Clemenceau Potentiels et champs électrostatiques

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PCSI 1 - Physique
PCSI 1 (O.Granier)
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Potentiels et champs
électrostatiques
Olivier GRANIER
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PCSI 1 - Physique
INTRODUCTION
Électrostatique
Électromagnétisme
(Équations de Maxwell,
fin XIXème siècle)
Magnétostatique
Phénomènes d’induction
Ondes électromagnétiques
L’électrostatique est l’étude des interactions entre particules chargées
immobiles (dans le référentiel du laboratoire). Les notions importantes
abordées sont les notions de champs et de potentiels.
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I – CHARGES ELECTRIQUES ET LOI DE COULOMB
1 – Charges électriques :
Il existe deux sortes de charges électriques, appelées, par convention,
positives et négatives.
Deux charges de même signe se repoussent
Deux charges de signe contraire s’attirent
Toutes les charges rencontrées dans la nature (à l’état libre, contrairement
aux quarks emprisonnés dans les particules microscopiques) sont des
multiples de la charge élémentaire de l’électron (la charge est quantifiée) :
Q = ne
(n ∈ Z , e = 1,6.10 −19 C )
Principe général de conservation de la charge électrique (réactions
chimiques ou réactions nucléaires).
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2 – Loi de Coulomb :
La force d’interaction entre deux charges ponctuelles placées dans le vide
est donnée par la loi de Coulomb (1785) :
r
f1→2
q1 q 2 > 0
M1 (q1)
r
f 2→1
r
u1→ 2
r
f =
M2 (q2)
r=M1M2
q1q2 r
u1→2
2
4πε 0 r
1
r r
r
f = f1→2 = − f 2→1
ε0 : permittivité du vide
(1/4πε
πε0 = 9.109 USI)
Cette loi est également valable dans l’air (εεr = 1,00058).
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3 – Répartitions continues de charges :
La charge élémentaire e étant très faible, la quantification de la charge
ne se remarque pas à l’échelle macroscopique. On va pouvoir décrire la
charge d’un corps chargé par une variable continue (analogue de la masse
volumique pour un solide, par exemple).
Soit un corps chargé en volume :
Corps (C)
(Q,V)
On note Q sa charge électrique totale
et V son volume total.
On peut définir une densité volumique
de charge moyenne (équivalente de la
masse volumique moyenne d’un solide) :
ρ moy =
Q
V
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Volume dττ
M
Charge dq
On considère un volume dττ (autour de M), petit
vis-à-vis du volume occupé par tout le corps
chargé, mais grand par rapport à la taille d’une
molécule (échelle mésoscopique)
On note dq la charge de ce volume élémentaire. La densité volumique de
charges électriques au point M est définie par :
dq
ρ (M ) =
dτ
( ρ en C.m −3 )
La charge totale portée par le corps est alors :
dq = ρ ( M )dτ
soit
Q=
∫∫∫
ρ ( M ) dτ
(V )
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Expression du volume élémentaire dττ :
• Coordonnées cartésiennes :
• Coordonnées cylindriques :
• Coordonnées sphériques :
dτ = dx dy dz
dτ = (dr )(rdθ )(dz ) = r dr dθ dz
dτ = (dr ) (rdθ ) (r sin θ dϕ ) = r 2 sin θ dr dθ dϕ
Exemple : exercice n°1
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Soit un corps chargé en surface :
On note Q sa charge électrique totale et S sa surface totale.
On peut définir une densité de charge surfacique moyenne (équivalente de
la masse surfacique moyenne d’une feuille de papier d’aluminium, par
exemple) :
σ=
M
Surface dS
Charge dq
Surface
chargée
(S,Q)
Q
S
On note dq la charge portée par la surface
élémentaire dS. La densité surfacique de
charges électriques au point M est définie par :
dq
σ (M ) =
dS
( ρ en C.m − 2 )
La charge totale portée par le corps est alors :
dq = σ ( M )dS
soit
Q=
∫∫
σ ( M )dS
(S )
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Soit un corps chargé de manière linéique :
On note Q sa charge électrique totale et L sa longueur totale.
