Développements Limités : Exercices MPSI

Feuille des exercices Calcul des développements limités Classe : MPSI (4)
I . Relations de comparaison.
Exercice.1.
Au voisinage de 0. Compléter les expressions suivantes :
ox3+ox3=..., ox3+ox5=..., ox3.ox3=...,
ox3.ox5=..., 6.ox5=..., x5ox3=...,
x7+ox3=..., x5o(1).x4o(1) = ...
Exercice.2.
Compléter les expressions suivantes :
o
0(5x) = ... o
+∞1
x2+ln x=... o
0+1
x2+ln x=...
o
+∞
(x+x2+ln x) = ... o
+∞e−x+1
x3=... o
0(x+x2) = ...
o
+∞
(x+x2) = ... o
+∞
(x2) + o
+∞
(x) = ... o
0(x2) + o 0(x) = ...
Exercice.3.
On considère des fonctions définies sur des intervalles convenables (en donner la
forme).
1. Montrer que si f=o
a(g)et si lim
bh=a, alors f oh =o
b(goh).
2. Montrer que si f∼
aget si lim
bh=a, alors f oh ∼
bgoh.
Exercice.4.
Soit fet gdeux fonctions définies sur un intervalle I, et un point a∈¯ I.
1. Montrer que : exp(f)∼
aexp(g)⇐⇒ lim
a(f−g) = 0.
2. On pose α(x) = ex2,β(x) = ex2+x,γ(x) = ex2−x: au voisinage de +∞, que peut-on
dire de α,βet γ?
3. Montrer que, si f∼
aget lim
ag=`∈R+\{1}alors ln f∼
aln g.
4. On rappelle que Argsh(x) = ln(x+px2+1): en déterminer un équivalent en
+∞et −∞.
Exercice.5.
1. Calculer lim
x→cf(x)où f(x) = xa−ca
xb−cb, avec a,b,c>0.
2. Déterminer lim
x→0f(x)et lim
x→+∞
f(x)où f(x) = (ax+bx)1
xoù a,b>0 .
3. Calculer, pour n∈N∗: lim
x→+∞[(x+1)(x+2)···(x+n)]1
n−x.
4. Soit f, une fonction continue et strictement croissante sur ]0, +∞[vérifiant la rela-
tion : f(x)∼
+∞
x2
4.
Justifier l’existence de la réciproque f−1, puis que f−1(x)∼
+∞
2√x.
5. Montrer que l’on a l’équivalent suivant : arccos(u)∼
1−q2(1−u).
Pour cela, on rappelle h∼
0sin(h).....
En déduire un équivalent en 0+de arccos(1−x).
De même, déterminer un équivalent en 0+de Argch(1+x).
Exercice.6.
1. Donner un équivalent simple en 0 de f(x) = tan3(x)cos(x)x2−1
2. Déterminer un équivalent simple au voisinage de +∞puis de 0+de
f(x) = ln(x+1)−ln(x)
√x+1−√x.
3. Comparer, au voisinage de +∞,f(x) = (xx)xet g(x) = x(xx). Et en 0+?
4. Donner un équivalent, au voisinage de π
2, de la fonction tan.
.
Exercice.7.
Au voisinage de 0. Compléter les expressions suivantes :
Ox3+ox3=..., Ox3+Ox3=..., Ox3+Ox5=...
Ox3.Ox3=..., Ox3.Ox5=..., Ox3.ox5=....
Exercice.8.
Compléter les expressions suivantes :
Lycée Omar Ibn El-Khattab -1- Mr. Faress Moussa

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O
0(5x) = ... O
+∞1
x2+ln x=... O
0+1
x2+ln x=...
O
+∞
(x+x2+ln x) = ... O
+∞e−x+1
x3=... O
0(x+x2) = ...
II . Calculs des développements limités.
Exercice.1. Calculs de développements limités en 0
Donner le développements limités à l’ordre nde fen 0 définies par :
1 ) f(x) = qcos(x);n=4 2 ) f(x) = cos(sin(x));n=4
3 ) f(x) = esin(x)
x;n=5 4 ) f(x) = 3−xsinh(x)
cosh(x)−1;n=3
5 ) f(x) = cos(x)
1+ln(1+x);n=3 6 ) f(x) = 1 sinh(x)−1 x;n=3
Exercice.2. Calculs de développements limités en a
Donner le développements limités à l’ordre nde fen adéfinies par :
f(x) = √x,a=1, n=3; f(x) = ln (2x),a=1
2,n=3
f(x) = sin(πx),a=1
6,n=2. f(x) = cos(πx),a=1 6,n=2.
Exercice.3. Calculs des limites
Calculer les limites suivantes :
lim
x→01
x2−1
sin2x; lim
x→1xx−x
1−x+ln x; lim
x→+∞
xln x−1
x+1.
