LES NOMBRES COMPLEXES I. FORME ALGÉBRIQUE D

LES NOMBRES COMPLEXES
I.
FORME ALGÉBRIQUE D’UN NOMBRE COMPLEXE
1)
Définitions générales
Théorème 1 Il existe un ensemble, noté , d’éléments appelés nombres complexes, tel que :
  contient  ;
  est muni des opérations + (addition) et  (multiplication) qui suivent les mêmes règles de calcul que dans  ;
  contient un élément i tel que i ² = – 1 ;
 tout nombre complexe z s’écrit de manière unique sous la forme z = a + i b (ou z = a + b i), avec a et b réels.
Définition 1 Soit un nombre complexe z = a + i b, avec a et b réels.

L’écriture a + i b est appelée la forme (ou l’écriture) algébrique de z.

Le réel a est appelé la partie réelle de z et on note a = Re (z).

Le réel b est appelé la partie imaginaire de z et on note b = Im(z).

Un nombre complexe de forme algébrique i b, avec b réel, est un imaginaire pur.
L’ensemble des imaginaires purs est noté i .
Remarques :
Pourquoi la vie des
hommes est-elle
complexe ?
Parce qu’elle possède
une partie réelle et
une partie imaginaire.





L’article défini « la » est justifié d’après l’énoncé  du théorème 1 (unicité).
Attention, la partie imaginaire Im (z) d’un nombre z est un réel.
Lorsque l’on parlera de forme algébrique a + i b il sera sous-entendu que a et b sont des réels.
Si b = 0 alors z = = a + 0 i = a est un réel. On retrouve   .
En dehors des réels on n’écrit pas d’inégalités avec des complexes.
On ne dit pas qu’il est positif ou négatif.
 Le symbole
reste réservé aux réels positifs.
Exercice 1 Compléter : Re (5 – 3i) = …… ; Im (5 – 3i) = …… ; Re (4,32i) = …… ; Im (– i) = …… ;
Re (7,2) = …… ; Im (7,2) = …… ; Re (3 – 2i ²) = …… ; Im (3 – 2i ²) = …… ; Re (0) = …… ; Im (0) = ……
Théorème 2 Deux nombres complexes sont égaux si, et seulement si,
ils ont la même partie réelle et la même partie imaginaire.
Ce théorème résulte de l’énoncé  du théorème 1.
 Re(z) = Re(z’)
 Im(z) = Im(z’)
z = z’  
En particulier : z = 0  z = 0 + 0 i  Re (z) = Im (z) = 0.
Théorème 3 Soit z et z’ deux complexes. z z’ = 0  z = 0 ou z’ = 0
Exercice 2 Factoriser z ² + 4 puis résoudre dans  l’équation z ² + 4 = 0.
2)
Calculs dans  – Conjugués
Exercice 3 Soit z = 2 + 3i et z’ = 4 – 6i. Déterminer la forme algébrique de z + z’ ; z – z’ ; 3z’ – 6z ; 3z z’ et z’ ².
Définition 2 On appelle conjugué du nombre complexe z = a + i b (avec a et b réels) le complexe z = a – i b .
On dit que z et z sont des nombres complexes conjugués.
Théorème 4 Tout nombre complexe non nul z = a + i b (avec a et b réels) admet un unique inverse
et on a :
1
,
z
z
1
=
= ……
z
zz
1/5
z’
z’ z  z
(avec z ≠ 0) on écrit :
=
.
z
z
zz
1) Déterminer la forme algébrique de l’inverse de z = 3 + 2i .
2) Résoudre dans  l’équation i z – 2 i = (2 – i) z + 1 (solution sous forme algébrique).
Pour trouver la forme algébrique d’un quotient
Exercice 4
Théorème 5 Pour tous nombres complexes z (z ≠ 0 pour  et ) et z’ et tout entier naturel n :
 z  z ' = ……
;  z = …… ;  z z ' = …… ;  z n =
 z n , 
 z '
1
  = …… ;    = ……
z
z
z + z = ……
Théorème 6 z    z = z  Im (z) = 0 et z  i  z + z = 0  Re (z) = 0
z – z = ……
Exercice 5
3)
– 2i = …… ;  i ( 3  3 i ) = ……
; ( 5  2 i ) 4 = ……
; z=
i
4
+
, z = ……
i – 2 6 + 3i
Représentation géométrique d’un nombre complexe
 
Définition 3 ( O ; u , v ) est un repère orthonormal du plan, appelé plan complexe.
 Soit le nombre complexe z = a + i b, avec a et b réels.
Le point M ( a ; b ) du plan complexe est appelé le point image de z ou l’image de z, et noté M (z).


