Exercice

Psi 945 2016/2017
Exercices
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Variables aléatoires
1
Étude de lois
Exercice 1 (Extrait de) Centrale 2015 [2/10]
Soient X1 , X2 et X3 trois variables aléatoires mutuellement indépendantes suivant chacune une loi
géométrique G(1/2). Calculer P(X1 = X2 = X3 ).
Exercice 2 Minimum de géométriques recueil CCP
1. Soient X1 et X2 indépendantes suivant une loi géométrique G(p). On dénit Y = min(X1 , X2 ).
(a) Déterminer P(X1 = k et X2 > k).
(b) En déduire la loi de Y .
2. On suppose maintenant : X1 ,→ G(p1 ) et X2 ,→ G(p2 ). Donner la loi de min(X1 , X2 ).
3. Généraliser au minimum de k variables indépendantes suivant des lois géométriques.
Exercice 3 ENSEA 2015 [4/10]
Soient p ∈]0, 1[, q = 1 − p, et X1 , ..., XN des variables aléatoires mutuellement indépendantes suivant
toutes une loi géométrique de paramètre p.
1. Calculer, pour 1 6 i 6 N et n ∈ N∗ : P(Xi 6 n).
2. Soit Y = Max(X1 , ..., XN ). Calculer P(Y 6 n) puis P(Y = n).
3. Montrer que Y a une espérance.
Exercice 4 TPE 2016 [4/10]
Soient p ∈]0, 1[, q = 1 − p, ainsi que X et Y deux variables aléatoires indépendantes à valeurs dans N
telles que :
∀k ∈ N,
P(X = k) = P(Y = k) = pq k
On dénit alors U = Max(X, Y ) et V = min(X, Y ).
1. Donner la loi conjointe de (U, V ), puis les lois marginales de U et V .
2. U et V sont-elles indépendantes ?
3. On introduit la variable aléatoire S = U + V . Déterminer sa loi. Possède-t-elle une espérance ?
Exercice 5 Loi du deuxième événement
On s'intéresse aux rang X (respectivement Y ) de premier (respectivement deuxième) succès d'une expérience de Bernoulli : les Ei (i > 1) sont indépendantes et suivent une loi B(p), X(ω) est le plus petit
i > 1 tel que Ei (ω) = 1 et Y (ω) est le plus petit i > X(ω) tel que Ei (ω) = 1.
1. Vérier que X et Y sont dénies sur des parties Ω1 et Ω2 qui sont des événements de probabilité
1.
2. Rappeler la loi de X .
3. Établir la loi de Y .
4. Comparer E(X) et E(Y ). Pour calculer E(Y ), on pourra calculer GY (t).
Exercice 6 TPE 2016 [4/10]
Soit p ∈]0, 1[. Les variables aléatoires (Xn )n∈N∗ sont indépendantes et de même loi :
P(Xn = 1) = 1 − p et P(Xn = −1) = p
∀n ∈ N∗ ,
On dénit par ailleurs, pour n ∈ N : Zn =
∗
n
Y
Xk .
k=1
1
1. Calculer E(Zn ) puis la limite de cette espérance lorsque n tend vers +∞.
2. Donner la loi de Zn .
3. À quelle conditions Z1 et Z2 sont-elles indépendantes ?
Exercice 7 ENSAM 2016 [4/10]
Soit (X, Y ) un couple de variables aléatoires telles que :
∀(j, k) ∈ N,
1. Calculer, pour k ∈ N, σk =
+∞
P
P(X = j et Y = k) = a(j + k)
(j + k)
j=0
2. Calculer
+∞
P
1 j+k
3
j+k
1
3
·
σk et en déduire la valeur de a.
k=0
3. Calculer les lois marginales de X et de Y .
4. X et Y sont-elles indépendantes ?
5. Calculer P(X = Y = k).
Exercice 8 Centrale 2016 [4/10]
On considère une suite (Xn )n∈N de variables aléatoires mutuellement indépendantes et suivant toutes
une loi de Bernoulli de paramètre 1/2. On pose Yn =
n
P
k=1
kXk et an =
n(n + 1)
·
2
1. Calculer l'espérance et la variance de Xn . Quelles sont les valeurs prises par Yn ?
2. Montrer : P(Yn = K) = P(Yn = an − K).
L'examinateur m'a complimentée pour mon sens des probabilités ; il devait être sourd et aveugle ! Exercice 9 Mines-télécom 2016 [4/10]
Soit X une variable aléatoire à valeurs dans N de fonction génératrice GX : t 7→
1. Calculer l'espérance et la variance de X .
2. Déterminer la loi de X puis celle de
2
1
·
2 − t2
X
·
2
Loi de Poisson
Exercice 10 Petites mines 2015 [2/10]
Montrer de deux manières diérentes que la somme de deux variables aléatoires indépendantes suivant
des lois de Poisson... suit elle-même une loi de Poisson.
