Exercices de dynamique des fluides Version mise

Exercices de dynamique des fluides
Version mise ` a jour le 17 septembre 2014
Table des mati` eres
1 Analyse vectorielle 2
2 Statique des fluides 3
3 Propri´ et´ es physiques des fluides 5
4 Cin´ ematique 6
5 Equations de Navier-Stokes 7
6 Th´ eor` eme de transport, forme globale des lois fondamentales 9
7 Analyse dimensionnelle, th´ eor` eme de Vaschy-Buckingham, similitude 10
8 Contrˆ ole continu L3MK du 22 octobre 2012 11
9 Examen L3MK du 21 d´ ecembre 2012 12
10 Contrˆ ole continu L3MK du 14 octobre 2013 13
11 Examen L3MK du 16 d´ ecembre 2013 14
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1 Analyse vectorielle
Exercice 1 : Petits calculs
1. Montrer que les vecteurs (3,−2,1); (1,−3,5) ; (2,1,−4) forment un triangle rectangle.
2. En utilisant les produits vectoriels de la base canonique cart´esienne (ex∧ey=ez, etc),
red´emontrer que
a∧b=
aybz−azby
azbx−axbz
axby−aybx
.
3. Calculer (2,-3,-1) ∧(1,4,-2) et (1,4,-2) ∧(2,-3,-1).
4. D´emontrer que l’aire d’un parall´elogramme de cot´es A,Best |A∧B|.
5. Calculer le gradient du champ P(x,y,z)=ln(x2)
y+z3.
6. Calculer la divergence du vecteur u(x,y,z)=(x2z,−2y3z2,xy2z).
7. Calculer le rotationnel du vecteur u(x,y,z)=(xz3,−2x2yz,2yz4).
8. Soit Ψ(x,y,z)=3x2y−y3z2; calculer grad Ψ.
9. Soit Ψ(x,y,z)=ln |r|,r=(x,y,z); calculer grad Ψ.
10. Soit u=(x2z,−2y3z2,xy2z); calculer div u.
11. Soit u=(xz3,−2x2yz,2yz4); calculer rot uet div (rot u).
12. Soit u=(x2y,−2xz,2yz) ; calculer rot uet rot (rot u).
Exercice 2 : Identit´ es vectorielles et th´ eor` emes
1. Montrer les identit´es suivantes en utilisant les coordonn´ees cart´esiennes :
grad (AB)=Agrad B+Bgrad A(1)
div (Au)=Adiv u+u.grad A(2)
div (u∧v)=v.rot u−u.rot v(3)
rot (Au)=grad A∧u+Arot u(4)
grad u.u=grad u.u
2+(rot u)∧u.(5)
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2. Montrer que si rot u=0, alors il existe un champ scalaire Atel que u=−grad A.
3. D´eterminer les expressions de grad A, div uet de ∆Aen coordonn´ees cylindriques.
4. En appliquant le th´eor`eme d’Ostrogradsky au champ de vecteur v=Au, o`u uest un vecteur
uniforme, d´emontrer que IΣ
AndS =ZVgrad A dτ
.
5. Soit sune coordonn´ee curviligne de l’espace. Montrer que
∂A
∂s=grad A.n,
o`u nest ici le vecteur unitaire associ´e `a s.
Exercice 3 : Vers la cin´ ematique
Soit un solide en rotation autour d’un de ses points O, fixe. La vitesse d’un point Mquel-
conque du solide peut s’´ecrire :
v(M)=v(O)+ω∧−−→ OM,
o`u ω(t) est le vecteur rotation instantan´e. Ici v(O) est nul puisque Oest fixe.
Dessiner l’allure des lignes de champ (de courant pour un fluide). Calculer la divergence et
le rotationnel de v.
2 Statique des fluides
Exercice 4 : Conduite sous pression
Une conduite cylindrique de rayon int´erieur R=20 cm est parcourue par un fluide sous pres-
sion P=10 bar. D´eterminer la force exerc´ee par la pression du fluide sur une portion de 1 m de
demi-conduite (conduite coup´ee dans le sens de la longueur).
Exercice 5 : Variations de pression dans l’air et dans l’eau
1. De combien varie la pression lorsque, au cours d’une randonn´ee p´edestre, un marcheur
monte un d´enivel´e positif de 1000 m ? (Masse volumique de l’air : 1.225 kg m−3)
2. A combien de m`etres dans l’oc´ean un plongeur doit-il aller pour obtenir la mˆeme variation
(absolue) de pression ? (Masse volumique de l’eau de mer : 1028 kg m−3)
Exercice 6 : Fluides dans un tube
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Dans un tube en U vide de diam`etre int´erieur 1 cm et dont les branches sont espac´ees de
10 cm, on verse 50 cm3de mercure (d=13.6), puis 10 cm3d’alcool (d=0.7) dans la branche
de gauche, et enfin 10 cm3d’eau dans la branche de droite. D´eterminer l’´ecart de niveau entre
l’essence et l’eau.
