1 Hahn-Banach et conséquences 2 Topologies faibles et réflexivité

Université Pierre et Marie Curie
Master de Mathématiques, M1
Analyse réelle, MM003
Année universitaire 2010-2011
Ayman Moussa
TD no 4 – Espaces localement convexes. Topologies faibles.
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Hahn-Banach et conséquences
Exercice 1.1: Hahn-Banach dans un Hilbert
1. Rappeler brièvement le théorème de prolongement des applications uniformément continues.
2. Soit H un espace de Hilbert, V un sous-espace strict et f une forme linéaire continue sur V .
Démontrer directement (sans utiliser Hahn-Banach) que f se prolonge en une forme linéaire continue
sur H tout entier, de même norme que f .
Exercice 1.2: Contre-exemple
Soit E un espace vectoriel normé réel de dimension infinie. Montrer qu’il existe des formes linéaires
non continues sur E.
Indication : Considérer une suite (en )n∈N de vecteurs unitaitres linéairement indépendants et construire
une forme linéaire Φ telle que Φ(en ) = n.
Exercice 1.3: Borné dans toutes les directions ⇔ borné
Soit E un K-espace vectoriel normé et A ⊂ E une partie de E, telle que pour tout élément f ∈ E ′ ,
f (A) est une partie bornée de K. Montrer qu’alors A est bornée dans E (la réciproque est claire).
Indication : Penser au théorème de Banach-Steinhauss et considérer E comme un sous-espace de son
bidual en vérifiant l’égalité kxk = max{|f (x)| : kf kE ′ ≤ 1}.
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Topologies faibles et réflexivité
Exercice 2.1:
Soit E un espace vectoriel normé.
1. Se convaincre que les ouverts faibles sont des ouverts forts, idem pour les fermés.
2. Montrer que si E est de dimension infinie, tout ouvert faible de E contient une droite affine.
Indication : Montrer qu’il suffit de prouver que toute intersection finie d’hyperplans vectoriels n’est
pas réduite à {0} dans E, puis le faire !
3. Vérifier que si E est de dimension finie, topologies faible et forte coïncident.
4. Montrer que si E est de dimension infinie, alors sa boule unité ouverte : BE := {x ∈ E : kxk < 1}
n’est pas un ouvert pour la topologie faible. On vient donc de vérifier la réciproque de la question
précédente.
Exercice 2.2: Non-métrisabilité de la topologie faible en dimension infinie
Soit E un espace vectoriel normé de dimension infinie.
1. Si σ(E, E ′ ) est induite par une distance d, considérer les boules (pour cette distance) de centre 0
et de rayon 1/n pour construire une suite (xn )n∈N de E vérifiant kxn k = n et xn ⇀ 0 au sens
σ(E, E ′ ).
Remarque : Attention, si E ′ est séparable, la topologie faible induite sur la boule unité de E est bel
et bien métrisable.
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2. Montrer que E, muni de la topologie faible, est cependant un EVCTLS.
Indication : Pour le « S » (le seul boulot à faire !), penser à la version géométrique de Hahn-Banach.
Exercice 2.3: Convexes fermés forts = convexes fermés faibles
Soit E un espace vectoriel normé.
1. À l’aide de la version géométrique de Hahn-Banach, vérifier qu’un convexe fermé fort d’un espace
vectoriel normé E est toujours une intersection de demi-espaces fermés.
Indication : Considérer les demi-espaces fermés contenant le convexe et séparer celui-ci des points
ne lui appartenant pas.
2. En déduire que les convexes fermés forts sont les convexes fermés faibles.
3. On suppose E de dimension infinie. Montrer que l’adhérence (faible) de la sphère unité est la boule
unité fermée.
Indication : On rappelle qu’on a montré qu’en dimension infinie tout voisinage faible contient une
droite vectorielle. En déduire que l’adhérence (faible) de la sphère contient la boule.
Exercice 2.4: Séparabilité et réflexivité
Soit E un espace vectoriel normé tel que E ′ soit séparable.
1. Étant donnée une suite (fn )n∈N dense dans E ′ , construire une suite (xn )n∈N d’éléments de la boule
unité fermée de E vérifiant fn (xn ) ≥ kfn kE ′ /2.
2. Vérifier rapidement que L0 = VectQ {xn : n ∈ N} est dénombrable dense dans L = VectR {xn : n ∈ N}.
3. Soit f ∈ E ′ , identiquement nulle sur L. Montrer que f est nécessairement nulle.
4. En déduire que si le dual d’un espace normé est séparable, l’espace de base l’est aussi.
Remarque : Attention ! La réciproque est fausse ! Penser à ℓ1 dont le dual est ℓ∞ par exemple, voir
l’exercice suivant.
5. Montrer qu’un espace vectoriel normé est réflexif et séparable si et seulement si son dual est réflexif
et séparable.
Exercice 2.5: ℓ∞
On considère l’espace des suites complexes bornées E := ℓ∞ (N) muni de la norme habituelle k · k∞ .
