Chapitre 1 Notions fondamentales en électrostatique

Notions fondamentales en électrostatique
Chapitre 1
Notions fondamentales en
électrostatique
1.1 Loi de Coulomb
Toute la théorie électrostatique est basée sur une loi expérimentale : la loi de Coulomb.
Cette dernière défini la relation entre 2 charges électriques ponctuelles et la force d'attraction (ou
de répulsion) exercée l'une sur l'autre :
r
eR
q1
q2
R
F12
r
r
q1 q2 eR
F12 = k
R2
r
R étant la distance entre les deux charges alors que eR est le vecteur unitaire dirigé de q1 vers q2 .
Nous avons k=1 dans le système CGS ou k=(4πε 0 )-1 dans le système MKS (appelé également SI).
ε 0 = 10 −9 36π (F/m) est la permittivité du vide.
Dans ce module on utilise le système MKS plus commode en ingénierie. Par défaut les
unités sont Coulomb (C) pour les charges électriques, mètre (m) pour les distances et Newton
(N) pour les forces. Les potentiels et champ électrostatiques ont comme unité Volt (V) et Volt
par mètre (V/m).
1.2 Champ électrostatique
La force exercée sur une charge q0 peut être interprétée comme l'action d'un champ
électrostatique. Ce dernier est défini par :
r r
E = F0 q0
r
E reflète la présence de charges électriques aux alentours de la charge q0 . Dans le cas où une
seule charge ponctuelle q (en plus de q0 ) est présente, selon la loi de Coulomb :
d'où :
r
F0 =
q0 q r
eR
4πε 0 R2
r
E=
q
r
e
2 R
4πε 0 R
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r
r
Si les positions respectives de q et de q0 sont r = ( x , y , z ) et r ' = ( x ', y ', z ') , nous avons :
r r
r r 2 r
r −r '
2
R = r − r ' , eR = r r
r −r '
r
r
r r
q r −r '
E(r ) =
4πε 0 rr − rr ' 3
r r
r −r ' =
( x − x' ) 2 + ( y − y' )2 + ( z − z' )2
r r
étant la norme du vecteur r − r ' .
La notion de charge ponctuelle n'est qu'une abstraction de la réalité ; c'est un modèle parfait
simplifiant l'analyse physique et le calcul mathématique. Dans la réalité, le volume d'une charge
n'est jamais nul, d'où une distribution volumique caractérisée par une densité volumique ρV :
∆q
ρV = lim∆ τ → 0
,
q=Ó
ρV dτ
∫∫∫
∆τ
V
L'application du principe de superposition à la loi de Coulomb conduit aux relations suivantes :
r r r
r r
ρ V ( r ') ( r − r ')
q0
F0 ( r ) =
∫∫∫ V rr − rr ' 3 dτ '
4πε 0 Ó
r r r
r r
ρ V ( r ') ( r − r ')
1
E(r) =
∫∫∫ V rr − rr ' 3 dτ '
4πε 0 Ó
Le modèle d'une distribution surfacique correspond aux cas où l'une des trois dimensions
est négligeable devant les deux autres. Par exemple, les charges sont distribuées sur la surface
d'un conducteur sur une couche d'ordre de quelques angströms (~10-10m). On défini alors une
densité de charge surfacique ρS :
∆q
ρ S = lim∆ S→ 0
,
q = ∫∫ ρS dS
S
∆S
La force électrostatique et le champ électrostatique sont donnés par :
r r r
r r
ρS (r ') (r − r ')
q0
F0 ( r ) =
dS '
r r 3
4πε0 ∫∫S
r −r '
r r r
r r
ρ S ( r ') ( r − r ')
1
E(r) =
dS '
r r 3
4πε 0 ∫∫S
r −r '
De la même manière on défini la densité de charge linéique par :
∆q
ρl = lim∆l →0
,
q = ∫ ρl dl
l
∆l
r
r
r
r r
ρl ( r ' ) ( r − r ' )
q0
F0 ( r ) =
dl '
r r 3
4πε 0 ∫l
r −r '
r r r
r r
ρl ( r ' ) ( r − r ' )
1
E(r) =
dl '
r r 3
4πε 0 ∫l
r −r '
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Exemple 1.1 Conducteur rectiligne
z
Soit un conducteur rectiligne de longueur L sur lequel est
uniformément distribuée une charge q. Déterminer le champ
électrostatique au point P.
