Objets géométriques Cartésien / paramétrique ? Objets

Objets géométriques
Introduction à l’infographie
z
Mathématiques de la 3D
Plan :
– Équation cartésienne :
a x+by +c z + d = 0
r
T
• Normale du plan :
n = (a ,b ,c )
Trigo & surfaces
– Équations paramétriques :
• Soit O un point du plan, u et v deux vecteurs du plan non
colinéaires
⎧ x = Ox + s u x + t vx
⎪
⎨ y = Oy + s u y + t vy
⎪⎩ z = Oz + s u z + t vz
r r r
• Normale : n = u ∧ v
Venceslas BIRI
Équipe SISAR
Université de Marne La Vallée
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Cartésien / paramétrique ?
z
z
Objets géométriques
z
Différents type de coordonnées
Deux formes distinctes
Sphère :
– Centre C et rayon R
– Équation cartésienne :
2
2
2
2
(x − xC ) + (y − yC ) + (z − zC ) − R = 0
– Une représentation fondée sur une paramètrisation
des coordonnées
– Une représentation fondée sur une contrainte liée aux
coordonnées
– Deux façons de voir les courbes, les surfaces ...
• Normale en P :
CP
– Équations paramétriques ?
• Coordonnées sphériques
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Objets géométriques
z
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Différentes coordonnées
z
Cylindre :
– Axe (Oy
), rayon R, hauteur h à partir de l’origine
(Oy),
Coordonnées cartésiennes
– Celles que l’on vient de voir
– Utile très souvent mais ...
... pour se déplacer sur une sphère ?
Équation cartésienne
z
⎧ x 2+ z 2 − R 2 = 0
⎨
⎩0 ≤ y ≤ h
On a défini aussi 2 autres types de coordonnées
– Coordonnées cylindriques
– Coordonnées sphériques
Équations paramétriques ?
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Coordonnées cylindriques
Coordonnées sphériques
M
r
z
M
⎧⎪ x
M ⎨y
⎪⎩ z
P
coordonnées
cartésiennes
r
φ
⎧⎪x = r cos (θ )
⎨ y = r sin (θ )
⎪⎩
z=z
⎧⎪r
M ⎨θ
⎪⎩ z
θ
⎧⎪x = r cos (θ ) sin(ϕ )
⎨ y = r sin (θ ) sin(ϕ )
⎪⎩ z = r cos(ϕ )
⎧⎪r
M ⎨θ
⎪⎩ϕ
coordonnées
cylindriques
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Trigonométrie
coordonnées
sphériques
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Trigonométrie
z
Définition
– Étude des rapports de distances et d’angle dans les
triangles ainsi que les fonctions
trigonométriques
– Triangle rectangle en C
cos(θ ) = b
c
a
sin(θ ) =
c
tan(θ ) = a
b
coordonnées
cartésiennes
P
θ
z
⎧⎪ x
M ⎨y
⎪⎩ z
Identités trigonométriques (cf. wikipedia)
wikipedia)
Parité
Symétrie
Addition et soustraction
θ
Duplication
Par pythagore :
cos (θ ) + sin (θ ) = 1
2
2
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Trigonométrie : cosinus & sinus
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Trigonométrie : table de valeurs
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Trigonométrie et vecteurs
z
Objets géométriques
z
Formule avec les vecteurs
Cône :
– Axe (Oy
), pointe en 0, angle α
(Oy),
– Soit u et v deux vecteurs :
r
u
Pour le cosinus :
r r r r
u . v = u v cos( θ )
r
v
θ
Équation cartésienne
y = cot (α ) (x + z )
2
Pour le sinus :
r r r
u ∧v = u
2
2
Équations paramétriques
r
r
v sin(θ ) n
⎧ x = ρ cos( θ )
⎪
⎨ y = ρ cot( α )
⎪⎩ z = ρ sin( θ )
avec n vecteur normal à u et v
Manière de calculer les fonctions trigonométriques très efficace
(si on peut éviter les racines carrées)
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Objets géométriques
z
Ellipsoïdes
– Sorte de triple ellipse, un axe pour chaque direction
• Grand axe a, axe moyen b, petit axe c
– Équation cartésienne :
2
2
x + y + z2 = 1
2
2
2
a b c
– Équations
paramétriques :
⎧ x = a cos( θ ) cos( ϕ )
⎪
⎨ y = b cos( θ ) sin( ϕ )
⎪⎩ z = c sin( θ )
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