Le vecteur w ( a ; b ) est appelé le vecteur image de z, et noté w (z).

 Soit le point M ( a ; b ) et le vecteur w ( a ; b ) du plan complexe.

.
Le complexe z = a + i b est appelé l’affixe du point M ou l’affixe du vecteur w. On le note zM ou zw


 L’axe (O ; u ) est appelé axe des réels et l’axe (O ; v ) est appelé axe des imaginaires purs.
Exercice 6 1) Donner les affixes des points A, B, C et D.
« Affixe »
est un nom
féminin.
C
2) Placer les points E, F, G et H d’affixes respectives
1
3
1 – i ² ; 2 i ; 1 – i ² – 2 i et
–
i.
2 2
1
v
 
0
A
Exercice 7 Dans le repère ( O ; u, v) , on considère les points A (– 2 ; 1)
et B (0 ; 5), et la droite d d’équation y = – x + 3.
Déterminer l’affixe d’un point M appartenant à d.
u 1
D
B
Exercice 8 Soit le complexe Z = x ² + y ² – 4 + i (2x + y + 1), avec x et y réels.
1) Déterminer l’ensemble (E1) des nombres complexes z = x + i y tels que Z soit un réel, puis représenter (E1).
2)
Déterminer l’ensemble (E 2) des nombres complexes z = x + i y tels que Z soit un imaginaire pur,
puis représenter (E2).
3)
Déterminer l’ensemble (E3) des nombres complexes z = x + i y tels que Z soit nul, puis représenter (E3).
 
Théorème 7 Soit ( O ; u, v ) un repère orthonormal du plan complexe.
 

 L’affixe du vecteur u + v est z u  v  z u  z v , celui de k u est z k
B(zB)
u
 k z u (k  ).

 L’affixe du vecteur AB est z AB = z B – z A .
v
 L’image S de zA + zB est le 4 sommet du parallélogramme OASB.
O
e
 L’affixe du barycentre G des points pondérés (A ; a), (B ; b) et (C ; c) est
a zA + b zB + c zC
zG=
.
a+b+c
u
A(zA)
En particulier l’affixe du milieu I de [AB] est z I = ……
2/5
II. ÉQUATION DU SECOND DEGRÉ À COEFFICIENTS RÉELS
Théorème 8 Soit a, b, c trois réels avec a ≠ 0, et Δ = b 2 – 4 a c le discriminant de l’équation a z 2 + b z + c = 0.



b 
2a
Si Δ < 0 alors l’équation dans  admet deux solutions complexes conjuguées :
b i 
bi 
z1 =
et z2 =
.
2a
2a
Dans les deux cas on a : a z 2 + b z + c = a ( z – z1 ) ( z – z2 ).
Si Δ  0 alors l’équation dans  admet deux solutions réelles : z1 =
Dans le cas où Δ = 0 on a z1 = z2 =
et z2 =
b 
.
2a
–b
–b
. On dit que l’équation admet une solution double z0 =
.
2a
2a
Exercice 9 Résoudre dans  les équations  4 z ² + 3 = 0 et  z ² – 2 2 z + 4 = 0.
III. MODULE – ARGUMENTS – FORME TRIGONOMÉTRIQUE D’UN COMPLEXE NON NUL
 
Dans la suite du cours le plan complexe est rapporté au repère orthonormal direct ( O ; u , v ).
1)
Module et arguments

Définition 4 Soit z un complexe non nul et (r ;  ) les coordonnées polaires de M(z) dans le repère ( O ; u ).
On dit alors que :
 le rayon polaire r de M(z) est le module de z, noté | z | ;
OM = |z|
 l’angle polaire
z) est un argument de z.
On note arg z =  [2]
v
O
Le module de 0 est 0 : | 0 | = 0 .
M
arg (z)
u
 0 est le seul complexe qui n’a pas d’argument car un angle de vecteurs n’existe pas lorsqu’un des vecteurs est nul.
 Si z  R, la valeur absolue de z et son module sont égaux. La notation est cohérente.
 
