TD Développements limités

Feuille des exercices
Calcul des développements limités
Classe : MPSI (4)
I . Relations de comparaison.
xa − ca
, avec a, b, c > 0.
xb − cb
Exercice.1.
1. Calculer lim f ( x) où f ( x) =
Au
suivantes
voisinage
de
0. Compléter
les expressions
: 3
3
3
5
o x + o x = ..., o x + o x = ..., o x3 .o x3 = ...,
2. Déterminer lim f ( x) et lim f ( x) où f ( x) = ( a x + b x ) x où a, b > 0 .
x→+∞
x→0
1
3. Calculer, pour n ∈ N∗ : lim [( x + 1)( x + 2) · · · ( x + n)] n − x .
x→c
o x3 .o x5 = ...,
6.o x5 = ...,
x7 + o x3 = ...,
1
x→+∞
x5 o x3 = ...,
4. Soit f , une fonction continue et strictement croissante sur ]0, +∞[ vérifiant la relax2
tion : f ( x) ∼
.
+∞ 4
√
Justifier l’existence de la réciproque f −1 , puis que f −1 ( x) ∼ 2 x.
+∞
q
5. Montrer que l’on a l’équivalent suivant : arccos(u) ∼ 2(1 − u).
x5 o(1).x4 o(1) = ...
Exercice.2.
Compléter les expressions suivantes
: 1
o(5x) = ...
o
+ ln x = ...
+∞ x2
0
1
2
−x
o ( x + x + ln x) = ...
o e + 3 = ...
+∞
+∞
x
2
o
0+
o ( x + x ) = ...
Pour cela, on rappelle h ∼ sin(h).....
= ...
0
Exercice.6.
2
o( x ) + o( x) = ...
+∞
0
0
2
1. Donner un équivalent simple en 0 de f ( x) = tan3 ( x) cos( x) x − 1
Exercice.3.
2. Déterminer un équivalent simple au voisinage de +∞ puis de 0+ de
ln( x + 1) − ln( x)
f ( x) = √
√ .
x+1− x
On considère des fonctions définies sur des intervalles convenables (en donner la
forme).
1. Montrer que si f = o( g) et si lim h = a, alors f oh = o( goh).
a
b
b
x
2. Montrer que si f ∼ g et si lim h = a, alors f oh ∼ goh.
a
b
b
Exercice.4.
.
Soit f et g deux fonctions définies sur un intervalle I, et un point a ∈ Ī .
1. Montrer que : exp( f ) ∼ exp( g) ⇐⇒ lim( f − g) = 0.
a
x2
2. On pose α ( x) = e , β( x) = e
dire de α, β et γ ?
, γ ( x) = e
x2 − x
: au voisinage de +∞, que peut-on
Au
les expressions
suivantes
:
voisinage
de
0. Compléter
3
3
3
3
3
O x + o x = ..., O x + O x = ..., O x + O x5 = ...
O x3 .O x3 = ...,
O x3 .O x5 = ...,
O x3 .o x5 = ....
+
3. Montrer que, si f ∼ g et lim g = ` ∈ R \ {1} alors ln f ∼ ln g.
a
a
a
p
2
4. On rappelle que Argsh( x) = ln( x + x + 1) : en déterminer un équivalent en
+∞ et −∞.
Exercice.8.
Exercice.5.
Lycée Omar Ibn El-Khattab
3. Comparer, au voisinage de +∞, f ( x) = ( x x ) x et g( x) = x( x ) . Et en 0+ ?
π
4. Donner un équivalent, au voisinage de , de la fonction tan.
2
Exercice.7.
a
x2 + x
1−
En déduire un équivalent en 0+ de arccos(1 − x).
De même, déterminer un équivalent en 0+ de Argch(1 + x).
0
o ( x ) + o ( x) = ...
+∞
o( x + x2 ) = ...
2
+∞
1
+ ln x
x2
Compléter les expressions suivantes :
-1-
Mr. Faress Moussa
Feuille des exercices
Calcul des développements limités
O(5x) = ...
1
+
ln
x
= ...