On peut définir une densité de charge linéique moyenne (équivalente de la
masse linéique moyenne d’un fil de fer, par exemple) :
λmoy =
Longueur dL
M
Charge dq
Fil chargé
(L,Q)
Q
L
On note dq la charge portée par la longueur
élémentaire dL. La densité linéique de charges
électriques au point M est définie par :
dq
λ (M ) =
dL
( ρ en C.m −1 )
La charge totale portée par le corps est alors :
dq = λ ( M )dL
soit
Q=
∫
λ ( M )dL
( L)
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II – LE CHAMP ELECTROSTATIQUE
1 – Cas d’une charge ponctuelle :
On considère une charge ponctuelle q immobile placée à l’origine O d’un
repère galiléen.
Soit q’ une charge test placée en un point M qui peut varier dans l’espace.
La charge test q’ est soumise à la force de Coulomb :
z
r
f (M ) =
M(q’)
r = OM
r
f (M ) =
qq' r
u r Le champ électrique créé par la
4πε 0 r 2
charge q placée en O au point M est,
1
par définition :
r
ur
x
O(q)
qq' r
u
2 r
4πε 0 r
1
y
r
r
f (M )
E (M ) =
q'
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Soit :
r
E (M ) =
q r
u
2 r
4πε 0 r
1
Ce champ est défini partout
(sauf en O), même en l’absence
de charge test.
Charge
positive en O
« Lignes » de
champs
divergentes
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Une introduction à
la notion de champ
(doc pdf)
Charge
négative en O
« Lignes » de
champs
convergentes
Lignes de champs : c’est une ligne de l’espace telle qu’en tout point M de
cette ligne, la tangente et le champ E en ce point sont parallèles. Cette
ligne est orientée dans le sens du champ.
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2 – Cas d’un ensemble de charges ponctuelles :
On considère un ensemble (Oi,qi) de charges ponctuelles :
(O2,q2)
r
E (M )
(O1,q1)
r
u r ,i
ri = Oi M
(Oi,qi)
M
r
Ei (M )
(On,qn)
r
E (M ) =
n
∑
i =1
r
Ei ( M ) =
n
∑
i =1
qi r
u
2 r ,i
4πε 0 ri
1
(Principe de
superposition)
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Deux charges
ponctuelles
(+ q et – q)
(Dipôle
électrostatique)
+ q
- q
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Trois charges
ponctuelles
(+ 2q, – q et - q)
(Quadripôle
électrostatique)
- q
+ 2q - q
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Quatre charges
ponctuelles
identiques (+ q) au
sommet d’un carré
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3 – Cas de répartitions continues de charges :
a - Répartition volumique :
r = PM
Volume dττ
P
r
E (M )
r
u P→M
Charge dq
Le champ élémentaire créé par la charge
élémentaire dq centrée autour de P au point
M vaut :
Volume
total V
r
dE P ( M ) =
M
r
dE P (M )
dq r
1 ρ ( P)dτ r
u
=
u P→M
2 P→M
2
4πε 0 PM
4πε 0
r
1
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r = PM
Volume dττ
P
M
r
dE P (M )
r
E (M )
r
u P→M
Charge dq
Le principe de superposition permet d’en
déduire le champ global créé par tout le
corps chargé au point M :
Volume
total V
r
E (M ) =
r
E (M ) =
1
4πε 0
∫∫∫
(V )
ρ ( P ) dτ r
r
2
u P→M
∑
r
dE P ( M )
Intégrale vectorielle,
soit 3 intégrales triples
scalaires !
