fonctions de reference en analyse

Les fonctions de référence
Plan du chapitre
1Compléments sur la réciproque d’une bijection .......................................................page 2
1.1 Rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . page 2
1.2 Cas particuliers des applications de Rdans Rdérivables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . page 2
2Les fonctions x7→xn,n∈N...............................................................................page 3
2.1 Etude générale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . page 3
2.2 Les fonctions du second degré x7→ax2+bx +c,a6=0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . page 4
3Les fonctions x7→1
xn,n∈N∗. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .page 6
3.1 Etude générale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . page 6
3.2 Les fonctions homographiques x7→ax +b
cx +d,a6=0,ad −bc 6=0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . page 7
4Les fonctions x7→n
√x......................................................................................page 9
5Fonctions circulaires .....................................................................................page 13
5.1 Les fonctions sinus et cosinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . page 13
5.2 La fonction x7→eix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . page 16
5.3 Les fonctions tangente et cotangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .page 16
6Les fonctions circulaires réciproques ..................................................................page 20
3.1 Les fonctions arcsinus et arccosinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . page 20
3.1.1 La fonction arcsinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . page 20
3.1.2 La fonction arccosinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . page 23
3.2 La fonction arctangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . page 28
7Les fonctions logarithmes et exponentielles ...........................................................page 30
7.1 Un peu d’histoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .page 33
7.2 La fonction logarithme népérien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . page 34
7.2.1 Exercices d’introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . page 34
7.2.2 Définition de la fonction ln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . page 34
7.2.3 Propriétés algébriques de ln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . page 35
7.2.4 Etude de la fonction ln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . page 36
7.2.5 Le nombre de Neper :e. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . page 37
7.3 La fonction exponentielle (de base e) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . page 38
7.3.1 Exercice d’introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . page 38
7.3.2 Définition et propriétés de la fonction exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . page 38
7.3.3 Changement de notation : ex. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .page 39
7.4 Les fonctions logarithmes et exponentielles de base a. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . page 40
8Les fonctions puissances ................................................................................page 43
9Les théorèmes de croissances comparées ..............................................................page 44
10 Trigonométrie hyperbolique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . page 45
10.1 Les fonctions hyperboliques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . page 45
10.1.1 Exercice d’introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . page 45
10.1.2 Définition des fonctions sinus hyperbolique et cosinus hyperbolique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .page 46
10.1.3 Etude conjointe de ch et sh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . page 46
10.1.4 Formulaire de trigonométrie hyperbolique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . page 47
10.1.5 La fonction tangente hyperbolique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . page 49
10.2 Les fonctions hyperboliques réciproques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . page 51
10.2.1 La fonction argument sinus hyperbolique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . page 51
10.2.2 La fonction argument cosinus hyperbolique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . page 53
10.2.3 La fonction argument tangente hyperbolique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . page 54
11 La fonction valeur absolue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . page 55
11.1 Définition et propriétés de la valeur absolue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . page 55
11.2 Tableaux de valeurs absolues. Fonctions affines par morceaux et continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .page 57
11.3 Minimum et maximum d’un couple de réels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . page 58
11.4 La fonction « signe ». . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .page 58
12 La fonction partie entière .............................................................................page 59
12.1 Définition et propriétés de la partie entière . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .page 59
12.2 La fonction partie décimale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . page 61
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1 Compléments sur la réciproque d’une bijection
1.1 Rappels.
On rappelle que si fest une application d’un ensemble Evers un ensemble F,
fest bijective ⇔∀y∈F, ∃!x∈E/ y =f(x).
Dans ce cas, on peut définir la réciproque f−1de f. Elle est entièrement caractérisée par
∀(x, y)∈E×F, y =f(x)⇔x=f−1(y).
La réciproque de fest également entièrement caractérisée par les égalités
f−1◦f=IdEet f◦f−1=IdF,
ce qui s’écrit encore
∀x∈E, (f−1(f(x)) = xet ∀y∈F, f(f−1(y)) = y.
1.2 Cas particulier des applications de Rdans Rdérivables
•
•
y=x
y=f(x)
y=f−1(x)
x0
f(x0)
x′
0=f(x0)
f−1(x′
0) = x0
I
J
Ci-contre, nous avons tracé le graphe d’une fonction f, réalisant une
bijection d’un intervalle Isur un intervalle J, et le graphe de sa réciproque.
Le graphe de f−1est l’ensemble des points de coordonnées (x′, f−1(x′))
où x′décrit l’intervalle J(dans cette phrase, l’intervalle Jest pensé sur
l’axe des abscisses).