+∞ x2
1
O e−x + 3 = ...
+∞
x
O
0
O ( x + x2 + ln x) = ...
+∞
O
0+
1
+ ln x
x2
Exercice.6.
= ...
O( x + x2 ) = ...
0
Exercice.7.
Calculs de développements limités en 0
Donner le DL10 (0) de f ( x) =
Donner le développements
limités à l’ordre n de f en 0 définies par :
q
1 ) f ( x) =
cos( x); n = 4
3 ) f ( x) = e
5 ) f ( x) =
sin( x)
x
; n=5
cos( x)
; n=3
1 + ln(1 + x)
Exercice.2.
Donner le développements limités à l’ordre n de f en a définies par :
√
1
f ( x) = ln (2x) , a = , n = 3
f ( x) = x, a = 1, n = 3;
2
1
1
f ( x) = sin(π x), a = , n = 2.
f ( x) = cos(π x), a = , n = 2.
6
6
Calculs des limites
Exercice.4.
lim x ln
x→+∞
x−1
.
x+1
1 + t2
dt et DL1000 (0) de f ( x) = ln
∑
k=0
!
xk
.
k!
DL d’une fonction implicite
Pourquoi la fonction tan admet-elle un développement limité à tout ordre en 0 ?
Déterminer le DL5 (0) de tan x
sin x
1. en remarquant tan x =
.
1 − (1 − cos x)
2. en remarquant tan x cos x = sin x.
3. en remarquant tan0 x = 1 + tan2 x.
4. en calculant le DL6 (0) de ln(cos x)
5. en remarquant tan 2x = . . ..
6. en remarquant tan(arctan x) = x pour x ∈ . . . .
Développement limité de la réciproque
2
Avec arccos
1. On définit, sur l’intervalle [0, 1] la fonction f par f ( x) = arccos(1 − x2 ).
Calculer sa dérivée f 0 et en déduire le développement limité de f à l’ordre 2n + 1
au voisinage de 0+ .
2. Déterminer le développement limité à l’ordre n au voisinage de x = 1− de la foncarccos( x)
tion suivante x 7→ g( x) = √
.
1−x
Lycée Omar Ibn El-Khattab
√
999
Exercice.9.
Montrer que la fonction f : x 7→ xe x réalise une bijection sur R et que sa réciproque
possède un DL d’ordre 5 en 0 à déterminer.
Exercice.5.
x
1
Pour tout t réel, soit Pt : R → R
x 7→ Pt ( x) = cosh(t) x5 + x − t2
1. Montrer que, pour tout t réel, le polynôme Pt a une unique racine réelle notée x(t),
et que 0 ≤ x(t) ≤ t2 .
2. Prouver que la fonction t → x(t) est paire.
x(t)
3. Pour t 6= 0, on pose ϕ(t) = 2 . Quelle est l’équation vérifiée par ϕ ?
t
Montrer que ϕ admet une limite en 0.
4. A l’aide d’un raisonnement par récurrence sur n, montrer que, pour tout entier
n ≥ 0, la fonction ϕ admet un développement limité d’ordre n au voisinage de 0.
5. Calculer le développement limité de ϕ(t) à l’ordre 15 en t = 0.
En déduire un développement limité pour x(t) au voisinage de t = 0.
Calculs de développements limités en a
Calculer les
:
limites suivantes
1
1
xx − x
lim
−
;
lim
;
x→0 x2
x→1 1 − x + ln x
sin2 x
Astucieux
Z x2
Exercice.8.
2 ) f ( x) = cos(sin( x)); n = 4
sinh( x)
4 ) f ( x) = 3 − x
; n=3
cosh( x) − 1
1
1
6 ) f ( x) =
− ; n=3
sinh( x)
x
Exercice.3.
Calculs de développements asymptotiques
Donner les développements asymptotiques de :
p
x2 1
1
1
f ( x) =
e x à la précision 4 .
f ( x) = x2 + x + 1 à la précision 2 ;
x+1
x
x
II . Calculs des développements limités.
Exercice.1.
Classe : MPSI (4)
Exercice.10.
