Conjecture onjecture onjecture H : Topologie, alg èbre et géométrie.

UNIVERSITE HASSAN II
FACULTE DES SCIENCES
CASABLANCA
Conjecture H :
Topologie, algèbre
alg bre et géom
g ométrie
om trie.
trie.
Par : Aaya Hassan
Sommaire :
1.
1.
Introduction.
2.
Formes différentielles
3.
Algèbres différentielles graduées
4.
Lemme de Poincaré et cohomologie de de Rham
5.
Lien avec la topologie et groupes d’homotopie supérieurs,
6.
La théorie de Quillen-Sullivan et Le théorème de Quillen-Sullivan sur R
7.
Passer des réels aux rationnels : Triangulation
8.
La conjecture H.
Introduction.
Il existe un lien très étroit entre les algèbres des formes différentielles et la topologie, cet article a
pour objectif de montrer quelques-uns de ces liens, et d’aborder quelques aspects récents de
l’homotopie rationnelle.
Le calcul des groupes d’homotopie d’ordre supérieur est un problème fondamental de la
topologie algébrique. Ceci a l’air d’être un problème abstrait, mais en fait des tas de considérations
amènent à calculer ces groupes – par exemple la détermination du nombre de structures
différentiables sur une variété. Ce sont des objets fondamentaux de la topologie, et on aimerait donc
connaître un peu leur structure. Mais, curieusement, on ne sait même pas calculer les groupes
d’homotopie des sphères, - sauf, bien sûr, si (c’est 0) et si n = r (c’est ). On ne
connaît que des résultats particuliers : (H. Hopf) ; /2 ; pour 3 (H.
Hopf) ; est abélien fini si r est impair et (J.-P. Serre) ; toutes les sphères de dimension
1 ont une infinité de groupes d’homotopie non nuls (J.-P. Serre) ; 0 pour tout 5
(Curtis), etc.
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On a tout de même quelques résultats généraux : par exemple, si la variété X est compacte, alors
est un groupe de type fini. Mais il est quasiment impossible pour le moment d’en savoir plus.
Les topologues se sont donc fixé un objectif moins ambitieux : peut-on au moins décrire : ⨂ ℚ
(La partie libre du groupe) ? Et là, il se trouve que la réponse est oui, du moins si X est simplement
connexe (c’est-à-dire si 0) : dans ce cas, on peut calculer les groupes ⨂ ℚ à partir du
complexe de De Rham, grâce à la théorie de Quillen-Sullivan qui date de la fin des années 1960.
2.
Formes différentielles
diff rentielles
Pour commencer, considérons une variété différentielle réelle ! ∞ , de dimension ". On peut lui
associer une algèbre différentielle graduée, notée Ω∗ , qui est l’algèbre des formes différentielles sur
(on parle des formes différentielles définies sur toute la variété et ! ∞ sur cette variété ).
Une forme différentielle de degré 1 sur un ouvert de %& est une expression de la forme
' ( )* + , , , +(& )*& . 1
.ù ( , . . ., (& sont des fonctions ! ∞ sur cet ouvert. La forme ' s’interprète comme la donnée pour
chaque point x d’une forme linéaire sur %& (notamment )*0 s’interprète comme la forme linéaire
associant à * ∈ %& sa i-ième coordonnée *0 ). Sur une variété , on définit une forme différentielle de
degré 1 comme la donnée en chaque point d’une forme linéaire sur l’espace tangent en x ; une telle
forme possède dans chaque carte une expression en coordonnées du type (1).
Les formes de degré 1 s’intègrent naturellement sur les chemins et on a :
8
2 ' 2 ⟨', 4 5 6⟩)6
:
9
si 4 ∶ <=, >? → est un chemin de classe ! , l’intégrale ne dépend pas du paramétrage.