Exercice 11 CCP 2015 et 2016 (deux fois) [4/10]
N désigne le nombre d'électrons produits dans une réaction : N ,→ P(λ). Les électrons sont ecaces dans
une proportion 1 p ∈]0, 1[, et X (respectivement Y ) désigne le nombre d'électrons ecaces (respectivement
inecaces).
1. Donner la loi de X sous la condition N = j .
2. Donner la loi conjointe de (X, N ).
3. Donner la loi de X , son expérience et sa variance.
4. Les variables X et Y sont-elles indépendantes ?
5. Quel est le signe de la covariance de X et N ?
1. J'imagine qu'il faut comprendre avec une probabilité .
2
Exercice 12 CCP 2016 [4/10]
Le nombre N d'enfants d'une famille suit une loi de Poisson P(λ). Lors d'une naissance, la probabilité
pour que l'enfant (il n'y a jamais de jumeaux, merci...) soit une lle est de p. Les sexes des diérents
bébés sont indépendants. On note respectivement X et Y les nombres de lles et de garçons.
1. Déterminer la loi conjointe de (N, X).
2. Déterminer les lois de X et de Y .
3. (Extension probable :) Montrer que X et Y sont indépendantes.
Exercice 13 Poisson vs. Poisson
On suppose X et Y indépendantes suivant des lois de Poisson : X ,→ P(λ) et Y ,→ P(µ). Déterminer la
loi conditionnelle de X lorsque la somme X + Y a une valeur xée.
Bon, j'ai laissé l'exercice précédent pour vous convaincre que les exos faits hors récolte peuvent avoir
un certain intérêt...
Exercice 14 CCP 2016 [4/10]
Soient X et Y indépendantes et suivant des lois de Poisson de paramètres respectifs λ et µ.
1. Quelle est la loi de Z = X + Y ?
2. Déterminer P(X = k | Z = n).
3. Reconnaître la loi de X sous condition Z = n.
Exercice 15 Poisson vs. binomiale recueil CCP
Soient X et Y deux variables dénies sur l'espace probabilisé (Ω, A, P). On suppose : Y ,→ P(λ),
X(Ω) = N), et pour tout m ∈ N, la loi de X sachant que Y = m est B(m, p).
Déterminer la loi de X .
Exercice 16 Poisson vs. mystère
Soit X une variable aléatoire suivant une loi géométrique G(p), avec p ∈]0, 1[. On considère une variable
aléatoire Z à valeurs dans N telle que pour tout k ∈ N, la loi conditionnelle de Z sous la condition X = k
est uniforme dans [[0, k − 1]].
1. Calculer, pour (j, k) ∈ N × N∗ , P(Z = j | X = k).
2. Déterminer la loi de Z (sans chercher à calculer/simplier la somme obtenue).
3. Calculer E(Z).
On s'autorisera (après avoir fait un dessin) une interversion à la sauvage
+∞
P +∞
P
j=1 k=j+1
=
+∞
k
P P
...
k=2 j=1
Exercice 17 CCP 2016 [5/10]
On suppose que X suit une loi de Poisson P(λ), avec λ > 0.
1. Montrer : P(X 6 n) =
1
n!
Z
+∞
xn e−x dx.
λ
2. En déduire un équivalent simple de un =
Z
+∞
xn e−x dx lorsque n tend vers +∞.
λ
3. Soit GX la fonction génératrice de X . Calculer GX (1) et GX (−1).
4. En déduire la probabilité que X prenne une valeur paire.
5. Soit Y suivant une loi uniforme sur [[1, 2]], indépendante de X . Quelle est la probabilité pour que
XY soit un entier pair ?
Exercice 18 Centrale 2016 (deux fois) [3/10]
Soit X une variable aléatoire à valeurs dans N.
1. Rappeler la dénition de la fonction génératrice d'une telle variable aléatoire.
Dans la suite, on suppose : X ,→ P(λ).
Donner la valeur de GX (t).
3
2. Montrer :
∀t > 1 ∀a ∈ R,
3. En déduire : P(X > 2λ) 6
P(X > a) 6
GX (t)
·
ta
e λ
4
4. Comparer avec une majoration obtenue via l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev.
Exercice 19 CCP 2016 [3/10]
On suppose : X ,→ P(λ) avec λ ∈]4, 5[.
P
P(X = n + 1)
et en déduire la convergence de la série un .
P(X = n)
2. Pour quel n aura-t-on P(X = n) maximale ?
1. Calculer un =
3
Diverses modélisations
Exercice 20 TPE 2015 [7/10]
Alice et Bob jouent aux dés (parfaitement équilibrés).
Alice commence à jouer en lançant deux dés en même temps. Si la somme des dés est > 9, alors
elle gagne ; sinon la main passe à Bob.
