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Complexes
Exercice 1 :
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé (O,u
⃗ ,v
⃗)
On désigne par A le point d’affixe -2i et par B le point d’affixe 1
A tout point M d’affixe z et distinct de A on associe le point M’ d’affixe z’=
z+1+2i
z+2i
1) a) Déterminer l’ensemble des points M tels que z’ soit imaginaire pur.
b) Déterminer l’ensemble des points M tels que |z′|= 1
2) a) Montrer que BM’=
1
AM
b) En déduire que lorsque M varie sur le cercle de centre A et de rayon 2, M’ varie sur un
cercle dont on précisera le centre et le rayon.
Exercice 2 :
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé (O,u
⃗ ,v
⃗)
1
√3
√3
1
On considère les points A et B d’affixes respectives a= 2 + i 2 et b= 2 + 2 i
1) a) Donner l’écriture exponentielle de chacun des nombre complexes a et b.
b) Vérifier que b²= a.
2) Soit C le point d’affixe c = a+b
a) Placer les points A, B et C.
π
√2+√6
b) Vérifier que c= 2 ei 4
3) On considère dans ℂ l’équation (E) : z²+z−c=0
a) Vérifier que b est une solution de l’équation (E).
b) On désigne par d la deuxième solution de l’équation (E).
−11π
√2+√6
Montrer que d= 2 ei 12
c) Placer alors, le point D d’affixe d.
Exercice 3 :
Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé direct (O,u
⃗ ,v
⃗)
On désigne par (C) le cercle de centre O et de rayon 1 et par I et A les points d’affixes
respectives 1 et a= √3 + i
1) a) Donner la forme exponentielle de a.
b) Construire le point A.
𝑎−1
2) Soit B le point d’affixe b=
1−𝑎̅
a) Vérifier que bb̅=1. En déduire que le point B appartient au cercle (C).
b) Montrer que
b−1
a−1
est un réel. En déduire que les points A, B et I sont alignés.
c) Construire le point B dans le repère (O,u
⃗ ,v
⃗ ).
3) Soit 𝜃 un argument du nombre complexe b
2√3−3
2−2√3
Montrer que cos𝜃= 5−2√3 et sin𝜃= 5−2√3
Exercice 4 :
Dans la figure ci-contre (O,u
⃗ ,v
⃗ ) est un repère orthonormé direct du plan, 𝜁 est le cercle de
centre O et de rayon 2 et B est un point d’affixe zB.
1) Déterminer par une lecture graphique le module et un argument de zB.
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En déduire que zB= −1+i√3
2) a) Placer sur la figure le point C d’affixe zC=1+i√3
b) Montrer que le quadrilatère OACB est un losange.
3) On se propose de déterminer l’ensemble E des points
M d’affixe z tels que z 3 soit un réel positive ou nul.
a) Vérifier que les points O, A et B appartiennent à E.
b) Prouver que tout point M de la demi-droite [OB) appartient à E.
c) Soit z un nombre complexe non nul, de module r et d’argument 𝜃.
2kπ
Montrer que z 3 est une réel positif si et seulement si 𝜃= 3 ; k ∈ ℤ
d) En déduire que E est la réunion de trois demi-droites que l’on déterminera
Représenter E sur la figure.
Exercice 5 :
1) a) Vérifier que (5+2i)²= 21+20i
b) Résoudre dans ℂ l’équation z²−(5−4i)z−3−15i=0
Le plan est muni d’un repère orthonormé direct (O,u
⃗ ,v
⃗ ). On désigne par A, B, A’ et B’
les Points d’affixes respectives −3i , 5−i , −3 et 1+5i
2) a) Placer les points A, B, A’ et B’.
b) Montrer que OAA’ et OBB’ sont des triangles rectangles et isocèles.
3) Soit M un point de la droite (AB) d’affixe zM.
a) Montrer qu’il existe un réel k tel que zM=5k+(2k−3)i
b) Montrer que les droites (OM) et (A’B’) sont perpendiculaires si et seulement si
le point M est le milieu du segment [AB].
Vérifier que dans ce cas A’B’=2 OM.
Exercice 6 :
1) Résoudre dans ℂ l’équation : z²−(3+4i)z−8+6i=0
2) Soit dans ℂ l’équation (E) : z 3 − (1+4i)z²− (14+2i)z−16+12i=0
a) Vérifier que (-2) est une solution de (E).
b) Déterminer les nombre complexes b et c tels que
z 3 −(1+4i)z²− (14+2i)z − 16+12i = (z+2)(z²+bz+c)
c) Résoudre alors l’équation (E).
3) Dans le plan complexe rapport à un repère orthonormé (O,u
⃗ ,v
⃗ ). On désigne par A et B les
points d’affixes respectives zA= −1+2i et zB= 4+2i
a) Montrer que le triangle OAB est rectangle.
b) Soit 𝜁 le cercle circonscrit au triangle OAB et D le point d’affixe 4-3i
Montrer que la droite (OD) est tangente à 𝜁.
Exercice 7 :
1) a) Résoudre dans ℂ, l’équation (E) : z²−z+1=0
b) Mettre les solutions de (E) sous forme exponentielle.
c) En déduire les solutions de l’équation (E’) : z 4 − z² + 1 = 0
2) Mettre le polynôme P(z)= z 4 − z² + 1 sous la forme d’un produit de deux polynômes du
second degré à coefficients réels.
3) Le plan est rapporté à un repère orthonormé (O,u
⃗ ,v
⃗ ). On désigne par A, B, C et D les
images des solutions de l’équation (E’) telles que Re(zA)>0, Im(zA)>0, Re(zB)>0 et Im(zD)>0
a) Placer les points A, B, C et D.
b) Déterminer la nature du quadrilatère ABCD.
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Espace
Exercice 1 :
L’espace est rapporté à un repère orthonormé direct (O,i, j, ⃗k)
On considère les points A(1,0,0), B(0,2,0) et C(0,0,3)
⃗⃗⃗⃗⃗ .
1) a) Déterminer les composantes du vecteur ⃗⃗⃗⃗⃗
AB ∧ AC
b) En déduire qu’une équation du plan (ABC) est 6x+3y+2z−6=0
2) Soit I et J les milieux respectifs des segments [AB] et [AC].
