La somme des entiers positifs ou bienvenue dans emagie!!!

La somme des entiers positifs ou bienvenue dans
le monde de la math´emagie!!!
Pour nous amuser, nous pouvons additionner les 100, 1000, 10000, n premiers
nombres avec la formule S=n(n+1)
2. Ce qui nous donne :
S1,100 =1+2+3+... + 99 + 100 = 5050
S1,1000 = 500500
S1,10000 = 50005000
. . .
Le logique semble nous dire que si on somme tous les nombres jusqu’`a l’infini,
nous devrions obtenir un nombre infiniment grand. Ummmh.... ¸ca fait du sens,
mais voyons ce que les maths ont `a dire. Prenons trois sommes infinies :
S1= 1 −1+1−1+1−1+1−1+1−1... (1)
S2= 1 −2+3−4+5−6+7−8+9−10... (2)
S3=1+2+3+4+5+6+7+8+9+10... (3)
Il est tr`es important de comprendre que ces trois sommes n’ont pas de fin.
On pourrait additionner des nombres pour le restant de nos jours et on ne serait
pas plus avanc´e qu’au d´ebut. C’est un peu comme une vis sans fin, mˆeme apr`es
1 000 000 000 000 tours, nous ne sommes pas plus pr`es de la fin qu’apr`es le
premier tour. Bon, une fois cela dit analyser les sommes. D’abord la premi`eres
sommes pour paraˆıtre ´etrange, car deux r´esultats semblent possibles. Voici les
2 d´eveloppements possibles.
S1=(1 −1) +(1 −1) +(1 −1) ... (4)
S1=0 +0 +0 ... (5)
S1=0 (6)
Nous pouvons ´egalement obtenir
S1=1 +(−1 + 1) +(−1 + 1) +(−1 + 1) ... (7)
S1=1 +0 +0 +0 ... (8)
S1=1 (9)
´
Etrange!! 2 r´esultats pour la mˆeme somme c’est impossible. Effectivement,
cela l’est. Il faut comprendre que c’est deux d´eveloppements imposent une parit´e
`a la somme. Le premier impose qu’il y est un nombre paire de termes(2 par
paranth`ese) alors que le deuxi`eme exige un nombre impaire de nombres(2 par
paranth`ese + le premier). Comme la s´erie est infinie et qu’elle n’a donc pas de
fin, le fait de dire qu’elle est paire ou impaire n’a aucun sens math´ematique.
Donc, ces deux r´esultats sont faux. Alors quel est le bon r´esultat? Eh bien le
voici
1

2∗S1= 1−1+1−1+1+1−1+1... (10)
1−1+1−1+1−1+1... (11)
2∗S1=1+0+0+0+0+0+0+0... (12)
2∗S1= 1 (13)
S1=1
2(14)
Je sais, j’ai fait une drˆole d’op´eration, j’ai d´ecal´e la deuxi`eme somme avant
de l’additionner `a la premi`ere. On peut penser que la premi`ere somme terminera
en premier et qu’il y aura un ±1 qui trainera `a la fin, mais non, car les sommes
sont infinies. Il est donc impossible qu’elles manquent de termes. Nous aurions
pu commencer `a additionner la deuxi`eme somme `a partir du millioni`eme terme
et ¸ca n’aurait rien changer. Maintenant passons `a la prochaine s´erie. Avec la
mˆeme technique on obtient
2∗S2= 1−2+3−4+5−6... (15)
1−2+3−4+5... (16)
2∗S2= 1−1+1−1+1−1... (17)
2∗S2=1
2(18)
S2=1
4(19)
Avec ce r´esultat, nous pouvons obtenir la valeur de la derni`ere somme.
S3−S2= 1 + 2 + 3 −4+5+6... (20)
−(1 −2+3−4+5−6...) (21)
S3−S2=0+4+0+8+0+12+0+16+0+20... (22)
S3−S2=4(1+2+3+4+5...) (23)
S3−S2= 4 ∗S3(24)
−1
3∗S2=S3(25)
S3=−1
3∗1 4=−1 12 (26)
Et voil`a le travail. Avant de continuer `a lire, il peut ˆetre bien de relire depuis
le d´ebut et de juger cette d´emonstration. Ensuite descendre quelques pages pour
voir la suite.
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En r´ealit´e ce r´esultat n’est pas encore compl`etement accepter dans le mi-
lieu math´ematique et physique. Quoique de nombreuses m´ethodes permettent
d’obtenir le mˆeme r´esultat. Certaines d’entre elles repose sur des hypoth`eses
qui semblent vraies, mais qui n’ont toujours pas de preuve formel. De plus, ce
r´esultat est utilis´e en physique pour ´elaborer la th´eorie des cordes. Cette th´eorie
quoi qu’int´eressante, est ”en contruction” depuis plus de 40 ans. Sans vouloir
la d´enigrer, c’est la seule branche de la physique qui utilise ce r´esultat et cette
th´eorie est loin de faire l’unaminit´e. De plus, en multipliant la s´erie par 3 et en
d´ecalant de 1 `a chaque fois avant de faire la l’addition. Comme nous avons fait
plusieurs fois (je ne ferai pas le d´eveloppements), on obtient
3∗S= 1 + 3 ∗S(27)
En remplacant S par −1
12 on voit que ce r´esultat est incoh´erent. Pour le
d´eveloppements peut se faire de fa¸con tr`es rigoureuse.
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