Quand Bob joue, il lance deux dés et gagne si la somme est 6 6 ; sinon la main repasse à Alice.
1. Quelle est la probabilité pour qu'Alice (respectivement Bob) gagne à son premier coup ?
2. Quelle et la probabilité pour qu'Alice gagne ?
3. La partie peut-elle être innie ?
Exercice 21 Voisinages bicolores [7/10]
On dispose de b boules blanches et de r boules rouges disposées sur une droite, à des emplacements notés
1, 2, ..., n = b + r. On note N le nombre d'indices i ∈ [[1, n − 1]] tels que les boules aux places i et i + 1
sont de couleur distinctes.
Donner l'espérance de N .
Exercice 22 Minettes 2015 [4/10]
Une urne contient 2n boules. n boules sont numérotées 0, et les autres de 1 à n. On prend une poignée
de n boules dans l'urne. Si k ∈ [[1, n]], on note Uk la variable aléatoire égale à 1 si la boule numérotée k
est dans la poignée, et 0 sinon.
1. Déterminer la loi de Uk . Donner son espérance et sa variance, puis calculer Cov(Ui , Uj ) pour i 6= j .
2. Que représente N = U1 + · · · + Un ? Calculer son espérance et sa variance.
3. Soit S la variable aléatoire égale à la somme des numéros des boules présentes dans la poignée.
Exprimer S en fonction des Uk .
4. Donner une expression de Z le nombre de boules numérotées 0 présentes dans la poignée. Calculer
son espérance et sa variance.
Exercice 23 Mines 2015 [5/10]


0 1 0 0
0 0 1 0

1. Diagonaliser la matrice J = 
0 0 0 1
1 0 0 0
2. Soit ABCD un carré sur lequel on se déplace comme suit :
si on est en A à l'étape n, alors à l'étape n + 1 on est en B avec probabilité 1/2, D avec
probabilité 1/3, et on reste en A avec probabilité 1/6 ;
si on est en B à l'étape n, alors à l'étape n + 1 on est en C avec probabilité 1/2, A avec
probabilité 1/3, et on reste en B avec probabilité 1/6 ;
4
si on est en C à l'étape n, alors à l'étape n + 1 on est en D avec probabilité 1/2, B avec
probabilité 1/3, et on reste en C avec probabilité 1/6 ;
si on est en D à l'étape n, alors à l'étape n + 1 on est en A avec probabilité 1/2, C avec
probabilité 1/3, et on reste en D avec probabilité 1/6.
On note an la probabilité d'être en A à l'étape n. Montrer que (an )n∈N converge, et déterminer
sa limite.
Exercice 24 Centrale 2015 [4/10]
Trois individus jouent à la balle :
Le joueur A envoie la balle à B avec probabilité 1/3 et à C avec probabilité 2/3.
Le joueur B envoie la balle à A avec probabilité 1/3 et à C avec probabilité 2/3.
Le joueur C envoie la balle à B avec probabilité 1/3 et à A avec probabilité 2/3.
On note An l'événement A reçoit la balleà l'issu 
du n-ème lancer, et on dénit de la même façon les
P(An )
événements Bn et Cn . On note enn Xn = P(Bn )
P(Cn )
1. Trouver une matrice M ∈ M3 (R) telle que pour tout n ∈ N∗ , Xn+1 = M Xn .
2. Montrer que la suite (Xn )n∈N converge.
Exercice 25 Des boules, et trois compartiments recueil CCP
On dispose de n boules numérotées de 1 à n et d'une boîte formée de trois compartiments identiques
numérotés de 1 à 3.
On lance simultanément les n boules. Elles viennent se ranger aléatoirement, et de façon indépendante,
dans les trois compartiments (chaque compartiment pouvant contenir jusqu'à n boules, donc).
On note X la variable aléatoire qui à chaque expérience associe le nombre de compartiments restés vides.
1. Préciser les valeurs prises par X .
2. Déterminer P(X = 2).
3. Finir de déterminer la loi de probabilité de X .
4. Calculer E(X).
Exercice 26 Politique nataliste
Dans un village/une région/une ville/un pays, les couples font des enfants tant qu'ils n'ont pas eu de
garçon 2 . À chaque naissance, la probabilité d'avoir une lle (resp. un garçon) est de 1/2 (on exclut les
naissances de jumeaux, qui compliquent la vie !).
1. Déterminer les lois du nombre d'enfants (E ), de lles (F ) et de garçons (G) par couple.
2. Déterminer les espérances des trois variables aléatoires E , F et G.
3. Déterminer l'espérance de la proportion (par couple) du nombre de garçons dans l'ensemble des
enfants, c'est-à-dire E(1/E).
Exercice 27 Problème à l'enregistrement
Une compagnie aérienne après avoir noté que pour 5% des billets vendus, le client ne se présente pas
à l'enregistrement décide de vendre jusqu'à 104 billets par avion ayant 100 sièges.