⃗ et par ∆′ la droite
On désigne par ∆ la droite passant par I et de vecteur directeur k
passant par J et de vecteur directeur j .
Donner une représentation paramétrique de chacun des droites ∆ et ∆′.
1
3
a) En déduire que ∆ et ∆′ sont sécantes au point D( , 1, )
2
2
3) Soit (S) la sphère de centre D et passe par O.
a) Vérifier que (S) passe par les points A, B et C.
b) En déduire le rayon du cercle circonscrit au triangle ABC.
c) Donner l’équation cartésienne de la sphère (S).
Exercice 2 :
L’espace est rapporté à un repère orthonormé direct (O,i, j, ⃗k), on considère les points
A(2,1,0) ; B(1,2,2) et C(3,3,1)
1) a) Montrer que les points A,B et C déterminent un plan P.
b) Montrer qu’une équation cartésienne du plan P est : 𝑥 − 𝑦 + 𝑧 − 1 = 0
2) a) Montrer que le triangle ABC est équilatéral.
b) Calculer l’aire du triangle ABC.
c) Déterminer les coordonnées du point G centre de gravité du triangle ABC.
3) Soit le point D(1,1,0) et M le projeter orthogonal de A sur le plan (BCD).
a) Montrer que ABCD est un tétraèdre et calculer son volume 𝒱.
b) Calculer AM.
4) Soit (S) l’ensemble des points M(x,y,z) de l’espace vérifiant :
𝑥² + 𝑦² + 𝑧² − 2𝑥 − 6𝑦 + 5 = 0
a) Montrer que (S) est une sphère dont on précisera le rayon et les coordonnées du
centre I.
b) Vérifier que A, B et C appartiennent à (S). En déduire l’intersection de la sphère (S)
et le plan P.
c) Donner des équations cartésiennes des plans P1 et P2 parallèles à P et tangents à la
sphère (S).
Exercice 3 :
L’espace est rapporté à un repère orthonormé direct (O,i, j, ⃗k), on considère la droite ∆ passant
⃗ et la droite D passant par le point
par le point A(-3,-1,-3) et de vecteur directeur u
⃗ = 2i − 2j − k
⃗
B(3,2,3) et de vecteur directeur v
⃗ = i + 2j − 2k
1) a) Calculer u
⃗ .v
⃗ et det( u
⃗ ,v
⃗ , ⃗⃗⃗⃗⃗
AB)
b) Justifier que les droites ∆ et D sont orthogonales et non coplanaires
c) Déterminer une équation cartésienne du plan contenant ∆ et parallèle à D.
2) Soit (S) la sphère de centre C(-1,0,-1) et de rayon 6 et P la plan d’équation
2x+y+2z+13=0
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a) Montrer que (S) et P se coupent suivant un cercle de centre A. Déterminer le rayon
de ce cercle.
b) Montrer que la droite D est tangente à la sphère (S) au point B.
3) a) Calculer AB. En déduire que le point C appartient au segment [AB].
b) Déterminer alors une droite perpendiculaire au droites D et ∆.
Exercice 4 :
Dans la figure ci-contre OABCDEFG est un cube d’arête 1
⃗⃗⃗⃗⃗ ,OC
⃗⃗⃗⃗⃗ ,OD
⃗⃗⃗⃗⃗ )
On munit l’espace du repère orthonormé (O,OA
1) a) Déterminer les composantes du vecteur ⃗⃗⃗⃗⃗
AC ∧ ⃗⃗⃗⃗⃗
AD.
b) En déduire qu’une équation cartésienne du plan
(ACD) est x+y+z+1=0
2) Soit ∆ la droite passant par O et perpendiculaire
au plan (ACD)
a) Donner une représentation paramétrique de la droite ∆.
b) Déterminer les coordonnées du point H, intersection de ∆ et le plan (ACD).
3) Pour tout réel m, on désigne par Sm l’ensemble des points M(x,y,z) de l’espace tel que :
x²+y²+z²−2mx−2my−2mz−1+3m²=0
a) Montrer que pour tout réel m, Sm est une sphère dont on précisera le centre Im et le
rayon r.
b) Déterminer les valeur de m pour lesquelles Sm passe par le point A.
4) a) Vérifier que les centres des sphères S0 et S2 sont deux points de la droite ∆.
3
b) Justifier que le plan (ACD) coupe les deux sphères S0 et S2 suivant un meme cercle
3
qu’on précisera.
Exercice 5 :
⃗ ),
L’espace est rapporté à un repère orthonormé direct (A,i, j, k
et ABCDEFGH est un parallélépipède tel que ⃗⃗⃗⃗⃗
AB = 2i,
⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
AD = 4j et ⃗⃗⃗⃗⃗
AE = 3k
⃗
1) a) Vérifier que ⃗⃗⃗⃗⃗
AG = 2i+4j +3k
b) Déterminer les composantes de chacun des vecteurs
⃗⃗⃗⃗⃗ et EB
⃗⃗⃗⃗⃗ .
⃗⃗⃗⃗⃗ , EG
⃗⃗⃗⃗⃗ ∧ EG
EB
c) Déterminer une équation cartésienne du plan (EBG).
2) Soit 𝛼 un réel différent de 1 et M le point de coordonnées
(2𝛼,4𝛼,3𝛼)
a) Vérifier que M décrit la droite (AG) privée du point G.
b) Montrer que M n’appartient pas au plan (EBG).
3) Soit 𝒱 le volume du tétraèdre MEBG
a) Exprimer 𝒱 en fonction de 𝛼.
b) Calculer le volume du tétraèdre AEBG.
c) Pour quelle valeur de 𝛼 , 𝒱 est-il égal au volume du parallélipède ABCDEFGH.
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Suite
Exercice 1 :
On considère les suites réelles (Un) et (Vn) définies par :
U =1
V =2
{ 0
et { 0
Un+1 = αUn + (1 − α)Vn
Vn+1 = (1 − α)Un + αVn
1
Où 𝛼 un réel donné tel que 2 < 𝛼 < 1
1) Soit (tn) la suite définie sur ℕ par tn= Vn − Un
a) Calculer t0 et t1.
b) Montrer que pour tout entier naturel n, tn= (2α − 1)n
c) En déduire la limite de tn.