Soit a ∈ R et f a ( x) = ( x2 − ax + 1) tan(
1. Donner un équivalent de f a en x = 3.
-2-
πx
).
6
Mr. Faress Moussa
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Calcul des développements limités
2. Pour quelle valeur de a la fonction est-elle prolongeable par continuité en x = 3 ?
Quelle est alors la valeur de f a (3) ?
3. Plus généralement, si P est un polynôme à coefficients réels, à quelle condition sur
πx
P la fonction g, avec g( x) = P( x) tan(
), est-elle prolongeable en x = 3 ? Expri6
0
mer alors f (3) en fonction de P (3).
(b) Calculer le développement limité d’ordre 3 de f en 0.
(c) En déduire que f admet un prolongement par continuité en 0, en le note encore f .
(d) Ce prolongement est dérivable en 0. Préciser alors l’équation de la tangente à
la courbe au point d’abscisse 0, ainsi que la position courbe-tangente au voisinage de 0.
√
2. On pose g( x) = e1/ x x2 + x + 1.
(a) Montrer que la courbe de g admet une asymptote en +∞, préciser son équation.
(b) Étudier la position courbe-asymptote au voisinage de +∞.
III . Applications géométriques.
Exercice.1.
Position de la tangente
Préciser la position de la tangente au point d’abscisse 0 par rapport à la courbe de f
(ou de son prolongement en 0) :
1
ln(1 + x) − sin( x)
f ( x) =
; f ( x) = ln(1 + x + x2 ); f ( x) =
.
1 + ex
xe x
Exercice.5.
x sin( x)
.
cos( x) − 1
(a) Déterminer le développement limité de g( x) au voisinage de x = 0 à l’ordre
5.
(b) Interpréter graphiquement ce résultat, et l’illustrer sur un schéma.
x
2. On pose f ( x) =
.
1
1 + ex
(a) Montrer que, dans un voisinage de +∞ :
1
1
1
1
f ( x) = x − +
+o
2
4 48x2
x2
(b) Interpréter graphiquement ce résultat, et l’illustrer sur un schéma.
On dit qu’une fonction f admet un DLn (+∞) s’il existe des scalaires a0 , . . . , an telles
que
1
1
1
1
f ( x) = a0 + a1 + a2 2 + · · · + an n + ◦ ( n )
+∞ x
x
x
x
1
1
En pratique : on pose u = et on cherche un DLn (u → 0) de f ( ).
x
u
Déterminez les DL suivants :
1. DL3 (+∞) de f ( x) = ln( x2 + 2x + 3) − ln( x2 + x + 1).
1
2. DL4 (+∞) de f ( x) = ln( x tan( )).
x
x
).
3. DL2 (+∞) de f ( x) = exp(
√ x − 1√
4. DL2 (+∞) de f ( x) = x + 1 − x − 1.
Étudier les branches infinies de :
x+1
y=
et
1
1 + ex
Exercice.6.
x3
ln
x+1
Exercice.4.
x+1
x
.
Etude locale d’une fonction
sin( x) − x cos( x)
.
ln(cos( x))
(a) Quel est l’ensemble de définition de f ?
1. On pose f ( x) =
Lycée Omar Ibn El-Khattab
Nombres de Bernoulli
A. Préliminaires : Formules de Taylor
1. Rappeler, avec précision, la formule de Taylor-Lagrange et l’inégalité de TaylorLagrange.
n
zk
2. Établir que lim ∑
= e z pour z complexe
n→+∞
k!
k=0
ex − 1
3. On considère la fonction : u : x 7→
x
∗
(a) Pour tout x ∈ R et n ∈ N calculer u(n) ( x)
(b) Montrer que la fonction u admet un prolongement de classe C ∞ sur R.,noté
encore u. Calculer u(n) (0) pour tout n.
Branches infinies
y=
Etude locale d’une fonction
1. On définit une fonction g par : g( x) = 3 −
Exercice.2.
Exercice.3.