1. Quelle est la probabilité pour qu'il y ait un problème de surbooking (au moins 101 clients se
présentent) lorsque les 104 billets sont eectivement vendus ?
2. Si un passager est en surbooking, la compagnie lui rembourse son billet trois fois. Est-elle gagnante
en moyenne avec cette politique de surbooking ?
Exercice 28 Singe dactylographe
Soient A un ensemble ni de cardinal n. On se donne par ailleurs deux entiers r et m tels que 0 < r 6 m,
et a = (a1 , ..., ar ) ∈ Ar .
Soient X1 , ..., Xm des variables aléatoires mutuellement indépendantes suivant une loi uniforme sur A.
On s'intéresse à la variable aléatoire N donnant le nombre d'indices k ∈ [[1, m − r + 1]] tels que
∀i ∈ [[1, r]],
Xk−1+i = ai .
2. Après quoi ils n'ont plus de temps, d'énergie, de volonté pour faire d'autres enfants !
5
1. Justier le nom de l'exercice !
2. Calculer l'espérance de N .
On pourra faire intervenir les fonctions caractéristiques Yk des événements ∀i ∈ [[1, r]], Xk−1+i =
ai .
Exercice 29 Problème d'ascenseur
On se donne m et n dans N∗ . On munit l'ensemble E des applications de [[1, m]] dans [[1, n]] de la
probabilité uniforme . Pour f ∈ E , on dénit X(f ) le cardinal de f ([[1, m]]).
Calculer E(X).
C'est l'espérance du nombre d'arrêts d'un ascenseur amenant m personnes à leur étage, dans un immeuble
à n étages.
Exercice 30 Central 3 2015 [9/10]
Les joueurs A et B jouent au tennis, et chaque point est remporté par A avec probabilité p ∈]0, 1[.
Quelle est la probabilité que A remporte un jeu donné ?
Et un set ? Et le match ?
Cet exercice ne serait pas posé sans des indications/étapes. Essayez tout de même d'en faire quelque
chose !
Exercice 31 CCP 2016 [3/10]
1
Dans un casino, un joueur tire un nombre N ∈ N∗ , avec P(N = n) = n · Si N est pair alors il gagne N
2
jetons et sinon il perd N jetons.
1. Quelle est la probabilité de gagner ?
2. Quelle est l'espérance de gain ?
Exercice 32 Mines 2016 [8/10]
Un institut de sondage appelle n personnes par vagues successives : à chaque vague, il rappelle tous ceux
n'ayant pas déjà répondu. On note Xk le nombre de personnes répondant au k-ème appel ; on a donc
0 6 Xk 6 n − (X1 + · · · + Xk−1 ).
À chaque appel, une personne répond avec probabilité p ∈]0, 1[ constante.
1. X1 et X2 sont-elles indépendantes ?
2. Déterminer les lois de X1 et X2 .
3. Donner la loi de Xk .
4. De façon indépendante de ce qui précède, déterminer la loi de Yk = X1 + · · · + Xk .
5. Vérier la cohérence à l'aide des espérances.
4
Plus théoriques
Exercice 33 Centrale 2015 et 2016 [4/10]
Soient X1 , .., Xn desvariables de Bernoulli (de même paramètre p ∈]0, 1[) mutuellement indépendantes.
X1
 .. 
On pose U =  .  et M = U t U .
Xn
1. Déterminer la loi de rg(M ) et de tr(M ).
2. Quelle est la probabilité que M soit une matrice de projection ?
1
3. On suppose n = 2, on note V =
et S = V M t V . Déterminer E(S) et Var(S).
1
3. Mouais...
6
Exercice 34 ENSAM 2016 [4/10]
Soient X1 , .., Xn des variables de Bernoulli
(de mêmeparamètre p ∈]0, 1[) mutuellement indépendantes.

X1

On xe P ∈ GLn (R), on dénit D = 
(0)
..
(0)

 et M = P DP −1 .
.
Xn
1. Déterminer la loi et l'espérance de tr(M ) puis det(M ) et enn rg(M ).
2. Déterminer la probabilité pour que les sous-espaces propres de M soient de même dimension.
(
1 si j = i + 1
3. Soit N ∈ Mn (R) telle que Ni,j =
0 sinon
Quelle est la probabilité pour que N + D soit diagonalisable ?
Exercice 35 CCP 2015 (PC) [6/10]
Soient Xi,j (pour 1 6 i, j 6 3) des variables aléatoires mutuellement indépendantes et de même loi :
P(Xi,j = −1) = P(Xi,j = 1) = 1/2.
On pose A = ((Xi,j ))16i,j63 ∈ M3 (R) et D = det(A).
