Conjecture onjecture onjecture H : Topologie, alg èbre et géométrie.

UNIVERSIT E HASSAN II
FACULTE DES SCIENCES
CASABLANCA
1
C
CC
Conjecture
onjecture onjecture
onjecture H
HH
H :
::
:
Topologie, alg
Topologie, algTopologie, alg
Topologie, algèbre et g
bre et gbre et g
bre et géom
omom
ométrie
trietrie
trie.
..
.
Par : Aaya Hassan
Sommaire :
1. Introduction.
2. Formes différentielles
3. Algèbres différentielles graduées
4. Lemme de Poincaré et cohomologie de de Rham
5. Lien avec la topologie et groupes d’homotopie supérieurs
6. La théorie de Quillen-Sullivan et Le théorème de Quillen-Sullivan sur R
7. Passer des réels aux rationnels : Triangulation
8. La conjecture H.
1.
1.1.
1. Introduction.
Introduction.Introduction.
Introduction.
Il existe un lien très étroit entre les algèbres des formes différentielles et la topologie, cet article a
pour objectif de montrer quelques-uns de ces liens, et d’aborder quelques aspects récents de
l’homotopie rationnelle.
Le calcul des groupes d’homotopie d’ordre supérieur   est un problème fondamental de la
topologie algébrique. Ceci a l’air d’être un problème abstrait, mais en fait des tas de considérations
amènent à calculer ces groupes – par exemple la détermination du nombre de structures
différentiables sur une variété. Ce sont des objets fondamentaux de la topologie, et on aimerait donc
connaître un peu leur structure. Mais, curieusement, on ne sait même pas calculer les groupes
d’homotopie des sphères,   - sauf, bien sûr, si    (c’est ) et si n = r (c’est ). On ne
connaît que des résultats particuliers : 
  (H. Hopf) ;    ; pour    (H.
Hopf) ;   est abélien fini si r est impair et    (J.-P. Serre) ; toutes les sphères de dimension
  ont une infinité de groupes d’homotopie non nuls (J.-P. Serre) ; 
  pour tout   
(Curtis), etc.

UNIVERSIT E HASSAN II
FACULTE DES SCIENCES
CASABLANCA
2
On a tout de même quelques résultats généraux : par exemple, si la variété X est compacte, alors
 est un groupe de type fini. Mais il est quasiment impossible pour le moment d’en savoir plus.
Les topologues se sont donc fixé un objectif moins ambitieux : peut-on au moins décrire : 
(La partie libre du groupe) ? Et là, il se trouve que la réponse est oui, du moins si X est simplement
connexe (c’est-à-dire si   ) : dans ce cas, on peut calculer les groupes   à partir du
complexe de De Rham, grâce à la théorie de Quillen-Sullivan qui date de la fin des années 1960.
2.
2.2.
2. F
FF
Formes diff
ormes difformes diff
ormes différentielles
rentiellesrentielles
rentielles
Pour commencer, considérons une variété différentielle réelle 
∞
,  de dimension . On peut lui
associer une algèbre différentielle graduée, notée  , qui est l’algèbre des formes différentielles sur
 (on parle des formes différentielles définies sur toute la variété  et 
∞
sur cette variété ).
Une forme différentielle de degré  sur un ouvert de  est une expression de la forme
sont des fonctions 
∞
sur cet ouvert. La forme  s’interprète comme la donnée pour
chaque point x d’une forme linéaire sur  (notamment  s’interprète comme la forme linéaire
associant à    sa i-ième coordonnée  ). Sur une variété , on définit une forme différentielle de
degré 1 comme la donnée en chaque point d’une forme linéaire sur l’espace tangent en x ; une telle
forme possède dans chaque carte une expression en coordonnées du type (1).
Les formes de degré 1 s’intègrent naturellement sur les chemins et on a :
si    est un chemin de classe  , l’intégrale ne dépend pas du paramétrage.
Une forme différentielle de degré    sur une variété X consiste en la donnée en chaque point x
d’une forme n-linéaire alternée sur l’espace tangent en x. En coordonnées :
en notant, lorsque  sont des formes de degré 1,
 la somme est prise sur toutes les permutations   de  et    est la
signature de la permutation  . En particulier, lorsque  sont des formes de degré 1,

