5 – oscillateurs mécaniques

5–OSCILLATEURSMÉCANIQUES
Si l’on consacre un chapitre à étudier un système aussi simple qu’une masse accrochée à un
ressort c’est que ce système mécanique permet d’introduire un concept important aussi bien en
mécanique que dans de nombreux autres domaines de la science (chimie, physique des matériaux,
électricité, génie civil etc) : l’oscillateur. L’essentiel de ce chapitre est donc consacré à l’étude de
l’oscillateur harmonique en régime libre et forcé puis on termine par une introduction aux effets
non linéaires.
Ce chapitre est accessible en ligne à l’adresse :
http://femto-physique.fr/mecanique/meca_C5.php
Sommaire
5.1 Notion d’oscillateur harmonique ........................... 60
5.1.1 Pendule élastique non amorti ........................ 60
5.1.2 Pendule élastique amorti ........................... 62
5.1.3 Régime libre ................................. 63
5.2 Résonances ...................................... 65
5.2.1 Généralités .................................. 66
5.2.2 Résonance d’élongation ........................... 66
5.2.3 Résonance de vitesse ............................. 68
5.2.4 Aspects énergétiques ............................. 69
5.3 Effets anharmoniques .................................. 71
5.3.1 Approximation harmonique ......................... 71
5.3.2 Anharmonicités ................................ 72
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CHAPITRE 5. OSCILLATEURS MÉCANIQUES 60
5.1 Notion d’oscillateur harmonique
5.1.1 Pendule élastique non amorti
Le pendule élastique est un système constitué d’un ressort de masse négligeable dont une extrémité
est fixée et auquel on a attaché une masse ponctuelle m libre de se mouvoir. Le ressort a pour
constante de raideur k et une longueur à vide ¸0 . De plus, nous supposons que la masse est astreinte
à se déplacer suivant un axe horizontal sans frottement (voir figure ci-dessous). On a alors un
système à un degré de liberté qui est amené à osciller comme nous allons le démontrer.
≠æ
T
¸0¸0+x
Équation du mouvement
Dans le référentiel d’étude considéré galiléen, la force de pesanteur est compensée par la réaction
du support puisqu’il n’y a pas d’accélération verticale. Pour le mouvement horizontal, la tension
du ressort produit une force de rappel
≠æT=≠k(¸≠¸0)≠æ
ux
où ¸ désigne la longueur du ressort. La position d’équilibre correspond donc à une longueur ¸eq = ¸0 .
On désigne par x = ¸≠¸eq l’allongement du ressort par rapport à la situation au repos. Dans ce
cas, on a ≠æT=≠kx ≠æ
ux
La seconde loi de Newton donne md2x/dt2=≠kx d’où l’équation différentielle
¨x+Ê2
0x=0 avec Ê0=Úk
m[rad.s≠1]¸(5.1)
Il s’agit de l’équation caractéristique d’un oscillateur harmonique.
Propriétés
Avant de trouver les solutions de cette équation différentielle, il est intéressant d’en dégager quelques
propriétés :
¶ L’équation (5.1) est invariante par la transformation t‘æ ≠t ce qui traduit la réversibilité du
phénomène.
¶ On note également une invariance par la transformation x‘æ ≠x ce qui signifie que les
oscillations sont symétriques autour de la position d’équilibre.
¶ Enfin, l’analyse dimensionnelle de l’équation différentielle montre que [ Ê0 ]= T≠1 :ilexiste
donc une durée de l’ordre de 1/Ê0qui est caractéristique du phénomène d’oscillation.

CHAPITRE 5. OSCILLATEURS MÉCANIQUES 61
Solution
La solution de l’équation différentielle (5.1)s’écrit
x(t)=Acos(Ê0t+Ï)
Avec A et Ï , deux constantes d’intégration que l’on obtient grâce à deux conditions initiales.
Comme l’illustre la Figure 5.1, le système se met à osciller (si on l’écarte de sa position d’équilibre
t
x(t)
≠A
A
T0=2fi
Ê0
Figure 5.1 – Oscillations harmoniques.
x=0) avec une amplitude Aet à une fréquence, dite fréquence propre
‹0=Ê0
2fi=1 2fiÚk m¸(5.2)
On notera que la fréquence propre dépend des caractéristiques du pendule élastique ( k et m ) mais
non de l’amplitude des oscillations : on parle d’isochronisme des oscillations.
Exercice
Un conducteur de masse m =80 kg monte dans sa voiture vide ; les amortisseurs s’enfoncent
alors de 4 cm. La masse de tout ce qui se trouve sur les ressorts est alors de 1000 kg. Dans
l’approximation harmonique, le système voiture-conducteur se comporte comme un oscillateur.
Donnez sa fréquence propre.
REP : Lorsque le conducteur s’installe dans la voiture, son poids produit une contraction des
ressorts qui doivent exercer une tension supplémentaire pour compenser ce poids. Cette tension
supplémentaire s’exprime par 4 kx où k désigne la constante de raideur d’un amortisseur et x
la contraction des ressort. À l’équilibre, on a
mg =4kx=∆k=mg
4x=4900N.m≠1
La fréquence propre du système masse-ressort vaut f0 =
1
2fiÒ4k
M
avec M la masse totale. On
trouve environ 0,7 Hz.
Aspects énergétiques
Du point de vue énergétique, cet oscillateur transforme l’énergie élastique en énergie cinétique et
vice versa. L ’énergie potentielle élastique vaut
Ep=1
2kx2=1 2kA2cos2(Ê0t+Ï)

