énoncé

Spé ψ 2012-2013
Devoir n°2
ÉLECTROMAGNÉTISME
La lévitation magnétique est utilisée pour faire circuler des trains à grande vitesse, en Chine
ou au Japon par exemple. L’objet de ce problème est d’étudier les difficultés de mise en œuvre de la
lévitation magnétique dans le cadre d’un modèle simple.
Données :
Perméabilité magnétique du vide µ0 = 4π×10–7 H⋅m–1.
Expressions de la divergence et du rotationnel d’un vecteur exprimé sur la base locale des coordonnées cylindriques :
1 ∂ ( rAr ) 1 ∂A ∂A
θ
div A =
+
+ z
r ∂r
r ∂θ ∂z
 1 ∂A
∂A   ∂A
∂Az  1  ∂ ( rAθ )
∂A  z
− θ e r +  r −
− r  ez
rot A = 
 eθ + 
∂z 
∂r 
r  ∂r
∂θ 
 ∂z
 r ∂θ
On rappelle que rot rot A = grad div A − ∆ A .
( )
( )
( ( ))
sin ( a ) cos ( b ) =
( ( )) ( )
1
1
sin ( a + b ) + sin ( a − b )  ; cos ( a ) cos ( b ) =  cos ( a + b ) + cos ( a − b ) 
2
2
cos ( a + b ) = cos ( a ) cos ( b ) − sin ( a ) sin ( b ) ; sin ( a + b ) = sin ( a ) cos ( b ) + cos ( a ) sin ( b )
Partie I
INTERACTION ENTRE DEUX SPIRES
On considère une spire (S0) située dans le plan horizontal, de centre
O, d’axe Oz, de rayon a, parcourue par un courant sinusoïdal
i0(t) = I0cos(ωt) et une bobine (S) de même axe, de centre C situé à la cote
positive z0 = a , de rayon b, de résistance R et d’inductance L , comprenant
N spires supposées confondues.
Dans toute l’étude, on se place dans le cadre de l’approximation des
régimes quasi-stationnaires.
On se place dans l’hypothèse où b << a.
Pour les applications numériques on prendra : a = 1 m ; b = 0,1 m ;
z0 = a ; I0 = 100 A ; f = 1000 Hz ; N = 5000 ; R = 100 Ω et L = 0,15 H.
z
b
C
(S)
z0
(S0)
a
O
i0(t)
I-1) On cherche à déterminer le champ magnétique B créé par (S0) en un point M de l’axe
Oz, de cote z.
a) Justifier précisément la direction du champ.
b) Déterminer l’expression de B ( z ) . Exprimer celui ci en C(z = a) fonction de
B0 =
µ0 I 0
4 2a
.
I-2) Détermination du courant dans la bobine (S)
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ez
a) En admettant que le champ magnétique est uniforme au voisinage de l’axe dans un
plan orthogonal à celui-ci, calculer le flux Φ de ce champ à travers la bobine (S) orientée comme
indiquée sur la figure. Le flux Φ est la somme des flux à travers chaque spire formant la bobine.
R
b) On peut montrer que si Φ dépend du temps, la bobine (S) est
L
équivalente au circuit électrique ci-contre :
Dans ce schéma, i(t) est orienté comme la spire (S) et e ( t ) = −
i(t)
d Φ (t )
.
dt
Déterminer la solution de régime sinusoïdal forcé sous la forme
i ( t ) = I sin ( ωt − ϕ ) en donnant I et ϕ fonction de E0, ω, R, L et E0 = N πb 2 ωB0 .
e(t)
c) Calculer numériquement I et ϕ. Commenter la valeur de ϕ.
I-3) Première détermination de la force
a) Quelle est le nom usuel de la force subie par la bobine (S) due à la spire (S0) ?
b) Déterminer cette force, toujours en supposant que le champ est uniforme au voisinage de l’axe.
I-4) Amélioration du modèle.
a) Tracer l’allure des lignes de champ créées par (S0) dans un plan contenant l’axe
Oz,
On considère un point M repéré en coordonnées cylindriques (r, θ, z) au voisinage de l’axe.
On cherche à déterminer une expression approchée du champ magnétique B ( M ) créé par (S0).
b) Montrer que sur la base locale des coordonnées cylindriques, une des composantes
de B ( M ) est nulle.
c) Exploiter le diagramme de la question I-4-a pour montrer que l’on peut assimiler
la composante axiale Bz(M) à B(z) déterminée en I-1-b ?
d) Que vaut le flux du champ magnétique à travers une surface fermée ? Quelle est
l’équation locale associée ?
e) En utilisant un cylindre élémentaire de rayon r d’axe Oz de bases situées aux cotes
r dB ( z )
z et z + dz, montrer qu’au voisinage de l’axe la composante radiale vaut Br ( M ) = −
.
2 dz
f) Déterminer cette composante à la cote z = a sous la forme
r
Br ( r , a, t ) = B1 cos ( ωt ) . On exprimera B1 en fonction de B0. Ce résultat obtenu est il conforme à
a
l’allure des lignes de champ ?
g) Déterminer la force, puis la force moyenne sur une période subie par (S) en fonction de B1, N, a, b, I et ϕ.
h) Que devient cette force dans le cas limite où R >> Lω ?
i) Calculer numériquement la force moyenne dans le cas étudié ici.
Partie II