2) a) Montrer que , pour tout entier naturel n, Un ≤ Vn
b) Montrer que la suite Un est croissante et que Vn est décroissante.
c) En déduire que les suites (Un) et (Vn) convergent vers une même limite ℓ.
d) Montrer que, pour tout entier naturel n, Un+Vn=3 et en déduire la valeur de la
limite ℓ.
Exercice 2 :
1) Soit a un réel strictement positif et x un réel de l’intervalle [a, a+1].
1 1
1
a) Ordonner du plus petit au plus grand les réels , et
𝑥 a
a+1
1
1
b) Déduire que
≤ ln(a+1) – ln(a) ≤
a+1
a
1
1
2) Soit (Sn) la suite définie pour n ≥ 2 par Sn= 1+ +….+
2
a) Montrer, en utilisant (1), que Sn − 1≤ ln(𝑛) ≤ Sn
lim
lim ln(n)
b) En déduire n→+∞
Sn puis n→+∞
S
n
n
3) On pose, pour tout entier naturel n≥2, Un= Sn − ln(n)
a) Montrer que la suite (Un) est minorée.
b) Montrer que la suite (Un) est décroissante.
c) En déduire que la suite (Un) est convergente.
Exercice 3 :
n
1
2
3
n
k
=− + − 3 + …+ (−1)n n
k
e
e²
e
e
e
k 0
1) a) Montrer que pour tout entier naturel n, (2n+2)−e(2n+1) < 0
1
b) Montrer que pour tout entier naturel n, U2n+2− U2n= e2n+2 [(2n+2)−e(2n+1)]
En déduire que la suite (U2n)n>0 est décroissante.
2) Montrer que la suite (U2n+1)n>0 est croissante.
3) a) Montrer que pour tout entier naturel non nul n, U2n > U2n+1
lim
b) Calculer n→+∞
(U2n − U2n+1 )
4) Montrer que la suite (Un) converge vers un réel 𝛼 et que U3< 𝛼 < U2
On considère la suite (Un) définie sur ℕ∗ par Un=  (1) k
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Exercice 4 :
On considère la suite (In) définie sur ℕ∗ par In=


4
0
(tan x )n dx
1) a) Montrer que pour tout n ∈ ℕ∗ , In ≥ 0.
b) Montrer que (In) est une suite décroissante.
c) En déduire que (In) est une suite convergente.
1
2) a) Montrer que pour tout n ∈ ℕ∗ , In+In+2= n+1
b) En déduire la limite de la suite (In).
3) Calculer I1, I2 et I4.
Exercice 5:
Dans la figure ci-contre on a représenté dans
un repère orthonormé la courbe Cf de la fonction
x
f définie par f(x)= e− 4 ainsi que la droite ∆
d’équation y=x .
1) a) Utiliser le graphique pour justifier que
l’équation f(x)=x admet dans [0,1] une
solution unique 𝛼.
b) Vérifier que 0,8< 𝛼<0,9
2) Soit (Un) la suite définie sur ℕ par :
U =1
{ 0
Un+1 = f(Un ) , n ≥ 0
a) Montrer que pour tout entier naturel n, 0≤ 𝑈𝑛 ≤1
1
b) Montrer que pour tout réel x ∈ [0,1], |f ′ (x)| ≤ 4
1
c) Montrer que pour tout entier naturel n, |Un+1 − α| ≤ 4 |Un − α|
1 n
d) En déduire que pour tout entier naturel n, |Un − α| ≤ (4)
e) Montrer que la suite (Un) est convergente vers 𝛼.
3) a) Déterminer un entier naturel n0 te que pour n ≥ n0, |Un − α| < 10−3
b) En déduire une valeur approchée de 𝛼 à 10−3 près.
Exercice 6 :
U0 = 0
Soit (Un) la suite réelle définie sur ℕ par : { Un+1 =
1) Montrer que pour tout n ∈ ℕ, 0≤ 𝑈𝑛 < 2
2) a) Montrer que pour tout n ∈ ℕ, Un+1 ≥
2
3
2(Un +1)
√U2n +5
, n∈ℕ
(1+Un)
b) Montrer que U est croissante. En déduire qu’elle est convergente.
2
3) a) Montrer que pour tout n ∈ ℕ on a : 2 − Un+1 ≤ (2 − Un)
3
2 n
b) En déduire que pour tout n ∈ ℕ on a : 2 − Un ≤ 2 (3)
c) Calculer alors la limite de U.
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4) Soit n ∈ ℕ∗ , on pose Sn=
n 1
U
k 0
k
2 n
a) Montrer que pour tout n ∈ ℕ∗ , 2n−6[1 − (3) ] ≤ Sn ≤ 2n
lim
lim
b) Calculer n→+∞
Sn et n→+∞
Sn
n
Exercice 7 :
Soit (Un) la suite réelle définie par : Un=
n
, n≥1
2 n 1
1) Montrer que (Un) est décroissante et minorée. En déduire qu’elle est convergente.
1
1
2) Montrer que pour tout n ∈ ℕ∗ , Un+1= Un + n
2
2
lim
Calculer alors n→+∞
Un
n
2
3
3) Soit pour tout n ∈ ℕ∗ , Sn= 1+ 1 + 2 +….+ n 1
2
2
2
1
a) Montrer que Sn= − Un+4(1− n ) pour tout n ∈ ℕ∗ .
2
lim
b) Déduire n→+∞ Sn .
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Probabilité et variables aléatoires
Exercice 1 :
Un magasin vend 1000 pochettes en cuir parmi lesquelles certaines sont défectueuses.
Ces pochettes sont fabriquées par trois usines U1, U2 et U3 selon le tableau suivant :
Usine U1 Usine U2 Usine U3
Nombre de pochettes
200
350
450
Pourcentage des pochettes défectueuses
5%
4%
2%
On choisit au hasard une pochette de ces 1000 pochettes et on considère les évènements
suivants :
A : « la pochette choisie est fabriqué par l’usine U1 »
B : « la pochette choisie est fabriqué par l’usine U2 »
C : « la pochette choisie est fabriqué par l’usine U3 »
D : « la pochette choisie est défectueuse »
1) a) Calculer p(A), p(B), p(C), p(D/A), p(D/B) et p(D/C)
b) Dessiner l’arbre de probabilité correspondant à cette épreuve.
c) Calculer p(D)
2) Sachant que la pochette choisie est défectueuse, quelle est la probabilité qu’elle soit
fabriquée par l’usine U1.