θ1
θ
z'
Ez
r
E
(r, ϕ, z) Er
R
2l
Solution
On choisi de travailler avec les coordonnées cylindriques
θ2
(r, ϕ, z) dont l'axe z coïncide avec le conducteur et l'origine
se situe au milieu du conducteur.
La structure étant invariante selon ϕ, Eϕ=0.
La charge est uniformément distribuée, nous avons la densité linéique : ρL=q/L.
Considérons la contribution du segment dz' :
r r
r r
1 ρ l dz ' ( r − r ')
dE ( r ) =
r r 3
4πε 0
r −r '
La projection de dE sur les axes r et z donne :
r
1 ρl dz '
dEr ( r ) = dE sin θ =
sin θ
4πε 0 R2
r
1 ρ l dz '
dE z ( r ) = dE cos θ =
cos θ
4πε 0 R 2
r
avec R =
,
z ' = z − r cot θ
sinθ
L'intégration par rapport à z' correspond à la contribution totale du conducteur ; θ varie de θ1
dθ
à θ2 . Nous avons : dz ' = −d ( r cot θ ) = r 2
sin θ
2
r
1 ρl r dθ sin θ
1 ρl sin θ
dEr ( r ) =
sinθ =
dθ
2
4πε 0 ( r sinθ )
4πε 0
r
r
dE z ( r ) =
1 ρl r dθ sin 2 θ
1 ρl cosθ
cos θ =
dθ
2
4πε 0 ( r sinθ )
4πε 0
r
d'où les deux composantes du champ électrostatique :
θ
r
1 θ2 ρl sinθ
ρl
ρl
Er ( r ) =
dθ =
− cosθ ) θ 2 =
(
( cos θ1 − cosθ 2 )
∫
1
4πε0 θ1
r
4πε0 r
4πε 0 r
θ
r
1 θ2 ρl cos θ
ρl
ρl
Ez ( r ) =
dθ =
sinθ ) θ 2 =
(
( sinθ 2 − sinθ 1 )
∫
θ
1
4πε 0 1
r
4πε 0 r
4πε 0r
Le champ électrostatique au point P est donné par :
r r r
r r
r
E ( r ) = er Er ( r ) + e z Ez ( r )
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La représentation du champ électrostatique s'effectue également en traçant dans l'espace des
r
lignes dont la tangente à chaque point suit la direction du champ électrostatique E . On les
appelle lignes de champs. Pour déterminer l'équation de ces lignes, il nous suffit de former le
produit vectoriel entre le vecteur tangente d'une ligne spatiale et le champ électrique dont la
nullité conduit à un système d'équations différentielles ; la résolution de celui-ci donne l'équation
des lignes de champs.
1.3 Théorème de Gauss. Flux du champ électrostatique
Il est connu que le champ électrostatique est un champ de gradient déduit d'un champ
scalaire (voir le cours d'Analyse vectorielle). L'une des propriétés d'un champ de gradient
concerne la relation entre le flux du champ et la source à l'origine du champ.
Sur un élément de surface dS on défini le flux du champ par :
r
n
θ E
r r
r r
d Φ = EgndS = E gdS = EdS cosθ
r
r
r
n étant la normale, θ l'angle entre n et E .
r
Dans le cas où E a été créé par une charge ponctuelle q, le flux traversant la sphère de
rayon a englobant la charge, avec comme origine la position de la charge, est donné par :
r r
Φ=Ò
E
∫∫ gndS
S
r
Or E ( a ) =
Φ=
q r
er ,
4πε 0 a 2
q
4πε 0 a2
Ò
∫∫
S
r r
n = er
dS =
q 4π a 2 q
=
4πε 0 a2 ε 0
Le flux est égale à q divisée par la permittivité du vide. Il peut être démontré que cette relation
est généralisable à une surface fermée quelconque avec une distribution de charge quelconque :
r r
Φ=Ò
∫∫ E gndS = Qint ε 0
S
avec Qint la totalité de charges à l'intérieur de la surface fermée. Cette relation a été déduite de la
loi de Coulomb par Gauss et connue sous le nom du théorème de Gauss. Elle fait partie des 4
équations de Maxwell.
En plus de son intérêt théorique, le théorème de Gauss est un outil très pratique pour
déterminer le champ électrostatique dans les cas où les symétries sont exploitables.
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Exemple 1.2 Champ créé par un conducteur rectiligne infini
On cherche à déterminer le champ électrostatique créé par un conducteur rectiligne de
longueur infinie.
