4- Analyse vectorielle - Guillaume Laget

Guillaume Laget - version du 7-03-2013 08:51 (document mis à jour sur http ://maths.tetras.org/) - réutilisation et reproduction non commerciale de tout ou partie de ce document vivement encouragées
S4 - compléments de mathématiques 4- Analyse vectorielle département Mesures Physiques - IUT1 - Grenoble
Un repère orthonormé (O,~ i,~ j,~ k)est fixé.
Nous allons définir dans ce qui suit différents opérateurs qui s’appliquent :
– soit à des fonctions réelles F(x, y, z): le gradient et le laplacien,
– soit à des champs de vecteurs ~ A(x, y, z): la divergence et le rotationnel.
Les principaux champs de vecteurs rencontrés en physique sont le champ de pesanteur
~g, le champ électrique ~ E, le champ magnétique ~ B: dans chaque cas, on associe à tout
point de l’espace un vecteur qui permet de représenter et quantifier un phénomène physique
(pesanteur, électro-magnétisme, ...)
Une question d’importance concernant un champ de vecteurs ~ Aest de savoir s’il est dé-
terminé par une fonction F, plus précisément de savoir s’il s’agit d’un champ de gradient,
s’il peut s’écrire comme le gradient de la fonction F. Et c’est le rotationnel qui permet-
tra de caractériser les champs de gradients... (l’analogue de ce problème pour les formes
différentielles est l’étude de leur exactitude)
1 gradient
1.1 définition
Si F(x, y, z)est une fonction à valeurs réelles, son gradient est le vecteur
~
grad(F) = ~ ∇(F) = (∂F
∂x ,∂F ∂y ,∂F ∂z ) = ∂F ∂x~
i+∂F
∂y ~
j+∂F
∂z ~
k.
~
∇(prononcer « nabla ») est l’opérateur (∂
∂x,∂ ∂y ,∂ ∂z ).
1.2 gradient et surfaces
Si F(x, y, z)est une fonction, et kune constante, F(x, y, z) = kest l’équation d’une
surface S.
Soit γ(t) = (x(t), y(t), z(t)) une courbe tracée sur S. En dérivantpar rapport à tla rela-
tion F(γ(t)) = k, et en utilisant le théorème de dérivation des fonctions composées, on ob-
tient ∂F (x, y, z)
∂x x′(t)+ ∂F (x, y, z) ∂y y′(t)+ ∂F (x, y, z) ∂z z′(t) = 0, soit ~
grad(F).γ′(t) = 0 :
les vecteurs ~ grad(F)et γ′(t)sont orthogonaux.
Mais γ′(t)est un vecteur tangent à la courbe. Ainsi, ~ grad(F)est orthogonal à tous les
vecteurs tangents aux courbes tracées sur S:~ grad(F)est un vecteur normal à S.
De plus, pour tproche de 0, Fx+t∂F (x, y, z)
∂x , y +t∂F (x, y, z) ∂y , z +t∂F (x, y, z) ∂z −
F(x, y, z)≃t∂F (x, y, z)
∂x
2
+t∂F (x, y, z)
∂y
2
+t∂F (x, y, z)
∂z
2
, donc si test positif, la quan-
tité est positive : le gradient est dirigé dans le sens des Fcroissants.
~
grad(F)est un vecteur normal à toute surface d’équation F(x, y, z) = k,
et il est dirigé dans le sens des Fcroissants.
exemple 1 : si a, b, c sont des réels non tous nuls et dun réel, si F(x, y, z) =
ax +by +cz, alors l’équation F(x, y, z) = kest l’équation d’un plan.
On retrouve un résultat connu : ~ grad(F) = (a, b, c)est un vecteur normal à ce plan.
exemple 2 : si R > 0, si F(x, y, z) = x2+y2+z2−R2,F(x, y, z) = 0 est l’équation
de la sphère de centre Oet de rayon R, et ~ grad(F) = (2x, 2y, 2z)est un vecteur normal à
la sphère.
1.3 champs de gradients
Le gradient permet donc de « fabriquer » à partir d’une fonction réelle Fun champ de
vecteurs ~ grad(F). Réciproquement, un champ de vecteur ~ Aétant fixé, on peut se demander
s’il s’agit d’un champ de gradient, c’est-à-dire s’il peut s’écrire comme le gradient d’une
certaine fonction F.
On peut faire l’analogie avec les formes différentielles en considérent la forme ~ A.~ dl : si
~
A=P(x, y, z)
~
i+Q(x, y, z)~ j+R(x, y, z)~ k, on a ~ A.~ dl =P(x, y, z)dx +Q(x, y, z)dy +
R(x, y, z)dz, et ~ A.~ dl =dF si et seulement si ~ A=~ grad(F). Ainsi,
~
Aest un champ de gradient si et seulement si la forme différentielle ~ A.~ dl est exacte.
