Objets géométriques Introduction à l’infographie z Mathématiques de la 3D Plan : – Équation cartésienne : a x+by +c z + d = 0 r T • Normale du plan : n = (a ,b ,c ) Trigo & surfaces – Équations paramétriques : • Soit O un point du plan, u et v deux vecteurs du plan non colinéaires ⎧ x = Ox + s u x + t vx ⎪ ⎨ y = Oy + s u y + t vy ⎪⎩ z = Oz + s u z + t vz r r r • Normale : n = u ∧ v Venceslas BIRI Équipe SISAR Université de Marne La Vallée 2 Cartésien / paramétrique ? z z Objets géométriques z Différents type de coordonnées Deux formes distinctes Sphère : – Centre C et rayon R – Équation cartésienne : 2 2 2 2 (x − xC ) + (y − yC ) + (z − zC ) − R = 0 – Une représentation fondée sur une paramètrisation des coordonnées – Une représentation fondée sur une contrainte liée aux coordonnées – Deux façons de voir les courbes, les surfaces ... • Normale en P : CP – Équations paramétriques ? • Coordonnées sphériques 3 Objets géométriques z 4 Différentes coordonnées z Cylindre : – Axe (Oy ), rayon R, hauteur h à partir de l’origine (Oy), Coordonnées cartésiennes – Celles que l’on vient de voir – Utile très souvent mais ... ... pour se déplacer sur une sphère ? Équation cartésienne z ⎧ x 2+ z 2 − R 2 = 0 ⎨ ⎩0 ≤ y ≤ h On a défini aussi 2 autres types de coordonnées – Coordonnées cylindriques – Coordonnées sphériques Équations paramétriques ? 5 6 1 Coordonnées cylindriques Coordonnées sphériques M r z M ⎧⎪ x M ⎨y ⎪⎩ z P coordonnées cartésiennes r φ ⎧⎪x = r cos (θ ) ⎨ y = r sin (θ ) ⎪⎩ z=z ⎧⎪r M ⎨θ ⎪⎩ z θ ⎧⎪x = r cos (θ ) sin(ϕ ) ⎨ y = r sin (θ ) sin(ϕ ) ⎪⎩ z = r cos(ϕ ) ⎧⎪r M ⎨θ ⎪⎩ϕ coordonnées cylindriques 7 Trigonométrie coordonnées sphériques 8 Trigonométrie z Définition – Étude des rapports de distances et d’angle dans les triangles ainsi que les fonctions trigonométriques – Triangle rectangle en C cos(θ ) = b c a sin(θ ) = c tan(θ ) = a b coordonnées cartésiennes P θ z ⎧⎪ x M ⎨y ⎪⎩ z Identités trigonométriques (cf. wikipedia) wikipedia) Parité Symétrie Addition et soustraction θ Duplication Par pythagore : cos (θ ) + sin (θ ) = 1 2 2 9 Trigonométrie : cosinus & sinus 10 Trigonométrie : table de valeurs 11 12 2 Trigonométrie et vecteurs z Objets géométriques z Formule avec les vecteurs Cône : – Axe (Oy ), pointe en 0, angle α (Oy), – Soit u et v deux vecteurs : r u Pour le cosinus : r r r r u . v = u v cos( θ ) r v θ Équation cartésienne y = cot (α ) (x + z ) 2 Pour le sinus : r r r u ∧v = u 2 2 Équations paramétriques r r v sin(θ ) n ⎧ x = ρ cos( θ ) ⎪ ⎨ y = ρ cot( α ) ⎪⎩ z = ρ sin( θ ) avec n vecteur normal à u et v Manière de calculer les fonctions trigonométriques très efficace (si on peut éviter les racines carrées) 2 13 14 Objets géométriques z Ellipsoïdes – Sorte de triple ellipse, un axe pour chaque direction • Grand axe a, axe moyen b, petit axe c – Équation cartésienne : 2 2 x + y + z2 = 1 2 2 2 a b c – Équations paramétriques : ⎧ x = a cos( θ ) cos( ϕ ) ⎪ ⎨ y = b cos( θ ) sin( ϕ ) ⎪⎩ z = c sin( θ ) 15 3