On pose x0=f−1(x′
0)ou, ce qui revient au même, x′ 0=f(x),x0étant
lui un réel de l’intervalle I. On passe du point (x0, f(x0)) = (f−1(x′
0), x′ 0)
au point (x′
0, f−1(x′ 0)) en échangeant les deux coordonnées. Géométrique-
ment, les deux points (x0, f(x0)) et (x′
0, f−1(x′ 0)) sont symétriques l’un de
l’autre par rapport à la droite d’équation y=x. Ainsi,
le graphe de f−1est le symétrique du graphe de f
par rapport à la droite d’équation y=x.
On démontrera dans le cours d’analyse les résultats suivants.
Théorème 1. Soit fune application définie sur un intervalle Ide Rà valeurs dans Ret dérivable sur I. Si la dérivée de
fest strictement positive sur I(ou strictement négative sur I), alors fréalise une bijection de Isur f(I) = Jqui est un
intervalle de même nature que I(ouvert, semi-ouvert, fermé). Sa réciproque f−1est alors dérivable sur Jet,
(f−1)′=1
f′◦f−1,
ou, ce qui revient au même,
∀x∈J, (f−1)′(x) = 1
f′(f−1(x)) .
fet f−1sont toutes deux strictement monotones sur Iet Jrespectivement, et ont même sens de variations sur Iet J
respectivement.
L’égalité (f−1)′(x0) = 1
f′(f−1(x0)) est lisible sur le graphique : par symétrie, le coefficient directeur de la tangente au
graphe de f−1au point (x′
0, f−1(x′ 0)) est l’inverse du coefficient directeur de la tangente au graphe de fau point (x0, f(x0)).
En effet, soient M(a, b)et N(c, d)deux points d’abscisses et d’ordonnées distinctes. Leurs symétriques par rapport à la
droite d’équation y=xsont les points M′(b, a)et N′(d, c). Le coefficient directeur de la droite (M′N′)est
yN′−yM′
xN′−xM′
=c−a
d−b=d−b c−a−1
=yN−yM
xN−xM−1
,
et est donc l’inverse du coefficient directeur de la droite (MN). On applique alors ce travail aux points M0(x0, f(x0)) et
M(x, f(x)) puis on fait tendre xvers x0et on obtient le résultat.
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7→∈
2 Les fonctions x7→xn,n∈N
2.1 Etude générale
Pour n∈Net xréel, on pose fn(x) = xn. Quand n=0, la fonction fnest la fonction constante x7→1et quand n=1,
la fonction fnest la fonction x7→x. Sinon
Théorème 2. Soit n∈N\ {0, 1}. La fonction fn;x7→xnest dérivable sur Ret ∀x∈R, f′
n(x) = nxn−1.
Démonstration .Soit x0∈R. Pour tout réel non nul h, on a d’après la formule du binôme de Newton
fn(x0+h) − fn(x0)
h=1 h xn
0+nhxn−1
0+ n
2!xn−2
0h2+. . . n
n−1!x0hn−1+hn!−xn
0!
=nxn−1
0+ n
2!xn−2
0h+... n
n−1!x0hn−2+hn−1.
et quand htend vers 0, cette dernière expression tend vers nxn−1
0. On peut s’y prendre autrement : pour x6=x0
fn(x) − fn(x0)
x−x0
=xn−xn
0
x−x0
=(x−x0)(xn−1+xn−2x0+xn−3x2
0+...+xxn−2
0+xn−1 0)
x−x0
=xn−1+xn−2x0+xn−3x2
0+. . . +xxn−2
0+xn−1 0.
et quand xtend vers x0, cette expression tend vers xn−1
0+xn−1 0+...+xn−1 0
|{z }
n
=nxn−1
0.
❏
On a alors immédiatement le théorème suivant :
Théorème 3. Soit n∈N\ {0, 1}.
•Quand nest pair, la fonction x7→xnest paire, continue et dérivable sur R, strictement décroissante sur ] − ∞, 0]et
strictement croissante sur [0, +∞[.
•Quand nest impair, la fonction x7→xnest impaire, continue et dérivable sur R, strictement croissante sur R.
Représentation graphique des fonctions x7→xn,n∈N\ {0, 1}.
n=2p,p∈N∗
y=x2p
n=2p +1,p∈N∗
y=x2p+1
Etudions maintenant les positions relatives des graphes Cndes fonctions fnsur R+. Soient n∈Net x∈[0, +∞[.
fn+1(x) − fn(x) = xn+1−xn=xn(x−1).
Si x=0ou x=1, on a fn+1(x) = fn(x). Toutes les courbes Cnont en commun les points de coordonnées (0, 0)et (1, 1).
Si x∈]0, 1[, on a xn(x−1)< 0 et donc fn+1(x)< fn(x). Sur ]0, 1[, la courbe Cn+1est strictement au-dessous de la courbe
Cn.
