Etude des fonctions rationnelles, asymptotes - appui

Etude des fonctions rationnelles, asymptotes
www.phymaths.ch - Thème TM1-1011G2
1er septembre 2010
1 Fonction rationnelle
Définition 1.1 (Fonction rationnelle).Une fonction rationnelle est une fonction
de la forme
f(x) = P(x)
Q(x)
où P(x) et Q(x) sont des fonctions polynomiales. f(x)est définie partout où Q(x)6= 0.
Les pôles de la fonctions sont définis comme étant la(les) valeur(s) de xpour la(les)quelle(s)
Q(x)s’annule.
1.1 Division euclidienne de deux polynômes
Pour se rafraîchir la mémoire, voilà un exemple de division euclidienne dans l’ensemble
Q:
12 = 2 ·5 + 2 ⇒12
5= 2 + 2 5
La division euclidienne polynomiale permet d’écrire une fraction rationnelle dont le degré
du numérateur est plus grand que celui du dénominateur sous la forme d’une somme d’un
polynôme (le quotient de la division) et d’une fraction rationnelle (le reste divisé par
le diviseur) dont le degré du dénominateur est supérieur a celui du numérateur.
Exemple:
x3+x+ 1 = (x+ 1)(x2−x+ 2) + (−1) ⇒x3+x+ 1
x+ 1 = (x2−x+ 2) + ( −1 x+ 1)
2 Ensemble de définition d’une fonction rationnelle, asymp-
totes verticales
Soit la fonction rationnelle
f(x) = P(x)
Q(x)
Il est clair que si Q(x)possèdent des valeurs nulles, la fonction f(x)n’aura aucune valeur
définie (division par zéro). Les valeurs de xpour lesquelles Q(x)s’annule sont appelée
1

pôles de f(x).
Les pôles de la fonction nous donnent les asymptotes verticales.
L’ensemble de définition de f(x)sera donné par
ED =R\ { pôles }
et les asymptotes de la fonction par les droites d’équation x=pôle(s).
Exemple: Soit la fonction rationnelle
fa(x) = 2x−3
−7x2−2x+ 5
En posant −7x2−2x+ 5 = 0, on obtient les racines de cette équation et de ce fait les
pôles de la fonction. Les valeurs sont x=−1et x=5
7.ED =R\ {−1,5 7}. Le graphe
nous confirme bien que nous avons deux asymptotes d’équations x=−1et x=5
7.
-4
-2
2
4
-2
-1
1
2
Figure 1 – Graphe de fa(x) = 2x−3
−7x2−2x+5
3 Asymptotes horizontales et obliques
Soit les fonctions
fc(x) = 3x+1
x+ 5 et fd(x) = 3x2−24x+ 36 x2
dont les graphes sont représentés ci-dessous.(Figure 2 et 3)
On remarque que lorsque xtends vers ∞les courbes s’approchent d’une droite oblique
dans le cas de fcet d’une droite horizontale pour fd.
Pour calculer l’équation de ces droites nous allons faire le raisonnement suivant :
2

-3
-2
-1
1
2
3
-20
-10
10
20
30
Figure 2 – Graphe de fc(x) = 3x+1
x+ 5
-20
-10
10
20
-30
-20
-10
10
20
30
Figure 3 – Graphe de fd=3x2−24x+36
x2
La fonction générale de la droite est ax +b(aest la pente et bl’ordonnée à l’origine),
donc si une fonction f(x)s’approche d’une droite quand xtends vers ∞alors la dis-
tance entre les points de cette courbe et la droite va tendre vers zéro, ce qui se traduit
mathématiquement par
lim
x→∞(f(x)−(ax +b)) = 0
En transformant un peu et en utilisant les propriétés des limites,
lim
x→∞(f(x)−(ax +b)) = lim x→∞
f(x)−lim
x→∞
ax −lim
x→∞
b= 0
mais limx→∞ b=bdonc,
−b=−lim
x→∞
f(x) + lim
x→∞
ax ⇒b= lim
x→∞(f(x)−ax)
Il ne reste plus qu’à trouver une formule pour le calcul de a. En utilisant à nouveau la
propriété des limites,
lim
x→∞
f(x)−lim
x→∞
ax −lim
x→∞
b= 0 ⇒lim
x→∞
f(x)−alim
x→∞
x−lim
x→∞
b= 0 ⇒
⇒a=limx→∞ f(x)−b
limx→∞ x⇒a= lim
x→∞
f(x)
x−lim
x→∞
b
x
3

