+Transformations du plan et de l`espace

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Transformations du plan et de l’espace
Notions affines
Exercice 1 [ 02314 ] [Correction]
Soit Vune partie non vide d’un espace affine de dimension finie E.
Montrer que Vest un sous-espace affine si, et seulement si, pour tout couple (A,B) de
points distincts de V, la droite (AB) est incluse dans V.
Exercice 2 [ 02315 ] [Correction]
Soit Vune partie non vide d’un espace affine Ede dimension finie.
Montrer que, si tout barycentre de points de Vest encore dans V, alors Vest un
sous-espace affine.
Exercice 3 [ 02316 ] [Correction]
Soient A,Bet Ctrois points non alignés d’un espace affine Eet α, β, γ ∈R∗tel que les
barycentres G,G1,G2et G3de ((A, α),(B, β),(C, γ)),((A,−α),(B, β),(C, γ)),
((A, α),(B,−β),(C, γ)),et ((A, α),(B, β),(C,−γ))existent.
(a) Montrer que les droites (AG1),(BG2),(CG3) concourent en G.
(b) Montrer que les droites (G2G3),(G3G1),(G1G2) passent respectivement par A,B,C.
Applications affines
Exercice 4 [ 02317 ] [Correction]
Soient fune application affine d’un espace affine Edans lui-même et (A,B) un couple de
points distincts de E.
Montrer que si Aet Bsont des points fixes de falors la droite (AB) est invariante par f.
Exercice 5 [ 02318 ] [Correction]
Soient A,B,C,Dquatre points non coplanaires d’un espace affine Ede dimension 3.
Montrer qu’il existe une unique application affine envoyant A,B,C,Dsur B,C,D,Aet
déterminer un point invariant de celle-ci.
Exercice 6 [ 02319 ] [Correction]
Soit fune application affine d’un espace affine Edans lui-même telle qu’il existe n∈N∗
pour lequel fn=IdE.
Montrer que fadmet un point invariant.
Applications affines usuelles
Exercice 7 [ 02320 ] [Correction]
Soit Eun espace affine de dimension finie et de direction E.
Soient ~ uun vecteur de Eet Aun point de E. Décrire la transformation t~
u◦sA.
Exercice 8 [ 02321 ] [Correction]
Soit Eun espace affine de dimension finie et de direction E.
Soient Het H0deux homothéties de centres Oet O0et de rapports λet λ0.
Décrire la transformation H0◦H
Exercice 9 [ 02322 ] [Correction]
Soit fune transformation affine et hune homothétie de centre Oet de rapport λd’un
espace affine E.
Préciser l’application f◦h◦f−1.
Exercice 10 [ 02323 ] [Correction]
Déterminer toutes les applications affines fd’un espace affine Edans lui-même
f:E→Ecommutant avec toutes les translations.
Exercice 11 [ 02324 ] [Correction]
Montrer que l’ensemble Gformé par la réunion des translations et des symétries centrales
d’un espace affine E, muni du produit de composition des applications, forme un groupe.
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Exercice 12 [ 02325 ] [Correction]
Soit fune application affine d’un espace affine Edans lui-même qui transforme toute
droite vectorielle en une droite parallèle. Montrer que fest une translation ou une
homothétie.
Exercice 13 [ 02326 ] [Correction]
On note HT le groupe des homothéties-translations d’un espace affine E.
Montrer que si Gest un sous-groupe commutatif de HT alors Gn’est que constitué que
de translations ou d’homothéties de même centre.
Projections et symétries affines
Exercice 14 [ 02327 ] [Correction]
On munit un espace affine Ede dimension 3 d’un repère R=(O;~ i,~ j,~ k).
(a) Donner l’expression analytique de la projection sur P:x+y+z=1 parallèlement à
D=Vect(
~
i+~ j−~ k).
(b) Donner l’expression analytique de la symétrie par rapport à P:x+z=1 selon
D=Vect(
~
i+~ j).
(c) Donner l’expression de la projection affine sur P:x+y+z=1 selon la direction
Vect(~ u(1,−2,2)).
Exercice 15 [ 02328 ] [Correction]
On munit un espace affine Ede dimension 3 d’un repère R=(O;~ i,~ j,~ k).
Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de l’application f:E→E
d’expression analytique :
(a) 
x0=−y−z+1
y0=−2x−y−2z+2
z0=x+y+2z−1
(b) 
2x0=x−z+1
2y0=x+2y+z−1
2z0=−x+z+1
(c) 
x0=−y+z+3
y0=−x+z+3
z0=−x−y+2z+3
Exercice 16 [ 02329 ] [Correction]
À quelle condition une translation et une symétrie affine commutent-elle ?