Solution
z
La symétrie de la structure nous apprend que le champ doit
être radial, ne dépendant ni de z ni de ϕ. Pour déterminer le
champ au point P situant à r=a, on forme une surface de Gauss
avec un cylindre autour du conducteur, de hauteur h, de rayon a,
et deux disques de rayon a fermant les deux côtés du cylindre.
Selon le théorème de Gauss,
r r
Φ=Ò
∫∫ E gndS = ∫∫
S
= Er ( a ) 2π ah =
cylindre
Er ( a ) dS + ∫∫
disque1
Ez dS − ∫∫
disque 2
aR
E(a)
h
Ez dS
ρl h
ε0
Ez étant nul partout la première et la troisième intégrales s'annulent. On en déduit le champ au
point r=a :
ρl
Er ( a ) =
,
0< a< ∞
2π aε0
Forme locale du théorème de Gauss
Dans un cas général, le théorème de Gauss ne permet pas de déterminer localement un
champ électrostatique. Quand on s'intéresse à un point particulier P, on forme une surface de
Gauss ∆S infiniment petite mais contenant le point P. Selon le théorème de Gauss :
r r
ρ dV
E
Ò
∫∫∆S gdS = ∫∫∫∆V Vε 0
ρ ( P)
ρV dV
puisque ∆S →0, nous avons ∆V →0 et ∫∫∫
→
∆V
∆V
ε0
ε0
Selon l'analyse vectorielle, la divergence du vecteur E au point P est définie par :
r r
E
r
r
Ò
∫∫ g dS
divE = ∇ gE = lim∆V →0 ∆S
∆V
D'où la forme locale (ou forme différentielle) du théorème de Gauss :
r
ρ ( P)
∇ gE ( P ) =
ε0
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En absence de charge au point P, nous avons
r
∇ gE ( P ) = 0
Rappels :
•
en coordonnées cartésiennes, la divergence s'écrit :
r ∂E ∂E
∂E
∇ gE = x + y + z
∂x
∂y
∂z
•
en utilisant la forme locale du théorème de Gauss, nous avons :
r r
r
ρV dV
E
g
dS
=
=
∇
g
EdV
Ò
∫∫S
∫∫∫V ε 0 ∫∫∫V
on retrouve le théorème d'Ostrogradsy en analyse vectorielle, appelé parfois le théorème de
Gauss-Ostrogradsy.
Symétries de distribution
La symétrie d'un problème se traduit par une distribution particulière dont l'exploitation peut
simplifier l'étude du problème, comme les exemples 1.1 et 1.2.
Les cas de symétrie les plus connues sont :
•
symétrie de rotation : la distribution de charge est rectiligne ; en formant une axe coïncidant avec la
distribution, le potentiel (par la suite le champ) électrostatique ne dépend pas de la rotation du point
d'observateur autour de cet axe ;
•
symétrie sphérique : la distribution surfacique (ou volumique) est sphérique et ne dépend pas des
coordonnées (θ , ϕ ) ; le potentiel électrostatique d'un point d'observateur est également indépendant
de ces deux variables ;
•
symétrie plane : pour une distribution surfacique uniforme sur un plan infinie, si ce plan contient deux
axes d'un système curviligne, ou parallèle à un tel plan, le potentiel ne varie que suivant le troisième
axe. Par exemple si nous avons une distribution uniforme sur le plan y-o-z, le potentiel sera
uniquement fonction de la variable x. On peut considérer cette symétrie comme un cas particulier de
la symétrie sphérique quand le rayon tends vers l'infini.
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1.4 Potentiel électrostatique. Gradient du potentiel électrostatique
a) Potentiel électrostatique
On fait déplacer une charge q0 du point A au point
r B ren présence du champ électrostatique
r
E . Ce dernier exerçant une force électrostatique F = q0 E , le travail reçu par la charge q0 est
donné par :
r
r
B r
B r
B
W = ∫ F gdl =q0 ∫ E gdl =q 0 ∫ Edl cos θ
A
A
A
Quand le champ électrostatique a été créé par une charge ponctuelle q, nous avons
q
E=
, dl cos θ = dR
4πε 0 R 2
W = q0 ∫A
B
qq
qdR
= 0
2
4πε 0 R
4πε 0
q0 q  1
1 
 1
 − R  = 4πε  R − R 

A
0 
A
B 
θ
B
R
R+dR
Le travail étant proportionnel à la charge q0 , le rapport entre les deux donne
W
q  1
1 
=
−

 = V ( RA ) − V ( RB )
q0 4πε 0  RA RB 
Nous avons ici une autre grandeur physique dépendant des charges : le potentiel électrostatique
q
V ( R) =
+ V0
4πε 0 R
V0 est une constante d'intégrale, dépendant du choix d'un point de référence auquel on affecte le
potentiel zéro. En général, le point de référence est choisi infiniment éloigné de R ce qui impose
V0 =0. Ce choix n'est plus valable si des charges existent à l'infini comme le cas d'un conducteur
filaire de longueur infinie.
