td n°17 : equations differentielles d`ordre 1 methode d`euler

IPT TSI1 Chapitre 10 Equations différentielles, méthode d’Euler
JC ROLIN 02/2017 Page 1 sur 2 Lycée G Eiffel DIJON
TD N°17 : EQUATIONS DIFFERENTIELLES D’ORDRE 1 METHODE D’EULER
Rappels : De nombreux phénomènes physiques (mécanique, électrique, thermique, chimique…) se modélisent à l'aide
d'équations différentielles.
 Pour les cas simples, par exemple pour les systèmes d’ordre 1 et 2 à coefficients constants, on établit la solution
analytique.
 Pour de très nombreux cas les équations différentielles sont non-linéaires, on utilisera la méthode d'Euler, qui permet
d'obtenir une solution numérique approchée d'équations différentielles.
y’ + a.y = 0 avec a constante et y(0) condition initiale connue.
Si on appelle Δx le pas de résolution, la méthode d'Euler consiste
alors à déterminer les y(n.Δ x) successivement.
Par la dérivée numérique à droite pour le premier pas :
en reportant
Résoudre l'équation différentielle conduit
à construire par récurrence la suite
un = y(n.Δ x) définie par :
 u0 = y(0)
 un+1 = - a.un.Δ x+un
Exercice 1 : Mise en place de la méthode d’Euler, équation d’ordre 1
On désire résoudre numériquement l’équation
différentielle de la forme y’ + a.y = 0
Q1. Exprimer la dérivée numérique y’[n] à droite
en utilisant le pas du programme ci-contre.
Q2. Remplacer y’[n] dans l’équation différentielle
et exprimer alors y[n+1].
Q3. Ouvrir le programme fourni et compléter la
ligne 20 avec ce que vous avez établi.
Exécuter le programme, vous devez obtenir la
figure ci-contre.
Q4. Faire varier dans un premier temps le nombre
de points de calcul N et conclure sur son influence.
Q5. Pour N = 20 points de calcul agir sur la valeur
du coefficient constant a et conclure sur son
influence quant à la convergence de la solution
numérique.
Programme « TD_17_Exo1_EulerOrdre1 ELEVE.py »

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Exercice 2 : Application au circuit RC série, charge d’un condensateur
On exploite la méthode d’Euler pour établir le
tracé de la tension de charge d’un condensateur
à partir de l’application d’une tension constante
E au travers d’une résistance R montée en série.
La tension initiale est Uso.
Q1. Donner la relation entre le courant i dans le
circuit et la tension Us aux bornes du
condensateur établir la loi des mailles du circuit
ci-contre et en déduire l’équation différentielle
de Us.
Q2. Si on considère la loi établie sous la forme
𝐸
𝑅.𝐶 =𝑑𝑈𝑠 𝑑𝑡 +𝑈𝑠 𝑅.𝐶 , établir la dérivée numérique à
droite de Us(n), l’introduire dans l’équation et
déduire l’équation de Us(n+1) à placer dans une
boucle for (revoir l’exercice 1 si nécessaire).
Q3. Ouvrir le programme fourni et compléter la
ligne 28 avec ce que vous avez établi en Q2.
Exécuter le programme.
Vous devez obtenir la figure 1 ci-dessous si
Uso = 5V et E = 10V.
Q4. Compléter la ligne 42 de façon à faire le
tracé de l’écart entre la solution exacte
mathématique et la solution numérique.
Q5. Agir sur le nombre de points de calcul et
conclure sur l’écart maximal obtenu en fonction
de N.
TD_17_EXO2_circuit RC avec ecarts ELEVE.py
Q3. Tracé
pour
Uso = 5V
et E = 10V.
Q4. Tracé
des écarts