Si x∈]1, +∞[, on a xn(x−1)> 0 et donc fn+1(x)> fn(x). Sur ]1, +∞[, la courbe Cn+1est strictement au-dessus de la
courbe Cn.
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7→6 7→∈
•Si x∈]0, 1[,1 > x > x2> x3> x4> . . .,
•Si x∈]1, +∞[,1 < x < x2< x3< x4< . . ..
Dit autrement :
•Si x∈]0, 1[, la suite géométrique (xn)n∈Nest strictement décroissante,
•Si x∈]1, +∞[, la suite géométrique (xn)n∈Nest strictement croissante.
Représentation graphique des fonctions x7→xn,n∈{0, 1, 2, 3, 4}.
1
1y=1
y=x
y=x2
y=x3
y=x4
2.2 Les fonctions du second degré x7→ax2+bx +c,a6=0
Forme canonique. Soient a,bet ctrois réels tels que a6=0. Pour tout réel x, en posant ∆=b2−4ac, on a
ax2+bx +c=ax2+b
ax+c a=a"x+b 2a 2
−b2
4a2+c a#=a"x+b 2a 2
−b2−4ac
4a2#
=ax+b
2a 2
−∆
4a où ∆=b2−4ac.
Représentation graphique. On se donne un repère orthonormé R= (O, −→ i , −→ j)et on note Cla courbe représentative
de la fonction f:x7→ax2+bx +cc’est-à-dire la courbe d’équation y=ax2+bx +cou encore
y=ax+b
2a 2
−∆
4a (∗)dans le repère R.
−b/2a
−∆/4a
y
x
O
y=ax2+bx +c
y′=ax ′2
O′x′
y′On cherche alors un repère mieux adapté à cette courbe. Pour cela,
on prend comme nouvelle origine le point O′−b
2a ,−∆ 4apuis comme
nouveau repère le repère R′= (O′,−→ i , −→ j). Les formules de changement
de repère s’écrivent
x= − b
2a +x′
y= − ∆
4a +y′
ou aussi 
x′=x+b
2a
y′=y+∆
4a
.
Soit alors Mun point du plan dont les coordonnées dans le repère Rsont
notées (x, y)et les coordonnées dans le repère R′sont notées (x′, y′).
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7→6 7→∈
M∈C⇔y=ax2+bx +c⇔y=ax+b
2a 2
−∆
4a
⇔y+∆
4a =ax+b 2a 2
⇔y′=ax′2.
Ainsi, la courbe Cest à la fois la représentation graphique de la fonction f:t7→at2+bt +cdans le repère Ret la
représentation graphique de la fonction g:t7→at2dans le repère R′.
On peut avoir une autre interprétation géométrique de l’égalité (∗). On considère les deux fonctions f:x7→ax2+bx +c
et g:x7→ax2et on construit les représentations graphiques Cfet Cgde ces deux fonctions dans un même repère R.
Ainsi, nous avons toujours deux fonctions mais contrairement à ci-dessus où nous avions une courbe et deux repères, nous
avons maintenant deux courbes et un repère.
−b/2a
−∆/4a
y
x
O
y=ax2+bx +c
y=ax2
−→
u
−→
u
−→
u
Notons −→ ule vecteur de coordonnées −b
2a ,−∆ 4a puis t−→
ula transla-
tion de vecteur −→ uet montrons que la courbe Cfest l’image de la courbe
Cgpar la translation t−→
u.
Si Mest un point du plan de coordonnées (x, y),t−→
u(M)est le point
de coordonnées (x′, y′) = x−b
2a , y −∆ 4a ou encore l’expression ana-
lytique de la translation t−→
uest
x′=x−b
2a
y′=y−∆
4a
ce qui s’écrit aussi 
x=x′+b
2a
y=y′+∆
4a
On a
M∈Cg⇔y=ax2⇔y′+∆
4a =ax′+b 2a 2
⇔t−→
u(M)∈Cf.
Ainsi un point du plan appartient à la corbe représentative de gsi et seulement si son translaté appartient à la courbe
représentative de f. On a donc montré que
La courbe d’équation y=ax2+bx +cest la translatée de la courbe d’équation y=ax2
par la translation de vecteur −b
2a,−∆ 4a .
La courbe d’équation y=ax2+bx +cest une parabole. Une parabole est une courbe aux propriétés géométriques très
précises, propriétés étudiées dans le chapitre « Coniques » et il ne faut pas croire que toute courbe ayant cette allure est
une parabole. Par exemple, la graphe de la fonction x7→x4n’est pas une parabole.
Pour en finir avec le second degré, on rappelle sur le graphique de la page suivante les 6cas de figure de l’étude du signe
d’un trinôme du second degré.
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