Etude énergétique

Lycée
Clemenceau
PCSI 1 - Physique
PCSI 1 (O.Granier)
Lycée
Clemenceau
Energie
(mécanique du point matériel)
Olivier GRANIER
Lycée
Clemenceau
PCSI 1 - Physique
1 - Énergie cinétique :
(Dans toute la suite, on considère un point matériel M (m), de vitesse
référentiel (R) galiléen.)
r
v
dans un
L’énergie cinétique du point matériel est :
Ec =
Ec s’exprime dans le SI en Joule :
1 r2
mv
2
1 J = 1 kg.m 2 .s −2
Autres unités d’énergie :
1 eV = 1,6.10 −19 J
1 kW .h = 3,6.10 6 J = 3,6 MJ
1 cal = 4,18 J
Olivier GRANIER
Lycée
Clemenceau
PCSI 1 - Physique
2 - Théorème de l’énergie cinétique :
Le PFD appliqué au point matériel dans le référentiel (R) supposé galiléen donne :
r
r
dv
f =m
dt
On multiplie scalairement cette équation par le vecteur vitesse :
Par
r
r
rr
d  1 r 2  dEc
 dv  r
 dv  r
m .v = m  v  =
f .v = m .v or
dt  2 
dt
 dt 
 dt 
r r dE
rr
c
conséquent :
f .v =
ou
f .v dt = dEc
dt
Interprétation : entre les instants t et t+dt, l’énergie cinétique
r r de M varie
dr = v dt du point,
d’une quantité qui dépend der la force et du déplacement
r
appelée travail de la force f lors du déplacement dr et notée δW r .
f
Olivier GRANIER
Lycée
Clemenceau
PCSI 1 - Physique
Travail élémentaire d’une force :
δW fr
rr
r r
= f .v dt = f .dr
Travail total d’une force lors d’un déplacement de A à B :
C’AB
B
M
CAB
r r
dr = v dt
M’
W fr ,C
=
AB
rr
f .v dt =
∫
C AB
∫
r r
f .dr
C AB
Le travail dépend a priori du trajet
choisi pour aller de A à B :
W fr ,C '
r
f
AB
≠ W fr ,C
AB
Si la force est constante, alors :
A
O
W fr ,C
AB
=
∫
[ ]
r r r
f .dr = f . OM
B
A
r
= f . AB
C AB
(Remarque : le travail de deux forces est additif)
Olivier GRANIER
Lycée
Clemenceau
PCSI 1 - Physique
Puissance instantanée d’une force :
Pfr
=
δW fr
dt
rr
= f .v
(Une puissance s’exprime en
Watt (W) dans le SI)
Enoncé du théorème de l’énergie cinétique :
La variation d’énergie
r cinétique d’un point matériel est égale à la somme des
travaux des forces F qui lui sont appliquées :
• Sous forme élémentaire (entre t et t+dt) :
• Sous forme intégrée :
r r rr
dEc = δWFr = F .dr = F .v dt
∆Ec = Ec ( B) − Ec ( A)
= WFr
r r
= F .dr
∫
C AB
On parle également du théorème de la puissance cinétique :
r r dEc
PFr = F .v =
dt
Olivier GRANIER
Lycée
Clemenceau
PCSI 1 - Physique
3 - Exemples de forces conservatives :
La tension d’un ressort :
Le travail élémentaire
r de la
r tension lors
d’un déplacement dr = dx u x s’écrit :
r
T
r
ux
l
δWTr
M(m)
x
O
x
r r
r
r
= T .dr = − k (l − l 0 ).u x .dx u x = − kx.dx
Ce travail peut s’écrire sous la forme
d’une différentielle :
On pose :
Ep =
Alors :
δWTr = −dE P
et
WTr = −∆E P
1
2

