Théorème d`Ampère

Lycée
Clemenceau
PCSI 1 - Physique
PCSI 1 (O.Granier)
Lycée
Clemenceau
Le champ magnétique
Le théorème d’Ampère
Olivier GRANIER
Lycée
Clemenceau
PCSI 1 - Physique
I – Énoncé du théorème d’Ampère
Le théorème d’Ampère est « l’équivalent » du théorème de Gauss.
Il permet de calculer le champ magnétique créé par une distribution de
courants lorsque celle-ci possède des symétries « fortes ».
1 – Fil infini et circulation du champ magnétique :
La circulation du champ magnétique est définie par :
r
dr
M
r
B (M )
C=
∫
r
r
B ( M ).dr
contour
Olivier GRANIER
Lycée
Clemenceau
PCSI 1 - Physique
Pour le champ électrostatique, cette circulation est nulle puisque :
C=
∫
contour
r
r
E ( M ).dr =
∫
contour
(
)
r
− gradV .dr = −
∫
dV = 0
contour
Si l’on regarde la carte du champ magnétique créé par un fil infini (ou
une spire circulaire), on constate que la circulation du champ magnétique
le long d’une ligne de champ (fermée) orientée n’est pas nulle.
Afin d’évaluer cette circulation, on prend le cas du champ magnétique
créé par un fil infini, qui vaut :
r
µ0 I 1 r
B( M ) =
uθ
2π r
Olivier GRANIER
Lycée
Clemenceau
PCSI 1 - Physique
∞
Lignes de champ
r
B
∞
r
r
r
r
dr = (dr ) u r + (rdθ ) uθ + (dz ) u z
r
r µ0 I 1 r r µ0 I
B ( M ).dr =
uθ .dr =
dθ
2π r
2π
Olivier GRANIER
Lycée
Clemenceau
PCSI 1 - Physique
1er cas : le contour fermé n’enlace pas le fil infini
Soit (C) un contour fermé orienté de
telle manière que la normale au contour
soit orienté comme le fil infini.
(C)
z
z H
r
M
Vue de haut :
r
B(M )
(C)
I
r
dr
y
θM
r
r
uz
O r
ur
x
P
θ
r
uθ
r
Q θ
y
θm
r
B(M )
M
r
dr
x
Olivier GRANIER
Lycée
Clemenceau
PCSI 1 - Physique
La circulation du champ le long du contour (C) est alors :
P
(C)
I
y
θM
r
Q θ
r
B(M )
M
θm
C=
∫
(C )
r
r µ0 I
B ( M ).dr =
2π
∫
dθ
(C )
r
dr
x
µ0 I 
C=

2π 
∫
P
Q
dθ +
∫
Q
P
 µ0 I
[(θ M − θ m ) + (θ m − θ M )] = 0
dθ  =
 2π
Olivier GRANIER
Lycée
Clemenceau
PCSI 1 - Physique
2ème cas : le contour fermé enlace le fil infini
(C)
Vue de haut :
z
z H
M
r
(C)
r
dr
I
r
B(M )
r
uz
O r
ur
x
θ
C=
y
r
r
uθ
r
∫
(C )
r
B(M )
r
dr
θ
M
y
x
r
r µ0 I
B ( M ).dr =
2π
∫
(C )
µ0 I
dθ =
( 2π ) = µ 0 I
2π
Olivier GRANIER
Lycée
Clemenceau
PCSI 1 - Physique
2 – Énoncé du théorème d’Ampère :
On considère un certain nombre de fils parcourus par des courants
d’intensités I1, I2, …. Soit (C) une courbe fermée orientée enlaçant certains
de ces courants et n le vecteur normal déduit de la règle de la main droite.
I3
I2
r
n
M
(C)
I5
I4
r
dr
I1
r
B (M )
On compte positivement les
courants dirigés dans le
même sens que n et
négativement les courants
de sens contraire.
C=
∫
r
r
B ( M ).dr
contour
Olivier GRANIER
Lycée
Clemenceau
PCSI 1 - Physique
Le théorème d’Ampère s’écrit :
I3
I2
r
n
M
(C)
I5
C=
∫
(C )
C=
∫
I4
r
dr
I1
r
B(M )
r
r
B ( M ).dr = µ 0 (− I1 + I 2 + I 3 − I 4 )
r
r
B ( M ).dr = µ 0
I enlacées
(C )
∑
a lg ébrique
Olivier GRANIER
Lycée
Clemenceau
PCSI 1 - Physique
II – Exemples d’applications du théorème d’Ampère
1 – Le fil infini :
Étude des invariances et des
symétries :
∞
I
r
B(M )
M
∞
Invariance par rotation autour
de (Oz) et par translation
autour de z. Le champ ne
dépend pas des coordonnées θ
et z.
