Mr.Grassi Maher 21233990

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Complexes
Exercice 1 :
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé (O, , )
-
1) 
= 1
b) En déduire que lorsque M varie sur le cercle de c sur un
cercle dont on précisera le centre et le rayon.
Exercice 2 :
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé (O, , )
 + i  et b=   +   i
1) 
b) Vérifier que b²= a.
a) Placer les points A, B et C.
b) Vérifier que c= 
3) On considère dans   : z²+zc=0
Montrer que d= 
Exercice 3 :
, )
respectives 1 et a= 
1) a) Donner la forme exponentielle de a.
b) Construire le point A.
a) Vérifier que b
=1. En déduire que le point B appartient au cercle (C).
b) Montrer que 
 est un réel. En déduire que les points A, B et I sont alignés.
c) Construire le point B dans le repère (O, , ).
3) Soit  un argument du nombre complexe b
Montrer que cos= 
 et sin= 
Exercice 4 :
Dans la figure ci-contre (O, , ) est un repère orthonormé direct du plan,  est le cercle de
B.
1) Déterminer par une lecture graphique le module et un argument de zB.

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En déduire que zB= 1+i
2) C=1+i
b) Montrer que le quadrilatère OACB est un losange.
 soit un réel positive ou nul.
a) Vérifier que les points O, A et B appartiennent à E.
b) Prouver que tout point M de la demi-droite [OB) appartient à E.
c) Soit .
Montrer que  est une réel positif si et seulement si = 
 ; k 
d) En déduire que E est la réunion de trois demi-
Représenter E sur la figure.
Exercice 5 :
1) a) Vérifier que (5+2i)²= 21+20i
b) Résoudre dans  (54i)z315i=0
, ). On 
les 3i , 5i , 3 et 1+5i
2) 
M.
M=5k+(2k3)i
b) Moniculaires si et seulement si
le point M est le milieu du segment [AB].
Exercice 6 :
1) Résoudre dans   : z²(3+4i)z8+6i=0
2) Soit dans   :  (1+4i)z² (14+2i)z16+12i=0
a) Vérifier que (-2) est une solution de (E).
b) Déterminer les nombre complexes b et c tels que
(1+4i)z² (14+2i)z  16+12i = (z+2)(z²+bz+c)
c) 
3) Dans le plan complexe rapport à un repère orthonormé (O, , ). On désigne par A et B les
A= 1+2i et zB= 4+2i
a) Montrer que le triangle OAB est rectangle.
b) Soit  -3i
Montrer que la droite (OD) est tangente à .
Exercice 7 :
1) a) Résoudre dans  : z²z+1=0
b) Mettre les solutions de (E) sous forme exponentielle.
 : 
2) Mettre le polynôme P(z)=  
second degré à coefficients réels.
3) Le plan est rapporté à un repère orthonormé (O, ). On désigne par A, B, C et D les
A)>0, Im(zA)>0, Re(zB)>0 et Im(zD)>0
a) Placer les points A, B, C et D.
b) Déterminer la nature du quadrilatère ABCD.

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Espace
Exercice 1 :
)
On considère les points A(1,0,0), B(0,2,0) et C(0,0,3)
1) a) Déterminer les composantes du vecteur  .
6=0
2) Soit I et J les milieux respectifs des segments [AB] et [AC].
On désigne par  la droite passant par I et de vecteur directeur  et par  la droite
passant par J et de vecteur directeur  .
Donner une représentation paramétrique de chacun des droites  et .
a) En déduire que  et  sont sécantes au point D
3) Soit (S) la sphère de centre D et passe par O.
a) Vérifier que (S) passe par les points A, B et C.
b) En déduire le rayon du cercle circonscrit au triangle ABC.
c) Donner 
Exercice 2 :
), on considère les points
A(2,1,0) ; B(1,2,2) et C(3,3,1)
1) a) Montrer que les points A,B et C déterminent un plan P.
 : 
2) a) Montrer que le triangle ABC est équilatéral.
c) Déterminer les coordonnées du point G centre de gravité du triangle ABC.
3) Soit le point D(1,1,0) et M le projeter orthogonal de A sur le plan (BCD).
a) Montrer que ABCD est un tétraèdre et calculer son volume .
b) Calculer AM.
 :
a) Montrer que (S) est une sphère dont on précisera le rayon et les coordonnées du
centre I.
b) Vérifier que A, B et C appartiennent à 
et le plan P.
c) Donner des équations cartésiennes des plans P1 et P2 parallèles à P et tangents à la
sphère (S).
Exercice 3 :
), on considère la droite  passant
par le point A(-3,-1,-3) et de vecteur directeur  et la droite D passant par le point
B(3,2,3) et de vecteur directeur 
1) a) Calculer  et det( )
b) Justifier que les droites  et D sont orthogonales et non coplanaires
c) Déterminer une équation cartésienne du plan contenant  et parallèle à D.
2) Soit (S) la sphère de centre C(-1,0,-
2x+y+2z+13=0