δWTr = −kx.dx = −d  kx 2 
1 2
kx
2

(à une constante près)
Simulation Java
Ep est appelée énergie potentielle élastique de la masse m (elle est définie à une
constante près).
Olivier GRANIER
Lycée
Clemenceau
PCSI 1 - Physique
Relation entre la force et l’énergie potentielle : en dérivant l’énergie potentielle
par rapport au déplacement x, on obtient :
dE p
dx
= kx
T =−
soit
dE p
dx
et
r
dE p r
T =−
ux
dx
Cette relation entre la force et l’énergie potentielle est générale.
Le poids d’un corps :
Le travail du poids d’un corps M(m) lors d’un déplacement
z
A
h
r
uz
x
O
r r
r
r
r
r
dr = dx u x + dy u y + dz u z
r
r
g = −g uz
M
B
:
δWmgr = mg.dr
r
g
r
mg
r
dr s’écrit
y
δWmgr = −mgdz = −d (mgz ) = −dE P
Olivier GRANIER
Lycée
Clemenceau
PCSI 1 - Physique
On définit ainsi
E P = mgz
comme étant l’énergie potentielle de pesanteur du point M.
Elle ne dépend que de la cote de z. Le travail total du poids de M pour aller de A à B
est ainsi :
Wmgr , AB = mgh
Ce travail ne dépend pas du chemin suivi mais uniquement de la dénivellation entre les
points A et B.
Relation entre la force et l’énergie potentielle : en dérivant par rapport à la cote z, on
obtient :
dE p
dz
= mg
soit
− mg = −
dE p
dz
et
dE p r
r
mg = −
uz
dz
Remarque : si l’axe (Oz) est orienté vers le bas, alors E P = − mgz . Il faut
donc bien préciser l’orientation choisie pour l’axe (Oz) ! Un bon moyen de vérifier
si l’expression utilisée est correcte consiste à vérifier que l’énergie potentielle de
pesanteur augmente toujours avec l’altitude.
Olivier GRANIER
Lycée
Clemenceau
PCSI 1 - Physique
La force gravitationnelle :
On considère une masse M immobile en O et un point matériel P(m) mobile. Le
travail élémentaire de la force gravitationnelle subie par le point P est :
z
r
dr
P(m)
r = OP
r
mM r
f = −G 2 u r
r
r
ur
x
r r
mM r r
= f .dr = −G 2 u r .dr
r
r
r
r
r
dr = d (r u r ) = (dr ) u r + r d (u r )
δW fr
r r
r
r
r
r
r
u r .dr = (dr ) u r2 + r u r .d (u r ) = (dr ) + r u r .d (u r )
r
r
1 r 
1
u r .d (u r ) = d  u r2  = d   = 0
2 
2
Mais :
y
O(M)
D ' où :
δW fr = −G
mM
r2
r
(u r2 = 1)
mM 

