LIMITES DE FONCTIONS 1 Limite quand x → + - univers

LIMITES DE FONCTIONS
Jean Chanzy
Lycée Plaine de Neauphle ∗
1 Limite quand x→+∞:
Dans tout ce paragraphe, on considère une fonction fdéfinie sur un intervalle du type ]c, +∞[,c∈R.
1.1 Limite finie quand x→+∞:
Définissons de façon rigoureuse lim
x→+∞f(x) = l(l∈R). Donnons-nous un nombre réel ε > 0
arbitrairement petit :
Définition 1.1. Si tout intervalle ]l−ε, l +ε[contient toutes les valeurs de f(x)dès que xest assez
grand, on dit que f(x)tend vers lquand xtend vers +∞, ce qui se traduit par la définition mathématique
suivante :
Définition 1.2.
∀ε > 0,∃A(ε)>0,∀x;x > A ⇒f(x)∈]l−ε, l +ε[.
Interprétation graphique Si lim
x→+∞f(x) = l, alors la courbe de fprésente une asymptote horizontale
d’équation y=len +∞.
O
~
i
~
j
x
y
y=l
l
l−ε
l+ε
Ax
MN =|f(x)−l| → 0si x→+∞
N
M
1.2 Limite infinie quand x→+∞:
Définissons de façon rigoureuse lim
x→+∞f(x) = +∞. Donnons-nous un nombre réel A > 0arbitraire-
ment grand :
∗Avenue Salvador Allende 78190 Trappes
1

Définition 1.3. Si tout intervalle ]A, +∞[contient toutes les valeurs de f(x)dès que xest assez grand,
on dit que f(x)tend vers +∞quand xtend vers +∞, ce qui se traduit par la définition mathématique
suivante :
Définition 1.4.
∀A > 0,∃B(A)>0,∀x;x > B ⇒f(x)∈]A, +∞[.
Interprétation graphique Si lim
x→+∞f(x) = +∞et, de plus il existe m∈R∗et p ∈R, deux nombres
fixes tels que lim
x→+∞[f(x)−(mx+p)] = 0, alors la courbe de fprésente une asymptote oblique d’équation
y=mx +pen +∞.
O
~
i
~
j
x
y
y=mx +p
x
MN =|f(x)−(mx +p)| → 0si x→+∞
N
M
Remarques :
1. Si mexiste, alors m= lim
x→+∞
f(x)
x; si pexiste, alors p= lim
x→+∞[f(x)−mx].
2. À titre d’exercice, le lecteur réécrira la définition précédente pour lim
x→+∞f(x) = −∞ ♣
2 Limite quand x→ −∞ :
Dans tout ce paragraphe, on considère une fonction fdéfinie sur un intervalle du type ]− ∞, c[,
c∈R.
2.1 Limite finie quand x→ −∞ :
Définissons de façon rigoureuse lim
x→−∞f(x) = l(l∈R). Donnons-nous un nombre réel ε > 0
arbitrairement petit :
Définition 2.1. Si tout intervalle ]l−ε, l +ε[contient toutes les valeurs de f(x)dès que xest assez
grand en valeur absolue et négatif, on dit que f(x)tend vers lquand xtend vers −∞, ce qui se traduit
par la définition mathématique suivante :
Définition 2.2.
∀ε > 0,∃A(ε)>0,∀x;x < −A⇒f(x)∈]l−ε, l +ε[.
Interprétation graphique Si lim
x→−∞f(x) = l, alors la courbe de fprésente une asymptote horizontale
d’équation y=len −∞.
2

