VIBRATIONS ET ONDES

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Université des Sciences et de la Technologie Houari
Boumediène
Faculté de Physique
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Année Universitaire 2006-2007
Pr. DJELOUAH Hakim

Table des matières
1 Introduction aux équations de Lagrange 5
1.1 EquationsdeLagrangepouruneparticule ..................... 5
1.1.1 EquationsdeLagrange............................ 5
1.1.2 Casdessystèmesconservatifs ........................ 7
1.1.3 Casdesforcesdefrottementdépendantdelavitesse ........... 8
1.1.4 Casd’uneforceextérieuredépendantdutemps .............. 9
1.2 Systèmeàplusieursdegrésdeliberté ........................ 10
2 Oscillations libres des systèmes à un degré de liberté 11
2.1 Oscillations non amorties............................... 11
2.1.1 Oscillateur linéaire .............................. 11
2.1.2 Energie Cinétique............................... 11
2.1.3 Energie potentielle .............................. 12
2.1.4 Equation différentielle ............................ 12
2.1.5 Résolution de l’équation différentielle de l’oscillateur harmonique simple . 13
2.2 Oscillationslibresdessystèmesamortisàundegrédeliberté........... 13
2.2.1 EquationdeLagrangepourlessystèmesdissipatifs ............ 14
2.2.2 Casparticulierdesoscillationsdefaibleamplitude............. 14
2.2.3 Résolution de l’équation différentielle .................... 15
2.2.4 Exemples ................................... 17
3 Oscillations forcées des systèmes à un degré de liberté 20
3.1 Equation différentielle ................................ 20
3.2 Système masse-ressort-amortisseur . . ....................... 21
3.3 Solution de l’équation différentielle ......................... 22
3.3.1 Cas particulier où A(t) = A0cos(Ωt) .................... 22
3.3.2 Casd’uneexcitationpériodique ....................... 26
3.4 Impédance mécanique ................................ 26
3.4.1 Définition ................................... 26
3.4.2 Impédancesmécaniques ........................... 27
3.4.3 Puissance ................................... 27
3.4.4 Applications .................................. 28
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TABLE DES MATIÈRES 2
4 Oscillations libres des systèmes à deux degrés de liberté 30
4.1 Introduction...................................... 30
4.2 Systèmesàdeuxdegrésdeliberté.......................... 31
4.2.1 Système masses-ressorts en translation . .................. 31
4.2.2 Cas particulier de deux oscillateurs identiques . . ............. 34
4.2.3 Pendules couplés ............................... 38
5 Oscillations forcées des systèmes à deux degrés de liberté 40
5.1 Equations de Lagrange................................ 40
5.2 Système masses-ressorts-amortisseurs . ....................... 40
5.2.1 Equations différentielles ........................... 41
5.2.2 Etudedurégimepermanentsinusoïdal ................... 41
5.3 Impédance....................................... 43
5.4 Application ...................................... 43
6 Généralités sur les phénomènes de propagation 45
6.1 Propagationàunedimension ............................ 45
6.1.1 Equationdepropagation........................... 45
6.1.2 Solutiondel’équationdepropagation.................... 45
6.1.3 Onde progressive sinusoïdale . . ....................... 48
6.1.4 Superposition de deux ondes progressives sinusoïdales . . . ........ 49
6.1.5 Vitesse de phase . . ............................. 51
6.1.6 Vitesse de groupe . . ............................. 52
6.1.7 Onde Vectorielle ............................... 54
6.2 Propagationentroisdimensions........................... 54
6.2.1 Equationdepropagation........................... 54
6.2.2 Ondeplaneprogressivesinusoïdale ..................... 54
7 Cordes vibrantes 57
7.1 Equation des ondes ................................. 57
7.2 Ondesprogressivesharmoniques .......................... 59
7.2.1 Définition ................................... 59
7.2.2 Force en un point............................... 59
7.2.3 Impédance................................... 59
7.3 Oscillations libres d’une corde de longueur finie.................. 60
7.4 Réflexion et transmission ............................... 62
7.4.1 Réflexion et transmission entre deux cordes semi-infinies ......... 62
7.4.2 Réflexionsuruneimpédancequelconque .................. 62
8 Ondesacoustiquesdanslesfluides 64
8.1 Introduction...................................... 64
8.2 Equationd’onde.................................... 64
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TABLE DES MATIÈRES 3
8.3 Vitesse du son . . . .................................. 67
