Chapitre 1 Notions fondamentales en électrostatique

Notions fondamentales en électrostatique
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Chapitre 1 Notions fondamentales en
électrostatique
1.1 Loi de Coulomb
Toute la théorie électrostatique est basée sur une loi expérimentale : la loi de Coulomb.
Cette dernière défini la relation entre 2 charges électriques ponctuelles et la force d'attraction (ou
de répulsion) exercée l'une sur l'autre :
12
12 2R
qqe
Fk
R
=
r
r
R étant la distance entre les deux charges alors que R e
r
est le vecteur unitaire dirigé de q1 vers q2.
Nous avons k=1 dans le système CGS ou k=(4πε0)-1 dans le système MKS (appelé également SI).
9
01036
επ
−
=(F/m) est la permittivité du vide.
Dans ce module on utilise le système MKS plus commode en ingénierie. Par défaut les
unités sont Coulomb (C) pour les charges électriques, mètre (m) pour les distances et Newton
(N) pour les forces. Les potentiels et champ électrostatiques ont comme unité Volt (V) et Volt
par mètre (V/m).
1.2 Champ électrostatique
La force exercée sur une charge q0 peut être interprétée comme l'action d'un champ
électrostatique. Ce dernier est défini par :
00
EFq
=
rr
E
r
reflète la présence de charges électriques aux alentours de la charge q0. Dans le cas où une
seule charge ponctuelle q (en plus de q0) est présente, selon la loi de Coulomb :
0
02
0
4R
qq
Fe
Rπε
=
r
r
d'où :
2
0
4R
q
Ee
Rπε
=
r
r
q1q2
R
F12
R
e
r

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Si les positions respectives de q et de q0 sont
(
)
,,rxyz=
r
et
(
)
'',','
rxyz=
r
, nous avons :
2
2'
', '
R
rr
Rrre
rr
−
=−=
−
rr
rrr
rr
( )
3
0
'
4'
qrr
Er rr
πε
−
=−
rr
r
r
rr
( ) ( ) ( )
222
''''
rrxxyyzz−=−+−+−
rr
étant la norme du vecteur
'rr−
rr
.
La notion de charge ponctuelle n'est qu'une abstraction de la réalité ; c'est un modèle parfait
simplifiant l'analyse physique et le calcul mathématique. Dans la réalité, le volume d'une charge
n'est jamais nul, d'où une distribution volumique caractérisée par une densité volumique ρV :
0
lim
Vq τ
ρ
τ
∆→
∆
=
∆
, V
V
qd
ρτ
=∫∫∫
Ó
L'application du principe de superposition à la loi de Coulomb conduit aux relations suivantes :
( )
(
)
(
)
0
03
0
''
'
4'
V
V
rrr
q
Frd
rr
ρτ
πε −
=−
∫∫∫
rrr
r
r
rr
Ó
( )
(
)
(
)
3
0
''
1'
4'
V
V
rrr
Erd
rr
ρτ
πε −
=−
∫∫∫
rrr
r
r
rr
Ó
Le modèle d'une distribution surfacique correspond aux cas où l'une des trois dimensions
est négligeable devant les deux autres. Par exemple, les charges sont distribuées sur la surface
d'un conducteur sur une couche d'ordre de quelques angströms (~10-10m). On défini alors une
densité de charge surfacique ρS :
0
lim
SS
q
S
ρ∆→
∆
=
∆
, S
S
qdSρ=∫∫
La force électrostatique et le champ électrostatique sont donnés par :
( )
(
)
(
)
0
03
0
''
'
4'
S
S
rrr
q
FrdS
rr
ρ
πε −
=−
∫∫
rrr
r
r
rr
( )
(
)
(
)
3
0
''
1'
4'
S
S
rrr
ErdS
rr
ρ
πε −
=−
∫∫
rrr
r
r
rr
De la même manière on défini la densité de charge linéique par :
0
lim
ll
q
l
ρ∆→
∆
=
∆
, l
l
qdlρ=∫
( )
(
)
(
)
0
03
0
''
'
4'
l
l
rrr
q
Frdl
rr
ρ
πε −
=−
∫
rrr
r
r
rr
( )
(
)
(
)
3
0
''
1'
4'
l
l
rrr
Erdl
rr
ρ
πε −
=−
∫
rrr
r
r
rr