Exercice.4. Développement limité de la réciproque
Montrer que la fonction f:x7→ xex2réalise une bijection sur Ret que sa réciproque
possède un DL d’ordre 5 en 0 à déterminer.
Exercice.5. Avec arccos
1. On définit, sur l’intervalle [0, 1]la fonction fpar f(x) = arccos(1−x2).
Calculer sa dérivée f0et en déduire le développement limité de fà l’ordre 2n+1
au voisinage de 0+.
2. Déterminer le développement limité à l’ordre nau voisinage de x=1−de la fonc-
tion suivante x7→ g(x) = arccos(x)
√1−x.
Exercice.6. Calculs de développements asymptotiques
Donner les développements asymptotiques de :
f(x) = px2+x+1 à la précision 1
x2;f(x) = x2
x+1e1
xà la précision 1
x4.
Exercice.7. Astucieux
Donner le DL10(0)de f(x) = Zx2
x
1
√1+t2dt et DL1000(0)de f(x) = ln 999
∑
k=0
xk
k!!.
Exercice.8. DL d’une fonction implicite
Pour tout tréel, soit Pt:R→R
x7→ Pt(x) = cosh(t)x5+x−t2
1. Montrer que, pour tout tréel, le polynôme Pta une unique racine réelle notée x(t),
et que 0 ≤x(t)≤t2.
2. Prouver que la fonction t→x(t)est paire.
3. Pour t6=0, on pose ϕ(t) = x(t)
t2. Quelle est l’équation vérifiée par ϕ?
Montrer que ϕadmet une limite en 0.
4. A l’aide d’un raisonnement par récurrence sur n, montrer que, pour tout entier
n≥0, la fonction ϕadmet un développement limité d’ordre nau voisinage de 0.
5. Calculer le développement limité de ϕ(t)à l’ordre 15 en t=0.
En déduire un développement limité pour x(t)au voisinage de t=0.
Exercice.9.
Pourquoi la fonction tan admet-elle un développement limité à tout ordre en 0 ?
Déterminer le DL5(0) de tan x
1. en remarquant tan x=sin x
1−(1−cos x).
2. en remarquant tan xcos x=sin x.
3. en remarquant tan0x=1+tan2x.
4. en calculant le DL6(0) de ln(cos x)
5. en remarquant tan 2x=. . ..
6. en remarquant tan(arctan x) = xpour x∈. . . .
Exercice.10.
Soit a∈Ret fa(x) = (x2−ax +1)tan(πx
6).
1. Donner un équivalent de faen x=3.
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2. Pour quelle valeur de ala fonction est-elle prolongeable par continuité en x=3 ?
Quelle est alors la valeur de fa(3)?
3. Plus généralement, si Pest un polynôme à coefficients réels, à quelle condition sur
Pla fonction g, avec g(x) = P(x)tan(πx
6), est-elle prolongeable en x=3 ? Expri-
mer alors f(3)en fonction de P0(3).
III . Applications géométriques.
Exercice.1. Position de la tangente
Préciser la position de la tangente au point d’abscisse 0 par rapport à la courbe de f
(ou de son prolongement en 0) :
f(x) = 1
1+ex;f(x) = ln(1+x+x2);f(x) = ln(1+x)−sin(x) xex.
Exercice.2.
On dit qu’une fonction fadmet un DLn(+∞) s’il existe des scalaires a0,...,antelles
que
f(x) = a0+a11
x+a21
x2+··· +an1
xn+◦
+∞
(1
xn)
En pratique : on pose u=1
xet on cherche un DLn(u→0) de f(1 u).
Déterminez les DL suivants :
1. DL3(+∞) de f(x) = ln(x2+2x+3)−ln(x2+x+1).
2. DL4(+∞) de f(x) = ln(xtan(1
x)).
3. DL2(+∞) de f(x) = exp(x
x−1).
4. DL2(+∞) de f(x) = √x+1−√x−1.
Exercice.3. Branches infinies
Étudier les branches infinies de :
y=x+1
1+e1
x
et y=x3
x+1ln x+1 x.
Exercice.4. Etude locale d’une fonction
1. On pose f(x) = sin(x)−xcos(x)
ln(cos(x)) .
(a) Quel est l’ensemble de définition de f?
(b) Calculer le développement limité d’ordre 3 de fen 0.
(c) En déduire que fadmet un prolongement par continuité en 0, en le note en-
core f.
(d) Ce prolongement est dérivable en 0. Préciser alors l’équation de la tangente à
la courbe au point d’abscisse 0, ainsi que la position courbe-tangente au voisi-
nage de 0.
2. On pose g(x) = e1/x√x2+x+1.
(a) Montrer que la courbe de gadmet une asymptote en +∞, préciser son équa-
tion.
(b) Étudier la position courbe-asymptote au voisinage de +∞.