Une forme différentielle de degré 1 sur une variété X consiste en la donnée en chaque point x
d’une forme n-linéaire alternée sur l’espace tangent en x. En coordonnées :
'
A
E0B F⋯F0D E&
=0B …0D )*0B ∧ … ∧ )*0D
en notant, lorsque I , . . . , I sont des formes de degré 1,
I ∧ … ∧ I& J , … , J& 1
AL1MN0B …0O I0B J … I0O J& "!
.ù la somme est prise sur toutes les permutations P , . . . , P& de 1, . . . , " et .ù QR
P , . . . , P& est la
signature de la permutation P , . . . , P& . En particulier, lorsque I S6 T sont des formes de degré 1,
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on a I ∧ T LT ∧ I et I ∧ I 0.
Ajoutons qu’une forme différentielle de degré 0 est tout simplement une fonction ! ∞ .
Les formes différentielles de degré sont par excellence l’objet qui s’intègre sur les sous-variétés
orientées de dimension .
3.
L’algèbre
L’alg bre différentielle
diff rentielle graduée
gradu e U∗ V..
On note Ω l’ensemble des formes différentielles de degré 1, ΩW l’anneau des
fonctions ! ∞ . Chacun des Ω est un module sur A ΩW . On note Ω∗ la somme directe des
Ω pour ∈ Y. La somme directe
Ω∗ est munie d’un produit ∧ appelé « produit extérieur »
et d’un opérateur d, appelé « différentielle extérieure ».
C’est cela qui en fait une algèbre différentielle graduée.
Le produit ∧ est défini de façon que :
)*0B ∧, , ,∧ )*0D ∧ )*Z ∧, , ,∧ )*Z )*0 ∧ , , , ∧ )*0 ∧ )*Z ∧ , , , ∧ )*Z
[
[
et prolongé de manière à obtenir une application A-bilinéaire de Ω \ Ω[ dans Ω[ .
Le produit d’une forme de degré 0 par une forme de degré Ω est commutatif et se note sans le
symbole ∧∶ ]' ']. Le produit extérieur s’étend par linéarité en une application A-bilinéaire de
Ω∗ \ Ω∗ )=
Q Ω∗ .
Cette opération est distributive par rapport à l’addition. On vérifie qu’elle est aussi associative.
La différentielle extérieure se définit par ses restrictions :
)|aDb ) ∶ Ω ⟶ Ω est l’application %-linéaire donnée en coordonnées locales par la formule suivante : si
'
A
E0B F⋯F0D E&
Alors :
3
=0B …0D )*0B ∧ … ∧ )*0D
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&
)' A
A
ef E0B F⋯F0D E&
d=0B…0D
)*e ∧ )*0B ∧ … ∧ )*0D
d*e
L’opérateur ) est bien connu − sous des noms divers –dans un ouvert de % , .ù les formes de degré
0 ]* et de degré 3 R* )* ∧ )* ∧ )* s’identifient aux fonctions et les formes de degré
1 ( * )* + ( * )* + ( * )* et de degré 2 g * )* ∧ )* + g * )* ∧ )* + g *)* ∧
)* aux champs de vecteurs, )W est le gradient (différentielle des fonctions), ) le rotationnel et ) la
divergence :
Une part de la signification géométrique de la différentielle extérieure réside dans la formule de
Stokes : si h désigne une sous-variété à bord de , compacte, orientée, de dimension n, dont le bord
est noté dh, et si ' est une forme différentielle de degré , on a
2 ' 2 d'
ji
4.
i
Lemme de Poincaré
Poincar et cohomologie de De Rham.
Rham.
On vérifie par le calcul que ) 0 (c’est-à-dire ) ∘ )l 0 pour tout n). Autrement dit, on a
cette propriété remarquable : m" )l ⊂ oS ) . Les éléments de oS ) s’appellent les formes
différentielles fermées de degré n (on note souvent p pour oS ) ). Les éléments de m" )l
s’appellent les formes différentielles exactes de degré n.
Dans une boule de %& , ou plus généralement dans un ouvert ouvert étoilé et, plus généralement
encore, dans un ouvert contractile, on a m" )l oS ) : toute forme fermée est exacte (lemme de
Poincaré).