Exercice 2 :
Soit une urne U1 contenant 7 boules rouges et 3 boules blanches et une urne U2 contenant 2
boules rouges et 8 boules blanches.
On effectue une suite de tirages (en remettant à chaque fois la boule tirée dans son urne) de la
manière suivante : si au (n−1)ème tirage on a tiré une boule rouge alors le nème tirage s’effectue
dans U1, sinon s’effectue dans U2.
Soient les évènements suivants :
Rn : « obtenir une boule rouge au nème tirage »
A : « la boule tirée au nème tirage provient de l’urne U1 »
B : « la boule tirée au nème tirage provient de l’urne U2 »
Soit Pn la probabilité de tirer une boule rouge au nème tirage.
1) Calculer la probabilité d’obtenir au nème tirage une boule rouge sachant qu’elle provient
de l’urne U1.
2) Calculer la probabilité d’obtenir au nème tirage une boule rouge sachant qu’elle provient
de l’urne U2.
1
1
2
5
3) Montrer la relation : Pn= Pn-1 +
4) On pose Qn= Pn −
2
5
a) Montrer que Qn est une suite géométrique.
b) Sachant que le premier tirage s’effectue dans U1, calculer en fonction de n, Qn puis en
déduire Pn.
c) Trouver le plut petit entier n tel que Pn ≤ 0,99.
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Exercice 3 :
Dans une population donnée, 15% des individus ont une maladie Ma. Parmi les individus
atteints de la maladie Ma, 20% ont une maladie Mb et parmi les individus non atteints de la
maladie Ma, 4% ont la maladie Mb.
I) On prend un individu au hasard et on désigne respectivement par A et B les évènements
suivants : A : « l’individu est atteint de la maladie Ma »
B : « l’individu est atteint de la maladie Mb »
̅)
1) Donnez les valeurs de p(A), p(B/A) et p(B/ A
2) Dessinez l’arbre de probabilité correspondant à cette épreuve.
3) Calculer p(B).
4) Calculer la probabilité pour qu’un individu atteint de la maladie Mb soit aussi atteint
de la maladie Ma.
II) On prend n individus au hasard dans cette population et on désigne par X la variable
aléatoire donnant le nombre de ceux ayant la maladie Ma et la maladie Mb.
1) On suppose dans cette question que n=4
a) Donner la loi de probabilité de X.
b) Déterminer et tracer la courbe de la fonction de répartition de X.
c) Calculer l’espérance mathématique de X.
2) Calculer le nombre minimal n d’individus qu’il faut prendre pour que la probabilité
d’avoir au moins un individu atteint de la maladie Ma et la maladie Mb soit supérieure
à 0,8.
Exercice 4 :
Une petite entreprise de textile commercialise des pantalons et de chemises.
Quand un client se présente, il achète au plus un pantalon et une chemise.
1) La probabilité pour qu’un client achète un pantalon est 0,2. La probabilité pour qu’un
client achète la chemise quand il a acheté le pantalon est 0,7 et la probabilité qu’il achète
la chemise quand il n’a pas acheté le pantalon est 0,1.
On note les évènements A : « un client achète un pantalon »
B : « un client achète une chemise »
a) Construire un arbre de probabilité décrivant la situation.
b) Calculer p(B).
c) Calculer la probabilité pour qu’un client achète le pantalon quand il a acheté la
chemise.
2) Le pantalon est vendu de 125 DT et la chemise 45 DT, soit X la variable aléatoire qui
prend pour valeurs les dépenses d’un client.
a) Vérifier que l’ensemble des valeurs prises par X est {0, 45, 125, 170}
b) Déterminer la loi de probabilité de X.
c) Calculer l’espérance mathématique de X.
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Exercice 5 :
Le centre national de la transfusion sanguine a diffusé le tableau ci-dessous donnant la
répartition des groupes sanguins en Tunisie.
Groupe
A
B
AB
O
Pourcentage 31% 18% 5%
46%
I) 1) quelle est la probabilité qu’un tunisien ait un sang du groupe O ?
2) Quatre donneurs se présentent dans un centre de transfusion sanguine.
a) Quelle est la probabilité qu’un seul parmi les quatre ait un sang du groupe O ?
b) Quelle est la probabilité de trouver les quatre groupes sanguins chez ces donneurs ?
II) Indépendamment du groupe sanguin, le sang peut posséder le facteur Rhésus. Si le sang
d’un individu possède ce facteur, il est dit de Rhésus positif (Rh+), sinon il est dit de Rhésus
négatif (Rh-).
Un individu ayant un sang de groupe O et de Rhésus négatif est appelé un donneur universel.
En Tunisie, 9% des individus du groupe O sont de Rhésus négatif.
1) Montrer que la probabilité qu’un tunisien soit un donneur universel est 0,0414.
2) Dans un centre de transfusion sanguin, n donneurs se présentent. On note X la variable
aléatoire égale au nombre de donneurs universels parmi les n donneurs.
a) Déterminer la loi de probabilité de X.
b) Déterminer l’espérance mathématique de X en fonction de n.
c) Déterminer le nombre moyen des donneurs universels parmi 5000 donneurs.
Exercice 6 :
La durée d’attente exprimée en minutes à chaque caisse d’un supermarché peut être modélisée
par une variable aléatoire X qui suit une loi exponentielle de paramètre 𝜆.
1) Déterminer 𝜆 sachant que p(X≤10)= 0,7
On prendra dans la suite de l’exercice, la valeur 0,12 comme valeur approchée de 𝜆.
2) a) Calculer la probabilité pour qu’un client attend plus que 10 minute.
b) Donner une expression exacte de la probabilité p(X>15/X>10)
c) Sachant qu’un client a déjà attendu 10 minute à une caisse, déterminer la probabilité
que son attente totale ne dépasse pas 15 minute. On donnera une expression exacte,
puis une valeur approchée à 10-2 près de la réponse.