UNIVERSIT E HASSAN II
FACULTE DES SCIENCES
CASABLANCA
3
on a   et   .
Ajoutons qu’une forme différentielle de degré  est tout simplement une fonction 
∞
.
Les formes différentielles de degré  sont par excellence l’objet qui s’intègre sur les sous-variétés
orientées de dimension .
3.
3.3.
3. L’alg
L’algL’alg
L’algèbre diff
bre diffbre diff
bre différentielle
rentielle rentielle
rentielle gradu
gradugradu
graduée
ee
e .
. .
.
On note   l’ensemble des formes différentielles de degré   ,   l’anneau des
fonctions 
∞
. Chacun des   est un module sur   . On note   la somme directe des
 pour   . La somme directe
 est munie d’un produit  appelé « produit extérieur »
et d’un opérateur d, appelé « différentielle extérieure ».
C’est cela qui en fait une algèbre différentielle graduée.
Le produit  est défini de façon que :
et prolongé de manière à obtenir une application A-bilinéaire de   dans  .
Le produit d’une forme de degré  par une forme de degré   est commutatif et se note sans le
symbole    . Le produit extérieur s’tend par linarité en une application A-bilinéaire de
Cette opération est distributive par rapport  l’addition. On vérifie qu’elle est aussi associative.
La différentielle extérieure se définit par ses restrictions :
est l’application -linéaire donnée en coordonnées locales par la formule suivante : si
Alors :

UNIVERSIT E HASSAN II
FACULTE DES SCIENCES
CASABLANCA
4
L’oprateur  est bien connu − sous des noms divers –dans un ouvert de  , les formes de degré
  et de degré   s’identifient aux fonctions et les formes de degré
 et de degré 
 aux champs de vecteurs,  est le gradient (différentielle des fonctions),  le rotationnel et  la
divergence :
Une part de la signification géométrique de la différentielle extérieure réside dans la formule de
Stokes : si  désigne une sous-variété à bord de , compacte, orientée, de dimension n, dont le bord
est noté , et si  est une forme différentielle de degré , on a
4.
4.4.
4. Lemme de Poincar
Lemme de PoincarLemme de Poincar
Lemme de Poincaré et cohomologie de
et cohomologie de et cohomologie de
et cohomologie de De Rham
De RhamDe Rham
De Rham.
. .
.
On vérifie par le calcul que    (c’est-à-dire    pour tout n). Autrement dit, on a
cette propriété remarquable :  . Les éléments de  s’appellent les formes
différentielles fermées de degré n (on note souvent   pour  ). Les éléments de 
s’appellent les formes différentielles exactes de degré n.
Dans une boule de  , ou plus généralement dans un ouvert ouvert étoilé et, plus généralement
encore, dans un ouvert contractile, on a  : toute forme fermée est exacte (lemme de
Poincaré).
Dans le cas général, on définit la cohomologie de De Rham de X en degré n par :
.
Autrement dit, le nième groupe de cohomologie matérialise l’obstruction pour qu’une forme
régulière fermée sur X soit exacte (on convient que  , donc  ) ;   est
un espace vectoriel rel, et dans beaucoup de situations, il est de dimension finie. Par exemple,
 d est le nombre de composantes connexes de X. Si X est compacte, tous les 
sont de dimension finie. On a mme de trs jolies propriétés : si X est non seulement compacte, mais

UNIVERSIT E HASSAN II
FACULTE DES SCIENCES
CASABLANCA
5
aussi orientée, et de dimension m, on a :   (c’est ce qu’on appelle la dualité de
Poincaré).
E
EE
Exemple
xemplexemple
xemple :
::
:
Dans le cercle  unité on considère la forme usuelle .
 a une classe de cohomologie   qui est non nulle, contrairement à ce qu’on pourrait
penser ; parce que ce n’est pas une différentielle exacte.
Une façon de voir si une classe de cohomologie est non nulle, c’est de l’intégrer. C’est un résultat
très utile : si  est une variété orientée connexe (sans bord) de dimension m et si  est une forme
différentielle de degré  (c’est le degré maximal ;  est alors nécessairement fermée :
, alors :
Sur l’exemple   , on voit que   
Ce qui confirme que  n’est pas exacte.
L’intérêt de la cohomologie de de Rham provient du théorème suivant:
Th é or è me de de Rham : Pour tout , est un invariant topologique.
Ceci signifie que, contrairement aux apparences, 
ne dépend que de la topologie de X, et non
de sa structure différentiable.
5.
5.5.
5. Lien avec la topologie et groupes d’homotopie sup
Lien avec la topologie et groupes d’homotopie supLien avec la topologie et groupes d’homotopie sup
Lien avec la topologie et groupes d’homotopie supérieurs
rieursrieurs
rieurs
Rappel sur le
Rappel sur leRappel sur le
Rappel sur les
ss
s groupe
groupegroupe
groupes
ss
s d
dd
d’homotopie
homotopiehomotopie
homotopie :
::
:
Soit un point    ; un lacet issu de  (ou de point base  ) est une application   ,
continue, telle que      .
Deux lacets  et  sont dits homotopes s’il existe une application    continue,
telle que    et que  ,  
autrement dit si on peut déformer continment  en  . L’homotopie est une relation d’équivalence