Champ magnétique et loi de Biot et Savard
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Lycée Clemenceau PCSI 1 - Physique PCSI 1 (O.Granier) Lycée Clemenceau Le champ magnétique La loi de Biot et Savart Olivier GRANIER Lycée Clemenceau PCSI 1 - Physique I – Présentation du champ magnétique 1 - Introduction : L’électrostatique est l’étude des interactions entre particules chargées immobiles. La magnétostatique est l’étude des interactions entre particules chargées en mouvement (en régime indépendant du temps). Certains corps aimantés (comme la magnétite, Fe3O4) attire le fer. L’acier, par frottement contre un aimant naturel, acquiert des propriétés équivalentes. Des conducteurs parcourus par des courants sont également sources de champs magnétiques. Olivier GRANIER Lycée Clemenceau PCSI 1 - Physique Les interactions électriques et magnétiques sont étroitement liées (exemple : phénomène d’induction). Elles représentent deux aspects différents d’une seule propriété de la matière : sa charge électrique. Le magnétisme est une manifestation des charges électriques en mouvement. (Ci-contre : lignes du champ magnétique créé par un barreau aimanté) Olivier GRANIER Lycée Clemenceau PCSI 1 - Physique Lignes de champ magnétique, pôle nord, pôle sud : Olivier GRANIER Lycée Clemenceau PCSI 1 - Physique Champ magnétique terrestre : Il ressemble à celui d’un barreau aimanté incliné. Une aiguille de boussole s’aligne dans la direction du champ, approximativement vers le pôle nord géographique, qui n’est pas très loin du pôle magnétique sud de la Terre. Ce champ s’étend jusqu’à des milliers de kilomètres dans l’espace et possède la symétrie de révolution autour de l’axe du barreau aimanté fictif. Olivier GRANIER Lycée Clemenceau PCSI 1 - Physique Dipôles magnétiques : S N N S N S N S N S N S N S N S N S Les fragments d’un barreau aimanté ont toujours deux pôles (un pôle nord et un pôle sud). Un aimant se comporte comme s’il était composé de petites unités bipolaires, appelées dipôles magnétiques. Il n’existe pas de monopôles magnétiques (équivalents des charges électriques ponctuelles). Olivier GRANIER Lycée Clemenceau PCSI 1 - Physique N N S S Olivier GRANIER Lycée Clemenceau PCSI 1 - Physique 2 – Définition du champ magnétique : On considère une particule ponctuelle q placée au point M. Au voisinage d’un aimant ou d’un conducteur parcouru par un courant, elle est soumise à la force magnétique : r r r f =qv∧B Cette force permet de définir le champ B (par l’intermédiaire de la charge test q, de la même manière qu’en électrostatique). Unités du champ magnétique : Dans le SI : le Tesla (T) Le Gauss : 1 G = 10 −4 T Olivier GRANIER Lycée Clemenceau PCSI 1 - Physique Olivier GRANIER Lycée Clemenceau PCSI 1 - Physique II – Les sources du champ magnétique Le but de ce chapitre est d’étudier les champs magnétiques créés par des conducteurs parcourus par des courants. Ces courants peuvent être volumiques, surfaciques ou linéiques. 