeur.
Exercice 41 : Coefficient de trainée d’un cylindre circulaire
Un cylindre de rayon d est immergé dans un fluide de masse volumique ρ, viscosité ν, en
écoulement permanent et uniforme (au moins loin du cylindre) avec une vitesse U. Sous l’effet
du fluide, le cylindre subit une force par unité de longueur immergé, notée F. Traditionnellement, les mécaniciens utilisent le coefficient de trainée défini comme :
Cx =
F
1
2
2 ρU d
.
En négligeant les effets de la gravité, montrer que C x n’est fonction que du nombre de Reynolds
associé à l’écoulement du fluide autour du cylindre.
Exercice 42 : Lance à incendie
Un pompier tient une lance à incendie pendant la projection d’eau vers un feu. La lance est
alimentée avec un débit qv connu. Les sections du tuyau et de la tête de la lance (figure 4) sont
connues. Calculer l’effort que doit fournir le pompier pour maintenir la lance immobile.
12
10 Contrôle continu L3MK du 14 octobre 2013
Durée : 1 h 30. Les documents et calculettes sont autorisées. Tout résultat issu du cours
ou d’un TD peut être utilisé (à bon escient...) sans être redémontré. En revanche, il doit être
clairement référencé (numéro de section, de TD, d’exercice, etc). Les notations des variables
sont identiques à celles du cours lorsqu’elles ne sont pas reprécisées.
Exercice 43 : Analyse vectorielle
1. Montrer que a.(u ∧ v) = v.(a ∧ u).
2. Montrer que
r ∧ n dS = 0,
S
−−→
où S est une surface fermée et r = OM.
Exercice 44 : Description lagrangienne et eulérienne
Un écoulement est décrit dans le formalisme lagrangien par :
X(t) = X0 (1 + at),
Y(t) = Y0 + b,
Z(t) = Z0 .
a et b sont des paramètres constants, et (X0 , Y0 , Z0 ) sont des paramètres propres à chaque particule.
1. Ecrire les composantes u, v, et w du champ de vitesse du fluide dans le formalisme eulérien.
2. Calculer la dérivée particulaire de ce champ de vitesse.
3. Calculer le tenseur taux de déformation de cet écoulement.
Exercice 45 : Examen d’un écoulement
Soit l’écoulement déterminé par le champ de vitesse suivant :
u(x, y, z, t) =
ax
,
1 + at
v = 0,
w(x, y, z, t) = bω cos ωt,
où a, b et ω sont des paramètres constants.
1. Le fluide est-il incompressible ?
2. L’écoulement est-il irrotationnel ?
3. Déterminer les trajectoires de l’écoulement et en tracer quelques-unes dans le plan X − Z.
4. Déterminer les lignes de courant et en tracer quelques-unes dans le plan X − Z.
Exercice 46 : Bulles et tension superficielle
Une bulle de savon sphérique de rayon R2 vient se coller à une autre bulle de savon (de
même savon) sphérique de rayon R1 > R2 (Figure 5). Déterminer précisément la forme de
l’interface de contact entre les 2 bulles.
13
11 Examen L3MK du 16 décembre 2013
Durée : 2 h. Les documents et calculettes sont autorisées. Tout résultat issu du cours ou
d’un TD peut être utilisé (à bon escient...) sans être redémontré. En revanche, il doit être clairement référencé (numéro de section, de TD, d’exercice, etc). Les notations des variables sont
identiques à celles du cours lorsqu’elles ne sont pas reprécisées. Un soin particulier doit être
apporté à la clarté et la concision (sans excès) des réponses aux questions.
Exercice 47 : Jet dévié
Un système industriel (figure 6) est composé d’une conduite (comprenant une section cylindrique de diamètre D0 =0.2 m, un venturi de diamètre D1 =0.1 m, une tuyère convergente de
diamètre d’entrée D2 =0.2 m et de sortie D3 =5 cm) et d’une aube qui dévie le jet sortant d’un
angle α=120◦ . L’ensemble solide est fixé à un bâti sans possibilité de mouvement. L’eau entre
dans la conduite avec un débit qv =0.2 m3 .s−1 . Elle sort par la tuyère à l’air libre avant d’aller
frapper l’aube. Le fluide est considéré parfait, sauf indication contraire.
Pour chaque question, l’application numérique est indispensable.
1. Calculer les vitesses de l’eau au niveau des points 0, 1, 2, 3 indiqués sur la figure.
2. Calculer les pressions P0 à l’entrée de la conduite et P1 au niveau du venturi.
3. Calculer la force exercée par l’eau en écoulement sur la tuyère. L’effet de la gravité sera
négligé (mais pas les forces de pression !).
4. Calculer la force exercée par le jet sur l’aube (et on justifiera brièvement le fait de négliger
les forces de pression).
5. L’eau est remplacé par une huile de même densité, mais visqueuse (ν = 10−5 m2 .s−1 ). On
constate que la vitesse u3 est réduite de 20%, par rapport à l’eau, entre le point d’arrivée sur
l’aube et le point de sortie. Calculer l’intensité de la force appliquée sur l’aube.
Exercice 48 : Oscillation d’une surface libre
Lorsque l’on transporte un récipient rempli d’un liquide en marchant, les à-coups de la
marche engendrent des oscillations de la surface du liquide. Si le récipient était trop plein le liquide déborde. Une observation rigoureuse conduit à constater que la fréquence des oscillations
est indépendante des caractéristiques du déplacement si celles-ci sont raisonnables. On cherche
à relier, par l’expérience, la fréquence d’oscillation de la surface libre aux caractéristiques de
différents réservoirs cylindriques (diamètres D, profondeur H) et à celles de différents fluides
incompressibles newtoniens de masse volumique ρ, viscosité µ, et tension superficielle A.
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1. Quelle stratégie adopter pour minimiser le nombre d’expériences ?
2. Déterminer les unités de A.
3. Par analyse dimensionnelle, déterminer une relation entre la fréquence d’oscillation f et les
variables caractéristiques du problème.
On peut penser que la gravité g a un rôle à jouer... D’autre part, afin de bien distinguer les
rôles de la viscosité et de la tension superficielle, il peut être judicieux d’éviter de mêler ces 2
quantités dans une même variable.
4. On s’impose de n’utiliser que des réservoirs dont le diamètre et la hauteur sont identiques.
Comment se simplifie la relation précédente ?
5. Ensuite, on néglige les effets de viscosité et de tension superficielle. Que devient la loi de f ?
6. Sous les hypothèses précédentes, on mesure une fréquence d’oscillation f1 avec un réservoir
de profondeur H1 et un fluide 1. Peut-on prédire la valeur de f2 , fréquence pour un réservoir de
profondeur H2 avec un fluide 2 ?
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Figure 1 – Jet sur une plaque.
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Figure 2 – Turbine Pelton.
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Figure 3 – Réservoir sur roulettes.
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Figure 4 – Lance à incendie.
Figure 5 – 2 bulles de savon collées ensemble.
Figure 6 – Système venturi-tuyère-déflecteur.
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