1. Calculer l'espérance et la variance de D.
2. Généraliser en dimension n.
Exercice 36 Corrélation constante [8/10]
Soient ρ ∈] − 1, 1[ et X1 , ..., Xn des variables aléatoires de variances égales et telles que pour tout (i, j)
tel que i 6= j , le coecient de corrélation de (Xi , Xj ) vaut ρ. Montrer :
ρ>−
1
,
n−1
avec égalité si et seulement si X1 + · · · + Xn est déterministe .
Exercice 37 Mines 2015 [8/10]
On note Cn,p (respectivement SCn,p l'ensemble des suites croissantes (respectivement strictement croissantes) de p éléments de [[1, n]].
1. Déterminer le cardinal de SCn,p .
2. Montrer que l'application
Φ : (u1 , ..., up ) ∈ Cn,p 7−→ (u1 , u2 + 1, u3 + 2, ..., up + (p − 1))
établit une bijection entre Cn,p et SCn+p−1,p .
3. On eectue p tirages successifs avec remise de n jetons numérotés de 1 à n. Estimer la probabilité
pour que la suite obtenue soit :
croissante ;
strictement croissante ;
monotone ;
strictement monotone.
4. Même chose avec un tirage sans remise ! C'était l'énoncé rapporté... mais dont je doute.
Exercice 38 Points xes d'une permutation
On munit Ω = Sn de la probabilité uniforme (P(A) = |A| /n!) et on s'intéresse au nombre moyen E(X)
de points xes d'une permutation σ :
∀σ ∈ Sn ,
X(σ) = Card ({i ∈ [[1, n]] ; σ(i) = i}) .
On dénit par ailleurs, pour i ∈ [[1, n]], Xi la fonction caractéristique de l'événement σ(i) = i :
∀σ ∈ Sn ,
(
1 si σ(i) = i
Xi (σ) =
0 sinon
7
1. Montrer : E(X1 ) = P(σ(1) = 1) =
1
·
n
2. Exprimer X à l'aide des Xi et en déduire l'espérance de X .
3. Calculer la variance de X .
Exercice 39 Nombre d'inversions d'une permutation
En adaptant la méthode vue dans l'exercice précédent, déterminer le nombre moyen d'inversions d'une
permutation, c'est-à-dire les couples (i, j) tels que i < j et σ(i) > σ(j).
C'est entre autres le nombre d'échanges dans un tri-bulle de ce tableau...
Exercice 40 Un minimum
Soit X une variable aléatoire admettant un moment d'ordre 2 (bref : une variance). Montrer que pour
tout réel m, on a :
Var(X) 6 E (X − m)2 .
Exercice 41 ISUP 2016 [4/10]
On suppose que X suit une loi B(n, p). Déterminer
inf{E((X − t)2 ) | t ∈ R}
Exercice 42 TPE 2016 [2/10]
Soit (Xn )n∈N une suite de variables aléatoires possédant chacune une espérance. On suppose : E(Xn ) −→ 0.
n→+∞
Prouver :
P(Xn = 0) −→ 1
n→+∞
Exercice 43 CCP 2016 [6/10]
Soit (Xn )n∈N une suite de variables aléatoires indépendantes, avec pour tout n ∈ N : Xn ,→ B(pn ). On
suppose :
Pn =
Montrer :
∀ε > 0,
5
p1 + p2 + · · · + pn
−→ p.
n→+∞
n
X1 + X2 + · · · + Xn
P − p > ε −→ 0
n→+∞
n
Indications, solutions
Exercice 1 : décomposition en événements disjoints, puis indépendance :
+∞
X
P(X1 = X2 = X3 = k) =
k=1
+∞
X
P(X1 = k)P(X2 = k)P(X3 = k) =
k=1
1
·
7
Exercice 2 : P(X1 = k et X2 > k) = p(1 − p)2k−1 puis Y ,→ G(1 − (1 − p)2 ). Pour le cas général,
on trouvera : G (1 − (1 − p1 )...(1 − pk )).
Exercice 3 : P(Xi 6 n) =
n
P
qpk−1 = q(1 + · · · + pn−1 ) = 1 − pn . Autre point de vue (si on se
k=1
souvient de l'origine des lois géométriques) : c'est la probabilité du complémentaire de l'événement
sur les n premiers tirages mutuellement indépendants d'une B(p), on a eu n échecs . Ensuite, le
point crucial est que Y 6 n si et seulement si chaque Xi est majoré
ces événements
P par n, etn que
sont mutuellement indépendants. Pour nir, la convergence de
n (1 − p )N − (1 − pn−1 )N )
n>1
ne pose pas de problème, le terme général étant une combinaison linéaire de termes de la forme
npkn avec k > 0.
Exercice 4 : ben... ça ressemble pas mal à ce qui précède, non ? Pour S = U + V , on peut noter
que S 6 2U , donc S possède une espérance !