mais limx→∞
b
x= 0 et finalement
a= lim
x→∞
f(x)
x
Nous avons à présent les deux formules recherchées :
b= lim
x→∞(f(x)−ax)et a= lim x→∞
f(x)
x
Pour ceux qui savent déjà calculer une dérivée, apeut également être calculé en calculant
f′(x)et en prenant pour ala valeur de la dérivée quand xtends vers l’infini.
a= lim
x→∞
f′(x)
Exemple: Calculons aet bpour la fonction
fc(x) = 3x+1
x+ 5
Calcul de a:
a= lim
x→∞
f(x)
x⇒a= lim
x→∞(3x
x+1 x2+5 x)⇒a= 3
Calcul de b:
b= lim
x→∞(f(x)−ax)⇒b= lim x→∞(3x+1
x+ 5 −3x) = 5
L’asymptote est oblique (aest différent de zéro) et son équation est d(x) = 3x+ 5 comme
on le voit sur le graphe de la figure 2.
Exemple: Calculons aet bpour la fonction
fd(x) = 3x2−24x+ 36
x2
Calcul de a:
a= lim
x→∞
f(x)
x⇒a= lim
x→∞(3
x+24 x2+36 x3)⇒a= 0
La pente étant de zéro, l’asymptote sera une asymptote horizontale.
Calcul de b:
b= lim
x→∞(f(x)−ax)⇒b= lim x→∞(3x2−24x+ 36
x2)−0 = 3
L’asymptote horizontale est la droite d’équation y= 3, comme on le voit sur le graphe.
4

4 Graphe d’une fonction rationnelle
Pour tracer le graphe d’une fonction rationnelle, on peut suivre la démarche suivante :
1. Il faut trouver le domaine de définition ED, en cherchant pour quelle(s) valeur(s) de
xle dénominateur s’annule, ce qui nous donne par la même occasion les asymptotes
verticales.
2. On calcul les asymptotes horizontales et obliques afin de connaître le compor-
tement de la fonction lorsque xtends vers ∞
3. On regarde en quelle(s) point(s) le numérateur s’annule, cela nous donnera les chan-
gements de signes de la fonction.
4. En cas de doutes on peut toujours faire un tableau des signes ou calculer l’image
de quelques points qui paraissent cruciaux.
Cette liste n’est pas exhaustive, mais en général, ces quelques points suffisent à tracer le
graphe d’une fonction rationnelle.
5 Exemples, trucs et astuces
Pour ceux qui ont quelques problèmes avec le calcul des limites et qui ne connaissent
pas les propriétés de celles-ci, je vais donner ci-dessous des exemples n’utilisant que la
division euclidienne. Chaque fraction de la forme f(x) = P(x)
Q(x)va être mise sous la forme
de la somme d’un polynôme et d’une fraction rationnelle dont le le degré du dénominateur
est supérieur à celui du numérateur (une telle fraction va tendre vers zéro lorsque xva
tendre vers l’infini).
f(x) = P(x)
Q(x)=T(x) + R(x) Q(x)
T(x)est le quotient de la division.
Supposons que l’égalité suivante soit vraie.
lim
x→∞ (f(x)−T(x)) = 0
Cela signifie que pour xtendant vers l’infini, le reste de la division polynomiale R(x)
Q(x)tends
vers zéro, donc que la courbe de la fonction T(x)s’approche de celle de la fonction f(x).
Si la fonction T(x)est une constante ou une droite, on aura, dans le premier cas une
asymptote horizontale et dans le deuxième cas une asymptote oblique.
Si T(x)a un degré supérieur à 1, alors cette fonction n’a pas de nom spécial, mais f(x)
tendra toujours vers celle-ci quand xtendra vers l’infini. Cela peut-être utile pour tracer
le graphe de f(x).
5.1 Exemple 1
fa(x) = 2x−3
−7x2−2x+ 5
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