Dans le cas général, on définit la cohomologie de De Rham de X en degré n par :
q oS ) / m" )l .
Autrement dit, le nième groupe de cohomologie matérialise l’obstruction pour qu’une forme
régulière fermée sur X soit exacte (on convient que Ωl 0, donc qW oS )W ) ; H s est
un espace vectoriel réel, et dans beaucoup de situations, il est de dimension finie. Par exemple,
qW ≃ %u .ù d est le nombre de composantes connexes de X. Si X est compacte, tous les q sont de dimension finie. On a même de très jolies propriétés : si X est non seulement compacte, mais
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aussi orientée, et de dimension m, on a : q ≃ q &l (c’est ce qu’on appelle la dualité de
Poincaré).
Exemple :
Dans le cercle unité on considère la forme usuelle )x.
)x a une classe de cohomologie <)y ? ∈ q qui est non nulle, contrairement à ce qu’on pourrait
penser ; parce que ce n’est pas une différentielle exacte.
Une façon de voir si une classe de cohomologie est non nulle, c’est de l’intégrer. C’est un résultat
très utile : si est une variété orientée connexe (sans bord) de dimension m et si ' est une forme
différentielle de degré " (c’est le degré maximal ; ' est alors nécessairement fermée :
' ∈ Ω& p & , alors :
∃{ | Ω&l , ' ){ ⇔ 2 ' 0
b
Sur l’exemple , on voit que
~B )x 2
Ce qui confirme que )x n’est pas exacte.
L’intérêt de la cohomologie de de Rham provient du théorème suivant:
Théorème de de Rham : Pour tout ∈ , q est un invariant topologique.
Ceci signifie que, contrairement aux apparences, q ne dépend que de la topologie de X, et non
de sa structure différentiable.
5.
Lien avec la topologie et groupes d’homotopie supérieurs
sup rieurs
Rappel sur les
les groupes
groupes d’homotopie
homotopie :
Soit un point *W ∈ ; un lacet issu de *W (ou de point base *W ) est une application { ∶ <0, 1? → ,
continue, telle que {0 {1 *0 .
Deux lacets {W et { sont dits homotopes s’il existe une application € ∶ <0, 1? \ <0, 1? ⟶ continue,
telle que ∀6 ∈ <0, 1?, €6, 0 {W 6, S6 €6, 1 { 6 et que ∀Q ∈ <0, 1?, €0, Q €1, Q *W
autrement dit si on peut déformer continûment {W en { . L’homotopie est une relation d’équivalence
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Fig 1 : Lacets homotopes ; composition des lacets
sur l’ensemble des lacets continus de X de point base *W . Par définition, , *W est l’ensemble des
classes d’homotopie de lacets issus de *W . La loi de composition (au sens « concaténation ») des lacets
passe au quotient, et fait de , *W un groupe (en général non commutatif). Si * est un autre point
de X, les groupes , *W S6 , * sont isomorphes, et donc on note souvent , sans préciser
le point base.
L’intégrale ~… ' peut être définie pour toute ' ∈ p oS ) et tout lacet { (il n’est pas
nécessaire qu’il soit ! ), et elle ne dépend que de la classe d’homotopie de { dans , *W (.ù *0 {0 {1 et de la classe de cohomologie de ' dans q . On a donc une application
, *W \ q ⟶ %
{, ' ⟶ 2 '
…
Qui est linéaire par rapport à sa deuxième variable, ce qui induit une application q ⟶
q." , *W , %.
Le théorème de de Rham précise en fait que c’est un isomorphisme de groupes. C’est déjà ici une
petite indication qu’il y a une relation entre la topologie et les formes différentielles − une toute petite
indication, vraiment, car on est en train de parler seulement des lacets ; mais les topologues ont
introduit d’autres invariants qui sont beaucoup plus fins que , *W , à savoir les groupes
d’homotopie supérieurs , *W ,
Groupes d’homotopie
d homotopie des sphères
sph res :
Le groupe d’homotopie d’ordre ‡ de la sphère de dimension , , est l’ensemble, noté Z < Z ⟶ ?, des classes d’homotopie d’applications qui envoient un point fixé de la sphère Z sur un
point fixé de la sphère . Cet ensemble (pour ‡ et fixés), noté Z , peut être muni d’une
structure de groupe abélien.