8
Exercice 5 : bien entendu, X ,→ G(p). Ensuite, P(Y = k) = (k − 1)(1 − p)k−2 p2 . J'obtiens
2
p 2 t2
puis E(Y ) = G0Y (1) = = 2E(X), ce qui est assez raisonnable...
(1 − (1 − p)t)2
p
Exercice 6 : évidemment, E(Zn ) = (1 − 2p)n −→ 0. Il s'agit ensuite d'évaluer la probabilité pour
GY (t) =
n→+∞
qu'il y ait un nombre pair de k tels que Xk = −1 (CNS pour avoir Zn = 1). Enn, je trouve
P(Z1 = 1 et Z2 = 1) = P(Z1 = 1)P(Z2 = 1) si et seulement si (1 − p)((1 − p)2 + p2 ) = (1 − p)2 , ce
qui donne la condition nécessaire d'indépendance : p = 1/2 ; etc.
Exercice 7 : magie et mystère des suites géométriques et séries entières. On pourra faire intervenir,
pour x < 1 :
!
+∞
X
nxn−1 =
n=1
∞
X
suivent la même loi, donc Yn et Yn0 aussi...
1
2
+∞
P
n=0
1 2n
2n t ...
=
n=0
Exercice 8 : si on pose Xk0 = 1 − Xk et Yn0 =
Exercice 9 : GX (t) =
0
xn
n
P
k=1
1
···
(1 − x)2
kXk0 = an −
n
P
kXk = an − Yn , alors Xn et Xn0
k=1
Je trouve E(X) = G0X (1) = 2 et Var(X) = G00X (1) + G0X (1) −
G0X (1)2 = 8, ce qui est cohérent avec le fait que 1 +
suit une loi G(1/2).
Exercice 10 : le cours propose deux méthodes... Par calcul direct en conditionnant la valeur de la
somme sur la valeur de la première variable, et par fonctions génératrices.
Exercice 11 : à N = j xé, le nombre d'électrons qui vont être ecaces suit une loi binomiale
B(j, p), donc :
P(X = i) =
X
2
+∞
X
(pλ)i
·
P(N = j) P(X = i | N = j) = · · · = e−pλ
{z
}
|
i!
j=i
j
=( i )pi q j−i
Finalement, X ,→ P(pλ) (puis E(X) = pλ). Ce qu'on constate par le calcul, c'est que contre
l'intuition naturelle, X et Y sont indépendantes. L'intuition ne ment par contre pas : Cov(X, N ) >
0 (elle se calcule même assez bien).
Exercice 12 : c'est presque le même que ce qui précède !
P(X = k et Y = i − k)
Exercice 14 : P(X = k | X + Y = i) =
, ce qu'on peut facilement calculer
P(X + Y = i)
car X et Y sont indépendantes, donc X + Y ,→ P(λ + µ)et P(X = k et Y = i − k) = P(X =
λ
k)P(Y = i − k). On trouve nalement une loi binomiale B i, λ+µ
·
λ
Exercice 13 : on trouvera comme toujours une loi binomiale B n, λ+µ
Exercice 15 : on part de P(X = k) =
Après calcul : X ,→ P(pλ)
Exercice 16 : P(Z = j) =
+∞
P
+∞
P
m=0
P(X = k et Y = m) =
+∞
P
P(Y = m)P(X = k | Y = m)...
m=0
P(X = k)P(Z = j | X = k) = p
k=1
q k−1
· Après un dessin,
k=j+1 k
P
+∞
P
on est convaincu du caractère raisonnable de l'interversion des deux symboles
q
nalement : E(Z) = ·
, et on trouve
2p
Exercice 17 : intégrations par parties successives... Bon, pour obtenir l'équivalent n!, on pouvait
se contenter de noter que x 7→ xn e−x est croissante sur [0, λ] (dès que n > λ), donc l'intégrale sur
[0, λ] est majorée par λ.λn e−λ , qui est négligeable devant l'intégrale sur [0, +∞[, à savoir n!... Je
trouve 43 + 14 e−2λ pour la dernière question, et les cas limites me laissent penser que cette formule
est raisonnable (hop : plus deux points au candidat qui balance ce genre de considérations après
le calcul...).
Exercice 18 : pour la première inégalité, et puisque t > 1 implique tn > ta pour n > a, on a :
GX (t) =
∞
X
n=0
P(X = n)tn >
X
P(X = n)ta = ta
n>a
X
n>a
9
P(X = n) = ta P(X > a).
Pour la deuxième, le minimum de t 7→ t − 1 − 2 ln(t) est pris en 2...
Exercice 19 : P(X = n + 1) < P(X = n) quand λ < n + 1 (i.e. n > 4) et P(X = n + 1) > P(X = n)
quand n 6 3, donc le maximum est pris en 4.