Exercice 17 [ 02330 ] [Correction]
Soit fune application affine d’un espace affine Edans lui-même. Établir :
(a) fest une projection si, et seulement si, f◦f=f.
(b) fest une symétrie si, et seulement si, f◦f=IdE.
Exercice 18 [ 02331 ] [Correction]
Soit Eun espace affine de dimension finie et de direction E.
Soit fune transformation affine telle que ~ f◦~ f=IdE.
Montrer qu’il existe un unique couple (t,s) formé d’une translation et d’une symétrie tel
que f=t◦s=s◦t.
Isométries du plan
Exercice 19 [ 02332 ] [Correction]
Montrer que toute isométrie du plan Pqui échange deux points distincts est involutive.
Exercice 20 [ 02333 ] [Correction]
Soient ret r0deux rotations du plan Pdistinctes de Id.
Montrer qu’il existe 3 réflexions s,s0,s00 telles que : r=s00 ◦set r0=s0◦s00.
Décrire r0◦r. Lorsqu’il s’agit d’une rotation donner une construction de son centre.
Exercice 21 [ 02334 ] [Correction]
Étudier à quelle condition une réflexion et une translation du plan Pcommutent.
Exercice 22 [ 02336 ] [Correction]
On munit le plan d’un repère orthonormé direct R=(O;~ i,~ j).
Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de l’application f:P→P
d’expression analytique :
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(a) (x0=3
5x−4 5y+4
y0=4
5x+3 5y−2(b) (x0=−y+1
y0=−x+2
Exercice 23 [ 02337 ] [Correction]
Déterminer le groupe des isométries du plan Plaissant globalement invariant :
(a) Un carré.
(b) Un rectangle non carré.
(c) Un cercle.
Exercice 24 [ 02338 ] [Correction]
Déterminer le groupe des isométries du plan Plaissant globalement invariant la réunion
de deux droites parallèles distinctes du plan.
Similitudes du plan
Exercice 25 [ 02339 ] [Correction]
Soit ABC un triangle non aplati du plan P.
On désigne par S1,S2,S3les similitudes directes du plan Pde centres respectifs A,B,C
telles que S1(B)=C,S2(C)=Aet S3(A)=B.
Décrire les composées S3◦S2◦S1et S1◦S2◦S3.
Exercice 26 [ 02340 ] [Correction]
Soient AOB un triangle non aplati rectangle en A,B0∈]O;A] et A0le projeté orthogonal
de B0sur (OB).
Montrer :
OB0+AB <OB +A0B0
Exercice 27 [ 02341 ] [Correction]
Soient OAB et OA0B0deux triangles directement semblables. Soient I,Jles milieux
respectifs de A0B,AB0et H,H0les projections orthogonales de Osur (AB), (A0,B0).
Montrer : (I J)⊥(HH0).
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Exercice 28 [ 02342 ] [Correction]
On munit Pd’un repère orthonormé direct R=(O;~ i,~ j).
Soient A,B,Ctrois points du plan Pd’affixes a,b,ctelles que |a|=|b|=|c|.
Montrer que (ABC) est équilatéral si, et seulement si, a+b+c=0.
Exercice 29 [ 02343 ] [Correction]
(a) Soit fune similitude du plan Pet Γune conique de foyer f, de directrice Det
d’excentricité e. Justifier que f(Γ) est une conique dont on précisera foyer, directrice
et excentricité.
(b) À quelle(s) condition(s) deux coniques sont-elles directement semblables ?
Isométries de l’espace
Exercice 30 [ 02344 ] [Correction]
On munit l’espace affine Ed’un repère orthonormé direct R=(O;~ i,~ j,~ k).
Décrire l’application f:E→Ed’expression analytique :
(a) 
x0=1
3(−2x−y+2z)+1
y0=1
3(2x−2y+z)+1
z0=1
3(x+2y+2z)+3
(b) 
x0=1
3(−2x−2y+z−5)
y0=1
3(−2x+y−2z−2)
z0=1
3(x−2y−2z+1)
Exercice 31 [ 02345 ] [Correction]
Déterminer les déplacements et les réflexions de Elaissant globalement invariante une
sphère donnée.
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Corrections
Exercice 1 : [énoncé]
(=⇒) ok
(⇐=) Soit A∈ V et F=−−→ AM |M∈ V. On a V=A+F.
Montrons que Fest un sous-espace vectoriel.
F⊂E,~ 0=−−→ AA ∈F.
Soit ~ u∈F. On peut écrire ~ u=−−→ AM avec M∈ V.
Si ~
u=~ 0 alors ∀λ∈R,λ~ u=~ 0∈F.
Si ~ u,~ 0 alors, la droite (AM) est incluse dans Vet donc ∀λ∈R,λ~ u∈F.