dr = − d  − G

r 

Olivier GRANIER
Lycée
Clemenceau
PCSI 1 - Physique
On définit alors l’énergie potentielle gravitationnelle EP telle que :
E P = −G
mM
r
alors
δW fr = −dE P
Par convention, on choisit une énergie potentielle nulle à l’infini.
Relation entre la force et l’énergie potentielle : en dérivant Ep(r) par rapport à la
variable r, on obtient :
dE P
mM
=G 2
dr
r
soit
dE
f =− P
dr
et
r
dE r
f = − P ur
dr
On retrouve, là encore, une relation identique à celles vues pour les deux forces
précédentes (la variable est ici la distance r).
Olivier GRANIER
Lycée
Clemenceau
PCSI 1 - Physique
La force coulombienne :
On considère une charge Q immobile en O et un point matériel P(m,q) mobile. La
force coulombienne subie par le point P est :
r
f =
qQ r
u
2 r
4πε 0 r
1
Ainsi, les résultats obtenus avec la force gravitationnelle peuvent être transposés
pour la force coulombienne en faisant l’analogie formelle suivante :
1
4πε 0
⇔ −G
;
qQ ⇔ mM
L’énergie potentielle coulombienne est alors :
1
qQ
EP =
4πε 0 r
alors
δW fr
= − dE P
et
r
dE P r
f =−
ur
dr
Olivier GRANIER
Lycée
Clemenceau
PCSI 1 - Physique
4 - Généralisation :
Energie potentielle et force conservative :
r
On dit qu’une force f dérive d’une énergie potentielle EP si le travail de la
force peut s’écrire comme :
δW fr
r r
= f .dr = −dE P
ou
W fr = −∆E P
Cette force est alors appelée force conservative.
Conséquence importante : « Le travail d’une force conservative est
indépendant de la trajectoire suivie et ne dépend que des positions initiale
et finale et est égale à la diminution de l’énergie potentielle (-∆
∆EP). »
Ainsi, pour calculer le travail de la force, il suffira juste de connaître la
fonction EP et calculer sa diminution.
Olivier GRANIER
Lycée
Clemenceau
PCSI 1 - Physique
Relation entre la force et la dérivée de l’énergie potentielle
Si EP(x) dépend d’une des variables cartésiennes (par exemple, x) :
D’où
r
r
r
r
r
δW f = f ( x).dr = f ( x)u x .(dx u x ) = f ( x)dx = −dE P
r
dE P
dE r
:
f ( x) = −
et
f ( x) = − P u x
dx
dx
Si EP(r) dépend de la variable r = OM :
r
r
r
δW f = f (r ).dr = f (r )dr = −dE P
D’où :
dE
f (r ) = − P
dr
et
r
dE P r
f (r ) = −
ur
dr
Ce sont ces relations qu’il faut désormais utiliser pour passer de la
force à l’énergie potentielle, et vice versa.
Olivier GRANIER
Lycée
Clemenceau
PCSI 1 - Physique
Exemples :
1 2 1 3
E P ( x) = kx + ax
2
3
E P ( x) = ?
E P (r ) = ?
;
r
f ( x) ?
;
r
r
k r
f ( x) = − u x + bx u x
x
;
r
k r
c r
f (r ) = − 2 u r + 3 u r
r
r
Olivier GRANIER
Lycée
Clemenceau
PCSI 1 - Physique
Energie mécanique et intégrale première du mouvement :
r
Soit un point matériel M soumis à une force conservative f . Le théorème de
l’énergie cinétique appliqué dans un référentiel galiléen donne :
dEc = δW fr = −dE P
soit
dEc + dE P = 0
d ( Ec + E P ) = 0
On définit alors :
Elle est constante
E m = Ec + E P
puisque dE m = 0
, l’énergie mécanique du point matériel M.
:
E m = Ec + E P = E m0 = cste du mouvement
Si le point matériel est soumis à plusieurs forces conservatives (poids et tension
d’un ressort), on définira alors l’énergie mécanique comme :
E m = Ec + E P , pesanteur + E P ,ressort = cste
Olivier GRANIER
Lycée
Clemenceau
PCSI 1 - Physique
« Lorsqu’un point matériel est soumis uniquement à des forces
conservatives (c’est-à-dire pour lesquelles on peut définir des énergies
potentielles), son énergie mécanique (somme de son énergie cinétique et
des différentes énergies potentielles) reste constante lors du
mouvement. »
Il y a transfert incessant entre ces deux formes « cinétique » et
« potentielle » de l’énergie.
Olivier GRANIER
Lycée
Clemenceau
PCSI 1 - Physique
La conservation de l’énergie mécanique fait intervenir les coordonnées de M
(dans les énergies potentielles) et sa vitesse (dans l’énergie cinétique) :
c’est donc une équation différentielle du 1er ordre, appelée intégrale 1ère du
mouvement.
Nous verrons en exercice qu’il est souvent préférable d’utiliser cette
intégrale 1ère même si l’on souhaite déterminer la nature de la trajectoire ;
en effet, on élimine les forces qui ne travaillent pas et, par dérivation, on
peut revenir à l’accélération et donc au PFD.
Olivier GRANIER
Lycée
Clemenceau
PCSI 1 - Physique
TABLEAU RECAPITULATIF
Forme intégrale
− ∆E P = −[E P ( B) − E P ( A)] = W fr =
Forme différentielle
∫
Br
r
f .dr
− dE P = δW fr
A
r r
= f .dr
Forme locale
r
r
dE ( x) r
f = f ( x) u x = − P
ux
dx
;
r
r
dE (r ) r
f = f (r ) u r = − P
ur
dr
Olivier GRANIER
Lycée
Clemenceau
PCSI 1 - Physique
Energie mécanique – Intégrale 1ère du mouvement
Tension d’un ressort :
1 2 1 2
mv + kx = Em 0
2
2
Champ de pesanteur :
1 2
mv ± mgz = Em 0
2
Champ gravitationnel :
1 2
mM
= Em 0
mv − G
2
r
Champ coulombien :
1 2
1 qQ
= Em 0
mv +
2
4πε 0 r
(
±:
dépend de l’orientation de
l’axe (Oz))
Olivier GRANIER
Lycée
Clemenceau
PCSI 1 - Physique
5 - Quelques exemples d’utilisation de l’intégrale 1ère du mouvement :
Vitesse de libération (interaction gravitationnelle)
Quelle vitesse initiale minimale vlim faut-il communiquer à un point matériel situé à la
surface de la Terre pour qu’il échappe à l’attraction gravitationnelle terrestre ?
E m 0 = Ec + E P =
Avec g 0 =
GM T
RT2
mM T
1 2
mvlim − G
=0
RT
2
vlim =
, on obtient :
2GM T
RT
vlim = 2 RT g 0 = 11,2 km.s −1
( RT = 6 370 km)
Olivier GRANIER
Lycée
Clemenceau
PCSI 1 - Physique
Quelques exemples d’utilisation de l’intégrale 1ère du mouvement :
Limites de trajectoire et énergie (interaction coulombienne) : (ex n°4)
Une particule fixe, de charge électrique + q (q > 0), est placée à l'origine O
d'un axe (Ox) : tout le problème se déroule sur cet axe. On néglige le poids des
particules.
a) On lance à une distance a de O une seconde particule, de charge - q et de
masse m, dans une direction tendant à l'éloigner de O. Quelle vitesse initiale v0
doit-on lui communiquer pour qu'elle échappe à l'attraction de la particule fixe
en O ?
b) La particule mobile a maintenant la charge + q et sa vitesse initiale est v0
et est dirigée vers O. Montrer que cette particule ne peut atteindre O ;
calculer la distance minimale d'approche b en fonction de v0.
Olivier GRANIER
Lycée
Clemenceau
PCSI 1 - Physique
E P (x)
q2
E P ( x) =
4πε 0 x
1
Em0
1 2
1 q2
= mv0 +
2
4πε 0 a
B
Ec (x)
Ec (b) = 0
E P (b) = E m 0
O
Ec (a)
A
E P (x)
b
E m 0 = Ec + E P
E P (a )
x
a
x
Olivier GRANIER
Clemenceau
Lycée
PCSI 1 - Physique
Quelques exemples d’utilisation de l’intégrale 1ère du mouvement :
Equation différentielle du pendule (étude énergétique), ex n°6
O
r
uz
La tension ne travaille pas (perpendiculaire au déplacement) ;
le système est conservatif :
l
θ
r vr = lθ& u
θ
Tr
uθ
r
ur
r
mg
Em0 =
1
mv 2 − mgz ; v = lθ& ; z = l cos θ
2
D’où l’intégrale 1ère du mouvement :
Em0 =
M(m)
1 2 &2
ml θ − mgl cos θ
2
Simulation Java
En dérivant par rapport au temps :
z
Soit l’équation différentielle du
dEm 0
= 0 = ml 2θ&θ&& + mglθ& sin θ
dt
g
mouvement : θ&& + sin θ = θ&& + ω 02 sin θ = 0
l
Olivier GRANIER
Lycée
Clemenceau
PCSI 1 - Physique
Quelques exemples d’utilisation de l’intégrale 1ère du mouvement :
Etats liés, états libres : (exercice n°5)
U (x)
a) Etude mathématique :
lim U ( x) = +∞ ; lim U ( x) = 0 −
x →0
x →∞
dU ( x)
2a
= 0 pour xmin =
dx
b
et U min
b2
= U (rmin ) = −
4a
b) Petits mouvements :
f ( x) = −
ω02
a b