Le plan contenant le fil et le
point M est un plan (π
π+), par
conséquent le champ s’écrit :
r
r
B( M ) = B(r ) uθ
Olivier GRANIER
Lycée
Clemenceau
PCSI 1 - Physique
∞
I
r
B( M )
(C)
H
M
r
r
uz
∞
C=
∫
(C )
r
r
B( M ).dr =
∫
(C )
r
uθ
Choix du contour (C) : on
choisit le cercle de rayon r,
de centre H (passant donc par
M) orienté de telle manièrer
que le vecteur normal soit u z .
La circulation C du champ sur
ce contour vaut :
r
r
B(r ) uθ .(rdθ ). uθ = rB(r )
∫
dθ
(C )
C = 2π rB(r )
Olivier GRANIER
Lycée
Clemenceau
PCSI 1 - Physique
∞
Le théorème d’Ampère permet
d’écrire :
I
r
B( M )
(C)
H
r
r
uz
M
r
uθ
∞
C = 2π rB(r ) = µ 0 I
On retrouve bien l’expression
obtenue à partir de la loi de
Biot et Savart :
µ0 I 1
B(r ) =
2π r
r
µ0 I 1 r
B( M ) =
uθ
2π r
Olivier GRANIER
Lycée
Clemenceau
PCSI 1 - Physique
2 – Cylindre infini de rayon R : (densité de courant uniforme)
z
∞
(C)
H
r
n
r
r
r
B( M ) = B(r ) uθ
M
r
r
j = j0 u z
O
r
uθ
r
ur
y
P
x
∞
Olivier GRANIER
Lycée
Clemenceau
PCSI 1 - Physique
Circulation le long du cercle C de rayon r et de centre H :
C = 2π rB(r )
Application du théorème d’Ampère :
2
Pour r > R : I enl = πR j0 = I 0 (intensité totale à travers le cylindre)
C = 2π rB(r ) = µ 0 I 0
Pour r < R :
I enl = π r 2 j0 =
C = 2π rB(r ) = µ 0
r2
R
;
r2
R
2
µ0 I 0 1
B(r ) =
2π r
2
I0
I0
;
µ0 I 0 r
B(r ) =
2π R 2
Olivier GRANIER
Lycée
Clemenceau
PCSI 1 - Physique
Représentation graphique du champ B(r) :
B(r)
Le champ magnétique est continu à la
traversée du cylindre (en r = R) :
c’est un résultat général pour des
distributions volumiques de courants.
µ0 I 1
2π R
µ0 I 1
2π r
0
R
r
Olivier GRANIER
Lycée
Clemenceau
PCSI 1 - Physique
3 – Plaque plane infinie d'épaisseur e : (densité uniforme)
M
∞
z
y
x
r
r
j = j0 u x
∞
e
Déterminer le champ magnétique en tout point M de l’espace.
Olivier GRANIER
Lycée
Clemenceau
PCSI 1 - Physique
Étude des invariances : le champ ne dépend que de la côte z.
Étude des symétries :
r
r
B ( M ) = B ( z ) u y ; B (− z ) = − B ( z )
r
r
B( M ) = B( z ) u y
z
M (z)
e
r
r
j = j0 u x
MS (-z)
r
r
B( M S ) = − B( M )
Olivier GRANIER
Lycée
Clemenceau
PCSI 1 - Physique
Application du théorème d’Ampère :
r
r
B( M ) = B( z ) u y
z
M
Q
(C)
P
r r
n = ux
yQ
R
yP
r
r
j = j0 u x
MS
e
y
S
r
r
B( M S ) = − B( M )
Contour (C) : rectangle orienté (PQRS), passant par M et MS.
Olivier GRANIER
Lycée
Clemenceau
PCSI 1 - Physique
Calcul de la circulation du champ sur le contour (C) :
r
r
z
B(M ) = B(z) u y
(C)
M
P
Q
r r
n = ux
yQ
yP
r
r
j = j0 u x
R
C=
∫
(C )
r
r
B( M ).dr =
∫
yQ
yP
e
MS
r
rS
B(M S ) = − B(M )
r
r
B( z )u y .(dy u y ) +
∫
yS = y P
y R = yQ
r
r
(− B( z )u y ).(dy u y )
C = −2( y P − yQ ) B( z )
Olivier GRANIER
Lycée
Clemenceau
PCSI 1 - Physique
Application du théorème d’Ampère :
Si z > e / 2 :
I enl = ( y P − yQ ) e j0
− 2( y P − yQ ) B( z ) = µ 0 ( y P − yQ ) e j0
Si 0 < z < e / 2 :
;
B( z ) = −
µ 0 j0 e
2
I enl = ( y P − yQ ) (2 z ) j0
−2( y P − yQ ) B( z ) = µ 0 ( y P − yQ ) (2 z ) j0
;
B ( z ) = − µ 0 j0 z
On constate bien que le champ est continu en z = e / 2.