Soient ~ u,~ v∈F. On peut écrire ~ u=−−→ AM,~ v=−−→ AN avec M,N∈ V.
Si ~ u=~ 0 ou ~ v=~ 0 alors ~ u+~ v∈F.
Sinon, considérons Ile milieu du segment [MN].
Le point Iappartient à la droite (MN) dont I∈ V.
Comme ~ u+~ v=2−→ AI, on a ~ u+~ v∈F.
Finalement Fest un sous-espace vectoriel et Vun sous-espace affine.
Exercice 2 : [énoncé]
Soit A∈ V et F=−−→ AM |A,M∈ V. Il suffit de montrer que Fest un sous-espace
vectoriel de E.
~
o∈F.
Soit ~ u∈Fet λ∈R.∃M∈ V tel que −−→ AM =~ u.
Pour N=bar((A,1−λ),(M, λ)) ∈ V on a −−→ AN =λ−−→ AM =λ~ udonc λ.~ u∈F
Pour P=bar((A,−1),(M,1),(N,1)) ∈ V on a −−→ AP =−−→ AM +−−→ AN =~ u+~ vdonc
~
u+~ v∈F.Soit ~ u,~ v∈F.
Exercice 3 : [énoncé]
(a) On −α−−−→ G1A+β−−−→ G1B+γ−−−→ G1C=~ odonc (−α+β+γ)−−−→ G1G+2α−−→ AG =~ odonc G∈(AG1).
De même G∈(BG2) et G∈(CG3).
(b) 2α−−−→ G2A=α−−−→ G2A−β−−−→ G2B+γ−−−→ G2C+α−−−→ G2A+β−−−→ G2B−γ−−−→ G2C=~ o+(α+β−γ)−−−−→ G2G3
donc A∈(G2G3). De même B∈(G3G1) et C∈(G1G2).
Exercice 4 : [énoncé]
f(A)=Aet f(B)=B=⇒~ f(−−→ AB)=−−−−−−−−→ f(A)f(B)=−−→ AB.
Pour tout point M=A+λ.−−→ AB de la droite (AB) on a alors f(M)=M.
Exercice 5 : [énoncé]
(−−→ AB,−−→ AC,−−→ AD) est une base de E.
Il existe une unique application linéaire ϕl’envoyant sur (−−→ BC,−−→ BD,−−→ BA) et puisqu’une
application affine est caractérisée par l’image d’un point et sa partie linéaire, l’application
affine cherchée existe et est unique.
L’isobarycentre des points A,B,C,Dest invariant.
Exercice 6 : [énoncé]
Soit Ω∈ E. Considérons l’isobarycentre Gdes points Ω,f(Ω),..., fn−1(Ω).
f(G) est l’isobarycentre des points f(Ω),f2(Ω),..., fn(Ω)= Ω donc f(G)=G.
Ainsi fpossède un point fixe.
Exercice 7 : [énoncé]
Posons B=A+1
2~
u. On a t~
u=sB◦sAdonc t~ u◦sA=sB.
Exercice 8 : [énoncé]
−−−−−→
H0◦H=λλ0IdE.
Si λλ0,1 alors H0◦Hest une homothétie de rapport λλ0et de centre Ωcaractérisé par :
(H0◦H)(Ω)= Ω soit −−−→ O0Ω = λ0−−−→ O0O+λλ0−−→ OΩqui donne −−−→ O0Ω = λ0(1−λ)
1−λλ0
−−−→
O0O.
Si λλ0=1 alors H0◦Hest une translation de vecteur ~ u=−−−→ OO00 avec
O00 =H0(H(O)) =H0(O)=O0+λ0−−−→ O0Oet donc ~ u=(1 −λ0)−−−→ OO0.
Exercice 9 : [énoncé]
f◦h◦f−1est une application affine de partie linéaire λId qui fixe le point f(O).
Que λ=1 ou non, f◦h◦f−1est l’homothétie de centre f(O) et de rapport λ.
Exercice 10 : [énoncé]
Les translations sont solutions. Montrons que ce sont les seules.
Si fcommutent avec les translations alors pour tout vecteur ~ ude la direction Ede E,
(t~
u◦f)(A)=(f◦t~ u)(A) donne f(A+~
u)=f(A)+~ u. Par suite ~ f(~ u)=~ upuis ~ f=IdE. Ainsi
fest une translation.
Exercice 11 : [énoncé]
Considérons L: GA(E)→GL(E) définie par L(f)=~ f.
Lest un morphisme de groupes et {IdE,−IdE}est un sous-groupe de GL(E) donc
G=L−1({IdE,−IdE}) est un sous-groupe de GA(E).
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