Si l’on considère une courbe γ, la circulation de ~ Ale long de γ(dans le cas où ~ Aest
une force, la circulation est aussi appelée travail de la force) est par définition l’intégrale
de la forme ~ A.~ dl. Ainsi, d’après ce qui précède,
1

~
Aest un champ de gradient si et seulement si
la circulation de ~ Aentre deux points ne dépend pas du chemin suivi.
1.4 potentiel, équipotentielles
Si ~ A=~ grad(F)est un champ de gradient, on dit aussi que ~ Adérive d’un potentiel :
le potentiel est défini comme la fonction U=−F:~ A=−~ grad(U).
Une équipotentielle est une surface d’équation U=constante sur laquelle le potentiel
ne varie pas.
exemple 1 : dans le cas du champ de pesanteur sur une terre plate, ~g =−~ grad(gz), le
potentiel Uest donc ici la fonction U(x, y, z) = gz.
exemple 2 : le champ électrique ~ Edérive du potentiel électrique V:~ E=−~ grad(V).
Ainsi, ~ Eest orienté dans le sens des potentiels décroissants.
exemple 3 : nous verrons plus loin que, généralement, le champ magnétique ~ Bn’est
pas un champ de gradient.
1.5 le gradient dans d’autres systèmes de coordonnées
On souhaite exprimer en utilisant les coordonnées polaires (r, θ)le gradient d’une
fonction. Plus précisément, si F(x, y) = G(r, θ), avec x=rcos θet y=rsin θ, alors
G(r, θ) = F(rcos θ, r sin θ).
Donc ∂G
∂r (r, θ) = cos θ∂F ∂x (rcos θ, r sin θ) + sin θ∂F ∂y (rcos θ, r sin θ), et de même
∂G
∂θ (r, θ) = −rsin θ∂F ∂x (rcos θ, r sin θ) + rcos θ∂F ∂y (rcos θ, r sin θ).
Matriciellement, on obtient ainsi :
∂G
∂r
∂G
∂θ
=cos θsin θ
−rsin θ r cos θ.
∂F
∂x
∂F
∂y
Et en inversant cette relation :
∂F
∂x
∂F
∂y
=1
rrcos θ−sin θ
rsin θcos θ.
∂G
∂r
∂G
∂θ
=
cos θ−sin θ
r
sin θcos θ
r
.
∂G
∂r
∂G
∂θ
Comme par ailleurs on sait que~ i= cos θ ~ur−sin θ ~uθet~ j= sin θ ~ur+ cos θ ~uθ,
on en déduit que le gradient ∂F
∂x ~
i+∂F
∂y ~
jvautcos θ∂G
∂r −sin θ r
∂G
∂θ (cos θ ~ur−sin θ ~uθ)+
sin θ∂G
∂r +cos θ r
∂G
∂θ (sin θ ~ur+ cos θ ~uθ), soit après simplification ∂G ∂r ~ur+1 r
∂G
∂θ ~uθ.
Ainsi, en coordonnées polaires :
~
grad(G) = ∂G
∂r ~ur+1 r
∂G
∂θ ~uθ.
De même en coordonnées cylindriques pour une fonction G(r, θ, z):
~
grad(G) = ∂G
∂r ~ur+1 r
∂G
∂θ ~uθ+∂G ∂z ~uz.
Et en coordonnées sphériques pour une fonction G(r, θ, ϕ):
~
grad(G) = ∂G
∂r ~ur+1 r
∂G
∂θ ~uθ+1 rsin θ
∂G
∂ϕ ~uϕ.
2 divergence
2.1 définition
Si ~ Aest un champ de vecteurs, ~ A=P(x, y, z)~ i+Q(x, y, z)~ j+R(x, y, z)~ k, sa
divergence est le réel
div(~ A) = ~ ∇.~ A=∂P
∂x +∂Q ∂y +∂R ∂z .
2.2 flux d’un champ de vecteur à travers une surface
Physiquement, si dV est le volume élémentaire autour d’un point donné, délimité par
une surface élémentaire dS, et si dΦdésigne le flux élémentaire de ~ Aà travers cette surface
dS, on a dΦ = div(~ A)dV . La divergence mesure dans quelle proportion le champ diverge
en un point de l’espace.
Si la divergence est partout nulle, on dit que le champ est conservatif.
Par définition, le flux sortant d’une surface Sest Z ZS
~
A. ~ dS,~ dS étant en tout point le
vecteur de norme dS, orthogonal à l’élément de surface et orienté vers l’extérieur.