8.4 Onde progressive sinusoïdale ............................. 68
8.4.1 Définition ................................... 68
8.4.2 Impédanceacoustique ............................ 69
8.4.3 Energie acoustique .............................. 69
8.5 Reflexion-Transmission ................................ 73
9 Propagation d’une onde électrique dans une ligne coaxiale 76
9.1 Introduction...................................... 76
9.2 Equation de propagation............................... 76
9.3 Solutiondel’équationdepropagation........................ 77
9.4 Onde Progressive sinusoïdale............................. 78
9.4.1 Définition ................................... 78
9.4.2 Impédanceenunpoint............................ 78
10 Eléments d’analyse vectorielle 79
10.1 Champ scalaire - Champ vectoriel . . . ....................... 79
10.2Gradientd’unchampscalaire ............................ 79
10.3Divergenced’unchampvectoriel........................... 79
10.4 Rotationnel d’un champ vectoriel . . . ....................... 80
10.5 Laplacien scalaire................................... 80
10.6 Laplacien vectoriel .................................. 80
10.7 Opérateur nabla .................................... 80
10.8ThéorèmedeStokes-ThéorèmedeGauss ...................... 81
10.8.1Circulationd’unchampvectoriel ...................... 81
10.8.2Fluxd’unchampvectoriel .......................... 82
10.8.3 Théorème de Stockes............................. 82
10.8.4 Théorème de Gauss-Ostrogradski (ou théorème de la divergence) . . . . . 82
11 Les équations de Maxwell dans le vide 83
11.1 Le champ électromagnétique............................. 83
11.1.1Champélectromoteuretvecteurdensitédecourant ............ 83
11.1.2Lechampmagnétique ............................ 84
11.2 Le régime variable .................................. 85
11.2.1Lephénomènedepropagation ....................... 85
11.2.2Lephénomèned’induction.......................... 85
11.2.3Lephénomènedecapacité ......................... 85
11.3L’inductionélectromagnétique ........................... 86
11.3.1LoideFaraday-Lenz ............................ 86
11.3.2EquationdeMaxwell-Faraday........................ 86
11.4 Le théorème d’Ampère ................................ 87
11.4.1Equationdecontinuité............................ 87
11.4.2Lethéorèmed’Ampère............................ 89
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TABLE DES MATIÈRES 4
11.5Enrésumé ...................................... 89
12 Propagation des ondes électromagnétiques dans le vide 90
12.1 Equations de propagation pour  Eet  B....................... 90
12.2 L’onde plane progressive sinusoïdale . . ....................... 92
12.2.1Relationdedispersion ............................ 92
12.2.2Structuredel’ondeuniformeplane ..................... 92
12.3Ondeplaneuniformeprogressiveetsinusoïdale................... 93
12.3.1 Onde de polarisation rectiligne . ....................... 93
12.3.2 Ondedepolarisationquelconque ...................... 94
12.3.3 Notation complexe .............................. 95
12.4Energieélectromagnétique:vecteurdePoynting.................. 96
12.4.1Ondedeformespatialeettemporellequelconques ............. 96
12.4.2 Onde plane progressive et uniforme sinusoïdale . ............. 98
13 Réflexion et transmission des ondes électromagnétiques 99
13.1 Equations de Maxwell dans les milieux parfaits .................. 99
13.2 Propagation dans les milieux diélectriques . . . ..................100
13.3 Relations de passage .................................101
13.4 Lois de Snell-Descartes . . . .............................102
13.5 Formules de Fresnel..................................104
13.5.1 Champélectriquedanslepland’incidence .................104
13.5.2 Champélectriqueperpendiculaireaupland’incidence:..........106
13.5.3 Discussion des résultats ...........................107
13.6 Réflexion sur un conducteur parfait.........................109
AEquationsdifférentielles 112
A.1 Introduction......................................112
A.2 Equation homogène ..................................112
A.2.1 Régime fortement amorti ( δ>ω
0) ....................113
A.2.2 Régime critique ( δ=ωO) .........................114
A.2.3 Régime pseudo-périodique ( δ<ω
0)....................115
A.3 Equation avec second membre ............................118
A.3.1 Solution générale...............................118
A.3.2 CasparticulieroùA(t)estconstante....................119
A.3.3 Cas particulier où A(t)=A0cos(Ωt): ...................120
A.3.4 CasoùA(t)estunefonctionpériodiquedutemps.............121
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