1 – Répartition volumique de courant : On considère un ensemble de particules de charge q, de densité particulaire n et ayant un mouvement d’ensemble à la vitesse v. On notera dans la suite : ρ m = nq la densité de charges mobiles (exprimée en C.m – 3). Comment définir l’intensité qui traverse une surface dS quelconque ? Olivier GRANIER Lycée Clemenceau PCSI 1 - Physique r v r v θ M (q) r v dt dS r n La quantité de charges électriques dq qui traverse la surface élémentaire dS pendant l’intervalle de temps dt est : dq = n dτ q Soit : dq = nq v cos θ dS dt Or : rr v cos θ dS = v .n dS dt D’où : Volume dτ = (vdt )(dS ) cos θ r r dq = (nqv ).n dS dt Olivier GRANIER Lycée Clemenceau PCSI 1 - Physique r j θ dS L’intensité électrique di qui traverse la surface dS est ainsi : r r dq di = = (nqv ).n dS dt r n On voit que l’intensité s’interprète comme étant le flux du vecteur : r r r j = nq v = ρ m v à travers la surface dS orientée. Le vecteur j est appelé vecteur densité volumique de courant électrique. A travers une surface « finie » (S), on écrira (flux total du vecteur j à travers la surface totale S) : i= ∫∫ rr j .n dS (S ) Olivier GRANIER Lycée Clemenceau PCSI 1 - Physique Flux de j et conservation de la charge : r n dS r j ρm Volume V On considère un volume V délimité par une surface fermée S (fixe dans le référentiel d’étude). Soit ρm la densité volumique de charges mobiles dans le milieu. La charge totale Q(t) comprise dans le volume à l’instant t vaut : Q (t ) = ∫∫∫ (V ) ρ m ( M , t ) dτ La conservation de la charge électrique permet d’écrire : dQ(t ) = −i (t ) à travers S dt Olivier GRANIER Lycée Clemenceau PCSI 1 - Physique Par conséquent : d dt ρ m ( M , t ) dτ = − (V ) ∫∫∫ ∫∫ rr j .n dS (S ) Le volume V étant fixe : d dt ρ m ( M , t ) dτ = (V ) ∫∫∫ ∂ρ m ( M , t ) dτ (V ) ∂t ∫∫∫ Finalement, le principe de conservation de la charge conduit à : ∂ρ m ( M , t ) dτ = − (V ) ∂t ∫∫∫ ∫∫ rr j .n dS (S ) Olivier GRANIER Lycée Clemenceau PCSI 1 - Physique Exemple 1 : (cylindre infini parcouru par un courant volumique) z On choisit un vecteur densité de courant dirigé selon (Oz), à z symétrie cylindrique (la norme de j z ne dépend que la distance r à l’axe (Oz)). dS r Par exemple : M ∞r r j = j (r ) u r r r r j = j ( r ) u z = j0 u z R O y θ L’intensité à travers dS est alors : di = j (r )dS = j (r ) rdr dθ x ∞ Et : i= ∫ R 0 ∫ 2π j (r )rdr dθ 0 Olivier GRANIER Lycée Clemenceau PCSI 1 - Physique ∞r z r j = j (r ) u z z Soit : i = 2π ∫ R 0 r dS M O y 2πR 2 r2 j0 dr = j0 3 R Si le vecteur j avait été constant (et égal à j0), alors l’intensité à travers une section quelconque du cylindre aurait été : θ i = πR 2 j0 x ∞ Olivier GRANIER Lycée Clemenceau PCSI 1 - Physique Exemple 2 : (Boule chargée en rotation) Une sphère de rayon R porte une charge Q uniformément répartie en volume (avec une densité notée ρ). Elle tourne autour de l’un de ses diamètres à la vitesse angulaire ω constante dans le référentiel du laboratoire. z Vecteur densité de courant : r < R M O r uϕ Avec r r 3Q j=ρv (ρ = ) 3 4πR r r v = rω sin θ uϕ , il vient : r r j = ρ rω sin θ uϕ r ω Olivier GRANIER Lycée Clemenceau PCSI 1 - Physique 2 – Répartition surfacique de courant : Lorsque la distribution de courants se trouve confinée sur une épaisseur très faible (par rapport aux deux autres dimensions d’espace), on pourra utiliser une modélisation surfacique. modélisation volumique ρm h r n r j dS dl r r j = ρmv rr rr di = j .n dS = j .n h dl modélisation surfacique r n r σm js dl r r j = σ mv r r di = j s .n dl Olivier GRANIER Lycée Clemenceau PCSI 1 - Physique 3 – Répartition linéique de courant : Les conducteurs de faible section sont assimilés à des fils. Le courant « linéique » est alors simplement le courant