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a) Montrer que (S) et P se coupent suivant un cercle de centre A. Déterminer le rayon
de ce cercle.
b) Montrer que la droite D est tangente à la sphère (S) au point B.
3) a) Calculer AB. En déduire que le point C appartient au segment [AB].
b) Déterminer alors une droite perpendiculaire au droites D et .
Exercice 4 :
Dans la figure ci-
, , )
1) a) Déterminer les composantes du vecteur  .
b) En 
(ACD) est x+y+z+1=0
2) Soit  la droite passant par O et perpendiculaire
au plan (ACD)
a) Donner une représentation paramétrique de la droite .
b) Déterminer les coordonnées du point H, intersection de  et le plan (ACD).
3) Pour tout réel m, on désigne par Sm  :
x²+y²+z²2mx2my2mz1+3m²=0
a) Montrer que pour tout réel m, Sm est une sphère dont on précisera le centre Im et le
rayon r.
b) Déterminer les valeur de m pour lesquelles Sm passe par le point A.
4) a) Vérifier que les centres des sphères S0 et 
 sont deux points de la droite .
b) Justifier que le plan (ACD) coupe les deux sphères S0 et 
 suivant un meme cercle
Exercice 5 :
),
et ABCDEFGH est un parallélépipède tel que  ,
 et 
1) a) Vérifier que  + +
b) Déterminer les composantes de chacun des vecteurs
,  et  .
c) une équation cartésienne du plan (EBG).
2) Soit  un réel différent de 1 et M le point de coordonnées
(2,4,3)
a) Vérifier que M décrit la droite (AG) privée du point G.
b) 
3) Soit  le volume du tétraèdre MEBG
a) Exprimer  en fonction de .
b) Calculer le volume du tétraèdre AEBG.
c) Pour quelle valeur de  ,  est-il égal au volume du parallélipède ABCDEFGH.

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Suite
Exercice 1 :
On considère les suites réelles (Un) et (Vn) définies par :
 et 
Où  un réel donné tel que 
1) Soit (tn) la suite définie sur  par tn= VnUn
a) Calculer t0 et t1.
b) Montrer que pour tout entier naturel n, tn= 
c) En déduire la limite de tn.
2) a) Montrer que , pour tout entier naturel n, Un  Vn
b) Montrer que la suite Un est croissante et que Vn est décroissante.
c) En déduire que les suites (Un) et (Vn) convergent vers une même limite .
d) Montrer que, pour tout entier naturel n, Un+Vn=3 et en déduire la valeur de la
limite.
Exercice 2 :
1) 
a) Ordonner du plus petit au plus grand les réels 
,   et 
b) Déduire que 
  ln(a+1)  ln(a)  
2) Soit (Sn) la suite définie pour n  2 par Sn= 1+ 
a) Montrer, en utilisant (1), que Sn  1 Sn
b) En déduire 
 puis 
3) On pose, pour tout entier naturel n2, Un= Sn ln(n)
a) Montrer que la suite (Un) est minorée.
b) Montrer que la suite (Un) est décroissante.
c) En déduire que la suite (Un) est convergente.
Exercice 3 :
On considère la suite (Un) définie sur  par Un=
0( 1)
nkk
k
k
e
= 
+ 
1) a) Montrer que pour tout entier naturel n, (2n2)e(2n+1) < 0
b) Montrer que pour tout entier naturel n, U2n+2 U2n= 
 [(2n2)e(2n+1)]
En déduire que la suite (U2n)n>0 est décroissante.
2) Montrer que la suite (U2n+1)n>0 est croissante.
3) a) Montrer que pour tout entier naturel non nul n, U2n > U2n+1
b) Calculer 
4) Montrer que la suite (Un) converge vers un réel  et que U3<  < U2