3) On suppose que la durée d’attente à une caisse de ce supermarché est indépendante de
celle des autres caisses. Actuellement 6 caisses sont ouvertes. On désigne par Y la variable
aléatoire qui représente le nombre de caisse pour lesquelles la durée d’attente est supérieure à
10 minutes.
a) Calculer p(Y=4) et p(Y=5)
b) Calculer l’espérance mathématique de Y.
c) Le gérant du supermarché ouvre des caisses supplémentaires si la durée d’attente à au
moins 4 des 6 caisses est supérieure à 10 minute. Déterminer, à 10-2 près, la probabilité
d’ouverture de nouvelles caisses.
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Exercice 7 :
Le laboratoire de physique d’un lycée dispose d’un parc d’oscilloscopes identiques.
La durée de vie en années d’un oscilloscope est une variable aléatoire noté X qui suit la loi
exponentielle de paramètre 𝜆.
Toutes les probabilités seront données à 10-3 près.
1) Sachant que p(X>10)= 0,286, montrer qu’une valeur approchée à 10-3 près de 𝜆 est
0,125.
On prendre dans la suite de l’exercice 𝜆= 0,125
2) Calculer la probabilité qu’un oscilloscope du modèle étudier ait une durée de vie
inferieure à six mois.
3) Sachant qu’un appareil a déjà fonctionne huit années, quelle est la probabilité qu’il ait
durée de vie supérieur à 10 ans.
4) On considère que la durée de vie d’un oscilloscope est indépendante de celle des autre
appareilles. Le responsable du laboratoire décide de commander quinze oscilloscopes.
Quelle est la probabilité qu’au moins un oscilloscope ait une durée de vie supérieure à
10 ans ?
5) Combien l’établissement devrait-il acheter d’oscilloscopes pour que la probabilité qu’au
moins l’un d’entre eux fonctionne plus de six ans soit supérieure à 0,999 ?
Exercice 8 :
La durée du devoir qui est entre vos mains est 2 heures.
Soit X la variable aléatoire qui prend pour valeur le temps que vous mettez pour traiter ce
devoir et qui suit une loi uniforme sur l’intervalle [0,2].
1) Quelle est la densité de probabilité de cette loi ?
2) Quelle la probabilité que vous traitez le sujet en exactement une heure ?
3) Quelle est la probabilité que vous prenez entre 1h30mn et 2h pour le traiter ?
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Statistiques
Exercice 1 :
Le tableau ci-dessous donne la production d’électricité en Tunisie, exprimée en milliards de
kWh, entre 1984 et 2009. Les rangs des années sont calculés par rapport à l’année 1980.
Année
1984 1990 1995 2000 2005
2006
2007
2008 2009
Rang de l’année Xi
4
10
15
20
25
26
27
28
29
Production Yi
37,9 213,1 279,9 358,8 395,2 401,3
416,5 420,7 427,7
1) Représenter le nuage de points associé à la série (xi , yi).
2) Déterminer les coordonnées du point moyen G de ce nuage.
3) Calculer la variance et l’écart type de X et de Y.
4) Calculer la covariance de X et Y.
5) Calculer le coefficient de corrélation linéaire de cette série statistique. Interpréter le
résultat.
6) a) Donner une équation de la droite d’ajustement affine de y en x par la méthode de
moindres carrés.
b) D’après cet ajustement, quelle serait la production d’électricité en 2013.
7) Compte tenu de l’allure du nuage de points, on choisit un ajustement logarithmique et on
modélise la production d’électricité par la fonction f définie pour tout x de [4,+∞[ par
f(x)= 197 lnx−237.
a) Calculer la production d’électricité prévisible avec ce modèle pour l’année 2013. Quelle
conclusion peut-on en tirer.
b) Résoudre dans [4,+∞[ l’inéquation f(x) ≥ 460.
c) Avec ce modèle, en quelle année peut-on prévoir que la production d’énergie dépasse
460 milliards de kWh ?
Exercice 2 :
Le tableau suivant donne l’évolution du nombre d’adhérents d’un club de rugby de 2001 à 2006
Année
2001 2002 2003 2004
2005
2006
Rang xi
1
2
3
4
5
6
Nombre d’adhérents yi
70
90
115
140
170
220
1) a) Représenter le nuage de points associé à la série (xi , yi).
b) indiquer si le nuage de points justifie la recherche d’un ajustement affine entre les
variables X et Y.
2) calculer le coefficient de corrélation linéaire de cette série statistique. Interpréter le
résultat.
3) Déterminer une équation de la droite de régression de Y en X (les coefficients seront
arrondis à 10-3 près)
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4) En supposant que cet ajustement reste valable pour les années suivantes, donner une
estimation du nombre d’adhérents en 2009.
5) On pose Z=lnY
a) Recopier et compléter le tableau suivant en arrondissant les valeurs de zi au millième.
xi
1
2
3
4
5
6
zi
4,248
b) Déterminer une équation de la droite d’ajustement de z en x obtenue par la méthode
des moindres carrés (les coefficients seront arrondies au millième).
c) En déduire y en fonction de x.
d) Donner une estimation du nombre d’adhérents en 2009.
e) En 2009, il y a eu 430 adhérents. Lequel des deux ajustements semble le plus
pertinent ? Justifier la réponse.
Exercice 3 :
Le tableau suivant donne le chiffre d’affaires en millions de dinars d’une entreprise en fin de
chaque année depuis l’an 2000 ( le rang de l’an 2000 égale à 0)
Rang de l’année xi
Chiffre d’affaires yi
On pose Z= eY
1)
2)
3)
4)
5)
0
1
1
1,5
2
1,8
3
2,5
4
2,7
5
2,9
6
2,9
7
3,1
Donner le tableau correspondant à la série statistique (xi , zi)
Calculer le coefficient de corrélation linéaire de X et Z.
Donner la droite de régression de Z en X.
Exprimer Y en fonction de X.
On suppose que l’évolution du chiffre d’affaires se poursuivra selon le modèle précédent.
Donner le chiffre d’affaires attendu pour l’année 2009.