U ( x) = 2 − (ici, a = 1 et b = 1) 
x
x


b4
8a 3
( x − xmin ) = − k ( x − xmin )
ω0
k
b4
1
ν
;
= =
=
=
0
m 8ma 3
2π 2π
b4
8ma 3
Olivier GRANIER
Lycée
Clemenceau
PCSI 1 - Physique
6 - Équilibre d’un point et conditions de stabilité :
Conditions d’équilibre :
On suppose que l’énergie potentielle ne dépend que de la variable x, EP(x). La
force s’écrit :
r
dE r
f ( x) = − P u x
dx
Une position d’équilibre correspond à une force nulle (et vitesse initiale nulle) :
f ( x) = 0
donc
dE P
=0
dx
C’est-à-dire à un extremum de l’énergie potentielle.
Olivier GRANIER
Lycée
Clemenceau
PCSI 1 - Physique
Conditions de stabilité :
Une position d’équilibre stable va correspondre à la condition :
df
<0
dx
d 2 EP
df
d  dE P 
=
On en déduit, en remarquant que :
−
=−
dx dx  dx 
dx 2
dx > 0
Equilibre stable :
d 2 EP
dx
alors
>0
2
df < 0
soit
EP
C’est-à-dire EP minimale
x
EP
Equilibre instable :
d 2 EP
dx
2
< 0 C’est-à-dire EP maximale
x
Equilibre indifférent :
d 2 EP
dx
2
=0
Olivier GRANIER
Clemenceau
Lycée
PCSI 1 - Physique
Exemple :
Un point matériel M(m) est astreint à se déplacer sans frottement le long d’un axe
(Ox). Il est relié à un point A par l’intermédiaire d’un ressort de constante de
raideur k et de longueur à vide l 0 > h .
Etudier l’équilibre de M (existence et stabilité).
A
(k , l 0 )
h
O
M(m)
)
(
2
1
2
2
E P (x) = k h + x − l 0
2