2

Si Sest une surface fermée dont le volume intérieur est V, on peut calculer le flux d’un
champ de vecteurs ~ Asortant de Spar la formule de Green-Ostrogradsky (ou formule de
la divergence) :
Z ZS
~
A. ~ dS =ZZZV
divA dV.
Ce théorème justifie l’appelation flux conservatif pour qualifier un champ de vecteurs
de divergence nulle : en effet dans ce cas, le flux sortant de toute surface fermée est nul.
C’est le cas du champ magnétique ~ B.
exemple 1 : On considère le champ ~ A=x
~
i+y~ j+z~ ksur une boule de centre Oet
rayon R. Alors div(~ A) = 3.
~
dS est un vecteur normal à la sphère, dirigé vers l’extérieur, donc ~ dS =
(x, y, z)/px2+y2+z2dS, et on a ~
A.dS =RdS.
Ainsi la relation de Green-Ostrogradsky se résume à RS = 3V.
exemple 2 :
On considère un fluide et on note ρsa densité volumique et ~ Vson champ de vitesse.
On s’intéresse alors au champ ρ~ V: son flux par unité de temps à travers une surface fer-
mée Sest égal à la quantité de matière sortant du volume Vcorrespondant, soit à l’intégrale
de −∂ρ
∂t sur le volume correspondant : R RSρ~
V . ~ dS =R R RV−∂ρ
∂t dV .
Mais le théorème de Green-Ostrogradsky s’écrit R RSρ~
V . ~ dS =R R RVdiv(ρ~
V)dV .
On obtient ainsi la relation −RRRV
∂ρ
∂t dV =RRRVdiv(ρ~
V)dV .
Cette relation étant valable pour tout volume V, on en déduit
l’équation de continuité :−∂ρ
∂t =div(ρ~
V).
Dans le cas d’un fluide incompressible elle se réduit à div(~ V) = 0.
2.3 divergence dans d’autres systèmes de coordonnées
En coordonnées cylindriques, pour un champ ~ A=Ar~ur+Aθ~uθ+Az~uz, on a :
div(~ A) = 1
r
∂(rAr)
∂r +1 r
∂Aθ
∂θ +∂Az ∂z .
Et en coordonnées sphériques pour un champ ~ A=Ar~ur+Aθ~uθ+Aϕ~uϕ:
div(~ A) = 1
r2
∂(r2Ar)
∂r +1 rsin θ
∂(sin θ Aθ)
∂θ +1 rsin θ
∂Aϕ
∂ϕ .
3 laplacien
3.1 définition
On peut à l’aide de la divergence définir le laplacien d’une fonction F(x, y, z)par
∆F=div(~
grad(F)) = ~
∇.~
∇(F) = ∂2F
∂x2+∂2F ∂y2+∂2F ∂z2.
Le laplacien est la divergence d’un gradient : il mesure donc la dispersion d’un champ
dérivant d’un potentiel à partir des dérivées secondes de ce potentiel.
3.2 équation de la chaleur
Le laplacien permet d’écrire l’équation de la chaleur
∂T
∂t =D∆T,
où Tdésigne la température, tle temps, et Dla diffusivité thermique du milieu.
Pour illustrer cette équation, on considère une barre conductrice de chaleur dont une
extrémité est en contact avec une source froide et l’autre avec une source chaude.
Il existe alors un gradient de température ~ grad(T)qui indique la direction dans laquelle
la température croît : le gradient est orienté de la source froide vers la source chaude. Et le
laplacien est la divergence de ce gradient.
Ainsi :
– en un point où le laplacien est nul, il entre autant de chaleur qu’il n’en sort, et la
température ne bouge pas;
– en un point où le laplacien est strictement positif, il entre plus de chaleur qu’il n’en
sort et la température croît;
– en un point où le laplacien est strictement négatif, il sort plus de chaleur qu’il n’en
rentre et la température décroît.
3

3.3 laplacien dans d’autres systèmes de coordonnées
En coordonnées cylindriques pour une fonction F(r, θ, z):
∆F=1
r
∂
∂r (r∂F ∂r ) + 1 r2
∂2F
∂θ2+∂2f ∂z2.
Et en coordonnées sphériques pour une fonction F(r, θ, ϕ):
∆F=1
r
∂2(rF )
∂r2) + 1 r2sin θ
∂
∂θ sin θ∂F ∂θ +1
r2sin2θ
∂2F
∂ϕ2.
3.4 laplacien vectoriel
Si ~ A=P(x, y, z)
~
i+Q(x, y, z)~ j+R(x, y, z)~ k, on définit son laplacien vectoriel par
∆~ A= ∆P~ i+ ∆Q~ j+ ∆R~ k.