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Equations différentielles
Exercice 1 :
On considère l’équation différentielle (E) : y’−2y= e2x
1) Vérifier que la fonction g définie sur ℝ par g(x)= x e2x est une solution de l’équation
différentielle (E).
2) Résoudre l’équation différentielle (E’) : y’−2y=0
3) Montrer que f est une solution de (E) signifie (f−g) est une solution de (E’).
4) En déduire toutes les solutions de (E).
5) Déterminer, la fonction h, solution de (E) qui vérifie h(0)=1.
Exercice 2 :
1) Résoudre l’équation différentielle (E) : 9y ′′ +𝜋²y=0
2) On désigne par f la solution particulière de (E) dont la courbe représentative, dans un
plan muni d’un repère orthonormé, passe par le point A(1,−√2) et admet en ce point
une tangente parallèle à l’axe des abscisses. Déterminer f.
π
3) Vérifier que f(x)=√2 cos[ 3 (x + 2)]
4) Calculer la valeur moyenne de f sur l’intervalle [-2,-1].
Exercice 3 :
On considère l’équation différentielle (E) : 5y’−2y= 16−4x
1) Résoudre l’équation différentielle (E’) : 5y’−2y=0
2) Soit la fonction g(x)=ax+b, où a et b deux réels. Déterminer les réels a et b pour que g
soit solution de (E).
3) Démontrer qu’une fonction f définie sur ℝ est une solution de (E) si et seulement si f−g
est solution de (E’).
4) En déduire toutes les solutions de (E).
Exercice 4 :
A l’instant t=0 (t exprimé en heures) un médecin injecte à un patient une dose de 1,4 mg d’une
substance médicamenteuse qui n’est pas présente dans le sang. Cette substance se répartit
instantanément dans le sang, ensuite elle est progressivement éliminée.
On note Q(t) la quantité de substance (en mg) présente dans le sang à l’instant t, (t ≥0).
On note que la fonction Q : t ⟼Q(t) vérifie l’équation différentielle (E) : y’+ (0,115)y=0
1) Résoudre l’équation (E).
2) a) Justifier que Q(t)= 1,4 e−0,115t
b) Donner le sens de variation de Q.
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c) Résoudre dans [0,+∞[ l’équation Q(t)=0,7 ; la solution sera arrondie à l’unité.
3) Pour une efficacité optimale de ce médicament, sa quantité présente dans le sang doit
être comprise entre 0,7mg et 1,4mg.
Expliquer pourquoi le médecin prescrit à ce patient une injection de 0,7mg chaque six
heures.
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Etude de fonction
Exercice 1 :
on a représenté dans un repère orthonormé (O, i,j) la courbe C de la fonction logarithme
népérien (« ln ») .
1) Placer les points de la courbe C d’abscisses e et √e
2) Soit f la fonction définie sur ]0, + ∞[ par f(x) = ln²x –lnx +1.
On note Cf sa courbe représentative dans le repère (O, i,j).
lim
a) Montrer que x→0
+ f(x)= +∞ et
lim
x→+∞
f(x) = +∞
f(x)
lim
b) Calculer x→+∞
.Interpréter graphiquement le résultat.
x
c) Montrer que pour tout réel x> 0, f ’(x) =
2lnx−1
x
.
d) Dresser le tableau de variation de f.
3) a) Etudier la position relative des courbes Cf et C .
b) Tracer Cf.
4) soit A l’aire de la partie du plan limitée par les courbes C et Cf et les droites d’équations x=1 et
x=e
a) Montrer que

e
1
ln ² xdx = e−2
b) Calculer A.
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Exercice 2 :
Soit (O, i,j) un repère orthonormé du plan. C est la représentation graphique de la fonction f
définie sur ℝ + par : f(x) = −
𝑥²+𝑥𝑙𝑛𝑥+𝑥
(𝑥+1)²
pour x > 0 et f(0)=0.
Le réel 𝛼 est l’abscisse du point d’intersection de la courbe Cf avec l’axe des abscisses autre que
le point O
1) a) Par lecture graphique, donner le signe de f(x).
b) Montrer que ln 𝛼 = −(𝛼 + 1)
2) On considère la fonction g définie sur [𝛼, +∞[ par g(x)=
xlnx
x+1
+1
et on désigne par Cg la courbe représentative de g dans le repère (O, i,j)
lim
lim
Montrer que x→+∞
g(x)=+∞ et que x→+∞
g(x)
x
=0
3) a) Montrer que pour tout réel x appartenant à l’intervalle [𝛼, +∞[ , g’(x)= –
f(x)
x
b) Dresser le tableau de variation de g
4) a) Montrer que g (𝛼)=1−𝛼
b) Construire alors le point de la courbe Cg d’abscisse 𝛼.
c) Tracer la courbe Cg.
5) On désigne par A l’aire (en unité d’aire) de la partie du plan limitée par les courbes Cg ,
Cf et les droites d’équations x= 𝛼 et x=1 .
a) Montrer, en utilisant une intégration par parties, que
∫α f(x)dx = −  xg ( x )  + ∫α g(x)dx
1
1
1
b) En déduire que A = 𝛼 2 − 𝛼 + 1.
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Exercice 3 :
Dans le graphique ci-dessous Γ est la courbe représentative, dans un repère orthonormé, d’une
fonction f définie sur l’intervalle [0,+∞[ et dérivable sur ]0 ,+∞[.
 Les points O, A et B appartiennent à Γ.
 La droite (AC) est la tangente à Γ au point A.
 Γ admet une branche parabolique de direction l’axe des ordonnées au voisinage de +∞.
1) Par une lecture graphique :
a) Déterminer f(0), f(2), f(2e), f ’(2) et f ’(2e).
lim
lim
b) Déterminer x→+∞
f(x) et x→+∞
f(x)
x
c) Justifier que la restriction g de f a l’intervalle [2, +∞[ admet une fonction réciproque
g −1 et préciser l’ensemble de définition de g −1 .
2) On admet que g est définie par g(x) = x(1−𝑙𝑛2 − 𝑙𝑛𝑥) , pour tout x ≥2 .
