IPT TSI1 Chapitre 10 Equations différentielles, méthode d’Euler TD N°17 : EQUATIONS DIFFERENTIELLES D’ORDRE 1 METHODE D’EULER Rappels : De nombreux phénomènes physiques (mécanique, électrique, thermique, chimique…) se modélisent à l'aide d'équations différentielles. Pour les cas simples, par exemple pour les systèmes d’ordre 1 et 2 à coefficients constants, on établit la solution analytique. Pour de très nombreux cas les équations différentielles sont non-linéaires, on utilisera la méthode d'Euler, qui permet d'obtenir une solution numérique approchée d'équations différentielles. y’ + a.y = 0 avec a constante et y(0) condition initiale connue. Résoudre l'équation différentielle conduit Si on appelle Δx le pas de résolution, la méthode d'Euler consiste à construire par récurrence la suite alors à déterminer les y(n.Δ x) successivement. un = y(n.Δ x) définie par : Par la dérivée numérique à droite pour le premier pas : u0 = y(0) un+1 = - a.un.Δ x+un en reportant Exercice 1 : Mise en place de la méthode d’Euler, équation d’ordre 1 On désire résoudre numériquement l’équation différentielle de la forme y’ + a.y = 0 Programme « TD_17_Exo1_EulerOrdre1 ELEVE.py » Q1. Exprimer la dérivée numérique y’[n] à droite en utilisant le pas du programme ci-contre. Q2. Remplacer y’[n] dans l’équation différentielle et exprimer alors y[n+1]. Q3. Ouvrir le programme fourni et compléter la ligne 20 avec ce que vous avez établi. Exécuter le programme, vous devez obtenir la figure ci-contre. Q4. Faire varier dans un premier temps le nombre de points de calcul N et conclure sur son influence. Q5. Pour N = 20 points de calcul agir sur la valeur du coefficient constant a et conclure sur son influence quant à la convergence de la solution numérique. JC ROLIN 02/2017 Page 1 sur 2 Lycée G Eiffel DIJON IPT TSI1 Chapitre 10 Equations différentielles, méthode d’Euler Exercice 2 : Application au circuit RC série, charge d’un condensateur On exploite la méthode d’Euler pour établir le tracé de la tension de charge d’un condensateur à partir de l’application d’une tension constante E au travers d’une résistance R montée en série. La tension initiale est Uso. TD_17_EXO2_circuit RC avec ecarts ELEVE.py Q1. Donner la relation entre le courant i dans le circuit et la tension Us aux bornes du condensateur établir la loi des mailles du circuit ci-contre et en déduire l’équation différentielle de Us. Q2. Si on considère la loi établie sous la forme 𝐸 𝑑𝑈 𝑈 = 𝑑𝑡𝑠 + 𝑅.𝐶𝑠 , établir la dérivée numérique à 𝑅.𝐶 droite de Us(n), l’introduire dans l’équation et déduire l’équation de Us(n+1) à placer dans une boucle for (revoir l’exercice 1 si nécessaire). Q3. Tracé pour Uso = 5V et E = 10V. Q3. Ouvrir le programme fourni et compléter la ligne 28 avec ce que vous avez établi en Q2. Exécuter le programme. Vous devez obtenir la figure 1 ci-dessous si Uso = 5V et E = 10V. Q4. Tracé des écarts Q4. Compléter la ligne 42 de façon à faire le tracé de l’écart entre la solution exacte mathématique et la solution numérique. Q5. Agir sur le nombre de points de calcul et conclure sur l’écart maximal obtenu en fonction de N. JC ROLIN 02/2017 Page 2 sur 2 Lycée G Eiffel DIJON