On a alors
∆~ A=~ grad(div(~ A)) −~ rot(~ rot(~ A)).
4 rotationnel
4.1 définition
Si ~ Aest un champ de vecteurs, ~ A=P(x, y, z)
~
i+Q(x, y, z)~ j+R(x, y, z)~ k, son rota-
tionnel est le vecteur
~
rot(~ A) = ~ ∇ ∧ ~ A= (∂R
∂y −∂Q ∂z )~
i+ (∂P
∂z −∂R ∂x )~
j+ (∂Q
∂x −∂P ∂y )~
k.
Si le champ est une vitesse, son rotationnel correspond au vecteur-rotation d’un élément
infinitésimal placé dans ce champ.
Notons ces propriétés remarquables :
pour toute fonction F,~ rot(~ grad(F)) = ~ 0
et
pour tout champ de vecteurs ~ A, div(~ rot(~ A)) = 0.
4.2 caractérisation des champs de gradients
On vient de voir que le rotationnel d’un champ de gradient est nul.
Réciproquement, si ~ A= (P, Q, R),~ A.~ dl =P dx +Qdy +Rdz, donc ~ A.~ dl est exacte
si et seulement si ∂R
∂y −∂Q ∂z = 0,∂P ∂z −∂R ∂x = 0,∂Q ∂x −∂P ∂y = 0, autrement dit :
~
Aest un champ de gradient si et seulement si ~ rot(~ A) = ~ 0.
4.3 formule de Stokes
Si Cest une courbe fermée bordant une surface S, on peut calculer la circulation d’un
champ de vecteurs ~ Ale long de Cpar la formule de Stokes :
I
C
~
A.~ dl =Z ZS
~
rot(~ A).~ dS.
On retrouve en particulier le fait que si ~ Aest un champ de gradient, sa circulation le
long d’un chemin fermé est nulle.
Dans le cas où Sest une surface incluse dans un plan xOy, il s’agit de la formule de
Green-Riemann déjà citée.
4.4 potentiel-vecteur
On a vu que pour tout champ ~ A, div(~ rot(~ A)) = 0.
Réciproquement, si ~ Best un champ de divergence nulle, on peut l’écrire comme un
rotationnel ~ B=~ rot(~ A), en imposant la condition supplémentaire div(~ A) = 0 :~ Aest le
potentiel-vecteur de ~ B.
4

4.5 rotationnel dans d’autres systèmes de coordonnées
En coordonnées cylindriques, pour un champ ~ A=Ar~ur+Aθ~uθ+Az~uz, on a :
~
rot(~ A) = 1
r
∂Az
∂θ −∂Aθ ∂z ~ur+∂Ar ∂z −∂Az ∂r ~uθ+1 r∂(rAθ) ∂r −∂Ar ∂θ ~uz.
Et en coordonnées sphériques pour un champ ~ A=Ar~ur+Aθ~uθ+Aϕ~uϕ:
1
rsin θ∂(Aϕsin θ) ∂θ −∂Aθ ∂ϕ ~ur+1 r1 sin θ
∂Ar
∂ϕ −∂(rAϕ) ∂r ~uθ+1 r∂(rAθ) ∂r −∂Ar ∂θ ~uϕ.
5 quelques relations utiles
fet gdésignent des champs scalaires, ~ Aet ~ Bdes champs de vecteurs.
On a :
div(~ rot(~ A)) = 0
div(f~ A) = fdiv(~ A) + ~ A. ~ grad(f)
div(~ A∧~ B) = ~ B. ~ rot(~ A)−~ A. ~ rot(~ B)
~
rot(~ grad(f)) = ~ 0
~
rot(f~ A) = f~ rot(~ A)−~ A∧~ grad(f)
~
rot(~ rot(~ A)) = ~ grad(div(~ A)) −∆~ A
~
grad(fg) = f~ grad(g) + g~ grad(f)
∆(fg) = f∆g+ 2fg +g∆f
et
Rf.~
dl =−R RS~
grad(f)∧~ dS
R RSf. ~
dS =R R RV~
grad(f).dV
R RS~
B∧~ dS =−RRRV~
rot(~ B).dV
6 équations de Maxwell
Les champs électro-magnétiques ~ Eet ~ Bsont entièrement décrits par les quatre équa-
tions de Maxwell :
div(~ E) = ρ/ǫ0où ρest la densité volumique de charge,
div(~ B) = 0,
~
rot(~ E) = −∂~
B
∂t ,
1
µ0
~
rot(~ B) = ~ J+ǫ0
∂~ E
∂t où ~
Jest le vecteur densité de courant.
5