On désigne par C la courbe représentative de g et par C’ celle de g −1 dans un repère
orthonormé (O, i,j) du plan . Tracer les courbes C et C’.
3) Soit D la partie du plan limitée par les axes (O, i) et (O, j) et les courbes C et C’.
a) Hachurer D.
2e
b) Montrer, à l’aide d’une intégration par parties que ∫2 g(x) dx = e2 − 3
c) Calculer l’aire de D
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Exercice 4 :
Dans le repère orthonormé (O, i,j) ci-dessous, la courbe C représente la fonction f définie sur
]0,+∞[ par f(x)= ax+b
lnx
x
où a et b sont deux réels.
La droite D est tangente à C au point A(1,-1) et elle passe par le point B(-1,-5).
1) Déterminer, à l’aide du graphique, f(1) et f ’(1).
2) Exprimer f ’(x) en fonction de a et b.
3) Déterminer les réels a et b.
4) On admet que f(x)= −x+3
lnx
x
a) Déterminer la limite de f à droite en 0. Interpréter graphiquement le résultat.
b) Montrer que la droite ∆ :y=−x est une asymptote à C en +∞.
c) Etudier la position relative de C et ∆.
5) Calculer l’aire, en unité d’aire, de la partie du plan limitée par C, ∆ et les droites
d’équations x=1 et x=e.
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Exercice 5 :
I/ Soit g la fonction définie sur ℝ par : g(x)= e2x − 2x
1) Etudier les variations de g.
2) En déduire que pour tout réel x, on a : g(x) ≥ 1.
II/ On considère la fonction f définie sur ℝ par : f(x)= e2x − 2x²
On désigne par C la représentation graphique de f dans un repère orthonormé (O,i,j)
1) Dresser le tableau de variation de f.
2) Soit I le point de C d’abscisse 0.
a) Montrer que I est un point d’inflexion de C.
b) Déterminer une équation de la tangente (T) à C au point I.
3) Montrer que l’équation f(x)=x admet dans ℝ une solution unique 𝛼 et vérifier que
-1< 𝛼<0.
4) Soit (∆) la droite d’équation y=x
Etudier la position relatif de C par rapport à (∆).
5) a) Etudier les branches infinies de la courbe C.
b) Tracer (∆), (T) et C. (on prendra 𝛼=−0,65)
6) a) Montrer que la fonction f réalise une bijection de ℝ sur un intervalle J que l’on
précisera.
b) Tracer dans le même repère la courbe (C’) représentative de la fonction réciproque
de f.
7) On désigne par 𝒜 l’aire du domaine limité par la courbe (C), la droite (∆) et les
Droites d’équations respectives x= 𝛼 et x=0
a) Calculer 𝒜.
b) Montrer que 𝒜=
4α3 −3α²−3α+3
6
Exercice 6 :
Dans le graphique ci-dessous (C) et Γ sont les courbe représentatives, dans un repère
orthonormé (O,i,j), d’une fonction f dérivable sur ℝ et de sa fonction dérivée f ’.
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1) Par une lecture graphique :
a) Déterminer, parmi les courbe (C) et Γ, celle qui représente la fonction f ’.
b) Déterminer f(0), f ’(0) et f ’(1).
c) Dresser le tableau de variation de f.
2) On admet que la fonction f est définie sur ℝ par : f(x)=
ex
1+x+x²
a) Calculer f ’(x), pour x ∈ ℝ.
b) Montrer que pour tout x ∈ ℝ on a : f(x)−f ’(x)= f(x)
2x+1
1+x+x²
c) En déduire les coordonnées du point d’intersection des deux courbe (C) et Γ.
1
d) Montrer que pour tout x ≥ − on a : f(x)−f ’(x) ≥
2
4
2x+1
3√e 1+x+x²
3) Soit t un réel supérieur ou égal à 1.
On désigne par 𝒜(t) l’aire de la partie du plan limitée par les deux courbes (C) et Γ et les
1
droites d’équation x= − et x=t
a) Montrer que 𝒜(t)≥
2
4
3 √e
ln(1+t+t²)−
4
3√e
3
ln(4)
lim
b) En déduire t→+∞
𝒜(t)
Exercice 7 :
ex
−x+4
et g(x)= 4x ex
x
On désigne par Cf et Cg leurs courbes représentatives dans un repère orthonormé (O,i,j)
Le tableau de variations de g est donné ci-contre :
On considère les deux fonctions f et g définies sur ]0,+∞[ par : f(x)=
1) a) Etablire le tableau de variation de f
b) Etudier la position relative de Cf et Cg.
c) Justifier que Cg admet un point d’inflexion que l’on précisera.
d) Déterminer l’intersection de Cg avec l’axe des abscisses.
e) Tracer Cf et Cg.
x+1
2) Pour tout x ∈ ]0,+∞[, on pose : F(x)=∫x f(x)dx
Soit G une primitive de f sur ]0,+∞[
Montrer que F est dérivable sur ]0,+∞[ et calculer F ’(x).
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Exercice 8 :
On désigne ci-dessous par Cf la courbe représentative dans un repère orthonormé (O,i, j) d’une
fonction f définie et dérivable sur ℝ ; par Cf ’ la courbe représentative de sa fonction dérivée f ’
sur ℝ et par CF la courbe représentative de sa fonction primitive F sur ℝ.
x
1) Soit h la fonction définie sur ℝ par : h(x)= −f(x)
2
a) Ecrire une équation de la tangente T à Cf au point O.
b) Etudier le sens de variation de h. Calculer h(0) et en déduire le signe de h(x) pour
x ∈ ℝ.
c) Préciser la position relative de Cf par rapport à T. En déduire que O est un point
d’inflexion pour Cf.
d) Tracer dans le même repère la tangente T.
2) Montrer que f admet une fonction réciproque f-1.
3) Tracer dans le même repère orthonormé la courbe Cf-1 représentative de f-1.
4) a) Calculer l’aire 𝒜 en cm² du domaine D du plan hachurée.
b) En déduire l’aire en cm² du domaine D’ du plan limité par la courbe Cf-1,l’axe des
1
ordonnées et les droites d’équations y=1 et y=−1. Déduire alors ∫02 f −1 (x)dx
1
5) Soit la suite (In) définie sur ℕ∗ par : In=∫0 x n f(x)dx
a) Montrer que (In) est minoré par zéro.
b) Montrer que la suite (In) est décroissante. En déduire que (In) est convergente.
