4- Analyse vectorielle - Guillaume Laget

Guillaume Laget
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S4 - compléments de mathématiques
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4- Analyse vectorielle
Un repère orthonormé (O,~i, ~j, ~k) est fixé.
Nous allons définir dans ce qui suit différents opérateurs qui s’appliquent :
– soit à des fonctions réelles F (x, y, z) : le gradient et le laplacien,
~ y, z) : la divergence et le rotationnel.
– soit à des champs de vecteurs A(x,
département Mesures Physiques - IUT1 - Grenoble
~
Mais γ ′ (t) est un vecteur tangent à la courbe. Ainsi, grad(F
) est orthogonal à tous les
~
vecteurs tangents aux courbes tracées
sur
S
:
grad(F
)
est
un
vecteur
normal à S.
∂F (x, y, z)
∂F (x, y, z)
∂F (x, y, z)
−
,y + t
,z + t
De plus, pour t proche de 0, F x + t
∂x
∂y
∂z
∂F (x, y, z) 2
∂F (x, y, z) 2
∂F (x, y, z) 2
+t
+t
, donc si t est positif, la quanF (x, y, z) ≃ t
∂x
∂y
∂z
tité est positive : le gradient est dirigé dans le sens des F croissants.
Les principaux champs de vecteurs rencontrés en physique sont le champ de pesanteur
~ le champ magnétique B
~ : dans chaque cas, on associe à tout
~g, le champ électrique E,
point de l’espace un vecteur qui permet de représenter et quantifier un phénomène physique
(pesanteur, électro-magnétisme, . . .)
~ est de savoir s’il est déUne question d’importance concernant un champ de vecteurs A
terminé par une fonction F , plus précisément de savoir s’il s’agit d’un champ de gradient,
s’il peut s’écrire comme le gradient de la fonction F . Et c’est le rotationnel qui permettra de caractériser les champs de gradients... (l’analogue de ce problème pour les formes
différentielles est l’étude de leur exactitude)
~
grad(F
) est un vecteur normal à toute surface d’équation F (x, y, z) = k,
et il est dirigé dans le sens des F croissants.
exemple 1 : si a, b, c sont des réels non tous nuls et d un réel, si F (x, y, z) =
ax + by + cz, alors l’équation F (x, y, z) = k est l’équation d’un plan.
~
On retrouve un résultat connu : grad(F
) = (a, b, c) est un vecteur normal à ce plan.
1 gradient
exemple 2 : si R > 0, si F (x, y, z) = x2 + y 2 + z 2 − R2 , F (x, y, z) = 0 est l’équation
~
de la sphère de centre O et de rayon R, et grad(F
) = (2x, 2y, 2z) est un vecteur normal à
la sphère.
1.1 définition
Si F (x, y, z) est une fonction à valeurs réelles, son gradient est le vecteur
1.3 champs de gradients
~
~ ) = ( ∂F , ∂F , ∂F ) = ∂F ~i + ∂F ~j + ∂F ~k.
grad(F
) = ∇(F
∂x ∂y ∂z
∂x
∂y
∂z
Le gradient permet donc de « fabriquer » à partir d’une fonction réelle F un champ de
~
~ étant fixé, on peut se demander
vecteurs grad(F
). Réciproquement, un champ de vecteur A
s’il s’agit d’un champ de gradient, c’est-à-dire s’il peut s’écrire comme le gradient d’une
certaine fonction F .
~ : si
~ dl
On peut faire l’analogie avec les formes différentielles en considérent la forme A.
~ = P (x, y, z)dx + Q(x, y, z)dy +
~ = P (x, y, z)~i + Q(x, y, z)~j + R(x, y, z)~k, on a A.
~ dl
A
~ = dF si et seulement si A
~ dl
~ = grad(F
~
R(x, y, z)dz, et A.
). Ainsi,
~ (prononcer « nabla ») est l’opérateur ( ∂ , ∂ , ∂ ).
∇
∂x ∂y ∂z
1.2 gradient et surfaces
Si F (x, y, z) est une fonction, et k une constante, F (x, y, z) = k est l’équation d’une
surface S.
Soit γ(t) = (x(t), y(t), z(t)) une courbe tracée sur S. En dérivant par rapport à t la relation F (γ(t)) = k, et en utilisant le théorème de dérivation des fonctions composées, on ob∂F (x, y, z) ′
∂F (x, y, z) ′
∂F (x, y, z) ′
~
tient
x (t)+
y (t)+
z (t) = 0, soit grad(F
).γ ′ (t) = 0 :
∂x
∂y
∂z
~
les vecteurs grad(F
) et γ ′ (t) sont orthogonaux.
~ est exacte.
~ est un champ de gradient si et seulement si la forme différentielle A.