MODELISATION SOMMAIRE DES EFFETS VOLUMIQUES
z
b
Dans le dispositif de la partie I, la spire (S) est remplacée par un cylindre conducteur de conductivité γ, de hauteur h, de rayon b, également d’axe Oz. Le centre C du cylindre est à la cote z0 = a.
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C
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h
II-1-a) À quelle(s) condition(s) peut-on considérer que l’expression du champ appliqué par
(S0) s’écrit en tout point du cylindre B ( M , t ) = B0 cos ( ωt ) e z ? Nous prendrons cette forme dans un
premier temps.
b) Montrer sans calcul que le champ électrique dans le cylindre est orthoradial et
qu’il ne dépend que de r.
c) Déterminer ce champ sous la forme E ( M , t ) = Kr sin ( ωt ) eθ ( M ) .
II-2-a) Rappeler la loi d’Ohm sous forme locale. On définit le moment magnétique du cylin 1
dre à partir de la densité volumique de courant par la relation : M = ∫∫∫ CP ∧ J ( P ) d τ où J ( P )
2
est la densité de courant en P. Montrer sans calcul que M est colinéaire à Oz et déterminer son
expression.
b) La force exercée par le champ magnétique supposé inhomogène est
3π γhb 4 2
∂B
B0 ω sin ( ωt ) cos ( ωt ) e z .
F =M⋅
e z où B est champ sur l’axe. Montrer que F ( t ) = −
16 a
∂z z = z0
Vérifier l’homogénéité de cette relation. Que vaut cette force en moyenne ? Que peut-on en
conclure d’après I-4-h ?
II-3-a) En utilisant le théorème d’Ampère, après avoir justifier son utilisation, déterminer le
champ magnétique B I dans le cylindre créé par les courants induits, sachant que B I est nul en
r = b.. On considèrera que B I a la même direction en tout point du cylindre
b) Montrer qu’une condition pour que ce champ puisse être négligé devant le champ
2
crée en C par la spire (S0) s’écrit b ≪
. Interpréter.
µ 0 γω
Partie III
AMELIORATION DU MODELE : PRISE EN COMPTE DE L’EFFET DE PEAU
Dans un premier temps on considère une géométrie plus simple dans laquelle le métal
conducteur occupe tout le demi espace (x > 0) tandis que le demi espace (x < 0) est vide dans lequel
règne un champ uniforme B E ( M , t ) = B0 cos ( ωt ) e z . Dans le métal il y a un champ que l’on note
B ( M , t ) = B ( x, t ) e z
III-1) Montrer que le champ magnétique dans le conducteur vérifie l’équation
∂B
∆ B = µ0 γ
dans le cadre de l’approximation des régimes quasi-stationnaires.
∂t
III-2) On cherche une solution en régime harmonique permanent sous la forme complexe :
B ( M , t ) = B ( x ) exp ( iωt ) e z .
( )
a) Quelle équation différentielle vérifie B ( x ) ?
b) Quel est la condition à la limite vérifiée par le champ B en x = 0 ?
c) Écrire et résoudre l’équation caractéristique associée à l’équation différentielle
2
précédente; on posera δ =
; quelle est la dimension de δ ? En déduire B(x, t). Commenter la
µ 0 γω
solution obtenue.
d) Déterminer la densité de courant dans le conducteur sous forme réelle (on rappelle
que l’on est dans le cadre de l’approximation des régimes quasi-stationnaires).
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III-3) On revient à la géométrie du II-1), et on suppose que δ << b
a) Justifier que l’on peut écrire une densité volumique de courant au voisinage du
B 2
π

cos  ωt +  eθ ( M ) , eθ ( M ) étant le vecteur unitaire orthobord sous la forme J ( M , t ) = − 0
4
µ0δ

radial défini au point M.
z
b) En supposant J ( M , t ) uniforme pour δ/2 < r < b et J ( M , t ) nul
pour r < δ/2, calculer l’intensité du courant qui traverse une section de hauteur h et de
largeur δ/2 comme indiqué sur la figure ci-contre.
c) En déduire le moment magnétique de cette distribution de courant
assimilée à une spire de rayon b parcouru par l’intensité calculée ci-dessus.
d) Déterminer la force moyenne subie par le cylindre sachant que
3B
∂B
∂B
= − 0 cos ( ωt ) e z .
F =M⋅
e z avec
∂z z = z
2a
∂z z = z0
b
δ/2
C
0
On utilise un dispositif à noyau de fer qui renforce le champ magnétique créé
par la spire. Calculer cette force moyenne pour h = 0,01 m et B0 = 0,22 T .
En pratique, à la place de la bobine, on utilise un corps supraconducteur, ce qui a pour
conséquence d’augmenter notablement la force qu’il subit, pour un même courant circulant dans la
spire (S0).
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h