parcouru par le fil. Circuit filiforme Le courant électrique dépend a priori du temps et du point M. i(M 1 , t ) M2 M1 i(M 2 , t ) Olivier GRANIER Lycée Clemenceau PCSI 1 - Physique III – La loi de Biot et Savart Cette loi a été énoncée en 1820 par les physiciens Biot et Savart. Ces physiciens ont notamment déterminé les champs magnétiques créés par les deux circuits suivants : ∞ r B1 ( A) A ∞ r B2 ( A) a a I µ I 2 B1 ( A) = 0 1 + 2πa 2 ∞ A a ∞ a a I B2 ( A) = µ0 I π 1 + 2πa 4 Olivier GRANIER Lycée Clemenceau PCSI 1 - Physique 1 – Énoncé de la loi de Biot et Savart : On considère un circuit filiforme fermé (C) parcouru par un courant d’intensité I constante. r r dB P (M ) (C) I B (M ) r dl P M r u P→M r r r µ 0 Id l ∧ u P → M dBP ( M ) = 4π PM 2 r µ0 B( M ) = 4π ∫ (C ) r r Id l ∧ u P → M PM 2 µ 0 : perméabilité du vide ( µ 0 = 4π 10 −7 SI , ε 0 µ 0 c 2 = 1) Olivier GRANIER Lycée Clemenceau PCSI 1 - Physique 2 – Un 1er exemple de calcul de champ : conducteur rectiligne On considère un segment AB considéré comme un tronçon d’un circuit filiforme parcouru par un courantr d’intensité constante I. Le champ élémentaire créé par l’élément d l (centré en P) au point M est : I z B r dl r u P→M P r A uz I O r ur r r r r µ 0 Id l ∧ u PM = dBP ( M )uθ dBP ( M ) = 2 4π PM r r r u PM = cos ϕ u r − sin ϕ u z r r r r r Id l ∧ u PM = Idz u z ∧ u PM = I cos ϕ dz uθ r uθ ϕ r M µ 0 I cos ϕ dBP ( M ) = dz 2 4π PM Olivier GRANIER Lycée Clemenceau PCSI 1 - Physique I z On choisit l’angle ϕ comme variable d’intégration : r cos ϕ = PM B r dl r u P→M P A I Soit : O r uz r ur tan ϕ = r B (M ) ϕ r M donc r PM = cos ϕ z rdϕ ; z = r tan ϕ et dz = r cos 2 ϕ µ0 cos 2 ϕ rdϕ dBP ( M ) = I cos ϕ 4π r 2 cos 2 ϕ µ0 I 1 dBP ( M ) = cos ϕ dϕ 4π r Olivier GRANIER Lycée Clemenceau PCSI 1 - Physique I z µ0 I 1 dBP ( M ) = cos ϕ dϕ 4π r B Par intégration : r B (M ) ϕΒ A ϕΑ I O r ur r M µ0 I 1 B( M ) = 4π r ϕB ∫ϕ cos ϕ dϕ A µ0 I 1 (sin ϕ B − sin ϕ A B( M ) = 4π r ) Remarque : ce résultat permet de calculer le champ magnétique créé par des circuits polygonaux. Olivier GRANIER Lycée Clemenceau PCSI 1 - Physique Cas du fil infini : On a alors : ϕA → − ∞ π 2 et ϕB → + 2 Par conséquent : µ0 I 1 B( M ) = 2π r Lignes de champ r B π r µ0 I 1 r B( M ) = uθ 2π r : petit bonhomme d’Ampère ∞ Olivier GRANIER Lycée Clemenceau PCSI 1 - Physique 3 – Propriétés de symétrie du champ magnétique : On considère une répartition volumique de courants assimilables à des fils infinis collés les uns aux autres. Conducteur Cette répartition de courants possède un plan de symétrie (Π Π+) : aux points P et PS, existent les mêmes éléments de courants PS P r Id l r Id l r Id l. (Π Π+) Olivier GRANIER Lycée Clemenceau PCSI 1 - Physique r dBPS ( M S ) M r dBP (M ) MS r u P→M PS P r u PS → M S r SymΠ + (dBP ( M )) (Π Π+) M est un point quelconque de l’espace et MS son symétrique par rapport au plan (Π Π+) : M S = symΠ + (M ) r r r µ Id l ∧ u P → M dBP ( M ) = 0 4π PM 2 r r r µ 0 Id l ∧ u PS → M S ; dBPS ( M S ) = 4π PS M S 2 Olivier GRANIER Lycée Clemenceau PCSI 1 - Physique r B( M S ) M r B(M ) MS r u P→M Avec : PM = PS M S P PS r u PS → M S r SymΠ + ( B ( M )) r r ; u PS → M S = SymΠ + (u P → M ) Et en utilisant les propriétés du produit vectoriel, on montre que : : r r dBPS ( M S ) = − SymΠ + (dBP ( M )) Par intégration, on déduit : r r B( M S ) = − SymΠ + ( B( M )) Olivier GRANIER Lycée Clemenceau PCSI 1 - Physique Si M appartient au plan (Π Π+), M et MS sont confondus. Par conséquent : PS P r Id l r Id l r r B ( M ) = − SymΠ + ( B( M )) + M r B(M ) Plan de symétrie Π+ M ∈ (Π ) ⇒ soit r B ( M ) ⊥ (Π + ) r B ( M ) ⊥ (Π + ) « C’est le contraire du champ électrostatique ! » Olivier GRANIER Lycée Clemenceau PCSI 1 - Physique On considère une répartition volumique de courants assimilables à des fils infinis collés les uns aux autres. Cette répartition de courants possède un plan d’anti-symétrie (Π Π-) : aux points P et PS, existent des éléments de courants de sens opposés. Conducteur PS P r r Id l − Id l (Π Π− ) On montre alors que, pour M S = symΠ − (M ) : r r B( M S ) = SymΠ − ( B( M )) Olivier GRANIER Lycée Clemenceau PCSI 1 - Physique Si M appartient au plan (Π Π-), M et MS sont confondus. Par conséquent : PS P r Id l M r Id l r B(M ) Plan de symétrie Π- r r B ( M ) = SymΠ − ( B( M )) − M ∈ (Π ) ⇒ soit r B ( M ) ⊥ (Π − ) r B ( M ) ∈ (Π − ) « C’est le contraire du champ électrostatique ! » Olivier GRANIER Lycée Clemenceau PCSI 1 - Physique IV – Calculs classiques de champs magnétiques 1 – Spire circulaire : r B(z ) Une spire circulaire (C) de rayon R est parcourue par un courant constant d’intensité I. z M(z) A R O B y r B (− z ) x M(-z) On souhaite calculer le champ magnétique en un point M situé sur l’axe (Oz) de la spire. Étude des symétries : Tous les plans contenant l’axe (Oz) sont des plans d’anti-symétrie, par conséquent : r r B( z ) = B( z ) u z Le plan (Oxy) est un r plan de r symétrie pour la répartition de courants, par conséquent : B( − z ) = B( z ) Olivier GRANIER Lycée Clemenceau PCSI 1 - Physique Lignes de champ dans le plan (Oyz) (1 bobine) Les lignes de champ sont des lignes fermées. A B Les lignes de champ ne divergent pas à partir de leurs sources (les courants) mais tourbillonnent autour de celles-ci. La règle de la main droite donne l’orientation des lignes de champ. Animation Java Olivier GRANIER Lycée Clemenceau PCSI 1 - Physique Lignes de champ dans le plan (Oyz) (2 bobines) Animation Java Olivier GRANIER Lycée Clemenceau PCSI 1 - Physique Lignes de champ dans le plan (Oyz) (4 bobines) Animation Java Olivier GRANIER Lycée Clemenceau PCSI 1 - Physique Calcul du champ sur l’axe : Le champ élémentaire créé par l’élément r de longueur d l au point P vaut : r dBP (M ) z r B (z ) r r Id l ∧ u P → M M(z) O x α y r u P→M P r µ0 dB P ( M ) = 4π PM r dBP (M ) z r uα M(z) r dl 2 α r dl r u P→M Figure dans le plan méridien (OPM) O P Olivier GRANIER Lycée Clemenceau PCSI 1 - Physique r Les vecteurs d l et sont perpendiculaires r et le champ élémentaire est porté par uα : r dBP (M ) z r B (z ) r u P→M r µ 0 Id l r dB P ( M ) = uα 2 4π PM M(z) En projection sur l’axe (Oz) : O α y r u P→M P x dB P , z ( M ) = r dl µ 0 Id l r r dB P , z ( M ) = u α .u z 2 4π PM µ 0 Id l π µ 0 Id l cos − α sin α = 2 2 4π PM 2 4π PM Olivier GRANIER Lycée Clemenceau PCSI 1 - Physique Soit, en intégrant sur le périmètre de la spire (avec PM = cste) : µ 0 I ( 2π R ) B(M ) = sin α 2 4π PM Avec sin α = R , il vient : PM r r µ0I 3 B(M ) = sin α u z 2R Ou encore, avec sin α = R 2 R +z 2 : r µ0I R3 B(M ) = 2R R 2 + z 2 ( ) 3/ 2 r uz Olivier GRANIER Lycée Clemenceau PCSI 1 - Physique Le champ au centre de la spire est : B ( O ) = La courbe suivante trace l’allure de : B(M)/B(O) µ0I 2R B(M ) R3 = B (O ) R2 + z2 ( ) 3/2 ( Avec u = = 1 (1 + u ) 2 3/ 2 z ) R u Olivier GRANIER Lycée Clemenceau PCSI 1 - Physique 2 – Bobines de Helmholtz : Face Nord z I O R r B Deux spires identiques, de rayons R et d’axe (Oz) sont distantes de R. R Elles sont parcourues, dans le même sens, par le même courant d’intensité I. y x I Animation Java Face Sud Olivier GRANIER Lycée Clemenceau PCSI 1 - Physique Lignes de champ : Animation Java Les lignes de champ sont fermées et tourbillonnent autour des sources. Entre les deux spires, les lignes de champ sont parallèles. Olivier GRANIER Lycée Clemenceau PCSI 1 - Physique Valeur algébrique du champ magnétique le long de l’axe des bobines de Helmholtz : Les bobines de Helmholtz produisent un champ quasiuniforme dans la région intérieure du dispositif. u=z/a Olivier GRANIER Lycée Clemenceau PCSI 1 - Physique Animation Java Olivier GRANIER Lycée Clemenceau PCSI 1 - Physique Animation Java Olivier GRANIER Lycée Clemenceau PCSI 1 - Physique 3 – Solénoïde fini et infini (à section circulaire) : Un solénoïde est un circuit constitué de spires jointives enroulées sur un cylindre dont la section est ici supposée circulaire. On note L sa longueur, R le rayon de sa section circulaire et N le nombre total de spires. L I I M z N spires On calcule le champ en un point M quelconque de l’axe (Oz) (intérieur ou extérieur au solénoïde). Olivier GRANIER Lycée Clemenceau PCSI 1 - Physique Tout plan contenant l’axe (Oz) est un plan d’anti-symétrie. Par conséquent : r r B( M ) = B( M ) u z La spire centrée sur O’ crée au point M le champ : : r r µ0I 3 BO ' ( M ) = sin α u z 2R I I α z M (z = 0) O’ dz Olivier GRANIER Lycée Clemenceau PCSI 1 - Physique Dans l’élément de longueur dz, il y a (N/L)dz spires. Le champ créé par l’élément dz du solénoïde est ainsi : r r r µ 0 nI N µ0I 3 3 d B ( M ) = dz sin α u z = sin α dz u z 2R L 2R Où n = N/L est le nombre de spires par unité de longueur. I I α M (z = 0) O’ z dz Olivier GRANIER Lycée Clemenceau PCSI 1 - Physique On choisit α comme variable d’intégration : z = MO ' ; tan α = R R ; z = R cot an α ; dz = − dα 2 z sin α r r µ 0 nI dB ( M ) = − sin α d α u z 2 I α1 α M (z = 0) α2 O’ I z dz Olivier GRANIER Lycée Clemenceau PCSI 1 - Physique En intégrant entre les valeurs extrêmes α1 et α2 : r r µ 0 nI α 2 B(M ) = − sin α d α u z 2 α1 r r µ nI B ( M ) = 0 (cos α 2 − cos α 1 ) u z 2 ∫ I α1 α M (z = 0) α2 O’ I z dz Olivier GRANIER Lycée Clemenceau PCSI 1 - Physique Pour un solénoïde infini (à section circulaire) : α1 → π α2 → 0 et r r B ( M ) = µ 0 nI u z I α1 (Champ uniforme) α M (z = 0) α2 O’ I z dz Olivier GRANIER Lycée Clemenceau PCSI 1 - Physique Animation Java Olivier GRANIER Lycée Clemenceau PCSI 1 - Physique Animation Java Olivier GRANIER Lycée Clemenceau PCSI 1 - Physique Animation Java Olivier GRANIER Lycée Clemenceau PCSI 1 - Physique Animation Java Olivier GRANIER Lycée Clemenceau PCSI 1 - Physique 4 – Disque de Rowland : On note O le centre du disque (de rayon a), initialement chargé uniformément en surface avec une densité surfacique σ. Le disque tourne autour de l’axe (Oz) perpendiculaire au plan du disque, à la vitesse angulaire constante ω. z r r ω = ω uz P (z) r uz Boussole Déterminer le champ magnétique B(P) créé par le disque en un point P(z) de l’axe (Oz). Solution (pdf) O σ a Olivier GRANIER
