Version couleur

Lycée Louis-Le-Grand, Paris Année 2013/2014
Cours de mathématiques
Partie IV – Probabilités
MPSI 4
Alain TROESCH
Version du:
30 mai 2014

Table des matières
1 Dénombrement 3
I Combinatoire des ensembles finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
II Combinatoire des ensembles d’applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
II.1 Applications quelconques ; p-listes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
II.2 Lemme du berger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
II.3 Injections ; p-listes d’éléments distincts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
II.4 Surjections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
III Combinatoire des sous-ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
IV Bijection, Déesse de la Combinatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
V Tirages : les quatre modèles fondamentaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
VI Pourquoi la combinatoire ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
VI.1 Compter, calculer des probabilités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
VI.2 Établir des égalités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2 Espaces probabilisés 11
I Espaces probabilisables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
I.1 Notion d’expérience aléatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
II σ-algèbres d’événements (ou tribus) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
III Espaces probabilisés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
III.1 Mesures de probabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
III.2 Probabilités uniformes sur un univers fini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
III.3 Ensembles négligeables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
IV Conditionnement et indépendance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
IV.1 Probabilités conditionnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
IV.2 Indépendance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
V Les trois théorèmes fondamentaux du calcul des probabilités . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
V.1 Formule des probabilités totales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
V.2 Formule des probabilités composées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
V.3 Formules de Bayes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
VI Principes généraux du calcul des probabilités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3 Variables aléatoires 25
I Aléas et variables aléatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
I.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
I.2 Loi d’une variable aléatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2 Table des matières
I.3 La variable f(X)..................................... 28
I.4 Variables aléatoires discrètes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
I.5 Loi de probabilité d’une variable aléatoire discrète . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
II Moments d’une v.a.r.d. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
II.1 Espérance mathématique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
II.2 Variance (dispersion) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
II.3 Moments d’ordre k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
II.4 Espérance et variance conditionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
III Lois discrètes classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
III.1 Loi uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
III.2 Loi de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
III.3 Loi binomiale – nombre de succès . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
III.4 Loi géométrique – temps d’attente du premier succès . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
IV Loi de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
IV.1 Tableau récapitulatif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
V Inégalités et convergences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
V.1 Convergence en probabilités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
V.2 Inégalités en probabilités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
V.3 Loi faible des grands nombres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
4 Vecteurs aléatoires 43
I Loi d’un vecteur aléatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
I.1 Vecteur aléatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
I.2 Loi conjointe, lois marginales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
I.3 Loi d’un vecteur aléatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
I.4 Lois conditionnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
II Indépendance de variables aléatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
II.1 Couples de variables aléatoires indépendantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
II.2 Familles de v.a.r. indépendantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
II.3 Fonctions de variables indépendantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
III Étude de g(X1,...,Xn)..................................... 48
III.1 La variable g(X1,...,Xn)................................ 48
III.2 Loi et espérance de Z=g(X1,...,Xn)......................... 49
III.3 Exemples : Espérance de X+Y, de XY . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
III.4 Covariance, variance d’une somme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
III.5 Matrice des variances-covariances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
IV Stabilité des lois classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

1
Dénombrement
Le dénombrement est à la base d’un grand nombre de calculs de probabilités, notamment dans une
situation d’équiprobabilité : dans ce cas, en effet, de façon assez intuitive, la probabilité d’un événement
est le rapport entre le nombre d’issues favorables et le nombre total d’issues possibles. Même dans des
situations plus complexes, les dénombrements élémentaires gardent une place centrale.
Pour cette raison, le dénombrement semble trouver sa place naturelle au début d’un cours de probabilité,
même si ses applications sont beaucoup plus diverses dans l’ensemble des mathématiques.
I Combinatoire des ensembles finis
Comme nous l’avons déjà défini dans les fondements, le cardinal d’un ensemble fini correspond de façon
intuitive à son nombre d’éléments. De façon plus rigoureuse :
Définition 1.1.1 (Cardinal d’un ensemble)
Eest de cardinal n∈N, si et seulement s’il existe une bijection ϕ: [[1, n]] →E. On note Card(E) = n,
ou |E|=n, ou encore ♯E =n.
En particulier :
• |E|= 0 si et seulement si E=∅,
• |[[1, n]]|=n.
Voyons maintenant les différentes règles de calcul des cardinaux relatives aux différentes constructions
possibles sur les ensembles.
Proposition 1.1.2 (Cardinal d’une union disjointe)
Soit A,B,A1,...,Andes ensembles finis.
1. Si A∩B=∅, alors |A∪B|=|A|+|B|.
2. Plus généralement, si pour tout (i, j)∈[[1, n]]2tel que i6=j,Ai∩Aj=∅, alors
|A1∪ · · · ∪ An|=|A1|+···+|An|.
Proposition 1.1.3 (Cardinal d’un complémentaire)
Si A⊂B, alors ∁BA=|B| − |A|.