O
~
i
~
j
x
y
y=ll
l−ε
l+ε
A
x
MN =|f(x)−l| → 0si x→+∞
N
M
2.2 Limite infinie quand x→ −∞ :
Définissons de façon rigoureuse lim
x→−∞f(x) = +∞. Donnons-nous un nombre réel A > 0arbitraire-
ment grand :
Définition 2.3. Si tout intervalle ]A, +∞[contient toutes les valeurs de f(x)dès que xest assez grand
en valeur absolue et négatif, on dit que f(x)tend vers +∞quand xtend vers −∞, ce qui se traduit par
la définition mathématique suivante :
Définition 2.4.
∀A > 0,∃B(A)>0,∀x;x < −B⇒f(x)∈]A, +∞[.
Interprétation graphique Si lim
x→−∞f(x) = +∞et, de plus il existe m∈R∗et p ∈R, deux nombres
fixes tels que lim
x→−∞[f(x)−(mx+p)] = 0, alors la courbe de fprésente une asymptote oblique d’équation
y=mx +pen −∞.
O
~
i
~
jx
y
y=mx +p
x
MN =|f(x)−(mx +p)| → 0si x→ −∞
M
N
Remarques :
1. Si mexiste, alors m= lim
x→−∞
f(x)
x; si pexiste, alors p= lim
x→−∞ [f(x)−mx].
2. À titre d’exercice, le lecteur réécrira la définition précédente pour lim
x→−∞f(x) = −∞ ♣
3

3 Limite quand x→a(a∈R):
Dans tout ce paragraphe, on considère une fonction fdéfinie sur un intervalle ouvert I=]c, d[
quelconque contenant a.
3.1 Limite infinie quand x→a:
Définissons de façon rigoureuse lim
x→af(x) = +∞. Donnons-nous un nombre réel A > 0arbitrairement
grand :
Définition 3.1. Si tout intervalle ]A, +∞[contient toutes les valeurs de f(x)dès que xest assez proche
de a, on dit que f(x)tend vers +∞quand xtend vers a, ce qui se traduit par la définition mathématique
suivante :
Définition 3.2.
∀A > 0,∃α(A)>0,∀x;x∈]a−α, a +α[⇒f(x)∈]A, +∞[.
Interprétation graphique Si lim
x→af(x) = +∞, alors la courbe de fprésente une asymptote verticale
d’équation x=aen +∞.
O
~
i
~
j
x
y
x=a
a
a−α a +α
A
f(x)
MN =|x−a| → 0si f(x)→+∞
N M
Remarque : À titre d’exercice, le lecteur réécrira la définition précédente pour lim
x→af(x) = −∞ ♣
3.2 Limite finie quand x→a:
Définissons de façon rigoureuse lim
x→af(x) = b(b∈R). Donnons-nous un nombre réel ε > 0arbitrai-
rement petit :
Définition 3.3. Si tout intervalle ]b−ε, b+ε[contient toutes les valeurs de f(x)dès que xest assez proche
de a, on dit que f(x)tend vers bquand xtend vers a, ce qui se traduit par la définition mathématique
suivante :
4

Définition 3.4.
∀ε > 0,∃α(ε)>0,∀x;x∈]a−α, a +α[⇒f(x)∈]b−ε, b +ε[.
Interprétation graphique
O
~
i
~
j
x
y
b
b−ε
b+ε
a
a−α a +α
x
f(x)
Remarque : Si bexiste, best unique. ♣
4 Opérations sur les limites :
Règles à appliquer :
1. Les opérations sur les limites sont les mêmes que les opérations sur les fonctions correspondantes,
sauf en cas d’indétermination.
Formes indéterminées :
(a) +∞ − ∞ ou −∞ +∞,
(b) 0×(+∞)ou 0×(−∞),
(c) ∞
∞c’est-à-dire +∞ +∞,+∞ −∞,−∞ +∞, ou −∞ −∞
(d) 0
0
Si on obtient une forme indéterminée, il faut lever l’indétermination, soit par factorisation (cas
des fonctions rationnelles), soit en utilisant la quantité conjuguée (cas des radicaux), soit par
changement de variable, ...
2. Toute fonction polynôme a la même limite quand xtend vers +∞ou −∞ que son terme de plus
haut degré.
3. Toute fonction rationnelle a la même limite quand xtend vers +∞ou −∞ que le quotient de ses
termes de plus haut degré.
4. On étudie toujours les limites d’une fonction uniquement aux bornes de son ensemble de définition
(valeurs extrêmes de chaque intervalle constituant son ensemble de définition).
5