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Lycée JANSON DE SAILLY
20 novembre 2014 DÉRIVATION 1re STI2D
Soit pour tout réel x,
f′(x) = 4(x2+1)−2x(4x−3)
(x2+1)2
=4x2+4−8x2+6x
(x2+1)2
=−4x2+6x+4
(x2+1)2
Ainsi, f′est la fonction définie sur Rpar f′(x) = −4x2+6x+4
(x2+1)2.
3. Une particule est animée d’un mouvement rectiligne sinusoïdal d’équation y(t) = 0,08sin(12t+0,3)où y(t)
est en mètres et ten secondes.
La vitesse instantanée v(t)est donnée par y′(t)soit
v(t) = 0,08 ×12×cos(12t+0,3) = 0,96cos(12t+0,3)
III DÉRIVÉE ET VARIATIONS D’UNE FONCTION
1 – THÉORÈME 1
Soit fune fonction dérivable et monotone sur un intervalle Ide R.
— Si fest constante sur I, alors pour tout réel xappartenant à I,f′(x) = 0.
— Si fest croissante sur I, alors pour tout réel xappartenant à I,f′(x)>0.
— Si fest décroissante sur I, alors pour tout réel xappartenant à I,f′(x)60.
Le théorème suivant, permet de déterminer les variations d’une fonction sur un intervalle suivant le signe de sa
dérivée.
2 – THÉORÈME 2
Soit fune fonction dérivable sur un intervalle Ide Ret f′la dérivée de fsur I.
— Si f′est nulle sur I, alors fest constante sur I.
— Si f′est strictement positive sur I, sauf éventuellement en un nombre fini de points où elle s’annule, alors
fest strictement croissante sur I.
— Si f′est strictement négative sur I, sauf éventuellement en un nombre fini de points où elle s’annule, alors
fest strictement décroissante sur I.
3 – THÉORÈME 3
Soit fune fonction dérivable sur un intervalle ouvert Ide Ret x0un réel appartenant à I.
1. Si fadmet un extremum local en x0, alors f′(x0) = 0.
2. Si la dérivée f′s’annule en x0en changeant de signe, alors fadmet un extremum local en x0.
x a x0b
f′(x)−|
0
|+
f(x)
minimum
x a x0b
f′(x)+|
0
|−
f(x)
maximum
A. YALLOUZ (MATH@ES) Page 4 sur 16