En prenant V0 =0, nous pouvons évaluer le potentiel électrostatique selon le type de
distribution de charges :
r
 q
ρ l ( r ')
distribution linéique
 4πε ∫L R dl ',
0

r
ρ S ( r ')
r  q
V (r ) = 
∫∫S R dS ', distribution surfacique
4
πε
0

r
 q
ρ V ( r ')

∫∫∫ V R dτ ', distribution volumique
 4πε 0 Ó
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Exemple 1.3 Potentiel créé par un disque circulaire
Soit un disque circulaire de rayon a uniformément chargé ; ρs représente la densité de charge
surfacique. Déterminer le potentiel le long de l'axe z.
Solution
z
La contribution des charges sur un anneau entre r et r+dr
est :
dV =
dr
R
r
a
ρ s 2π rdr
4πε 0 r 2 + z 2
en faisant varier r de 0 à a, nous avons :
V (z) = ∫
a
0
ρ s rdr
2ε 0 r + z
2
2
=
ρs
2ε 0
r2 + z2
a
0
=
ρs
2ε 0
(
a2 + z2 − z
)
Note : dans cette exemple la référence du potentiel est choisie à l'infini.
r
B r
On note VAB = V ( R A ) − V ( R B ) = ∫ E gdl la différence de potentiel électrostatique. De
A
r r
l'autre côté, on appelle la circulation d'un vecteur A le long d'une courbe C : ∫ Ag dl .
C
Le fait que VAB ne dépend que des points A et B montre que la circulation du champ
électrostatique ne dépend pas du choix de chemin d'intégral entre A et B, et en particulier
Ñ∫
C
r r
E gdl = 0
La circulation du champ électrostatique est nul si la courbe C est fermée, montrant que ce champ
est issue d'un champ scalaire.
b) Gradient du potentiel électrostatique
On peut écrire la différence du potentiel selon deux manières. D'un côté, V est fonction de 3
variable (x, y, z), nous avons :
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dV =
∂V
∂V
∂V
dx +
dy +
dz
∂x
∂y
∂z
De l'autre côté, selon la définition de ce potentiel :
r r
dV = −E gdl = − ( Ex dx+ E y dy + E z dz )
L'égalité des deux relations conduit à l'équation suivante :
∂V
∂V
∂V
Ex = −
, Ey=−
, Ez = −
∂x
∂y
∂z
On rappelle que le gradient d'une fonction scalaire Φ(x, y, z) est défini par :
r ∂Φ r ∂Φ r ∂Φ
grad Φ = ∇ Φ = ex
+ ey
+ ez
∂x
∂y
∂z
d'où :
r
E =−∇ V
r
Selon la signification du gradient, E indique la direction de la plus rapide décroissance du
potentiel électrostatique.
r
V étant un champ scalaire, E est donc un champ de gradient. Sachant ∇ × ∇V = 0 , selon
l'analyse vectorielle, nous avons :
r
−∇×∇V = ∇ × E = 0
1.5 Equation de Poisson. Equation de Laplace
En remplaçant le champ électrostatique dans la forme locale du théorème de Gauss par le
gradient du potentiel électrostatique, nous obtenons :
r
ρ
∇ gE = ∇ g( −∇V ) = −∇ 2V =
ε0
Le potentiel électrostatique vérifie donc l'équation de Poisson :
r
ρ (r )
r
2
∇ V (r ) = −
ε0
Dans un milieu dépourvu de charges, V vérifié l'équation de Laplace :
r
∇ 2V ( r ) = 0
La résolution de l'équation de Poisson ou l'équation de Laplace associée aux conditions aux
limites est un problème classique en électrostatique. A l'exception de quelques cas particuliers, la
plupart de situations pratiques nécessitent l'utilisation des méthodes de résolutions numériques.
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