 
 Un argument de z est une mesure en radians de l’angle orientés ( u , OM ) : ( u , OM ) = arg z [2 ].

Théorème 9 Soit un complexe z = a + i b , avec a et b réels. Soit M son point image et w son vecteur image.

| z | = OM = || w || = z z = a ² + b ² .
Exercice 10 Déterminer graphiquement le module et un argument de 4i ; – 2 ; – i ; 3 et – 2 + 2i.
2)
Forme trigonométrique d’un nombre complexe non nul
Théorème 10
Si z est un complexe non nul de forme algébrique z = a + i b (a et b réels) et  un argument de z,
alors : a = | z | cos 
et b = | z | sin  et z = | z | ( cos  + i cos  ).
Définition 5 Une écriture d’un nombre complexe non nul z sous la forme z = | z | ( cos  + i cos  ),
où  est un argument de z, est appelée une forme trigonométrique de z.

Théorème 11
Si un complexe non nul z s’écrit sous la forme z = r ( cos  + i cos  ) , où r est un réel
strictement positif et  un réel, alors : | z | = r et  = arg z [2] .
Théorème 12 Soit z et z’ deux complexes non nuls.
z = z’  | z | = | z’ | et arg (z) = arg (z’) [2 ]
3/5
Exercice 11 1) Déterminer la forme algébrique du complexe z de module 5 et dont un argument est 2 /3 .




2) Déterminer la forme trigonométrique de z1 = – 1 – i 3 ; z2 = 2 cos – 2 i sin ; z3 = – 3 (cos + i sin )
6
6
5
5
3)
Propriétés des modules et des arguments
Théorème 13
Pour tous complexes z et z’ non nuls avec  un argument de z :

arg z = 0 [  ]  ……
; arg z =
[  ]  ……
2
Pour tous complexes z et z’
 |z|=0  z=0
| | z | = | z | = | – z | = | – z |
arg z = ……
 | z z’ | = | z |  | z’ |
arg ( z z’ ) = arg z + arg z’ [2 ]
 | z n | = | z | n avec n  
arg (z n ) = ……
1
1
=
z
|z|
 Si z ≠ 0,
 Si z’ ≠ 0,
; arg ( – z ) = ……
1
arg = – arg z [2 ]
z
z
|z|
=
z’ | z’ |
arg
z
= ……
z’
 | z + z’ |  | z | + | z’ |
Exercice 12 1) Déterminer la forme trigonométrique de z1 = (1 + i)
3 + i
1
1–i 3
5
 ; z2 = 1 – i ; z3 = 1 + i et z4 = (1 + i)
 4 
2) Déterminer la forme algébrique de z1. En déduire le cosinus et le sinus de 5/12 .
IV. FORME EXPONENTIELLE D’UN COMPLEXE NON NUL
Définition 6 Pour tout réel  on note e i  le nombre complexe de module 1 et d’argument  .
cos  + i cos  = e i 
;
| e i | = 1
et
arg e i  = 
[2 ]
Tout complexe non nul z d’argument  peut s’écrire z = | z | e i . Cette écriture est une forme exponentielle de z.
e i  se lit : « exponentielle i thêta ». Il y a une infinité d’arguments de z donc une infinité de formes exponentielles de z
Exemples fondamentaux : 1 = e …… ; – 1 = e
……
; i = = e …… ; – i = e ……
Exercice 13 Donner les trois formes (algébrique, trigonométrique, exponentielle) des complexes suivants :
5 
i
2
2
z 1 = i (1 + i) ; z 2 = 5 (2 cos
+ 2 i sin
) et z 3 = – 2 e 4 .
3
3
On peut reformuler les propositions , ,  et  du théorème 11 à l’aide des formes exponentielles avec lesquelles
on calcule comme avec les puissances (d’où l’intérêt).
Théorème 14 Soit r, r’ deux réels strictement positifs,  et  ’ deux réels et n un entier relatif.
 r e i  . r’ e i  = r r’ e i (  +  ) ;  ( r e i  ) n = r n e i n  ; 
1
1 –i 1 i
r e i
r i (  –  ’)
=
e
=
e
;

e
i
i =
r
r
r’
re
r’ e
Pour multiplier deux complexes on multiplie leurs modules et on ajoute leurs arguments.
Pour élever un complexe à la puissance n on élève à la puissance n son module et on multiplie par n un de ses
arguments.
Pour prendre l’inverse d’un complexe on inverse son module et on prend l’opposé d’un de ses arguments.
Pour diviser deux complexes on divise leurs modules et on soustrait les arguments.
i
Exercice 14 Soit les complexes z 1 = 5 e