Exercice.5. Etude locale d’une fonction
1. On définit une fonction gpar : g(x) = 3−xsin(x)
cos(x)−1.
(a) Déterminer le développement limité de g(x)au voisinage de x=0 à l’ordre
5.
(b) Interpréter graphiquement ce résultat, et l’illustrer sur un schéma.
2. On pose f(x) = x
1+e1
x
.
(a) Montrer que, dans un voisinage de +∞:
f(x) = 1
2x−1 4+1
48x2+o1 x2
(b) Interpréter graphiquement ce résultat, et l’illustrer sur un schéma.
Exercice.6. Nombres de Bernoulli
A. Préliminaires : Formules de Taylor
1. Rappeler, avec précision, la formule de Taylor-Lagrange et l’inégalité de Taylor-
Lagrange.
2. Établir que lim
n→+∞
n
∑
k=0
zk
k!=ezpour zcomplexe
3. On considère la fonction : u:x7→ ex−1
x
(a) Pour tout x∈R∗et n∈Ncalculer u(n)(x)
(b) Montrer que la fonction uadmet un prolongement de classe C∞sur R.,noté
encore u. Calculer u(n)(0)pour tout n.
B. Nombres de Bernoulli :
On pose f(x) = x
ex−1si x6=0 et f(0) = 1, et h(x) = f(2x) + x:
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1. Exprimer h(x)à l’aide de la fonction tanh. et préciser alors la parité de h.
2. Montrer que, pour tout entier n≥1, la fonction fpossède un développement
limité au voisinage de 0, à l’ordre n, de la forme :
f(x) =
n
∑
k=0
Bk
xk
k!+◦(xn)
,avec, pour tout entier p≥1 : B2p+1=0.
3. (a) Montrer que, pour tout entier n≥1 :
n−1
∑
i=0
Bi
i!(n−i)!=1 si n=1
0 si n>1
(b) Calculer B0,B1,B2,B3,B4et B5.
4. (a) Donner le développement limité d’ordre 2p, au voisinage de 0, de la fonction
hen fonction des coefficients Bk.
Expliciter ce développement pour le cas p=3. On donne : B6=1
42 .
(b) Vérifier que, pour t6=0, on a : tanh(t) = h(2t)−h(t)
t, puis en déduire le
développement limité à l’ordre 2p−1, au voisinage de 0, de la fonction tanh,
à l’aide des coefficients Bk.
(c) Trouver, avec ce qui précède, le développement limité d’ordre 6, au voisinage
de 0, de la fonction tanh.
IV . Développements généralisés.
Soit a∈Ret f:V(a)→Kune fonctions définie sur un voisinage V(a)de a.
On considère une suite de fonctions (ek)kdéfinies sur un voisinage V(a)de atelles
que : ek+1(x) = o
x→a(ek(x)).
On dit que fadmet un développement limité asymptotique (ou généralisé) au voisi-
nage de asuivant l’échelle (ek)kà la precision en(x)si fs’écrit de la forme :
f(x) =
n
∑
k=0
akek(x) + o
x→a(en(x)).
La fonction x7→ a0.e0(x)est dite la partie principale.
La fonction g(x) =
n
∑
k=0
akek(x)est dite la partie régulière.
la fonction x7→ en(x)est dite la précision.
Exercice.1.
Determiner le développement limité généralisé au voisinage de 0 suivant la famille
(xk)k∈Zde : a)1
sin xà la précision x4;b)1 1−cos xà la précision x3.
Exercice.2.
Determiner le développement limité généralisé au voisinage de +∞suivant la famille
(xk)k∈Zde : a)1
1+xà la précision xn;b)p1+X+X2à la précision x−2.
Exercice.3.
Determiner le développement limité asymptotique au voisinage de +∞suivant la
famille (xα. lnβ(x))α,β∈Rde :
a)ln(1+x)à la précision x−n;b)ln x+1
x+2à la precision xnà la précision x−n.
Exercice.4.
Determiner un développement limité asymptotique au voisinage de +∞suivant la
famille (e−kx)k∈Zde :
a)ln(1+ex)à la précision e−nx ;b)tanh xà la précision e−nx.
Exercice.5.
1. Vérifier que : arccos(1−x) = 2 arcsin √2x
2.
2. Montrer que arccos(1−x)possède un développement limite généralisé à l’ordre
ndu type : a0√x+a1√x3+. . . +an√x2n+1+o(√x2n+1)au voisinage de 0.
3. Determiner de même des développements limites généralisés : argch(1−x);
argth(1−x).
Exercice.6.
1. Montrer que la fonction g:x7→ x−ln(x)possède une fonction réciproque f, stric-
tement croissante, de classe C∞, strictement positive sur R. Tracer les courbes de
fet g.
2. Montrer que : f(x) = x−ln(x) + ln(x)
x+o
x→+∞ln(x)
x.
`````
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