Objets géométriques Cartésien / paramétrique ? Objets

1
Venceslas BIRI
Venceslas BIRI
Équipe SISAR
Équipe SISAR
Université de Marne La Vallée
Université de Marne La Vallée
Introduction à l’infographie
Introduction à l’infographie
Mathématiques de la 3D
Mathématiques de la 3D
Trigo & surfaces
Trigo & surfaces
2
Objets géométriques
Objets géométriques
z
zPlan :
Plan :
–
–Équation cartésienne : Équation cartésienne :
•
•Normale du plan : Normale du plan :
–
–Équations paramétriques : Équations paramétriques :
•
•Soit O un point du plan, u et v deux vecteurs du plan non Soit O un point du plan, u et v deux vecteurs du plan non
colinéaires
colinéaires
•
•Normale : Normale :
0=+++ dzcybxa
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
++=
++=
++=
zzz
yyy
xxx
vtusOz vtusOy vtusOx
vun
r
r
r
∧=
T
cban ),,(=
r
3
Cartésien / paramétrique ?
Cartésien / paramétrique ?
z
zDifférents type de coordonnées
Différents type de coordonnées
z
zDeux formes distinctes
Deux formes distinctes
–
–Une représentation fondée sur une Une représentation fondée sur une paramètrisation paramètrisation
des coordonnées
des coordonnées
–
–Une représentation fondée sur une contrainte liée aux Une représentation fondée sur une contrainte liée aux
coordonnées
coordonnées
–
–Deux façons de voir les courbes, les surfaces ... Deux façons de voir les courbes, les surfaces ...
4
Objets géométriques
Objets géométriques
z
zSphère :
Sphère :
–
–Centre C et rayon R Centre C et rayon R
–
–Équation cartésienne : Équation cartésienne :
•
•Normale en P : Normale en P :
–
–Équations paramétriques ? Équations paramétriques ?
•
•Coordonnées sphériques Coordonnées sphériques
0)()()( 2222 =−−+−+− Rzzyyxx CCC
CP
5
Objets géométriques
Objets géométriques
z
zCylindre :
Cylindre :
–
–Axe ( Axe (Oy Oy), rayon R, hauteur h à partir de l’origine ), rayon R, hauteur h à partir de l’origine
⎩
⎨
⎧
≤≤
=−+ hy Rzx
00
222
Équation cartésienne
Équation cartésienne
Équations paramétriques ?
Équations paramétriques ?
6
Différentes coordonnées
Différentes coordonnées
z
zCoordonnées cartésiennes
Coordonnées cartésiennes
–
–Celles que l’on vient de voir Celles que l’on vient de voir
–
–Utile très souvent mais ... Utile très souvent mais ...
... pour se déplacer sur une sphère ?
... pour se déplacer sur une sphère ?
z
zOn a défini aussi 2 autres types de coordonnées
On a défini aussi 2 autres types de coordonnées
–
–Coordonnées cylindriques Coordonnées cylindriques
–
–Coordonnées sphériques Coordonnées sphériques

2
7
Coordonnées cylindriques
Coordonnées cylindriques
θ
θ
r
r
M
M
P
P
z
z
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
z
y
x
Mcoordonnées
coordonnées
cartésiennes
cartésiennes
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
z
r
M
θ
coordonnées
coordonnées
cylindriques
cylindriques
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
=
=
zz
ry rx )(sin )(cos
θ
θ
8
Coordonnées sphériques
Coordonnées sphériques
M
M
P
P
φ
φ
θ
θ
r
r⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
z
y
x
Mcoordonnées
coordonnées
cartésiennes
cartésiennes
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
ϕ
θ
r
Mcoordonnées
coordonnées
sphériques
sphériques
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
=
=
)cos( )sin()(sin )sin()(cos
ϕ
ϕθ
ϕθ
rz
ry rx
9
Trigonométrie
Trigonométrie
z
zDéfinition
Définition
–
–Étude des rapports de distances et d’angle dans les Étude des rapports de distances et d’angle dans les
triangles ainsi que les fonctions
triangles ainsi que les fonctions
trigonométriques
trigonométriques
–
–Triangle rectangle en C Triangle rectangle en C
θ
θ
c
b
=)cos(
θ
c
a
=)sin(
θ
b
a
=)tan(
θ
1)(sin)(cos 22 =+ θθ
Par
Par pythagore pythagore : :
10
Trigonométrie
Trigonométrie
z
zIdentités trigonométriques (cf.
Identités trigonométriques (cf. wikipedia wikipedia) )
Parité
Parité
Addition et soustraction
Addition et soustraction
Symétrie
Symétrie
Duplication
Duplication
11
Trigonométrie : cosinus & sinus
Trigonométrie : cosinus & sinus
12
Trigonométrie : table de valeurs
Trigonométrie : table de valeurs

3
13
Trigonométrie et vecteurs
Trigonométrie et vecteurs
z
zFormule avec les vecteurs
Formule avec les vecteurs
–
–Soit u et v deux vecteurs : Soit u et v deux vecteurs :
θ
θ
u
r
v
r)cos(.
θ vuvu rrr
r
=
nvuvu
r
rrrr )sin(
θ =∧
Pour le cosinus :
Pour le cosinus :
Pour le sinus :
Pour le sinus :
Manière de calculer les fonctions trigonométriques très efficace
Manière de calculer les fonctions trigonométriques très efficace
(si on peut éviter les racines carrées)
(si on peut éviter les racines carrées)
avec n vecteur normal à u et v
avec n vecteur normal à u et v
14
Objets géométriques
Objets géométriques
z
zCône :
Cône :
–
–Axe ( Axe (Oy Oy), pointe en 0, angle ), pointe en 0, angle α α
)()(cot 2222 zxy += α
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
=
=
)sin( )cot( )cos(
θρ
αρ
θρ
z
y
x
Équation cartésienne
Équation cartésienne
Équations paramétriques
Équations paramétriques
15
Objets géométriques
Objets géométriques
z
zEllipsoïdes
Ellipsoïdes
–
–Sorte de triple ellipse, un axe pour chaque direction Sorte de triple ellipse, un axe pour chaque direction
•
•Grand axe a, axe moyen b, petit axe c Grand axe a, axe moyen b, petit axe c
–
–Équation cartésienne : Équation cartésienne :
–
–Équations Équations
paramétriques :
paramétriques :
1
2
2
2
2
2
2=++ c
z
b
y
a
x
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
=
=
)sin( )sin()cos( )cos()cos(
θ
ϕθ
ϕθ
cz by ax