Équations différentielles du premier ordre Vous trouverez ici de
Équations différentielles du premier ordre
Gilles Picard et Chantal Trottier, 04-02-06 1
Vous trouverez ici de brefs résumés et exemples sur les applications concrètes des
équations différentielles du premier ordre :
Ø variation de température
Ø désintégration radioactive
Ø mouvement rectiligne
Ø circuits électriques; circuits R-C, circuits R-L
Ø problèmes de mélanges.
Variation de température
La variation de la température d'un corps, ou d’un liquide, laissé dans un environnement à
une température ambiante constante, suit la loi de Newton :
( )
A
dT kTT
dt
=−
A
Test la température ambiante constante.
k est une constante de proportionnalité qui dépend des conditions expérimentales.
Cette constante est négative.
t est le temps, habituellement donné en minutes.
T est la température du corps. Cette température varie; on pourrait la noter T(t).
On suppose que la température est maintenue homogène dans le liquide, ou le corps.
On résout cette équation différentielle en utilisant la séparation des variables :
A
dT kdt
TT=
−
1
ln A
TTktC
−=+
2kt
A
TTCe−=
2
2
, avec si 0 (refroidissement)
si 0 (réchauffement)
kt
AA
A
TTCeCCTT
CCTT
−==−>
=−−<
kt
A
TTCe=+
Exemple 1 :
Un liquide, chauffé initialement à 90º C, est laissé dans une pièce à 21º C. Au bout de 4
minutes, la température de ce liquide est à 82º C.
Trouver une formule qui donne la température de ce liquide en fonction du temps.
Gilles Picard et Chantal Trottier, 04-02-06 2
( ) ( ) ( )
D'après Newton, 21 avec 090 et 482
dT
kTTT
dt
=−==
.
Donc 21 kt
TCe=+
Utilisons la condition initiale
(
)
090T= pour déterminer la valeur de C :
902169 et 2169 kt
CCTe
=+⇒==+
Utilisons maintenant la deuxième condition,
(
)
482T=, pour trouver ce que vaut k :
44
61161
822169ln0,0308
69469
kk
eek
=+⇒=⇒==−
Nous avons donc trouvé tout ce qu’il fallait pour écrire
(
)
0,0308
2169 t
Tte
−
=+ .
14
46161
Une autre façon d'écrire cette équation vient du fait que 6969
kk
ee
=⇒=
( )
4
61
On a donc 21692169 69
t
kt
Tte
=+=+
Exemple 2 :
Un verre d’eau, à 10º C, est sorti du réfrigérateur et déposé sur une table dans une pièce
où il fait 31º C. Après 10 minutes, l’eau dans le verre est à 17º C.
Combien de temps après la sortie du réfrigérateur l’eau sera-t-elle à 25º C?
D’après Newton,
( )
31
dT kT
dt
=−
; ce qui donne 31 kt
TCe=+ .
Avec
(
)
010, on trouve 103121 et 3121 kt
TCCTe
==+⇒=−=−
( )
1010 14212
1017, donc 173121ln0,0405
213103
kk
Teek
==−⇒==⇒==−
Nous avons donc
(
)
0,0405
3121 t
Tte
−
=−
Il reste à trouver t pour que T = 25.
0,0405
25312130,9
t
et
−
=−⇒=
Ça prendra donc environ 31 minutes après la sortie du réfrigérateur pour que l’eau du
verre soit à 25º C.
liste des sujets
Gilles Picard et Chantal Trottier, 04-02-06 3
Désintégration radioactive
La plupart des éléments radioactifs se décomposent en d’autres éléments, radioactifs ou
pas, à une vitesse qui est proportionnelle à la quantité restante de cet élément initial.
Soit Q(t) la quantité d’un certain élément radioactif au temps t. Alors cette quantité suit la
relation suivante :
( )
0
, avec 0
dQ
kQQQ
dt
=−=
où k est une constante positive (–k est négative) et Q0 est la quantité initiale de cet
élément.
On résout cette équation soit en séparant les variables, soit comme une équation linéaire.
1º En séparant les variables 2º Équation linéaire
dQ kdt
Q=−
(
)
1
ln
QktC
=−+
kt
QCe−
=
0
dQ kQ
dt
+=
0
kdt
Qedt
−∫
=
∫
kt
QCe−
=
(
)
000
Avec la condition initiale 0, on trouve
. Donc .
kt
QQCQQQe
−
===
Exemple :
La demi-vie du polonium-218 est presque exactement 3 minutes.
a) Quelle proportion de la quantité initiale restera-t-il après 5 minutes?
b) Combien de temps est-il nécessaire pour que 99% du polonium-218 soit décomposé?
On pose d'abord l'équation de la décompo
sition radioactive .
dQ kQ
dt
=−
0
On résout et on obtient .
kt
QQe
−
=
Pour trouver la valeur de k, on utilise la condition initiale sur la demi-vie :
( ) ( )
3
000
111
3ln2
223
k
QQQQek
−
=⇒=⇒=
( ) ( ) ( ) ( )
3
ln2
33
000
1
Donc ou 22
t
tt
QtQeQtQQ
−−
===
( )
( )
5ln2
3
0
a) 5QQe
−
=
( ) ( )
5ln2 5
3ln2
03
0
En proportion, 0,315
Qe e
Q
−−
=≈
Après 5 minutes, il reste environ 31,5% de la quantité initiale.
Gilles Picard et Chantal Trottier, 04-02-06 5
Mouvement rectiligne
L’étude du mouvement rectiligne comprend tout mouvement qui se passe le long d’une
droite, que cette droite soit horizontale, verticale ou oblique.
Dans tous les cas, la 2e loi de Newton s’applique :
La somme de toutes les forces qui s’appliquent à un objet est
proportionnelle à l’accélération de son mouvement. De plus, la constante
de proportionnalité est égale à la masse de l’objet.
Fma
=
où F est la somme des forces
2
2
et est l'accélération subie par l'objet.
dvdx
adt
dt
==
On obtient donc l'équation différentielle forces
dv
m
dt
=∑
Selon l’expression des forces en présence, cette équation différentielle pourra être
linéaire, à variables séparables, Bernoulli, ou autre.
( ) ( )
Après avoir trouvé la vitesse , il faudr
a résoudre l'équation différentielle .
dx
vtvt
dt
=
Cette équation est directement intégrable.
Il convient de tracer un diagramme des forces ainsi que l’axe orienté du mouvement pour
bien indiquer les forces qui interviennent dans le mouvement, ainsi que leur sens.
Remarque : Si le mouvement est horizontal, la force poids n’intervient pas.
Si le mouvement est oblique, il faut calculer la composante de cette force
poids dans la direction du mouvement.
Exemple :
On lance un objet dont la masse est 8 kg vers le haut, avec une vitesse de 5 m/s, à partir
d’une hauteur de 300 m. (Ça correspond à peu près à la hauteur de la Tour Eiffel à
Paris.) L’air oppose une résistance à son mouvement, qui vaut 4 fois la vitesse.
a) Trouvez la vitesse de cet objet au temps t.
b) Combien de temps l’objet prendra-t-il pour atteindre le sol et quelle sera sa vitesse au
moment de l’impact?
Les seules forces qui s’appliquent sur l’objet sont son poids et la résistance de l’air.
Remarquons que la résistance de l’air est nécessairement dans le sens contraire de la
vitesse; ceci explique la présence du signe « – ».
6
7
8
9
10
1
/
10
100%