CHAPITRE 5. OSCILLATEURS MÉCANIQUES 62
alors que l’énergie cinétique s’écrit
Ec=1
2m˙x2=1 2kA2sin2(Ê0t+Ï)
On vérifie que l’énergie mécanique du pendule élastique Em = Ec + Ep =
1
2kA2
reste constante
puisque les forces qui travaillent sont conservatives.
Àretenir
L’énergie mécanique d’un oscillateur harmonique est proportionnelle au carré de l’amplitude.
5.1.2 Pendule élastique amorti
En réalité, la présence des frottements dissipe l’énergie initialement fournie à l’oscillateur. On
assiste alors à un phénomène d’amortissement qui se caractérise,
1. soit par une diminution de l’amplitude des oscillations au cours du temps ;
2. soit par un retour à l’équilibre sans oscillation.
La modélisation des forces de frottement est plus ou moins complexe :
¶ Pour des frottements de type visqueux, on choisit généralement, en première approximation,
un modèle de frottement linéaire en vitesse : f = ≠–v . Parfois une modélisation plus réaliste
exige d’utiliser un modèle quadratique du type f = ≠–|v|v ce qui présente l’inconvénient de
donner une équation différentielle non linéaire.
¶Pour des frottements solides, on utilisera les lois d’Amontons-Coulomb sur le frottement.
Nous nous contenterons ici de traiter le pendule élastique en présence de frottements visqueux
modélisés par f = ≠–˙x où – désigne le coefficient de frottement. L’équation du mouvement
s’écrit
m¨x+–˙x+kx =0
et, si l’on pose
Ê0=Úk
m[rad.s≠1]et ·=m –[s]
elle devient
¨x+˙x
·+Ê2
0x=0 (5.3)
C’est l’équation caractéristique d’un oscillateur harmonique linéairement amorti. Par rapport à
l’oscillateur harmonique on note la présence d’un terme supplémentaire ( ˙x/· ) que l’on appelle
terme dissipatif car à l’origine de la dissipation d’énergie. L’analyse dimensionnelle de l’équation
montre que le paramètre · est homogène à un temps. Nous verrons que · représente l’ordre de
grandeur du temps d’amortissement des oscillations (quand il y en a). Enfin, avec · et Ê0 il est
possible de former un nombre sans dimension Qappelé facteur de qualité. Par définition,
Q©Ê0·¸(5.4)
In fine, le comportement d’un oscillateur harmonique linéairement amorti est complètement décrit
par la donnée de Ê0et Qpuisque l’équation différentielle s’écrit
¨x+Ê0
Q˙x+Ê2
0x=0 ¸(5.5)
Remarque : On retrouve l’oscillateur harmonique lorsque QæŒ . Plus Q est grand donc, moins
l’oscillateur est amorti.

CHAPITRE 5. OSCILLATEURS MÉCANIQUES 63
Propriétés
¶ L’équation (5.5) n’est plus invariante par la transformation t‘æ ≠t . En d’autres termes, le
phénomène est irréversible.
¶ Le phénomène est caractérisé par par la présence de deux temps caractéristiques : · donne
l’ordre de grandeur de l’amortissement alors que 1/Ê0est un ordre de grandeur de la durée
entre deux oscillations.
5.1.3 Régime libre
L’équation (5.5) admet des solutions de la forme x ( t )= Aert avec r solution de l’équation
caractéristique
r2+Ê0
Qr+Ê2
0=0
dont le discriminant s’écrit = Ê2
0!1/Q2≠4"
. Suivant le signe du discriminant, on distingue trois
régimes différents.
Régime pseudo-périodique : Q> 1
2
Dans ce cas, le discriminant de l’équation caractéristique est négatif et les racines sont com-
plexes :
r=≠Ê0
2Q±iÊavec Ê=Ê0Ú1≠1 4Q2
La solution réelle est donc de la forme
x(t)=e≠Ê0
2Qt[AcosÊt+BsinÊt]
L’oscillateur oscille avec une amplitude qui s’amortie exponentiellement au cours du temps (cf.
figure 5.2). Puisque l’amplitude diminue au cours du temps, on ne peut plus parler de phénomène
périodique. Cependant, il est d’usage de définir la durée T entre deux maxima successifs, qui est
aussi la période de cos(Êt).CetteduréeTest appelée pseudo-période et vaut
T=2fi
Ê=T0
1≠1/(4Q2)
La figure 5.2 illustre également l’évolution de l’énergie mécanique de l’oscillateur au cours du temps.
La décroissance observée s’explique par la dissipation des forces de frottement et vérifie l’équation
d’évolution dEm
dt=≠–˙x2Æ0
Régime critique : Q=1
2
Le discriminant de l’équation caractéristique est nulle et la racine est double : r = ≠Ê0 . La solution
s’écrit alors
x(t)=[A+Bt]e≠Ê0t
L’oscillateur atteint l’équilibre sans osciller (on dit qu’il n’ y a pas dépassement). On peut montrer
que le retour à l’équilibre est ici le plus rapide sans dépassement 1.
1 . Si l’on souhaite que le système atteigne l’état d’équilibre le plus vite possible en limitant le dépassement à
±5%Apar exemple, il faut se placer en régime pseudo-périodique avec un facteur de qualité Qƒ0,35.