Fiche 2 Variables aléatoires

n∈N∗X{1,2, . . . ,n}
X
k= 1, . . . ,n P (X=k) = Ck,
C
C m ∈N1 + 2 + · · · +m=m(m+1)
2
k= 1, . . . ,n P (X≤k)
n+ 1 0 n
R
1I(x)=1 x∈I1I(x)=0
f1(x) = 1
2sin(x)1[0,π](x), f2(x) = 1 2sin(x)1[0,3π](x), f3(x) = −ln(x)1]0,1[(x),
f4(x) = 1
1 + x2, f5(x) = 
1
2exx≤0
0 0 <x<1x > 2
x−1 1 ≤x≤2
λ > 0X λ
Y Y =bXc
Y Y
Y
X1,X2, . . . ,X5f1,f2, . . . ,f5
T fT
fT(t) = λ(1 −t2)1[−1,1](t).
λ fT(t)
FT(t)
{|T| ≥ 1
2}
T t P (T≤t) = 1
2
X λ a > 0Y=aX
X
Y Y
U[0,1] λ > 0Y=−1
λln U
P(U≤0) Y
U
Y Y

X
fX:x7→ fX(x) = 1
π(1 + x2).
Y=1
X
P(X= 0) Y
X
Y=1
X
X fXY=|X|
a,b ∈Ra≤b
P(a≤Y≤b)Rb
a(· · · )fX
a≤b≤0
0≤a≤b
a≤0≤b
Y
XN(0,1)
Y=|X|
Z=X2
999 1 000
20 000 5 000
0,005 %
100
120
129,42
100 70
10 20 10
129,42
XE(λ)λ > 0ε
X
P(ε= +1) = 1
2=P(ε=−1).
Y=εX
Y
FYY
y < 0FY(y) = P(ε=−1)P(X > y)
y≥0FY(y) = P(ε=−1) + P(ε= +1)P(X < y)
Y

r
31
3r
21
3r2 3r1
A
(A)
πr2
p0<p<1
X1,X2, . . .
Xn= 1 n Xn= 0
Snn
Sn
N1
N1n≥1P(N1=n)N1
k > 1Nkk
Nk
n≥k
{Nk=n}={Sn−1=k−1}∩{Xn= 1},
Nk
Nkk
∞
X
n=0
xn=1
1−x
A8B12
A2X
B1Y
X Y
A
B
A B
A B
Z= 8X+ 12Y
E[Z] Var(Z)
350 W
W
P(9000 < W < 10600)
W m = 9800
σ= 309
•W∗=W−9800
309
•Z∼ N (0,1) P(Z≤0,16) P(Z≤0,49)
•W

•
•
•
λ,µ > 0X,Y P(λ)P(µ)
Z=X+Y.
n∈NP(Z=n)Z
0≤k≤n P (X=k|Z=n)
T
L T
T=L−4
L
FLL
L
N S n
X
X
0≤k≤n, P (X=k) = Ck
SCn−k
N−S
Cn
N
.
(1 + x)N= (1 + x)S(1 + x)N−S
p∈[0,1] P(X=k)N→ ∞ S→ ∞ S
N→p n
? E[X] Var(X)
E[X] = np Var(X) = np(1 −p)N−n
N−1
p S =pN