1 Hahn-Banach et conséquences 2 Topologies faibles et réflexivité

Université Pierre et Marie Curie Analyse réelle, MM003
Master de Mathématiques, M1 Année universitaire 2010-2011
Ayman Moussa
TD no4 – Espaces localement convexes. Topologies faibles.
1 Hahn-Banach et conséquences
Exercice 1.1: Hahn-Banach dans un Hilbert
1. Rappeler brièvement le théorème de prolongement des applications uniformément continues.
2. Soit Hun espace de Hilbert, Vun sous-espace strict et fune forme linéaire continue sur V.
Démontrer directement (sans utiliser Hahn-Banach) que fse prolonge en une forme linéaire continue
sur Htout entier, de même norme que f.
Exercice 1.2: Contre-exemple
Soit Eun espace vectoriel normé réel de dimension infinie. Montrer qu’il existe des formes linéaires
non continues sur E.
Indication : Considérer une suite (en)n∈Nde vecteurs unitaitres linéairement indépendants et construire
une forme linéaire Φtelle que Φ(en) = n.
Exercice 1.3: Borné dans toutes les directions ⇔borné
Soit Eun K-espace vectoriel normé et A⊂Eune partie de E, telle que pour tout élément f∈E′,
f(A) est une partie bornée de K. Montrer qu’alors Aest bornée dans E(la réciproque est claire).
Indication : Penser au théorème de Banach-Steinhauss et considérer Ecomme un sous-espace de son
bidual en vérifiant l’égalité kxk= max{|f(x)|:kfkE′≤1}.
2 Topologies faibles et réflexivité
Exercice 2.1:
Soit Eun espace vectoriel normé.
1. Se convaincre que les ouverts faibles sont des ouverts forts, idem pour les fermés.
2. Montrer que si Eest de dimension infinie, tout ouvert faible de Econtient une droite affine.
Indication : Montrer qu’il suffit de prouver que toute intersection finie d’hyperplans vectoriels n’est
pas réduite à {0}dans E, puis le faire !
3. Vérifier que si Eest de dimension finie, topologies faible et forte coïncident.
4. Montrer que si Eest de dimension infinie, alors sa boule unité ouverte : BE:= {x∈E:kxk<1}
n’est pas un ouvert pour la topologie faible. On vient donc de vérifier la réciproque de la question
précédente.
Exercice 2.2: Non-métrisabilité de la topologie faible en dimension infinie
Soit Eun espace vectoriel normé de dimension infinie.
1. Si σ(E, E′) est induite par une distance d, considérer les boules (pour cette distance) de centre 0
et de rayon 1/n pour construire une suite (xn)n∈Nde Evérifiant kxnk=net xn⇀0 au sens
σ(E, E′).
Remarque : Attention, si E′est séparable, la topologie faible induite sur la boule unité de Eest bel
et bien métrisable.
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2. Montrer que E, muni de la topologie faible, est cependant un EVCTLS.
Indication : Pour le « S » (le seul boulot à faire !), penser à la version géométrique de Hahn-Banach.
Exercice 2.3: Convexes fermés forts = convexes fermés faibles
Soit Eun espace vectoriel normé.
1. À l’aide de la version géométrique de Hahn-Banach, vérifier qu’un convexe fermé fort d’un espace
vectoriel normé Eest toujours une intersection de demi-espaces fermés.
Indication : Considérer les demi-espaces fermés contenant le convexe et séparer celui-ci des points
ne lui appartenant pas.
2. En déduire que les convexes fermés forts sont les convexes fermés faibles.
3. On suppose Ede dimension infinie. Montrer que l’adhérence (faible) de la sphère unité est la boule
unité fermée.
Indication : On rappelle qu’on a montré qu’en dimension infinie tout voisinage faible contient une
droite vectorielle. En déduire que l’adhérence (faible) de la sphère contient la boule.
Exercice 2.4: Séparabilité et réflexivité
Soit Eun espace vectoriel normé tel que E′soit séparable.
1. Étant donnée une suite (fn)n∈Ndense dans E′, construire une suite (xn)n∈Nd’éléments de la boule
unité fermée de Evérifiant fn(xn)≥ kfnkE′/2.
2. Vérifier rapidement que L0= VectQ{xn:n∈N}est dénombrable dense dans L= VectR{xn:n∈N}.
3. Soit f∈E′, identiquement nulle sur L. Montrer que fest nécessairement nulle.
4. En déduire que si le dual d’un espace normé est séparable, l’espace de base l’est aussi.
Remarque : Attention ! La réciproque est fausse ! Penser à ℓ1dont le dual est ℓ∞par exemple, voir
l’exercice suivant.
5. Montrer qu’un espace vectoriel normé est réflexif et séparable si et seulement si son dual est réflexif
et séparable.
Exercice 2.5: ℓ∞
On considère l’espace des suites complexes bornées E:= ℓ∞(N) muni de la norme habituelle k · k∞.