~ dl
A
~ le long de γ (dans le cas où A
~ est
Si l’on considère une courbe γ, la circulation de A
une force, la circulation est aussi appelée travail de la force) est par définition l’intégrale
~ Ainsi, d’après ce qui précède,
~ dl.
de la forme A.
1
Ainsi, en coordonnées polaires :
~ est un champ de gradient si et seulement si
A
~ entre deux points ne dépend pas du chemin suivi.
la circulation de A
1 ∂G
∂G
~
u~r +
u~θ .
grad(G)
=
∂r
r ∂θ
1.4 potentiel, équipotentielles
De même en coordonnées cylindriques pour une fonction G(r, θ, z) :
~ = grad(F
~ dérive d’un potentiel :
~
Si A
) est un champ de gradient, on dit aussi que A
~
~
le potentiel est défini comme la fonction U = −F : A = −grad(U ).
Une équipotentielle est une surface d’équation U = constante sur laquelle le potentiel
ne varie pas.
~
exemple 1 : dans le cas du champ de pesanteur sur une terre plate, ~g = −grad(gz),
le
potentiel U est donc ici la fonction U (x, y, z) = gz.
1 ∂G
∂G
∂G
~
u~r +
u~θ +
u~z .
grad(G)
=
∂r
r ∂θ
∂z
Et en coordonnées sphériques pour une fonction G(r, θ, ϕ) :
~ dérive du potentiel électrique V : E
~ = −grad(V
~
exemple 2 : le champ électrique E
).
~
Ainsi, E est orienté dans le sens des potentiels décroissants.
~ n’est
exemple 3 : nous verrons plus loin que, généralement, le champ magnétique B
pas un champ de gradient.
∂G
1 ∂G
1 ∂G
~
grad(G)
=
u~r +
u~θ +
u~ϕ .
∂r
r ∂θ
r sin θ ∂ϕ
1.5 le gradient dans d’autres systèmes de coordonnées
2 divergence
On souhaite exprimer en utilisant les coordonnées polaires (r, θ) le gradient d’une
2.1 définition
fonction. Plus précisément, si F (x, y) = G(r, θ), avec x = r cos θ et y = r sin θ, alors
G(r, θ) = F (r cos θ, r sin θ).
~ est un champ de vecteurs, A
~ = P (x, y, z)~i + Q(x, y, z) ~j + R(x, y, z) ~k, sa
Si A
∂F
∂F
∂G
divergence est le réel
(r, θ) = cos θ
(r cos θ, r sin θ) + sin θ
(r cos θ, r sin θ), et de même
Donc
∂r
∂x
∂y
∂F
∂F
∂G
(r, θ) = −r sin θ
(r cos θ, r sin θ) + r cos θ
(r cos θ, r sin θ).
∂θ
∂x
∂y
~ = ∇.
~ A
~ = ∂P + ∂Q + ∂R .
div(A)
Matriciellement,
on
obtient
ainsi
:
∂x
∂y
∂z




∂F
∂G
cos θ
sin θ
 ∂r 
 ∂x 

 ∂G  = −r sin θ r cos θ .  ∂F
∂y
∂θ
2.2 flux d’un champ de vecteur à travers une surface
Et
en
inversant
cette
relation
:



 
 

∂F
∂G
sin θ
∂G
Physiquement, si dV est le volume élémentaire autour d’un point donné, délimité par
 ∂x  1 r cos θ − sin θ  ∂r  cos θ − r   ∂r 
~ à travers cette surface
une surface élémentaire dS, et si dΦ désigne le flux élémentaire de A
.  ∂G  = 
.
 ∂F  =



∂G
cos θ
cos θ
r r sin θ
~
dS, on a dΦ = div(A) dV . La divergence mesure dans quelle proportion le champ diverge
sin θ
∂y
∂θ
r
∂θ
en un point de l’espace.
Comme par ailleurs on sait que ~i = cos θ u~r −sin θ u~θ et ~j = sin θ u~r+ cos θ u~θ ,
Si la divergence est partout nulle, on dit que le champ est conservatif.
∂G sin θ ∂G
∂F ~ ∂F ~
Z Z
(cos θ u~r − sin θ u~θ )+
i+
j vaut cos θ
−
on en déduit que le gradient
∂x
∂y
∂r
r ∂θ
~ dS
~ étant en tout point le
~ dS,
Par définition, le flux sortant d’une surface S est
A.
∂G cos θ ∂G
∂G
1 ∂G
S
sin θ
(sin θ u~r + cos θ u~θ ), soit après simplification
+
u~r +
u~θ .
vecteur de norme dS, orthogonal à l’élément de surface et orienté vers l’extérieur.