6
i
et z 2 = 3 e

3
.
Déterminer la forme exponentielle de z 1 z 2 ; – z 1 ; i z 1 ; – i z 1 ; z 1 ; 2 (z 2 ) 5 ;
2
6z1
et
.
3z1
25 z 2
4/5
V. NOMBRES COMPLEXES ET GÉOMÉTRIE
Interprétation d’un quotient d’affixes
1)
Théorème 15 Soit A (zA), B(zB), C(zC), D(zD) des points du plan complexe tels que A ≠ B et C ≠ D.
 
 
 z z C 
z D z C
CD
 [2]
 AB = | zB – zA | et ( u , AB ) = arg (zB – zA) [2]. 
=
et ( AB ; CD ) = arg  D
AB
z Bz A
 z B z A 
Exercice 15 Soit les points A, B, C du plan complexe d’affixes respectives zA = – 1 + i 3 , zB = – 1 – i 3 , zC = 2.
z z C
1) Déterminer la forme trigonométrique de B
. En déduire la nature du triangle ABC.
z A z C
2) Soit M un point du plan complexe d’affixe z , tel que M ≠ A et M ≠ C. On pose Z =
z  1 i 3
.
z 2
a) Déterminer l’ensemble f1 des points M tels que | Z | = 1.
b) Déterminer l’ensemble f2 des points M tels que Z   .
c) Déterminer l’ensemble f3 des points M tels que Z  


.
d) Déterminer l’ensemble f4 des points M tels que Z soit un imaginaire pur.
Écriture complexe d’une transformation du plan
2)
Définition 7 Soit F une transformation qui dans le plan complexe associe à tout point M le point M’.
On lui associe une fonction f qui au complexe z, affixe du point M, associe le complexe z’, affixe du point M’ .
z’ = f ( z ) est l’écriture complexe de la transformation F .
Théorème 16
On pose
z  = .
Transformation
t est la translation

de vecteur w
h est l’homothétie de centre
 et de rapport k (k ≠ 0)
r est la rotation de centre 
et d’angle 
Définition géométrique
Écriture complexe
associée


t (M) = M’  MM’ = w
z’ = z + z w


h (M) = M’  M' = k M
z’ –  = k ( z –  )
Pour M ≠ M’ ,
 M = M’
z’ –  = e i  ( z –  )
 
 ( M , M ’ ) =  [2 ]
r (M) = M’  
Exercice 16 Soit les points A, B, C du plan complexe d’affixes respectives zA = 1 + i , zB = 2 – i , zC = 2.
1) a) Donner l’écriture complexe de l’homothétie h de centre  et de rapport – 3.
b) Déterminer l’affixe de l’image par h du point B et l’affixe de son antécédent par h .
2) a) Donner l’écriture complexe de la rotation r de centre  et d’angle  .
2
b) Déterminer l’affixe de l’image par r du point B et l’affixe de son antécédent par r .
3)
Déterminer la nature de la transformation plane f d’écriture complexe : z’ = z – 5 + 2 i .
Exercice 17 Soit f1 et f2 les transformations d’écritures complexes respectives :
z’ = – 3 z + 8 + 12 i et z’ = – i z + 3 – 3 i.
Démontrer que f1 et f2 admettent chacune un unique point invariant. En déduire leur nature.
3)
Équation paramétrique complexe d’un cercle
Théorème 17
M appartient au cercle de centre  et de rayon r si, et seulement si, il existe un réel   ] –  :  ]
tel que : z = z  + r e i  . Cette égalité étant appelée équation paramétrique complexe du cercle.
Exercice 18 Déterminer l’ensemble des points M(z) du plan complexe tels que : z = 3 – i + 2 e i , avec   ] –  : ]
5/5