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3 – Cas de répartitions continues de charges :
b - Répartition surfacique :
r = PM
Surface dS
M
r
dE P (M )
r
E (M )
P
Charge dq
Surface
totale S
Le champ élémentaire créé par la charge élémentaire
dq centrée autour de P au point M vaut :
r
dE P ( M ) =
dq r
1 σ ( P)dS r
u
=
u P→M
2 P→M
2
4πε 0 PM
4πε 0
r
1
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M
r = PM
Surface dS
r
dE P (M )
r
E (M )
P
Charge dq
Le principe de superposition permet d’en déduire
le champ global créé par tout le corps chargé au
point M :
Surface
totale S
r
E (M ) =
r
E (M ) =
1
4πε 0
∫∫
(S )
σ ( P)dS r
r
2
u P→M
∑
r
dE P ( M )
Intégrale vectorielle,
soit 3 intégrales
doubles scalaires !
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3 – Cas de répartitions continues de charges :
c - Répartition linéique :
M
r
dE P (M )
Longueur dL
P
r = PM
Charge dq
r
E (M )
Fil chargé
(L,Q)
Le champ élémentaire créé par la charge élémentaire dq centrée autour
de P au point M vaut :
r
dE P ( M ) =
dq r
1 λ ( P)dL r
u
=
u P→M
2 P→M
2
4πε 0 PM
4πε 0 r
1
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M
Longueur dL
P
r
E (M )
r = PM
Charge dq
r
dE P (M )
Fil chargé
(L,Q)
Le principe de superposition permet d’en déduire le champ global créé par
tout le corps chargé au point M :
r
E (M ) =
1
4πε 0
∫
( L)
λ ( P)dL r
r
2
u P→M
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4 – Exemples de calculs directs de champs électrostatiques :
a – Champ créé par un segment uniformément chargé : (ex n°2)
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4 – Exemples de calculs directs de champs électrostatiques :
b – Champ créé par disque uniformément chargé : (ex n°3)
c – Champ créé par une sphère chargée en surface : (ex n°4)
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II – LE POTENTIEL ELECTROSTATIQUE
1 – Cas de charges ponctuelles :
On considère une charge ponctuelle q immobile placée à l’origine O d’un
repère galiléen.
Soit q’ une charge test placée en un point M qui peut varier dans l’espace.
z
L’énergie potentielle de la particule
« test » vaut (voir cours de mécanique) :
M(q’)
r = OM r
f (M ) =
qq' r
ur
4πε 0 r 2
1
O(q)
1
qq'
4πε 0 r
Elle est reliée à la force coulombienne
par (voir cours de mécanique) :
r
ur
x
E p (r ) =
y
r
dE p r
f (M ) = −
ur
dr
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On définit le potentiel électrostatique U(r) par :
U (r ) =
E p (r )
U (r ) =
soit
q'
1
q
4πε 0 r
On a la même relation entre la force et le champ et entre l’énergie
potentielle et le potentiel, à savoir :
E p ( r ) = q 'U ( r )
et
r
r
f = q' E
r
dE p r
u r , on déduit que :
Comme f ( M ) = −
dr
Soit encore :
r
dU r
E (M ) = −
ur
dr
r
r
E ( M ).dr = −dU
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On considère maintenant un ensemble (Oi,qi) de charges ponctuelles.
(O2,q2)
(Oi,qi)
r
E (M )
(O1,q1)
r
u r ,i
ri = Oi M
M
r
Ei (M )
(On,qn)
Le principe de superposition permet d’en déduire le potentiel créé par
l’ensemble des charges ponctuelles :
n
U (M ) =
n
∑ U ( M ) =∑
i
i =1
i =1
qi
4πε 0 ri
1
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On peut écrire la relation entre le champ et le potentiel créé par la
charge ponctuelle (i) :
r
r
Ei ( M ).dr = −dU i
Par conséquent, en sommant :
n
∑
i =1
D’où :
r
r
( Ei ( M ).dr ) = −
n
∑ dU
i =1
i
soit
 n r
 r
 n




Ei ( M ) .dr = −d
Ui 




 i =1

 i =1 
∑
∑
r
r
E ( M ).dr = − dU
On obtient ainsi pour le champ global une relation similaire à celle valable
pour chaque champ Ei. Nous verrons que cette propriété caractérise un
champ de gradient.