dE P
x
 h2 + x2 − l0
= k 
2
2 
dx
 h + x 
dE P
=0
pour :
dx
x
x = 0 ou
x = ± x m = ± l 20 − h 2
(
)
Olivier GRANIER
Lycée
Clemenceau
PCSI 1 - Physique
E P (x)
EP (0) =
1
k (h − l 0 ) 2
2
xm = l 20 − h 2
− xm
(h = 1 m ; l 0 = 1,5 m)
x
Olivier GRANIER
Lycée
Clemenceau
PCSI 1 - Physique
Exercice n°7 (la porte de garage) :
Une porte de garage P1P2 de longueur 2L peut
se mettre en mouvement : P2 se déplace sur
l’axe (Cy) sans frottement, P1 a un mouvement
circulaire de rayon L autour de (Oz). On
modélise
cette
porte
en
s’intéressant
uniquement au triangle OAM (une masse m
étant placée en M). La tige OM est rigide, de
masse négligeable et de rayon R. Un ressort
de longueur à vide et de raideur k, exerce
une force de rappel sur le point M
(constamment dirigée vers le point A).
a) Exprimer l’énergie potentielle du
matériel M(m) en fonction de l’angle θ.
point
r
uy
C
r
ux
P1
M
P2
θ
R
O
L
A
b) Déterminer les positions d’équilibre du point
matériel M(m) et discuter leur stabilité.
Conclure.
Données : m = 30 kg ; R = 10 cm ; L = 10 R = 1 m ; l 0 = 12 R = 1,2 m ; k = 50 000 N .m
−1
Olivier GRANIER
Lycée
Clemenceau
PCSI 1 - Physique
Energie potentielle de pesanteur :
E p , pes = mgR cos θ + cste
Energie potentielle élastique :
E p , él =
1
k ( AM − l 0 ) 2
2
Or : AM = OM − OA ; AM 2 = L 2 + R 2 + 2 LR cos θ
2
1
E p , él = k ( L 2 + R 2 + 2 LR cos θ ) 1 / 2 − l 0
2
[
]
Energie potentielle totale (en choisissant la constante nulle) :
E p = E p , pes + E p , él
[
1
= mgR cos θ + k ( L 2 + R 2 + 2 LR cos θ ) 1 / 2 − l 0
2
]
2
Numériquement :
E p = 294 , 3 cos θ + 25 000 (( 101 + 20 cos θ ) 1 / 2 − 12 )
2
Olivier GRANIER
Lycée
Clemenceau
PCSI 1 - Physique
EP(θ
θ), en J
La porte de garage est donc
dans
une
position
stable
en
position haute (porte ouverte) et
instable en position basse (porte
fermée) ; de cette manière, il
θ=π
θ, en rad
est facile d’ouvrir la porte.
Olivier GRANIER
Lycée
Clemenceau
PCSI 1 - Physique
8 - Approche du portrait de phase : (exercice n°6)
l
0n considère un pendule simple de longueur
que l'on écarte sans vitesse initiale de
l'angle θ0 par rapport à la verticale descendante.
Le pendule est soumis à des frottements fluides et son équation différentielle
devient :
θ&& + h θ& + ω 02 sin θ = 0
Son portrait de phase est donné sur la figure,
avec :
ω0 = 5 rad.s −1 et h = 0,5 s −1
* A quoi voit-on qu’il y a des frottements ?
* Indiquer les positions d’équilibre stables et instables.
* Commenter l’allure des différentes courbes.
Olivier GRANIER
Lycée
Clemenceau
PCSI 1 - Physique
Olivier GRANIER
Lycée
Clemenceau
PCSI 1 - Physique
Approche du portrait de phase :
Fichier Maple
(Pendule simple)
Olivier GRANIER