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Si ‡ , ce groupe est réduit à un seul élément : Z 0.
Si ‡ ,
élément) : Z
ce
groupe
.
est
monogène
infini
(c’est-à-dire
infini
et
engendré
par
un
seul
Si ‡ , le groupe Z est soit un groupe fini, soit la somme d’un groupe fini et d’un groupe
infini monogène.
Propriét
rales :
Propri téss gén
g nérales
On peut obtenir quelques résultats vrais en toute dimension :
•
Les groupes d’homotopie des sphères sont des groupes abéliens de type fini (avec un
nombre fini de générateurs).
•
•
Z 0, pour ‡ ˆ L 1.
.
Quelques exemples :
a) Groupes d’homotopie des cercles, une sphère de dimension 1 est un cercle. et on a :
•
•
Z 0, pour ‡ 2.
b)
Sphères de dimension 2 S6 3 ; Les sphères de dimension au moins deux sont
simplement connexes, en particulier :
0
0
6.
La théorie
th orie de QuillenQuillen-Sullivan
Les algèbres
alg bres différentielles
diff rentielles graduées
gradu es (ADG) et leurs quasiquasi-isomorphismes :
On va d’abord introduire la notion de quasi-isomorphisme :
Définition : Une algèbre différentielle graduée (ADG) ‰∗ est la donnée d’une suite de groupes (ou
d’espaces vectoriels) ‰W , ‰ , ‰ , , , , couplée avec la donnée d’une différentielle pour passer de l’un à
u
u
u
l’autre, c’est-à dire ‰W → ‰ → ‰ → … avec la propriété que ) 0, et d’un produit
∧∶ ‰ \ ‰[ ⟶ ‰[ , comme dans le cas du complexe de de Rham, ce produit doit être
compatible avec la différentielle, et vérifie : )' ∧ '′ )' ∧ '′ + L1‹Œ Ž ' ∧ )'′.
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Ce qui est intéressant, c’est la cohomologie de l’ADG, définie comme l’était la cohomologie de de
Rham, c’est-à-dire par q ‰∗ oS ) / m" )l , ∈ .
Une ADG est dite commutative (au sens gradué) si ' ∧ '′ L1uN Ž uN Ž5 '′ ∧ ' pour toute
paire homogène ', '′. Cette propriété de commutativité était satisfaite pour les formes
différentielles usuelles.
‘
Deux ADG ‰∗ et ∗ sont dites quasi-isomorphes s’il existe un morphisme d’ADG ‰∗ →  ∗ qui
induise, à chaque étage ∈ Y, un isomorphisme en cohomologie :
’‘
q ‰∗ “””• q ∗ .
Dans la notion de quasi-isomorphisme, ce que l’on retient donc essentiellement de l’ADG, c’est sa
cohomologie. Mais il ne faut pas oublier que la flèche f doit respecter les structures d’algèbre
différentielle (c’est un morphisme d’ADG), ce qui implique qu’elle soit compatible avec la structure
multiplicative afférente au calcul extérieur. C’est à dire que si deux ADG ont la même cohomologie (à
isomorphismes près), elles ne sont pas forcément quasi-isomorphes, encore faut-il pouvoir pour cela
exhiber aussi la flèche f dont dérive l’isomorphisme en cohomologie q].
Le théor
th orème
or me deQuillendeQuillen-Sullivan sur % :
Théorème (Quillen(Quillen-Sullivan)
Sullivan): Soient X et Y deux variétés différentielles réelles simplement
connexes telles que les algèbres différentielles graduées de formes différentielles Ω∗ et Ω∗ h soient
quasi-isomorphes. Alors et h sont isomorphes modulo la torsion ; plus précisément:
⊗ % ≃ h ⊗ % , pour tout ∈ Y.