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2 – Cas de distributions continues :
a - Répartition volumique :
M
r = PM
Volume dττ
P
r
u P→M
Charge dq
Le potentiel élémentaire créé par la charge
élémentaire dq centrée autour de P au point
M vaut :
1 ρ ( P)dτ
dq
dU P ( M ) =
=
4πε 0 PM 4πε 0
r
Volume
total V
1
Le potentiel total s’en déduit (« simple intégrale » scalaire) :
U (M ) =
1
4πε 0
∫∫∫
(V )
ρ ( P)dτ
r
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2 – Cas de répartitions continues de charges :
b - Répartition surfacique :
M
r = PM
Surface dS
P
Charge dq
Le potentiel élémentaire créé par la charge
élémentaire dq centrée autour de P au point M
vaut :
Surface
totale S
dU P ( M ) =
dq
1 σ ( P)dS
=
4πε 0 PM 4πε 0
r
1
Le potentiel total s’en déduit (« simple intégrale » scalaire) :
U (M ) =
1
4πε 0
∫∫
(S )
σ ( P)dS
r
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2 – Cas de répartitions continues de charges :
c - Répartition linéique :
M
Longueur dL
P
Charge dq
Fil chargé
(L,Q)
D’où :
r = PM
Le potentiel élémentaire créé par la charge
élémentaire dq centrée autour de P au point M
vaut :
1 λ ( P)dL
dq
dU P ( M ) =
=
4πε 0 PM 4πε 0
r
1
U (M ) =
1
4πε 0
∫
( L)
λ ( P)dL
r
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3 – Relation intrinsèque entre le champ et le potentiel :
La relation démontrée dans le cas d’une répartition discrète de charges
ponctuelles reste valable dans le cas d’une distribution continue :
r
r
E ( M ).dr = − dU
Cette relation caractérise un champ de gradient.
On se place en coordonnées cartésiennes :
r
r
r
r
* E (M ) = E xu x + E y u y + E z u z
r
r
r
r
* dr = dx u x + dy u y + dz u z
∂U
∂U
∂U
* dU =
dx +
dy +
dz
∂x
∂y
∂z
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r
r
E ( M ).dr
On calcule le produit scalaire
:
r
r
E ( M ).dr = E x dx + E y dy + E z dz
Par identification avec – dU :
 ∂U
∂U
∂U 
E x dx + E y dy + E z dz = −
dx +
dy +
dz 
∂y
∂z 
 ∂x
Il vient :
∂U
Ex = −
∂x
Soit :
∂U
; Ey = −
∂y
∂U
; Ez = −
∂z
r
E = − grad U
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Expressions de l’opérateur gradient en :
Coordonnées polaires (r,θ
,θ)
,θ :
∂U
Er = −
∂r
;
1 ∂U
Eθ = −
r ∂θ
Coordonnées cylindriques (r,θ
,θ,z)
:
,θ
∂U
Er = −
∂r
;
1 ∂U
Eθ = −
r ∂θ
;
∂U
Ez = −
∂z
;
1 ∂U
Eϕ = −
r sin θ ∂ϕ
Coordonnées sphériques (r,θ,ϕ)
,θ,ϕ) :
∂U
Er = −
∂r
;
1 ∂U
Eθ = −
r ∂θ
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4 – Exemples de calculs de potentiels :
Exemple : exercice n°3
On calcule directement le potentiel puis on en déduit le champ par la
relation :
r
E = − grad U
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III – LES SYMETRIES DU CHAMP ELECTROSTATIQUE
1 – Distribution de charges possédant un plan de symétrie :
On considère la répartition volumique suivante de charges :
(V)
P
Le corps chargé possède une forme géométrique
symétrique par rapport au plan (Π
Π+) et, par
ailleurs :
PS
ρ ( PS ) = ρ ( P)
Plan de symétrie Π+
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(V)
r
dE P ( M )
Plan de symétrie Π+
M
MS
r
u P→M
P
PS
dττ
dττ
r
u PS → M S
r
dE PS ( M S )
M est un point quelconque de l’espace et MS son symétrique par rapport au
plan (Π
Π+) : M S = sym + (M )
Π
r
dE P ( M ) =
1
ρ ( P)dτ r
4πε 0 PM
2
u P→M
r
; dE PS ( M S ) =
1
ρ ( PS )dτ r
4πε 0 PS M S
2
u PS → M S
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r
dE P ( M )
(V)
Plan de symétrie Π+
M
r
E (M )
Avec :
Il vient
MS
r
u P→M
P
dττ
PS
dττ
r
u PS → M S
r
dE PS ( M S )
r
E (M S )
r
r
; u PS → M S = SymΠ + (u P → M )
ρ ( P) = ρ ( PS ) ; PM = PS M S
r
r
: dE PS ( M S ) = SymΠ + (dE P ( M ))
Par intégration, on déduit :
r
r
E ( M S ) = SymΠ + ( E ( M ))
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(V)
Si M appartient au plan (Π
Π+), M et MS sont
confondus.