1
c) Démontrer que pour tout x ∈ [0,1] : 0≤ 𝑓(𝑥) ≤ x n
d) Montrer que pour tout n ∈ ℕ : 0≤ 𝐼𝑛 ≤
lim
e) Déduire n→+∞
In .
1
2
2n+2
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Exercice 9 :
La courbe (C) ci-dessous est la représentation graphique dans un repère orthonormé (O,i, j)
(unité 2cm) d’une fonction f continue et dérivable sur [0,+∞[.
lim
1) a) En utilisant le graphique déterminer f(0), fd′ (0) et x→+∞
f(x)
b) Etudier graphiquement la position de (C) et la droite ∆ : y=x
2) On suppose que f(x)=a+be−x où a et b sont deux réels.
Déterminer les réels a et b.
Dans la suite on prend f(x)=2(1−e−x )
3) Calculer en cm² l’aire 𝒜 de la partie du plan limité par la courbe (C) et les droites ∆, x=0 et
x=ln3.
4) Soit g la fonction définie sur [1,+∞[ par : g(x) =f(x)−x.
a) Dresser le tableau de variation de g sur [1,+∞[.
b) Montrer que l’équation f(x)=x admet dans [1,+∞[ une unique solution 𝛼 et vérifier
que 1,5<𝛼<1,6.
5) a) Montrer que f réalise une bijection de [0,+∞[ sur un intervalle J que l’on précisera.
b) Tracer la courbe de f-1 dans le même repère.
c) Expliciter f-1(x) pour x ∈ J.
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Exercice 10 :
Soit la fonction f définie sur ℝ par : f(x)=
e2x
1+e2x
et soit (C) sa courbe représentative dans un
repère orthonormé (O,i, j) (unité 2cm)
1) Dresser le tableau de variation de f.
1
2) a) Montrer que le point I(0,2) est un centre de symétrie de (C).
b) Donner une équation cartésienne de la tangente (T) à (C) au point I.
1
3) a) Montrer que pour tout réel t on a : f ’(t) ≤ 2.
1
b) Montrer que pour x ≥ 0 on a : f(x)≤ 2(x+1)
c) Déterminer alors la position de (C) par rapport à (T).
4) Tracer (T) et (C).
5) a) Montrer que f réalise une bijection de ℝ sur un intervalle J que l’on précisera.
b) Tracer dans le même repère la courbe (C’) de f-1.
c) Expliciter f-1(x) pour x ∈ J.
6) a) Calculer l’aire de la partie du plan limité par la courbe (C), l’axe des abscisses et les
droites x=0 et x=1.
e²
b) En déduire ∫01+e² ln (
x
1−x
) dx .
7) On considère la suite (In) définie pour tout entier naturel non nul n par :
0
In=∫−1
e2nt
1+e2t
dt
a) Montrer que In ≥ 0.
b) Montrer que (In)est décroissante.
c) En déduire que (In)est convergente.
d) Montrer que pour tout entier naturel non nul n , on a : In ≤
e) Trouver la limite de In.
1
2n
.
Exercice 11 :
1
Soit la fonction f définie sur ℝ par : f(x)= 2 ln(1+ e−x )
On désigne par (C) sa courbe représentative dans un repère orthonormé (O,i, j)
1
1) a) Montrer que f est dérivable sur ℝ et que f ’(x)= − 2(1+ex )
b) Etudier les variations de f.
1
1
c) Vérifier que pour tout x ∈ ℝ, f(x)= − 2 x + 2 ln(1+ ex )
1
d) En déduire que la droite ∆ : y= − 2 x est une asymptote à (C) en (−∞)
e) Etudier la position relative de (C) et ∆.
f) Tracer (C) et ∆.
2) a) Montrer que l’équation f(x)=x admet dans ℝ une solution unique 𝛼.
b) Vérifier que 0<𝛼<1.
1
3) a) Montrer que pour tout x ≥0, |f ′ (x)| ≤ 4
b) En déduire que pour tout x ≥0, |f(x) − α| ≤
1
4
|x − α|
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U =0
4) Soit la suite (Un) définie sur ℕ par : { 0
Un+1 = f(Un )
a) Montrer que pour tout n ∈ ℕ, Un ≥ 0.
1
b) Montrer que pour tout n ∈ ℕ, |Un+1 − α| ≤ |Un − α|
4
1 n
c) En déduire que pour tout n ∈ ℕ, |Un − α| ≤ (4)
lim
d) Calculer n→+∞
Un
Exercice 12 :
I/ Soit la fonction f définie sur ℝ par f(x)= ex − x
1) Dresser le tableau de variation de f.
2) En déduire que pour tout réel x, ex − x ≥ 1
II/ Dans la figure ci-contre on a représenté, dans
un repère orthonormé (O,i, j), la courbe Cg d’une
fonction g définie, continue et dérivable
Sur ]0,+∞[ .
La droite d’équation x=0 est une asymptote à la
Courbe Cg.
La courbe Cg admet une branche parabolique de
Direction (O,j) au voisinage de +∞.
1) a) Déterminer g(1), g(2) et g(3).
lim
lim
b) Déterminer x→0
+ g(x) , x→+∞ g(x)
lim
et x→+∞
g(x)
x
c) Déterminer le signe de g’(x).
2) Soit h la fonction définie sur ]0,+∞[ par h(x)= eg(x) et soit Ch sa courbe représentative.
a) Calculer h(1), h(2) et h(3).
lim
lim
b) Justifier que x→0
+ h(x)=+∞ et x→+∞ h(x)=+∞
lim
c) Calculer x→+∞
h(x)
x
et interpréter le résultat.
d) Dresser le tableau de variation de h.
3) Soit 𝛼>0, on note M et N les points des courbes Cg et Ch d’abscisse 𝛼.
a) Calculer la distance MN en fonction de g(𝛼).
b) Montrer que la distance MN est minimale lorsque 𝛼=2
4) Tracer la courbe Ch dans le repère (O,i, j).
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