Construire une suite de la sphère unité de E′ne possédant aucune sous-suite faiblement-⋆convergente. Y
a-t-il une contradiction avec le théorème du cours assurant la compacité faible-⋆de la boule unité fermée
pour tout espace vectoriel normé ? Que peut-on en déduire sur ℓ∞(N) ?
Exercice 2.6:
Soit Eun espace de Banach et Fun espace vectoriel normé quelconque.
1. Vérifier qu’une application linéaire (fortement) continue de Edans Fest séquentiellement faiblement
continue.
2. En déduire qu’un opérateur compact transforme les suites faiblement convergente dans E(au sens
σ(E, E′)) en suites fortement convergentes dans F,i.e.
hxn⇀ xi=⇒hT(xn)→T(x)i.(1)
3. Montrer que si Eest réflexif, la réciproque est vraie : un opérateur linéaire vérifiant (1) est néces-
sairement compact.
Indication : Montrer directement que l’image de la boule unité fermée est séquentiellement compacte.
Exercice 2.7:
On considère E=C([0,1]) muni de la norme k · k∞. Montrer que la suite de fonctions ϕn(x) :=
1[0,1/n](1−nx) est dans la sphère unité de Emais qu’aucune suite extraite de (ϕn)n∈Nne peut converger
faiblement (au sens σ(E, E′)) vers un élément de E. Que peut-on en déduire ?
Indication : Pour l’impossiblité de l’extraction convergente, vérifier que la convergence faible dans Eim-
plique la convergence simple.
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3 Espaces de Fréchet et limites inductives
Exercice 3.1: Les espaces Cp(Ω)
Soit Ω un ouvert de Rnet p∈N∪ {∞}. On considère Cp(Ω), l’ensemble des fonctions continûment
différentiables pfois. Pour α= (α1,...,αn)∈Nd, on note |α|=α1+···+αnet Dαl’opérateur différentiel
∂α1
x1...∂αn
xn. Naturellement, dès lors que |α| ≤ p, Dαenvoie Cp(Ω) dans C0(Ω). Pour Kun compact de Ω
on notera la semi-norme de C0(Ω), kfkK:= supx∈K|f(x)|et pour m∈J1, pK, la semi-norme sur Cp(Ω) :
kfkm,K := X
|α|≤m
kDαfkK.
1. Vérifier qu’il existe une suite dite exhaustive de compacts de Ω, i.e. une suite croissante de compacte
dont la réunion est égale à Ω tout entier.
Indication : Considérer les boules fermées de rayon rationnel, centrées en des points à coordonnées
rationnelles.
2. On note Pla famille des kfkm,K où met Kparcourent respectivement J1, pKet les compacts de
Ω. Montrer que Cp(Ω) muni de la P-topologie (que l’on notera T) est bien un espace de Fréchet.
On considère par la suite la distance d ((Kn)n∈Nest bien sûr la suite exhaustive de compacts) :
d(f, g) := X
n∈N
1
2nmin{1,kf−gkmin(n,p),Kn}.
3. Montrer que les compacts de C∞(Ω) sont précisément les fermés bornés (raisonner en dimension 1
pour simplifier). On parle d’espace de Montel. En déduire que C∞(Ω) n’est pas normable (toujours
pour la topologie T).
Remarque : Pour p < ∞,(Cp(Ω),T)n’est pas un espace de Montel et n’est pas normable non plus
(mais pour une autre raison).
4. Pour Kun compact de Ω, on note Cp
K(Ω) le sous-espace de Cp(Ω) constitué des fonctions à support
inclus dans K. Vérifier que pour tout p,Cp
K(Ω) muni de la topologie trace de Test un espace de
Fréchet et que (uniquement) dans le cas p < ∞, c’est même un espace de Banach.
5. On considère maintenant le sous-espace de Cp(Ω) formé des fonctions à support compact dans Ω,
on le note Cp
c(Ω). Montrer que la topologie trace de Tsur Cp c(Ω) en fait un espace métrisable mais
non complet.
Remarque : En remarquant que
Cp
c(Ω) = [
n∈N
Cp
Kn(Ω),
on peut par contre invoquer la topologie limite inductive sur Cp
c(Ω). On obtient alors un espace complet
au sens des EVT et pour lequel la notion de convergence dans Cp
c(Ω) s’exprime ainsi : (ϕn)n∈Nconverge
vers ϕsi et seulement si
•tous les termes de la suite ainsi que ϕappartiennent à un même espace Cp
K(Ω), où Kest un certain
compact de Ω,
•ϕn−→
n→∞ ϕdans Cp
K(Ω) au sens de la topologie trace T.
Par contre la topologie en question n’est plus métrisable. Le cas de C∞
c(Ω) est fondamental. Il s’agit de
l’espace des fonctions tests, aussi noté D(Ω), qui sert de socle à toute la théorie des distributions.
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