Par conséquent :
M
P
PS
dττ
dττ
r
E (M )
r
r
E ( M ) = SymΠ + ( E ( M ))
+
M ∈ (Π )
⇒
soit
r
E ( M ) ∈ (Π + )
r
E ( M ) ∈ (Π + )
Plan de
symétrie Π+
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Exemple : disque circulaire chargé uniformément en surface
r
E (z )
Tous les plans contenant l’axe (Oz) sont
des plans de symétrie (Π
Π+) pour la
répartition de charges.
Par conséquent, pour un point M(z) de
l’axe (Oz) :
r
r
E( z) = E( z) u z
Le plan (Oxy) est un plan de symétrie
(Π
Π+) pour la répartition de charges.
(Ici, les points P et PS sont confondus).
soit
M(z)
r
uz
σ
O
y
x
Par conséquent :
r
r
E (− z ) = sym(Oxy ) ( E ( z ))
z
r
E (− z ) = − E ( z )
MS(-z)
r
E (− z )
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Exemple : sphère chargée uniformément en volume
M(r,θ
θ,ϕ
ϕ)
O
ρ = cste
r
r
E ( M ) = E (r ) u r
r
Symétrie sphérique
Exemple : cylindre infini chargé uniformément en volume
∞
Symétrie cylindrique
M(r,θ
θ,z)
r
∞
r
r
E ( M ) = E (r ) u r
ρ = cste
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2 – Distribution de charges possédant un plan d’anti-symétrie :
On considère désormais la répartition volumique suivante :
(V)
P
Le corps chargé possède une forme géométrique
symétrique par rapport au plan (Π
Π-) et, par
ailleurs :
PS
ρ ( PS ) = − ρ ( P)
Plan d’anti-symétrie Π-
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(V)
r
dE P (M )
Plan d’anti-symétrie Π-
M
MS
r
u P→M
P
PS
dττ
dττ
r
u PS → M S
r
dE PS ( M S )
M est un point quelconque de l’espace et MS son symétrique par rapport au
plan (Π
Π-) : M S = sym − (M )
Π
r
dE P ( M ) =
1
ρ ( P)dτ r
4πε 0 PM
2
u P→M
r
; dE PS ( M S ) =
1
ρ ( PS )dτ r
4πε 0 PS M S
2
u PS → M S
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r
dE P (M )
r
E (M S )
Plan d’anti-symétrie Π(V)
M
r
E (M )
Avec :
Il vient
MS
r
u P→M
P
PS
dττ
dττ
r
u PS → M S
r
dE PS ( M S )
r
r
; u PS → M S = SymΠ + (u P → M )
ρ ( P) = − ρ ( PS ) ; PM = PS M S
r
r
: dE PS ( M S ) = − SymΠ − ( dE P ( M ))
Par intégration, on déduit :
r
r
E ( M S ) = − SymΠ − ( E ( M ))
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(V)
Si M appartient au plan (Π
Π-), M et MS sont
confondus.