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Exemple 1.1 Conducteur rectiligne
Soit un conducteur rectiligne de longueur L sur lequel est
uniformément distribuée une charge q. Déterminer le champ
électrostatique au point P.
Solution
On choisi de travailler avec les coordonnées cylindriques
(r, ϕ, z) dont l'axe z coïncide avec le conducteur et l'origine
se situe au milieu du conducteur.
La structure étant invariante selon ϕ, Eϕ=0.
La charge est uniformément distribuée, nous avons la densité linéique : ρL=q/L.
Considérons la contribution du segment dz' :
( )
(
)
3
0
''
1
4'
l
dzrr
dEr rr
ρ
πε −
=−
rr
r
r
rr
La projection de dE sur les axes r et z donne :
( )
2
0
'1
sinsin
4l
rdz
dErdE R
ρ
θθ
πε
==
r
( )
2
0
'1
coscos
4l
zdz
dErdE R
ρ
θθ
πε
==
r
avec , 'cot
sin
r
Rzzr θ
θ
==−
L'intégration par rapport à z' correspond à la contribution totale du conducteur ; θ varie de θ1
à θ2. Nous avons :
( )
2
'cot
sin
d
dzdrr
θ
θ
θ
=−=
( ) ( )
2
2
00
sinsin
11
sin
44
sin
ll
rrd
dErd
r
r
ρθθρθ
θθ
πεπε
θ
==
r
( ) ( )
2
2
00
sincos
11
cos
44
sin
ll
zrd
dErd
r
r
ρθθρθ
θθ
πεπε
θ
==
r
d'où les deux composantes du champ électrostatique :
( ) ( ) ( )
22
1
1
12
000
sin1coscoscos
444
lll
r
Erd
rrr
θθ
θ
θ
ρθρρ
θθθθ
πεπεπε
==−=−
∫
r
( ) ( ) ( )
22
1
1
21
000
cos1sinsinsin
444
lll
z
Erd
rrr
θθ
θ
θ
ρθρρ
θθθθ
πεπεπε
===−
∫
r
Le champ électrostatique au point P est donné par :
(
)
(
)
(
)
rrzz
EreEreEr
=+
r
rrrrr
z
(r, ϕ, z)
E
z
R
Er
E
z'
r
2l
θ2
θ
1
θ

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La représentation du champ électrostatique s'effectue également en traçant dans l'espace des
lignes dont la tangente à chaque point suit la direction du champ électrostatique
E
r
. On les
appelle lignes de champs. Pour déterminer l'équation de ces lignes, il nous suffit de former le
produit vectoriel entre le vecteur tangente d'une ligne spatiale et le champ électrique dont la
nullité conduit à un système d'équations différentielles ; la résolution de celui-ci donne l'équation
des lignes de champs.
1.3 Théorème de Gauss. Flux du champ électrostatique
Il est connu que le champ électrostatique est un champ de gradient déduit d'un champ
scalaire (voir le cours d'Analyse vectorielle). L'une des propriétés d'un champ de gradient
concerne la relation entre le flux du champ et la source à l'origine du champ.
Sur un élément de surface dS on défini le flux du champ par :
cosdEndSEdSEdS θΦ===
r
rr
r
gg
n
r
étant la normale, θ l'angle entre n
r
et
E
r
.
Dans le cas où
E
r
a été créé par une charge ponctuelle q, le flux traversant la sphère de
rayon a englobant la charge, avec comme origine la position de la charge, est donné par :
SEndSΦ=∫∫
r
r
g
Ò
Or
( )
2
0
,
4
rr
q
Eaene
aπε
==
r
rrr
2
22
000
4
44
S
qqaq
dS
aa
π
πεπεε
Φ===
∫∫Ò
Le flux est égale à q divisée par la permittivité du vide. Il peut être démontré que cette relation
est généralisable à une surface fermée quelconque avec une distribution de charge quelconque :
int0
SEndSQε
Φ==
∫∫
r
r
g
Ò
avec Qint la totalité de charges à l'intérieur de la surface fermée. Cette relation a été déduite de la
loi de Coulomb par Gauss et connue sous le nom du théorème de Gauss. Elle fait partie des 4
équations de Maxwell.
En plus de son intérêt théorique, le théorème de Gauss est un outil très pratique pour
déterminer le champ électrostatique dans les cas où les symétries sont exploitables.
n
θ
E
r

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Exemple 1.2 Champ créé par un conducteur rectiligne infini
On cherche à déterminer le champ électrostatique créé par un conducteur rectiligne de
longueur infinie.
Solution
La symétrie de la structure nous apprend que le champ doit
être radial, ne dépendant ni de z ni de ϕ. Pour déterminer le
champ au point P situant à r=a, on forme une surface de Gauss
avec un cylindre autour du conducteur, de hauteur h, de rayon a,
et deux disques de rayon a fermant les deux côtés du cylindre.
Selon le théorème de Gauss,
(
)
( )
12
0
2
rzz
Scylindredisquedisque
l
r
EndSEadSEdSEdS
h
Eaah ρ πε
Φ==+−
==
∫∫∫∫∫∫∫∫
r
r
g
Ò
Ez étant nul partout la première et la troisième intégrales s'annulent. On en déduit le champ au
point r=a :
( )
0
, 0
2l
r
Eaa
a
ρ
πε
=<<∞
Forme locale du théorème de Gauss
Dans un cas général, le théorème de Gauss ne permet pas de déterminer localement un
champ électrostatique. Quand on s'intéresse à un point particulier P, on forme une surface de
Gauss ∆S infiniment petite mais contenant le point P. Selon le théorème de Gauss :
0
V
SV
dV
EdS
ρ
ε
∆∆
=
∫∫∫∫∫
r
r
g
Ò
puisque ∆S →0, nous avons ∆V →0 et
(
)
00
V
V
P
dV V
ρ
ρ
εε
∆
→∆
∫∫∫
Selon l'analyse vectorielle, la divergence du vecteur E au point P est définie par :
0
lim S
V
EdS
divEE V
∆
∆→
=∇= ∆
∫∫
r
r
g
rr
g
Ò
D'où la forme locale (ou forme différentielle) du théorème de Gauss :
( )
(
)
0
P
EP ρε
∇=
r
g
z
R
E(a)
a
h