Partie I Partie II

Sup P.C.S.I.2 2013-2014
A rendre avant le mardi 6 mai 20014
Probl`eme 1:
On note p:x7→ ex= exp(x), q:x7→ e2x= exp(2x) et r:x7→ ex2= exp(x2).
On note B= (p, q, r) et Ele sous-espace vectoriel de C∞(R,R) engendr´e par la famille B.
Partie I
On se propose de prouver que Best une base de E, au moyen de diverses m´ethodes. De par la d´efinition de E, il nous
suffit de montrer que la famille Best libre ; soit donc a,bet ctrois r´eels tels que ap +bq +cr =0(o`u 0d´esigne la
fonction nulle).
1. L’´etudiant Antoine a ´evalu´e l’expression (ap +bq +cr)(x) pour x= 0, x= 1 et x= 2.
Suivez sa d´emarche en l’expliquant, et concluez.
2. Antoine a utilis´e une propri´et´e du nombre e; laquelle ?
Sauriez-vous justifier cette propri´et´e autrement que par un argument du genre “ tout le monde sait bien que
e≃2.71828 ” ?
3. L’´etudiant Nicolas a observ´e le d´eveloppement limit´e `a l’ordre 2, au voisinage de 0, de l’application ap +bq +cr.
Faites comme lui et concluez.
4. L’´etudiant Luc a eu une autre id´ee : il s’est int´eress´e au comportement de chacune des trois fonctions p,q,rau
voisinage de +∞.
Reconstituez sa m´ethode et concluez.
5. Au fait : quelle est la dimension de E?
On note ψl’application qui, `a f∈ E, associe le triplet de r´eels (f(0), f′(0), f(1)).
6. Prouvez que ψest un isomorphisme du R-espace vectoriel Esur le R-espace vectoriel R3.
7. Soit f=ap +bq +cr un ´el´ement de E.
Exprimez a,bet cen fonction de f(0), f′(0) et f(1).
Partie II
On note ϕl’application de Edans lui-mˆeme qui, `a f∈ E, associe ϕ(f) = Ap +Bq +Cr o`u
A=2
e−1f(0) + f′(0) + 2 e(e−1)f(1)
B=−1
e−1f(0) −1 e(e−1)f(1)
C=e−2
e−1f(0) −f′(0) −1 e(e−1)f(1)
8. On note θl’endomorphisme de R3d´efini par θ(a, b, c) = (a, b, −c).
Montrez que ϕ=ψ−1◦θ◦ψ. En d´eduire que ϕest un automorphisme de l’espace vectoriel E.
9. Exprimez ϕ(p), ϕ(q) et ϕ(r) en fonction de p,qet r.
10. D´eterminez ϕ◦ϕ. Que pouvez-vous dire de ϕ?
Berne C. Lyc´ee Thiers, Marseille

Sup P.C.S.I.2 2013-2014
Partie III
11. On note P={f∈ E :ϕ(f) = f}l’ensemble des vecteurs de Einvariants par f.
Montrez que P={f∈ E :f(1) = 0}. En d´eduire que Pest un sous-espace vectoriel de E;
d´eterminer une ´equation de Pdans la base B; prouver que Pest de dimension deux;
exhibez une base (e1, e2) de P.
12. On note D={f∈ E :ϕ(f) = −f}l’ensemble des vecteurs de Etransform´es en leur oppos´e par f.
Montrez que Dest un sous-espace vectoriel de E;
prouvez que Dest de dimension un, et d´eterminez des ´equations de Ddans la base B.
Exhibez une base (e3) de D, et donnez une caract´erisation des ´el´ements de D.
13. Montrez que E=P ⊕ D.
14. Justifiez l’affirmation suivante : C= (e1, e2, e3) est une base de E.
Partie IV
On se propose de d´evelopper ici l’id´ee suivie par l’´etudiant Luc dans la premi`ere partie (question 4).
On note R[X] l’espace vectoriel r´eel des polynˆomes `a coefficients r´eels, Fl’ensemble des ´el´ements de R[X] dont
le terme constant est nul;
pour n∈N, on note Rn[X] l’ensemble des ´el´ements de R[X] de degr´e au plus n.
On identifie un polynˆome Pet la fonction polynˆome x7→ P(x) qui lui est naturellement associ´ee.
15. Montrez que Fest un sous-espace vectoriel de R[X]. Quelle est la dimension de F ∩ Rn[X] ?
16. Soit (Pk)16k6qune famille d’´el´ements de Fv´erifiant la condition suivante :
pour 1 6k < q,Pk+1(x)−Pk(x) tend vers +∞lorsque xtend vers +∞
On note fk= exp ◦Pkl’application qui, `a x∈R, associe fk(x) = ePk(x)= exp (Pk(x)).
Montrez que la famille (fk)16k6qest libre.
Probl`eme 2:
Partie I :
On consid`ere la suite de polynˆomes (Bn)n≥0d´efinie par : (P)
B0(X) = 1
B′
n=nBn−1et Z1
0
Bn(t)dt = 0 .
On admet (R1) : il existe une unique suite de polynˆomes v´erifiant P.
1 : D´eterminer B1(X) et B2(X).
2 : Montrer que pour tout entier naturel n,Bnest de degr´e net pr´eciser le coefficient de son terme de plus haut degr´e.
3 : Pour tout entier naturel n, on d´efinit : Cn(X) = (−1)nBn(1 −X) . Montrer que : ∀n∈N, Cn=Bn. (On pourra
utiliser la remarque (R1) ).
4 : Pour tout entier naturel n, on note : bn=Bn(0) . ( bnest le n-i`eme nombre de Bernoulli)
Berne C. Lyc´ee Thiers, Marseille