Construire une suite de la sphère unité de E ′ ne possédant aucune sous-suite faiblement-⋆ convergente. Y
a-t-il une contradiction avec le théorème du cours assurant la compacité faible-⋆ de la boule unité fermée
pour tout espace vectoriel normé ? Que peut-on en déduire sur ℓ∞ (N) ?
Exercice 2.6:
Soit E un espace de Banach et F un espace vectoriel normé quelconque.
1. Vérifier qu’une application linéaire (fortement) continue de E dans F est séquentiellement faiblement
continue.
2. En déduire qu’un opérateur compact transforme les suites faiblement convergente dans E (au sens
σ(E, E ′ )) en suites fortement convergentes dans F , i.e.
h
i
h
i
xn ⇀ x =⇒ T (xn ) → T (x) .
(1)
3. Montrer que si E est réflexif, la réciproque est vraie : un opérateur linéaire vérifiant (1) est nécessairement compact.
Indication : Montrer directement que l’image de la boule unité fermée est séquentiellement compacte.
Exercice 2.7:
On considère E = C ([0, 1]) muni de la norme k · k∞ . Montrer que la suite de fonctions ϕn (x) :=
1[0,1/n] (1 − nx) est dans la sphère unité de E mais qu’aucune suite extraite de (ϕn )n∈N ne peut converger
faiblement (au sens σ(E, E ′ )) vers un élément de E. Que peut-on en déduire ?
Indication : Pour l’impossiblité de l’extraction convergente, vérifier que la convergence faible dans E implique la convergence simple.
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Espaces de Fréchet et limites inductives
Exercice 3.1: Les espaces C p (Ω)
Soit Ω un ouvert de Rn et p ∈ N ∪ {∞}. On considère C p (Ω), l’ensemble des fonctions continûment
différentiables p fois. Pour α = (α1 , . . . , αn ) ∈ Nd , on note |α| = α1 +· · ·+αn et Dα l’opérateur différentiel
∂xα11 . . . ∂xαnn . Naturellement, dès lors que |α| ≤ p, Dα envoie C p (Ω) dans C 0 (Ω). Pour K un compact de Ω
on notera la semi-norme de C 0 (Ω), kf kK := supx∈K |f (x)| et pour m ∈ J1, pK, la semi-norme sur C p (Ω) :
kf km,K :=
X
kDα f kK .
|α|≤m
1. Vérifier qu’il existe une suite dite exhaustive de compacts de Ω, i.e. une suite croissante de compacte
dont la réunion est égale à Ω tout entier.
Indication : Considérer les boules fermées de rayon rationnel, centrées en des points à coordonnées
rationnelles.
2. On note P la famille des kf km,K où m et K parcourent respectivement J1, pK et les compacts de
Ω. Montrer que C p (Ω) muni de la P-topologie (que l’on notera T ) est bien un espace de Fréchet.
On considère par la suite la distance d ((Kn )n∈N est bien sûr la suite exhaustive de compacts) :
d(f, g) :=
X 1
min{1, kf − gkmin(n,p),Kn }.
2n
n∈N
3. Montrer que les compacts de C ∞ (Ω) sont précisément les fermés bornés (raisonner en dimension 1
pour simplifier). On parle d’espace de Montel. En déduire que C ∞ (Ω) n’est pas normable (toujours
pour la topologie T ).
Remarque : Pour p < ∞, (C p (Ω), T ) n’est pas un espace de Montel et n’est pas normable non plus
(mais pour une autre raison).
4. Pour K un compact de Ω, on note CKp (Ω) le sous-espace de C p (Ω) constitué des fonctions à support
inclus dans K. Vérifier que pour tout p, CKp (Ω) muni de la topologie trace de T est un espace de
Fréchet et que (uniquement) dans le cas p < ∞, c’est même un espace de Banach.
5. On considère maintenant le sous-espace de C p (Ω) formé des fonctions à support compact dans Ω,
on le note Ccp (Ω). Montrer que la topologie trace de T sur Ccp (Ω) en fait un espace métrisable mais
non complet.
Remarque : En remarquant que
Ccp (Ω) =
[
CKp n (Ω),
n∈N
on peut par contre invoquer la topologie limite inductive sur Ccp (Ω). On obtient alors un espace complet
au sens des EVT et pour lequel la notion de convergence dans Ccp (Ω) s’exprime ainsi : (ϕn )n∈N converge
vers ϕ si et seulement si
• tous les termes de la suite ainsi que ϕ appartiennent à un même espace CKp (Ω), où K est un certain
compact de Ω,
• ϕn −→ ϕ dans CKp (Ω) au sens de la topologie trace T .
n→∞
Par contre la topologie en question n’est plus métrisable. Le cas de Cc∞ (Ω) est fondamental. Il s’agit de
l’espace des fonctions tests, aussi noté D(Ω), qui sert de socle à toute la théorie des distributions.
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