Ce théorème signifie qu’il y a un lien profond, entre les formes différentielles et la topologie. Il y a
quelque chose derrière ce théorème qu’il faut essayer de comprendre : c’est ce qu’on va faire
maintenant. Il serait aussi naturel de voir si on ne pourrait pas remplacer % par un anneau plus petit,
par exemple ℚ ou , puisque l’anneau qui apparaît au niveau du produit tensoriel dans le théorème
est . Il convient pour cela de transposer du cadre réel au cadre rationnel (voire entier) les diverses
notions (formes différentielles, ADG) que nous venons d’introduire. Passer des réels aux rationnels.
Évidemment, la notion de fonction rationnelle (c’est-à-dire, ici, à valeurs rationnelles) ! ∞ sur une
variété n’a pas beaucoup de sens ! Pour s’en tirer, on va devoir commencer par trianguler les
variétés.
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7.
Passer des réels
r els aux rationnels :Triangulation
Définition : Soit S un ensemble fini; on appelle complexe simplicial un sous-ensemble K de ™S tel
que si { ∈ o S6 QP › ⊂ { alors › ∈ o .
Remarque. On pourrait prendre œ infini, mais on va se contenter de prendre œ fini.
Exemple :
On concidère l’ensemble S des sommets d’un tétraèdre
œ Q.""S6Q ) 5 
6é6=è)S 0, 1, 2, 3 ;
Soit o l’ensemble des parties de œ contenant au plus trois éléments.
On peut voir les parties à 3 éléments comme les faces du tétraèdre, les parties à 2 éléments comme
les arêtes et les singletons comme les sommets : on obtient ainsi la réalisation géométrique de o,
notée |o|, quiest un espace topologique. Dans notre exemple,|o| est homéomorphe(en tant qu’espace
topologique) à S2. Par abus de langage, |o| lui-mêmeest appelé un « complexe simplicial ».
Théor
Th orème
or me (de triangulation des variét
vari téss ):: Toute variété différentielle ! ∞ réelle compacte est
homéomorphe à la réalisation géométrique |o| d’un certain complexe simplicial K.
Donnons une méthode permettant d’envisager d’une façon plus concrète la construction d’un tel
complexe simplicial o subordonné à une variété différentiable réelle .
Soit Ÿ 0 0∈¡ un recouvrement ouvert fini de , tel que les ouverts 0¢ ,,,0£ 0¢ ∩ , , , ∩ 0 soient vides ou contractiles. Il n’est pas très compliqué de montrer qu’un tel recouvrement existe :
c’est un résultat classique de topologie. Ÿ est appelé un bon recouvrement fini. On obtient alors un
complexe simplicial noté Ÿ, appelé nerf du recouvrement, en prenant l’ensemble des multi-indices
PW , . . . , P tels que 0¢,,,0£ ∅. Soit I0 0 ∈ m une partition de l’unité adaptée au recouvrement Ÿ (les
fonctions I0 0 ∈ ¡ , réalisant cette partition prenant leurs valeurs dans <0, 1?) ; soit |Ÿ| la
réalisation géométrique de Ÿ ; alors l’application
→ |Ÿ|
* ↦ I0 *
(les I0 * jouant le rôle de coordonnées barycentriques pour un point de |Ÿ|) définit une
équivalence d’homotopie, et celle-ci induira un quasi-isomorphisme d’algèbres différentielles graduées
Ω∗ Ÿℚ ⊗ % ⟶ Ω∗ %
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Une fois que l’on aura défini avec précision ce que l’on entend par complexe de de Rham
Ω Ÿℚ (notons qu’il s’agit cette fois de formes rationnelles, et non plus réelles comme dans le
∗
complexe de de Rham classique). Par conséquent, travailler sur (en réel) revient à travailler sur
Ÿ (cette fois en rationnel). Le problème consiste donc maintenant à définir les formes
différentielles sur un complexe simplicial.