∂r
r ∂θ
∂r
r ∂θ
2
~ = Ar u~r + Aθ u~θ + Aϕ u~ϕ :
Et en coordonnées sphériques pour un champ A
Si S est une surface fermée dont le volume intérieur est V , on peut calculer le flux d’un
~ sortant de S par la formule de Green-Ostrogradsky (ou formule de
champ de vecteurs A
la divergence) :
~ =
div(A)
Z Z
~ =
~ dS
A.
S
Z Z Z
divA dV.
V
3 laplacien
Ce théorème justifie l’appelation flux conservatif pour qualifier un champ de vecteurs
de divergence nulle : en effet dans ce cas, le flux sortant de toute surface fermée est nul.
~
C’est le cas du champ magnétique B.
3.1 définition
On peut à l’aide de la divergence définir le laplacien d’une fonction F (x, y, z) par
~ = x~i + y~j + z~k sur une boule de centre O et
exemple 1 : On considère le champ A
~ = 3.
rayon R. Alors div(A)
~ est un vecteur normal à la sphère, dirigé vers l’extérieur, donc dS
~
dS
=
p
2
2
2
~
(x, y, z)/ x + y + z dS, et on a A.dS = RdS.
Ainsi la relation de Green-Ostrogradsky se résume à RS = 3V .
2
2
2
~ ∇(F
~ )= ∂ F + ∂ F + ∂ F.
~
∆F = div(grad(F
)) = ∇.
∂x2
∂y 2
∂z 2
Le laplacien est la divergence d’un gradient : il mesure donc la dispersion d’un champ
dérivant d’un potentiel à partir des dérivées secondes de ce potentiel.
exemple 2 :
~ son champ de vitesse.
On considère un fluide et on note ρ sa densité volumique et V
~ : son flux par unité de temps à travers une surface ferOn s’intéresse alors au champ ρV
mée S est égal à la quantité de matière sortant du volume V correspondant, soit à l’intégrale
RRR
RR
∂ρ
∂ρ
~ =
~ . dS
−
ρV
sur le volume correspondant :
dV .
de −
V
S
∂t
∂t R R R
RR
~
~ ~
Mais le théorème de Green-Ostrogradsky s’écrit
V div(ρV ) dV .
S ρV . dS =
RRR
R R R ∂ρ
~
On obtient ainsi la relation −
V div(ρV ) dV .
V ∂t dV =
Cette relation étant valable pour tout volume V , on en déduit
l’équation de continuité : −
3.2 équation de la chaleur
Le laplacien permet d’écrire l’équation de la chaleur
∂T
= D ∆T ,
∂t
∂ρ
~ ).
= div(ρV
∂t
où T désigne la température, t le temps, et D la diffusivité thermique du milieu.
Pour illustrer cette équation, on considère une barre conductrice de chaleur dont une
extrémité est en contact avec une source froide et l’autre avec une source chaude.
~
Il existe alors un gradient de température grad(T
) qui indique la direction dans laquelle
la température croît : le gradient est orienté de la source froide vers la source chaude. Et le
laplacien est la divergence de ce gradient.
Ainsi :
– en un point où le laplacien est nul, il entre autant de chaleur qu’il n’en sort, et la
température ne bouge pas ;
– en un point où le laplacien est strictement positif, il entre plus de chaleur qu’il n’en
sort et la température croît ;
– en un point où le laplacien est strictement négatif, il sort plus de chaleur qu’il n’en
rentre et la température décroît.
~ ) = 0.
Dans le cas d’un fluide incompressible elle se réduit à div(V
2.3 divergence dans d’autres systèmes de coordonnées
~ = Ar u~r + Aθ u~θ + Az u~z , on a :
En coordonnées cylindriques, pour un champ A
~ =
div(A)
1 ∂(sin θ Aθ )
1 ∂Aϕ
1 ∂(r2 Ar )
+
+
.
2
r
∂r
r sin θ
∂θ
r sin θ ∂ϕ
∂Az
1 ∂(rAr ) 1 ∂Aθ
+
+
.
r ∂r
r ∂θ
∂z
3
3.3 laplacien dans d’autres systèmes de coordonnées
~
~ grad(F
pour toute fonction F , rot(
)) = ~0
En coordonnées cylindriques pour une fonction F (r, θ, z) :
∆F =
et
1 ∂ ∂F
∂2f
1 ∂2F
+ 2.
(r
)+ 2
2
r ∂r ∂r
r ∂θ
∂z
~ div(rot(
~ = 0.
~ A))
pour tout champ de vecteurs A,
Et en coordonnées sphériques pour une fonction F (r, θ, ϕ) :
∆F =
∂
1
1 ∂ 2 (rF )
)+ 2
r ∂r2
r sin θ ∂θ
4.2 caractérisation des champs de gradients
∂F
1
∂2F
sin θ
+ 2 2
.
∂θ
r sin θ ∂ϕ2
On vient de voir que le rotationnel d’un champ de gradient est nul.