5+4+3+2+1
4+3+2+1
, PB,1 = (1 − PA,1 )
, la probabilité pour
Exercice 20 : PA,1 =
36
36
que ce soit ni après un tour vaut PF,1 = PA,1 + PB,1 , et la probabilité pour que ce soit ni
en au plus k tours vaut 1 − (1 − PF,1 )k −→ 1. Enn, la probabilité que Alice gagne vérie
k→+∞
PA = PA,1 + (1 − PF,1 )PA ...(
1 si les boules i et j sont de couleurs distinctes
Exercice 21 : on note Xi =
0 sinon
puis on déroule !
Exercice 22 : les Uk sont évidemment des Bernoulli de paramètre p = P(Uk = 1) =
Ensuite, E(Ui Uj ) = P(Ui = Uj = 1) =
2n−2
n−2
2n
n
2n−1
n−1
2n
n
·
···
1
6
1
1
3
2
1 1
1
diagonalisable car J l'est (sur C : J 4 = I ...). Les valeurs propres de M sont donc les + λ + λ3
6 3
2
avec λ décrivant Sp(J) = {1, i, −1, −i}. Les valeurs propres autres que 1 ont un module strictement
plus petit que 1, etc...


0 1/3 2/3
Exercice 24 : il est certainement question de M = 1/3 0 1/3 qui est stochastique (atten2/3 2/3 0
tion : par colonnes !) et possède donc 1 comme valeur propre (pourquoi au fait ?). Une étude du
polynôme caractéristique nous montre qu'il possède une racine dans ] − 1, −1/2[ et une autre dans
] − 1/2, 0[...
n
n 2
1
1
Exercice 25 : X(Ω) = {0, 1, 2}, P(X = 2) = n−1 , P(X = 1) = 3
−2
·
3
3
3
1 1
1
Exercice 26 : bien entendu, G est constante égale à 1. Pour k ∈ N, P(F = k) = k = k+1
2 2
2
1
(F + 1 ,→ G(1/2)) et pour k > 1, P(E = k) = P(F = k − 1) = k (E ,→ G(1/2)). On en déduit :
2
E(G) = 1, E(F ) = 1/(1/2) − 1 = 1 : il y a en moyenne une lle et un garçon par foyer ; et donc
deux enfants en moyenne : E(E) = 2. Par contre,
Exercice 23 : la matrice décrivant ce processus de Markov est I + J + J 3 , qui est évidemment
E(1/E) =
k
+∞
X
1 1
= − ln(1 − 1/2) = ln 2.
k 2
k=1
Après avoir été un peu surpris, il n'y a rien de choquant à ce que la moyenne des inverses ne soit
pas égale à l'inverse de la moyenne !
Exercice 27 : le nombre N de voyageurs se présentant à l'embarquement suit une loi binomiale
B(104, p) avec p = 0, 95. La probabilité pour qu'il y ait un problème P est donc :
104 X
104 k
P(P ) =
p (1 − p)n−k
k
k=101
>>> p=0.95
>>> sum(binome(104,k) * p**k * (1-p)**(104-k) for k in range(101,105))
0.23079514316298155
La probabilité pour qu'il y ait du surbooking est donc de plus de 20%. Cela va coûter de l'argent
à la compagnie aérienne. Mais si elle ne fait pas de surbooking, l'espérance du nombre de passager
est de 95, donc elle perd en moyenne le prix de 5 billets qu'elle aurait pu vendre en surbooking
(elle encaisse 100 billets, mais aurait pu en encaisser 105 !). Quelle est la somme déboursée pour
rembourser les surbookés ?
10
>>> 3*sum((k-100) * binome(104,k) * p**k * (1-p)**(104-k) for k in range(101,105))
1.1088004127149156
En moyenne, la compagnie perd donc le prix d'un billet... mais en a encaissé 4 de plus par rapport
à la politique sans surbooking. Elle est donc gagnante !
m−r+1
P
m−r+1
·
2r
k=1
On aura noté qu'on a seulement utilisé la linéarité de l'espérance : les variables Yk ne sont cer-
Exercice 28 : chaque Yk suit une loi B(1/2r ), et N =
Yk , donc E(N ) =
tainement pas indépendantes !
Quand m tend vers +∞, on voit que le singe va réussir à écrire (autant de fois que l'on souhaite)
un traité complet de probabilités, ou une
( biographie inédite de Nabilla.