Exemple :
Reprenons l’exemple précédent du tétraèdre, comment peut-on définir des formes différentielles sur
un tétraèdre ? On les définit en fait sur chaque face en se donnant un modèle algébrique.
Si on prends par exemple trois variables *W , * , * , l’analogue des formes différentielles sur la face
0, 1, 2 sera défini par des différentielles formelles )*W , )* , )* , avec comme coefficients les
polynômes en *W , * , * à coefficients rationnels, et en quotientant par les relations
*W + * + * 1,
)*W + )* + )* 0.
Implicitement, cela revient à éliminer l’une des variables. Par exemple, *W * )*W ∧ )* est une
forme différentielle sur le triangle *W + * + * 1.
Une forme différentielle au sens de Sullivan sur le bord d’un tétraèdre est la donnée pour chaque
face P, ‡, ¨ d’une forme '0Ze *P, *‡, *¨, et ce de façon compatible, c’est-à-dire de telle sorte que ces
formes se recollent sur les arêtes : 'W |02 'W |02 , etc. On voit, à partir de cet exemple,
comment on peut construire en général les formes différentielles sur un complexe simplicial.
En résumé, si o est un complexe simplicial, on peut définir une ADG «du type de de Rham» Ω∗ o
à coefficients rationnels. Remarquez qu’on a pris des polynômes et non des fonctions ! ∞ . Remarquez
aussi que notre définition aurait autorisé a priori des coefficients quelconques, entiers par exemple.
C’est une telle ADG du type de Rham que nous avons introduite comme Ω∗ Ÿℚ dans la soussection précédente.
Le théorème de Quillen-Sullivan passe alors à ce nouveau cadre et devient cette fois le résultat
suivant:
Théor
Th orème
(Quillen-Sullivan) : Soient K et L deux complexes simpliciaux connexes et simplement
or me (Quillen-
connexes tels que les ADG : Ω∗ oet Ω∗ © soient quasi-isomorphes. Alors o et © sont
rationnellement isomorphes, c’est-à-dire : o ⊗ ℚ ≃ © ⊗ ℚ.
En fait, ce théorème (avec ℚ) implique le théorème précédent (avec %).
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Modèle
Mod le minimal de Sullivan :
Soit V une ADG sur ℚ , on définit son abélianisé comme étant l’ADG Λ« «⨂«/J⨂¬ L
1|­||®| ¬⨂J, qui est commutative.
Une ADG commutative V est dite modèle de Sullivan s’il existe une base ordonnée J0 0∈¡ de V
telle que : )J ∈ °Je ; ¨ L’ADG commutative V est dite modèle minimal de Sullivan si en plus on a |J | ˆ |J& | dès que
".
8.
La conjecture H :
Conject
Conjecture H (Cas elliptique):
liptique):
En dimension finie, pour tour espace topologique simplement connexe on a toujours :
)P"∗ ⨂ℚ ˆ )P" q ∗ , ℚ.
Ce résultat a été démontré par M. Hilali pour le cas des espaces pures en 1990, et puis par MM.
Hilali et Mamouni en 2008 pour le cas hyper-elliptique sous des conditions spécifiques et quelques
types d’espaces topologiques, avant d’être démontré en 2012 par des espagnoles dans le cas hyperelliptique global.
La conjecture H est toujours ouverte et d’actualité et constitue l’un des sujets de recherche du
groupe d’homotopie rationnelle marocain, dont l’un des membres fondateurs est M. Hilali lui-même.
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Bibliographie:
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Max Karoubi : Topologie et formes différentielles
R. Bott and L.W. Tu, Differential forms in Algebraic Topology
Y.Felix, J.Opera,D. Tanré, Algebraic models in geometry
R.Hilali, M.I Mamouni la conjecture H : Une minoration de la dimension cohomologique pour
un espace elliptique
J.Fernandez de Bobadilla J.Fresan, V.Munoz, A.Murillo; The Hilali
conjecture for hyperelliptic spaces.
-
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www.wikipedia.com