Par conséquent :
P
PS
dττ
dττ
r
r
E ( M ) = − SymΠ − ( E ( M ))
−
M
r
E (M )
M ∈ (Π )
⇒
soit
r
E ( M ) ⊥ (Π − )
r
E ( M ) ⊥ (Π − )
Plan d’anti-symétrie
Π-
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Exemple : deux hémisphères chargés + ρ et - ρ
Le plan (Oxz) est un plan (Π
Π-).
z
En tout point de ce plan :
+ρ
r
r
E (M ) = E (M ) u y
+ρ
+ρ
+ρ
−ρ
O
−ρ
−ρ
−ρ
y
M
x
r
r
E (M ) = E (M ) u y
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4 – Topographie du champ électrostatique ; lignes de champs et lignes
équipotentielles :
Lignes de champs : c’est une ligne de l’espace telle qu’en tout point M de
cette ligne, la tangente et le champ E en ce point sont parallèles. Cette
ligne est orientée dans le sens du champ.
r
Le long d’une ligne de champ, un déplacement dr est parallèle au champ :
r
dr
Ligne de
champ
M
r
E (M )
r
r
E ( M ) // dr
r
r r
E ( M ) ∧ dr = 0
Surfaces équipotentielles : on appelle surface équipotentielle une surface
(Σ
Σ) sur laquelle le potentiel électrostatique est une constante U0 :
U (M ) = U 0
pour M ∈ (Σ)
Olivier GRANIER
Lycée
Clemenceau
PCSI 1 - Physique
Propriétés des lignes de champs :
* En tout point M d’un domaine où existe une champ électrostatique, la
ligne de champ et la surface équipotentielle passant par ce point sont
perpendiculaires :
r
E (M )
Surface
équipotentielle
(Σ
Σ0)
Soit un déplacement
équipotentielle (Σ
Σ0) :
r
dr sur
la surface
r
r
E ( M ).dr = −dU = 0 (U = cste = U 0 )
M
r
dr
Par conséquent :
r
r
r
E ( M ) ⊥ dr soit E ( M ) ⊥ (Σ 0 ) en M
Ligne de
champ
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Propriétés des lignes de champs :
* Les lignes de champs sont orientées selon les potentiels décroissants :
r
dr
r
dr
Ligne de
champ
M
Soit un déplacement
sur la ligne de
champ dans le sens positif (donné par
le sens du champ) :
r
E (M )
r
r
E ( M ).dr = E ( M ).dr = −dU
Or, E(M).dr > 0, par conséquent :
dU < 0
Une animation java qui
permet de tracer des
lignes de champs.
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Cartes de champs électrostatiques :
On représente dans le plan de la figure (P) les lignes de champs par des
courbes fléchées en traits pleins et les sections par le plan (P) des surfaces
équipotentielles par des pointillés (lignes équipotentielles).
Quelques remarques générales :
• Au voisinage d’une charge ponctuelle, la carte de
champ correspond à celle d’une seule charge ponctuelle
isolée.
• Les lignes de champs sont toutes issues d’une charge
positive et se dirigent soit vers l’infini soit vers une
charge négative.
• Aucune ligne de champ n’est une ligne fermée.
• Les lignes de champs ne se coupent jamais (sinon le champ aurait 2
directions différentes en un même point).
• Le nombre de lignes qui partent d’une charge ou qui se dirigent vers elle
est proportionnel à la grandeur de la charge.
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Ensemble neutre de
quatre charges
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Exercice : dessiner les lignes du champ créé par deux charges ponctuelles
+ 2q et – q (avec q > 0).
Symétrie : les lignes de champs sont symétriques par rapport à la droite
joignant les deux charges.
Champ au voisinage immédiat : au voisinage immédiat d’une charge, les
lignes de champs sont radiales et de symétrie sphérique.
Champ en un point éloigné : très loin des deux charges, la carte de
champ doit correspondre à celle d’une charge unique + q ; les lignes de
champs sont donc radiales et divergentes très loin des charges.
Nombre de lignes : les lignes partant de + 2q sont deux fois plus
nombreuses que celles qui arrivent en – q.
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2q
- q
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