Classe : MPSI (4)
On pose f ( x) =
-3-
B. Nombres de Bernoulli :
x
si
x
6
=
0 et f (0) = 1, et h( x) = f (2x) + x :
ex − 1
Mr. Faress Moussa
Feuille des exercices
Calcul des développements limités
1. Exprimer h( x) à l’aide de la fonction tanh. et préciser alors la parité de h.
2. Montrer que, pour tout entier n ≥ 1, la fonction f possède un développement
limité au voisinage de 0, à l’ordre n, de la forme :
n
xk
f ( x) = ∑ Bk + ◦( xn )
k!
k=0
,avec, pour tout entier p ≥ 1 : B2p+1 = 0.
3. (a) Montrer que, pour tout entier n ≥ 1 :
n−1
Bi
1 si n = 1
=
∑ i!(n − i)!
0
si n > 1
i =0
( xk )k∈Z de : a)
Classe : MPSI (4)
1
à la précision x4 ;
sin x
b)
1
à la précision x3 .
1 − cos x
Exercice.2.
Determiner le développement limité généralisé au voisinage de +∞ suivant la famille
p
1
à la précision xn ; b) 1 + X + X 2 à la précision x−2 .
( xk )k∈Z de : a)
1+x
Exercice.3.
Determiner le développement limité asymptotique au voisinage de +∞ suivant la
famille ( xα . lnβ ( x))α,β∈R de :
x+1
−n
a) ln(1 + x) à la précision x ; b) ln
à la precision xn à la précision x−n .
x+2
(b) Calculer B0 , B1 , B2 , B3 , B4 et B5 .
4. (a) Donner le développement limité d’ordre 2p, au voisinage de 0, de la fonction
h en fonction des coefficients Bk .
1
Expliciter ce développement pour le cas p = 3. On donne : B6 =
.
42
h(2t) − h(t)
, puis en déduire le
(b) Vérifier que, pour t 6= 0, on a : tanh(t) =
t
développement limité à l’ordre 2p − 1, au voisinage de 0, de la fonction tanh,
à l’aide des coefficients Bk .
(c) Trouver, avec ce qui précède, le développement limité d’ordre 6, au voisinage
de 0, de la fonction tanh.
Exercice.4.
Determiner un développement limité asymptotique au voisinage de +∞ suivant la
famille (e−kx )k∈Z de :
a) ln(1 + e x ) à la précision e−nx ; b) tanh x à la précision e−nx .
Exercice.5.
√
2x
.
2
2. Montrer que arccos(1√− x) possède √
un développement
limite généralisé à l’ordre
√
√
3
2n
+
1
2n
+
1
n du type : a0 x + a1 x + . . . + an x
+ o( x
) au voisinage de 0.
3. Determiner de même des développements limites généralisés : argch(1 − x) ;
argth(1 − x) .
1. Vérifier que : arccos(1 − x) = 2 arcsin
IV . Développements généralisés.
Soit a ∈ R et f : V ( a) → K une fonctions définie sur un voisinage V ( a) de a.
On considère une suite de fonctions (ek )k définies sur un voisinage V ( a) de a telles
que : ek+1 ( x) = o (ek ( x)).
x→ a
On dit que f admet un développement limité asymptotique (ou généralisé) au voisinage de a suivant l’échelle (ek )k à la precision en ( x) si f s’écrit de la forme :
Exercice.6.
n
f ( x) =
∑ ak ek (x) + x→o a(en (x)).
1. Montrer que la fonction g : x 7→ x − ln( x) possède une fonction réciproque f , strictement croissante, de classe C ∞ , strictement positive sur R. Tracer les courbes de
f et g.
ln( x)
ln( x)
2. Montrer que : f ( x) = x − ln( x) +
+ o
.
x→+∞
x
x
k=0
La fonction x 7→ a0 .e0 ( x) est dite la partie principale.
n
La fonction g( x) =
∑ ak ek (x) est dite la partie régulière.
k=0
la fonction x 7→ en ( x) est dite la précision.
Exercice.1.
`
Determiner le développement limité généralisé au voisinage de 0 suivant la famille
Lycée Omar Ibn El-Khattab
-4-
`
`
`
`
Mr. Faress Moussa