
I. FORME ALGÉBRIQUE D’UN NOMBRE COMPLEXE
1) Définitions générales
Théorème 1 Il existe un ensemble, noté , d’éléments appelés nombres complexes, tel que :
contient ;
est muni des opérations + (addition) et (multiplication) qui suivent les mêmes règles de calcul que dans ;
contient un élément i tel que i ² = – 1 ;
tout nombre complexe z s’écrit de manière unique sous la forme z = a + i b (ou z = a + b i), avec a et b réels.
Définition 1 Soit un nombre complexe z = a + i b, avec a et b réels.
L’écriture a + i b est appelée la forme (ou l’écriture) algébrique de z.
Le réel a est appelé la partie réelle de z et on note a = Re (z).
Le réel b est appelé la partie imaginaire de z et on note b = Im(z).
Un nombre complexe de forme algébrique i b, avec b réel, est un imaginaire pur.
L’ensemble des imaginaires purs est noté i .
Pourquoi la vie des
hommes est-elle
complexe ?
Parce qu’elle possède
une partie réelle et
une partie imaginaire.
Remarques : L’article défini « la » est justifié d’après l’énoncé du théorème 1 (unicité).
Attention, la partie imaginaire Im (z) d’un nombre z est un réel.
Lorsque l’on parlera de forme algébrique a + i b il sera sous-entendu que a et b sont des réels.
Si b = 0 alors z = = a + 0 i = a est un réel. On retrouve .
En dehors des réels on n’écrit pas d’inégalités avec des complexes.
On ne dit pas qu’il est positif ou négatif.
Le symbole reste réservé aux réels positifs.
Exercice 1 Compléter : Re (5 – 3i) = …… ; Im (5 – 3i) = …… ; Re (4,32i) = …… ; Im (– i) = …… ;
Re (7,2) = …… ; Im (7,2) = …… ; Re (3 – 2i ²) = …… ; Im (3 – 2i ²) = …… ; Re (0) = …… ; Im (0) = ……
Théorème 2 Deux nombres complexes sont égaux si, et seulement si,
ils ont la même partie réelle et la même partie imaginaire.
z = z’
Re(z) = Re(z’)
Im(z) = Im(z’)
Ce théorème résulte de l’énoncé
du théorème 1. En particulier : z = 0 z = 0 + 0 i Re (z) = Im (z) = 0.
Théorème 3 Soit z et z’ deux complexes. z z’ = 0 z = 0 ou z’ = 0
Exercice 2 Factoriser z ² + 4 puis résoudre dans l’équation z ² + 4 = 0.
2) Calculs dans – Conjugués
Exercice 3 Soit z = 2 + 3i et z’ = 4 – 6i. Déterminer la forme algébrique de z + z’ ; z – z’ ; 3z’ – 6z ; 3z z’ et z’ ².
Définition 2 On appelle conjugué du nombre complexe z = a + i b (avec a et b réels) le complexe
On dit que z et
sont des nombres complexes conjugués.
Théorème 4 Tout nombre complexe non nul z = a + i b (avec a et b réels) admet un unique inverse 1
z ,
et on a : 1
z =
1/5