Exercice 7 : Acc´ el´ erom` etre
Une voiture passe de 25 km.h−1`a 80 km.h−1en 13 s avec une acc´el´eration constante. Un tube
en U partiellement rempli d’eau est install´e, une branche vers l’avant, l’autre vers l’arri`ere. Les
2 branches sont distantes de 60 cm. Quelle est la diff´erence de niveau d’eau entre les 2 branches
pendant la phase d’acc´el´eration ?
Exercice 8 : Vase en rotation
Un vase cylindrique de section droite circulaire contient de l’eau. Le vase est mis en rota-
tion `a vitesse constante autour de son axe. Apr`es une p´eriode transitoire, l’eau s’immobilise par
rapport au vase.
1. D´eterminer le champ de pression dans l’eau.
2. D´eterminer la forme de la surface.
Exercice 9 : La couronne du roi Hi´ eron II de Syracuse
La l´egende veut qu’Archim`ede ait d´ecouvert le principe qui porte son nom en cherchant `a
satisfaire le roi Hi´eron II de Syracuse. Celui-ci voulait savoir si le joaillier ne l’avait pas tromp´e
en m´elangeant de l’argent (ρ=10500 kg m−3), moins cher, avec l’or (ρ=19300 kg m−3) de sa
couronne. Montrer qu’en pesant successivement la couronne (pendue par un fil) dans l’air puis
totalement immerg´ee dans l’eau, il est possible de d´eterminer sa masse volumique.
Exercice 10 : Pes´ ee tordue
Sur les 2 plateaux d’une balance de Roberval sont plac´es 2 vases identiques reli´es par un
tube souple en U. Apr`es avoir vers´e de l’eau et r´ealis´e l’´equilibre, un objet flottant est pos´e dans
un des vases tout en maintenant les vases en position jusqu’`a l’arrˆet de l’´ecoulement. La balance
est lˆach´ee. Reste-t-elle horizontale ?
Exercice 11 : Barrage triangulaire
Un barrage est constitu´e d’un mur en b´etˆon, vertical, de forme triangulaire isoc`ele, la pointe
principale vers le bas. D´eterminer la pression dans le lac, ainsi que la force r´esultante et le mo-
ment r´esultant qui s’exercent sur le barrage. Localiser le centre de pouss´ee.
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3 Propri´ et´ es physiques des fluides
Exercice 12 : Variation de pression dans une conduite
Une conduite de section circulaire (diam`etre D=2.5 m) et de longueur L=5000 m contient de
l’eau au repos. Cette conduite est ferm´ee `a l’extr´emit´e et peut ˆetre aliment´ee par un r´eservoir. La
pression de l’eau, suppos´ee uniforme dans la conduite, passe de 100 kPa `a 300 kPa en condi-
tions isothermes. La conduite est en acier, d’´epaisseur de tˆole e=20 mm. On suppose que la
conduite ne subit pas de variations de longueur.
Compressibilit´e de l’eau : χ=5.10−10 Pa−1.
Module d’Young de l’acier : E=2.1011N.m2.
1. Quel est l’apport de masse d’eau dˆu `a cette augmentation de pression ?
2. Quel est le volume correspondant ?
Exercice 13 : Ascension capillaire, loi de Jurin
L’interface eau-air dans un tube capillaire est une sph`ere de mˆeme rayon Rque le tube, qui
se raccorde tangentiellement `a celui-ci (mouillage parfait).
1. Quelle est la hauteur hdu m´enisque au-dessus de la surface plane de l’eau? A.N. : γ=0.07
N m−1,R=0.1 mm.
2. D´eterminer l’erreur du calcul pr´ec´edent, due `a la n´egligence de l’eau situ´ee au-dessus du
m´enisque.
3. Onenvisage un syst`eme d’arrosage constitu´e d’un r´eservoir d’eau etd’un r´eseau de conduites
capillaires. Quel devrait ˆetre la taille moyenne des capillarit´es pour monter l’eau de 1 m au-
dessus du niveau du r´eservoir ? Commenter.
Exercice 14 : Ascension capillaire entre 2 lames de verre
Deux lames de verres parall`eles, distantes d’une longueur e=0.1 mm, sont tremp´ees dans
l’eau. Le mouillage est parfait. D´eterminer la force d’attraction entre elles.
Exercice 15 : Calcul de coefficient de tension superficielle
Au bout d’un capillaire de rayon r, une goutte est sur le point de se d´etacher et de chuter sous
l’effet de la gravit´e.
1. D´ecrire la surface de contact entre la goutte et le capillaire.
2. En admettant que la goutte est `a l’´equilibre quand elle est sur le point de se d´etacher, montrer
que sa masse vaut :
m=2πrσ
g
o`u σest le coefficient de tension superficielle du liquide.
Avec un compte-gouttes de pr´ecision, on fait couler un volume bien d´efini d’eau pure
`a 20◦C(ρ1=998 kg/m3;σ1=0.0724 N/m). La masse recueillie est ensuite pes´ee. On trouve
M1=2500 mg pour n1=50 gouttes. On fait de mˆeme avec de l’alcool ´ethylique. Avec le mˆeme
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