Sup P.C.S.I.2 2013-2014
a : Montrer que : B0(0) = B0(1) = 1 et B1(1) = −B1(0) = 1
2, puis : ∀n≥2, Bn(1) = Bn(0).
b : En d´eduire que, `a l’aide du 3) que : b2p+1 = 0 et B2n+1 1
2= 0.
c : i. Montrer que, pour tout n≥0 : Bn(X) =
n
X
k=0 n
kbn−kXk
ii. En d´eduire que :
∀n≥1, bn=−
n
X
k=1 n
kbn−k
k+ 1
iii. Ecrire une fonction en python qui calcule bn, puis pr´eciser les valeurs des nombres de bernoulli pour n
variant de 1 `a 15.
Partie II : Le but de cette partie est d’´etablir la formule sommatoire d’Euler Mac-Laurin pour les int´egrales
1 : Dans cette question , on suppose que fest application de [0,1] dans R, de classe C2po`u pest un entier naturel
sup´erieur ou ´egal `a 1.
Pour tout entier naturel kcompris entre 0 et p, on note : Rk=Z1
0
f(2k)(t)B2k(t)
(2k)! dt.
a : Montrer que : R0=f(0) + f(1)
2−1 2Z1
0
f′(t)B′
2(t)dt . En d´eduire que :
R0=f(0) + f(1)
2−f′(1) −f′(0) 12 +R1
b : Montrer que : ∀k∈[[1, p −1]] , Rk=−b2k+2
(2k+ 2)! f(2k+1)(1) −f(2k+1)(0)+Rk+1.
c : En d´eduire que : Z1
0
f(t)dt =f(0) + f(1)
2−
p
X
k=1
b2k
(2k)! hf(2k−1)(1) −f(2k−1)(0)i+Rp.
2 : Dans cette question aet bsont deux r´eels tels que a < b,gest une application de [a, b] dans Rde classe C2po`u p
est un entier naturel non nul , nest un entier naturel sup´erieur ou ´egal `a 1 .
On pose h=b−a
net on consid`ere la subdivision (ak)0≤k≤nd´efinie par : ak=a+kh .
Pour tout r´eel x, on note : hxi=x− ⌊x⌋o`u ⌊x⌋d´esigne la partie enti`ere de x.
a : V´erifier que l’application x∈R→x−a
h∈Rest p´eriodique de p´eriode h.
En d´eduire que : ∀t∈[ak, ak+1[,t−a
h=t−ak h=t−ak h.
b : Montrer que : Zb
a
g(2p)(t)B2pt−a
hdt =
n−1
X
k=0Zak+1
ak
g(2p)(t)B2pt−ak
hdt .
c : On note : rp,n =h2p
(2p)!Zb
a
g(2p)(t)B2pt−a
hdt.
i : Montrer que : rp,n =
n−1
X
k=0
h2pZak+1
ak
g(2p)(t)
(2p)! B2pt−ak hdt.
ii : A l’aide d’un changement de variable , montrer que : h2pZak+1
ak
g(2p)(t)
(2p)! B2pt−ak hdt =hRpo`u fest
d´efinie par : f(t) = g(ak+ht) avec les notations de la question II1.
Berne C. Lyc´ee Thiers, Marseille

Sup P.C.S.I.2 2013-2014
iii : En d´eduire que :
Zb
a
g(t)dt =r0,n =h"g(a) + g(b)
2+
n
X
k=1
g(a+kh)#−
p
X
k=1
b2k
(2k)!h2khg(2k−1)(b)−g(2k−1)(a)i+rp,n
.
Berne C. Lyc´ee Thiers, Marseille