TD 12 - Anne VAUGON

ENS de Lyon TD 12 20-22/11/2012
Topologie
Exercice 1. Soient Eun espace vectoriel normé et x∈E.
1. Montrer qu’il existe f∈E∗tel que kfk=kxket f(x) = kxk2.
2. Montrer que
kxk= sup
f∈E∗,kfk≤1
|f(x)|= max
f∈E∗,kfk≤1|f(x)|
Exercice 2. Soient Eun espace de Banach, Bun sous-ensemble de Eet B∗un sous-
ensemble de E∗.
1. Montrer que si pour tout x∈El’ensemble {f(x), f ∈B∗}est borné alors B∗est
borné.
2. Montrer que si pour tout f∈E∗l’ensemble {f(x), x ∈B}est borné alors Best
borné. Est-ce encore vrai si Eest un espace vectoriel normé pas nécessairement
complet ?
Exercice 3. Soit Eun espace de Banach pour les normes k·k1et k·k2. On suppose qu’il
existe c > 0tel que k·k1≤ck·k2. Montrer que k·k1et k·k2sont équivalentes.
Exercice 4. Soient Hun espace de Hilbert et Vun sous-espace vectoriel fermé. Montrer
que la projection orthogonale sur Vest de norme 1.
Exercice 5. Soient Eun espace vectoriel normé. Montrer que tout sous-espace vectoriel
de dimension finie admet un supplémentaire fermé.
Exercice 6. Soit Hun espace de Hilbert et Cun convexe fermé non vide de H.
1. Montrer que le projeté p(x)de xsur Cest caractérisé par les conditions
(a) p(x)∈C;
(b) pour tout y∈C,hp(x)−x, p(x)−yi ≤ 0.
2. Si Cest de plus un sous-espace vectoriel, montrer que p(x)est caractérisé par les
conditions
(a) p(x)∈C;
(b) pour tout y∈C,hp(x)−x, yi= 0.
3. Décrire ppour H=l2(N,R)et C={x, xn≥0pour tout n∈N}.
Exercice 7. Théorème de Hahn-Banach géométrique
On admet la généralisation suivante du théorème de Hahn-Banach.
Théorème 1. Soit Eun R-espace vectoriel. Soit p:E→Rune application telle que
– pour tout x∈Eet pour tout λ > 0,on ait p(λx) = λp(x);
– pour tous x, y ∈E, on ait p(x+y)≤p(x) + p(y).
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Soit Fun sous espace vectoriel de Eet fune forme linéaire de Ftelle que pour tout
x∈Fon ait f(x)≤p(x). Alors il existe une forme linéaire gdéfinie sur Equi prolonge
fet telle que pour tout x∈Eon ait g(x)≤p(x).
Soit Eun espace vectoriel normé. On rappelle qu’un hyperplan affine Hest un en-
semble de la forme H={x∈E, f(x) = a}où fest une forme linéaire non nulle et
a∈R. Soient Aet Bdeux sous-ensembles de E. On dit qu’un hyperplan affine Hsépare
Aet Bsi f(A)≤a≤f(B)et que Hsépare strictement Aet Bs’il existe  > 0tel que
f(A)≤a−et a+≤f(B). L’objectif de cet exercice est de montrer les théorèmes
suivants.
Théorème 2. Soient Eun R-espace vectoriel normé et Aet Bdeux sous-ensembles
convexes non vide et disjoints. On suppose de plus que Aest ouvert. Alors il existe un
hyperplan affine fermé qui sépare Aet B.
Théorème 3. Soient Eun R-espace vectoriel normé et Aet Bdeux sous-ensembles
convexes non vide et disjoints. On suppose de plus que Aest fermé et que Best compact.
Alors il existe un hyperplan affine fermé qui sépare strictement Aet B.
1. Montrer que le théoreme 1 implique le théorème de Hahn-Banach.
2. Montrer que Hest fermé si et seulement si fest continue.
3. Soit Cun convexe ouvert non vide de Econtenant 0. Pour tout x∈E, on pose
p(x) = inf c > 0,x
c∈C.
Monter que pvérifie les hypothèses du théorème 1, qu’il existe M > 0tel que
p(x)≤Mkxket que C={x, p(x)<1}.
4. Soit x0/∈C. Monter qu’il existe une forme linéaire continue ftelle que f(x)< f(x0)
pour tout x∈C.
5. En déduire le théorème 2.
6. En déduire le théorème 3.
Exercice 8. Soit Eun espace vectoriel normé.
1. Montrer que si Eest de dimension finie alors la topologie de la norme coïncide avec
la topologie faible sur E.
On suppose dorénavant que Eest de dimension infinie.
2. Montrer que tout voisinage de 0pour la topologie faible contient un sous-espace
vectoriel non trivial.
3. Existe-t-il une norme sur Equi définisse la topologie faible ?
4. Montrer que si Cest convexe alors les adhérences de Cpour la topologie faible et
pour la topologie de la norme sont les mêmes.
5. Décrire l’adhérence de la shère unité pour la topologie faible.
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Exercice 9.
1. Montrer que (l1)∗est isométrique à l∞.
2. Montrer que l1n’est pas réflexif.
Exercice 10. Soient Eun espace de Banach séparable réflexif et Aun sous-ensemble
convexe, fermé et borné. Soit f:X→R∪ {+∞} convexe telle que
{(x, r)∈E×R, f(x)≤r}
est fermé pour la topologie produit (on dit alors que fest semi-continue inférieurement).
Montrer que fatteint son minimum sur A.
Exercice 11. Soient Eun espace vectoriel normé et f0, . . . , fndes formes linéaires. Mon-
trer que les assertions suivantes sont équivalentes.
1. Il existe (λ1, . . . , λn)∈Rntel que f0=Pn
i=1 λifi.
2. Il existe M≥0tel que pour tout x∈Eon ait |f0(x)| ≤ Mmaxi=1...n |fi(x)|.
3. Si fi(x)=0pour tout i= 1 . . . n alors f0(x)=0.
Exercice 12. Moyennabilité
Soit Gun groupe muni de la topologie discrète. On dit que Gest moyennable s’il existe
une forme linéaire non-nulle Λsur l∞(G)qui est invariante par translation à gauche (i.e.
∀f∈l∞(G)∀g∈GΛ(g?f) = Λ(f)), positive (i.e. si f≥0alors Λ(f)≥0) et telle que
Λ(1G) = 1. Une telle forme linéaire est encore appelée une moyenne sur G.
1. On considère l’opérateur S:l∞(Z)→l∞(Z)tel que (Sf)(n) = f(n+ 1). Montrer
que Im(S−Id) = V ect({m?f−f, f ∈l∞(Z)et m∈Z}).
2. Vérifier que C:= {f∈l∞(Z),∃ε > 0f≥ε}est convexe, ouvert et contient 1Z.
3. Montrer que Cet Im(S−Id)sont disjoints.
4. En déduire que Zest moyennable.
5. (??) Montrer que le groupe libre à deux générateurs F2n’est pas moyennable (mais
au fait, qu’est-ce que le groupe libre ?).
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