Olivier GRANIER
Lycée
Clemenceau
PCSI 1 - Physique
Représentation graphique du champ B(z) :
B(z)
µ 0 j0 e / 2
e/2
- e/2
0
z
− µ 0 j0 e / 2
Olivier GRANIER
Lycée
Clemenceau
PCSI 1 - Physique
Complément : nappe de courant plane (courant surfacique uniforme js)
B(z)
Le champ subit une
discontinuité lors de la
traversée de la nappe
de courant égale à :
µ 0 js / 2
∆B = µ 0 j s
0
−µ0 js / 2
z
∆B = µ 0 j s
(Résultat tout à fait
général)
Olivier GRANIER
Lycée
Clemenceau
PCSI 1 - Physique
4 – Bobine torique (de section transverse quelconque) :
z
H
Une bobine torique est constituée de
N spires jointives (parcourues par un
courant d’intensité I) régulièrement
enroulées sur un tore de révolution
d’axe (Oz).
M
I
O
x
y
La section transverse du tore est
quelconque (pas nécessairement
circulaire).
Soit (r,θ
θ,z) les coordonnées
cylindriques du point M.
L’étude des invariances et des symétries donnent : (le plan OHM est un
r
plan de symétrie (π
π+))
r
B( M ) = B(r , z ) uθ
Olivier GRANIER
Lycée
Clemenceau
PCSI 1 - Physique
4 – Bobine torique (de section transverse quelconque) :
z
H
Application du théorème d’Ampère :
r
(C)
M
r
B(M )
On choisit comme contour le cercle
orienté de centre H et de rayon r
(passant donc par M). La circulation
du champ sur ce contour vaut :
C = 2π rB(r , z )
I
O
y
Si M est en dehors du tore :
I enl = 0
x
et
B(r , z ) = 0
Si M est intérieur au tore :
I enl = NI
et
B(r , z ) =
µ 0 NI 1
2π r
Le champ ne dépend ni de z ni de la forme de la section transverse du tore.
Olivier GRANIER
Lycée
Clemenceau
PCSI 1 - Physique
5 – Solénoïde infini (de section transverse quelconque) :
On considère un solénoïde infini de section transverse quelconque composé
de spires jointives parcourues par un courant d’intensité I ; on note n le
nombre de spires par unité de longueur.
On veut calculer le champ magnétique en tout point de l’espace (intérieur
ou extérieur au solénoïde).
Mext
I
∞
Mint
I
∞
z
Olivier GRANIER
Lycée
Clemenceau
PCSI 1 - Physique
Étude des invariances et des symétries :
Le plan passant passant un point M et perpendiculaire à l’axe (Oz) est un
plan (π
π+). Le champ magnétique est donc porté par l’axe (Oz). Par ailleurs,
il y invariance par translation selon (Oz) puisque le solénoïde est infini (mais
par rotation autour de ce même axe). Par conséquent :
r
r
B( M ) = B(r ,θ ) u z
Mext
I
∞
O
Mint
r
B( M int )
r
B( M ext )
I
∞
z
Olivier GRANIER
Lycée
Clemenceau
PCSI 1 - Physique
Application du théorème d’Ampère :
On choisit comme contour orienté un cadre rectangulaire qui passe en deux
points intérieurs au solénoïde (situés à des distances à l’axe différentes) :
I
∞
O
P
Mint,1
r
B( M int,1 )
Q
r
B ( M int, 2 )
R
∞
I
z
S
Mint,2
C = B( M int,1 ).PQ − B( M int, 2 ).RS = (B( M int,1 ) − B( M int, 2 ) ).PQ
I enl = 0
Donc :
B ( M int,1 ) = B ( M int, 2 ) = Bint
Le champ est uniforme à
l’intérieur du solénoïde infini.
Olivier GRANIER
Lycée
Clemenceau
PCSI 1 - Physique
De la même manière, pour deux points extérieurs au solénoïde :
r
Mext,1 B ( M ext ,1 )
P
Q
r
Mext,2 B ( M ext , 2 )
R
S
I
∞
I
∞
O
z
B ( M ext ,1 ) = B ( M ext , 2 ) = Bext
Avec, a priori :
Le champ est uniforme à
l’extérieur du solénoïde infini.
Bint ≠ Bext
Olivier GRANIER
Lycée
Clemenceau
PCSI 1 - Physique
On choisit un contour « à cheval » sur le solénoïde
:
r
Bext
M
ext
P
I
∞
R
r
n
Mint
r
Bint
Q
S
I
O
∞
z
C = (Bext − Bint ).PQ = µ 0 I enl = µ 0 (−nPQ I )
D’où :
Bint = Bext + µ 0 nI
Olivier GRANIER
Lycée
Clemenceau
PCSI 1 - Physique
En assimilant un solénoïde infini à un tore de révolution de rayon infini, on
montre que le champ magnétique à l’extérieur du solénoïde est nul. Par
conséquent, à l’intérieur du solénoïde :
I
∞
Mint
r
Bint
I
O
∞
z
Bint = µ 0 nI
On retrouve le résultat obtenu avec la loi de Biot et Savart pour un
solénoïde infini à section circulaire et pour un point de l’axe (Oz).
Olivier GRANIER