Exercice 29 : relier X(f ) aux Xi (f ) =
1
0
si i ∈ f ([[1, m]])
sinon
Exercice 30 : observer le graphe suivant, prendre un air surpris puis pensif puis intelligent.
p
40/0
p
p
p
0/0
15/0
1-p
p
40/15
p
1-p
1-p
p
1-p
p
1-p
p
0/15
30/0
1-p
15/15
30/15
1-p
1-p
p
15/30
p
30/30
15/30
1-p
1-p
0/40
p
p
40/30
1-p
1-p
p
A
p
p
p
Ég
Av. A
1-p
1-p
30/40
p
15/40
1-p
1-p
Av. B
1-p
B
1-p
Plus précisément, on évalue d'abord facilement les probabilités pour que le score passe par les
scores simples (ceux par lesquels on ne passe au plus qu'une fois). Ensuite, on peut évaluer la
probabilité pour qu'on passe au moins une fois par une égalité. Sous cette hypothèse, on évalue
les probabilités de passage aux diérents scores après n coups supplémentaires grâce au graphe
suivant :
n  
0
0
1
0
p
0 
  
 
0 1 − p
 0
1
0  0
0
1
0
Exercice 31 : je trouve respectivement 1/3 et −2/9.
Exercice 32 : Xk ,→ B(n, q k−1 p) (conditionner selon Xk−1 ...). On peut évaluer Yk en pensant à la

0
1 − p

et au calcul de 
 p
 0
0
p
0
0
0
0
1−p
0
0
0
0
11
probabilité, pour une personne donnée de n'avoir jamais répondu au téléphone ; on trouve ainsi :
Yk ,→ B(n, 1 − q k )
Exercice 33 : cette matrice est de rang 1... sauf si elle est nulle ! Par ailleurs, M 2 = (trM )M ...
Enn, S = X1 + 2X1 X2 + X2 (oui, les carrés disparaissent...), donc les calculs sur des Bernoulli
doivent être accessibles.
Exercice 34 : rg(M ) = tr(M ) ,→ B(n, p), det(M ) ,→ B(pn ). Les sous-espaces propres ont même
dimension si et seulement sion a tiré autant de 0 que de 1, ce qui est impossible si n est impair, et
n
arrive avec probabilité n/2
(p(1 − p))n/2 si n est pair. Enn, le spectre de D + N est celui de N ,
donc est inclus dans {0, 1}, donc N + D est diagonalisable si et seulement si (N + D)2 = N + D...
ce qui est impossible (poser le début du calcul, plutôt que de faire ces yeux ronds en lisant ce
corrigé !).
Exercice 35 : surprenant mais nalement pas si dicile ! Commencer par la dimension 2 pourrait
être malin. En développant par rapport à une colonne (ou une ligne) on voit rapidement que
l'espérance est nulle. Ce même développement passé au carré permet d'obtenir l'espérance du
carré, qui vaut n fois celle au rang précédent, donc nalement n!.
Exercice 36 : centrer via Xi0 = Xi − E(Xi ), puis considérer E (X10 + · · · + Xn0 )2 .
Exercice 37 : se donner une suite
strictement croissante, c'est se donner l'ensemble des valeurs
prises ! On a donc |SCn,p | = np .
Exercice 38 : chaque Xi suit une loi de Bernoulli de paramètre p = P(σ(i) = i) =
nombrement), or X =
E(X) =
n
P
n
P
1
(dén
Xi , donc, même si ces variables ne sont pas indépendantes, on a :
i=1
E(Xi ) =
k=1
n
= 1.
n
Exercice 39 : si on dénit cette fois, pour 1 6 i < j 6 n, Xi,j la fonction
caractéristique de
P
l'événement σ(i) > σ(j) , alors le nombre moyen d'inversions vaut
E(Xi,j ). Or, à (i, j)
16i<j6n
xé, on peut mettre en bijection les permutations de [[1, n]] vériant σ(i) > σ(j) avec celles vériant
σ(i) < σ(j). On a donc E(Xi,j ) = 1/2, et le nombre moyen d'inversions d'une permutation est
n(n + 1)
donc de
·
4
Exercice 40 : c'est fondamentalement du Pythagore ! Partir de X −m = (X −E(X))+(E(X)−m),
mettre au carré et espérer ...
Exercice 41 : c'est comme l'exercice précédent... mais en nalement plus dicile, l'indication sur
la loi précise de X étant avantageusement remplacée par l'existence d'une variance...
+∞
P
Exercice 42 : pf... E(Xn ) >
P(Xn = k) = 1 − P(Xn = 0) !
k=1
ε
2
Exercice 43 : on xe ε > 0. Il existe un rang N tel que pour n > N , |Pn − p| 6 · Pour de tels n
si |Mn − Pn | <
ε
2
(avec Mn =
X1 +···+Xn
),
n
|Mn − p| > ε
donc :
alors |Mn − p| < ε, soit par contraposition :
=⇒
|Mn − Pn | >
ε
2
ε
.
P (|Mn − p| > ε) 6 P |Mn − Pn | >
2
Ensuite, grâce à Bienaymé-Tchebychev :
n
ε
4 X
P |Mn − Pn | >
6 2 2
pk (1 − pk ),
2
n ε
k=1
et c'est à peu près ni, non ?
12