~ = P dx + Qdy + Rdz, donc A.
~ est exacte
~ = (P, Q, R), A.
~ dl
~ dl
Réciproquement, si A
∂R ∂Q
∂P
∂R
∂Q ∂P
si et seulement si
−
= 0,
−
= 0,
−
= 0, autrement dit :
∂y
∂z
∂z
∂x
∂x
∂y
3.4 laplacien vectoriel
~ = P (x, y, z)~i + Q(x, y, z)~j + R(x, y, z)~k, on définit son laplacien vectoriel par
Si A
~ est un champ de gradient si et seulement si rot(
~ = ~0.
~ A)
A
~ = ∆P~i + ∆Q~j + ∆R~k.
∆A
4.3 formule de Stokes
On a alors
Si C est une courbe fermée bordant une surface S, on peut calculer la circulation d’un
~ le long de C par la formule de Stokes :
champ de vecteurs A
~ = grad(div(
~
~ − rot(
~
~ rot(
~ A)).
∆A
A))
I
C
4 rotationnel
4.1 définition
~ =
~ dl
A.
Z Z
~
~ dS.
~ A).
rot(
S
~ est un champ de gradient, sa circulation le
On retrouve en particulier le fait que si A
long d’un chemin fermé est nulle.
~ est un champ de vecteurs, A
~ = P (x, y, z)~i + Q(x, y, z)~j + R(x, y, z)~k, son rotaSi A
tionnel est le vecteur
Dans le cas où S est une surface incluse dans un plan xOy, il s’agit de la formule de
Green-Riemann déjà citée.
~ =∇
~ ∧A
~ = ( ∂R − ∂Q ) ~i + ( ∂P − ∂R ) ~j + ( ∂Q − ∂P ) ~k.
~ A)
rot(
∂y
∂z
∂z
∂x
∂x
∂y
4.4 potentiel-vecteur
~ div(rot(
~ = 0.
~ A))
On a vu que pour tout champ A,
~ est un champ de divergence nulle, on peut l’écrire comme un
Réciproquement, si B
~ = rot(
~ en imposant la condition supplémentaire div(A)
~ = 0:A
~ est le
~ A),
rotationnel B
~
potentiel-vecteur de B.
Si le champ est une vitesse, son rotationnel correspond au vecteur-rotation d’un élément
infinitésimal placé dans ce champ.
Notons ces propriétés remarquables :
4
4.5 rotationnel dans d’autres systèmes de coordonnées
et
~ = Ar u~r + Aθ u~θ + Az u~z , on a :
En coordonnées cylindriques, pour un champ A
~ =
~ A)
rot(
∂Aθ
1 ∂Az
−
r ∂θ
∂z
u~r +
∂Ar
∂Az
−
∂z
∂r
u~θ +
1
r
∂(rAθ ) ∂Ar
−
∂r
∂θ
R
u~z .
RR
RR
~ = Ar u~r + Aθ u~θ + Aϕ u~ϕ :
Et en coordonnées sphériques pour un champ A
1
r sin θ
∂(Aϕ sin θ) ∂Aθ
−
∂θ
∂ϕ
1
u~r +
r
1 ∂Ar
∂(rAϕ )
−
sin θ ∂ϕ
∂r
1
u~θ +
r
~ =−
f.dl
∂(rAθ ) ∂Ar
−
∂r
∂θ
u~6ϕ .
S
S
~ =
f.dS
RR
S
~
~
grad(f
) ∧ dS
RRR
~ =−
~ ∧ dS
B
V
~
grad(f
).dV
RRR
V
~
~ B).dV
rot(
équations de Maxwell
~ et B
~ sont entièrement décrits par les quatre équaLes champs électro-magnétiques E
tions de Maxwell :
5 quelques relations utiles
~ = ρ/ǫ0 où ρ est la densité volumique de charge,
div(E)
~ et B
~ des champs de vecteurs.
f et g désignent des champs scalaires, A
On a :
~ = 0,
div(B)
~ =0
~ A))
div(rot(
~ =−
~ E)
rot(
~ = f div(A)
~ + A.
~ grad(f
~
div(f A)
)
~
∂B
,
∂t
~
1
~ = J~ + ǫ0 ∂ E où J~ est le vecteur densité de courant.
~ B)
rot(
µ0
∂t
~ ∧ B)
~ = B.
~ rot(
~ − A.
~ rot(
~
~ A)
~ B)
div(A
~
~ grad(f
rot(
)) = ~0
~ = f rot(
~ −A
~ ∧ grad(f
~
~ A)
~ A)
rot(f
)
~ = grad(div(
~
~ − ∆A
~
~ rot(
~ A))
rot(
A))
~
~
~
grad(f
g) = f grad(g)
+ g grad(f
)
∆(f g) = f ∆g + 2f g + g ∆f
5